MathProf - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Näherungsfunktion

MathProf - Mathematik-Software - Interpolation - Interpolierung - Ganzrationale Funktion

Fachthema: Interpolation ganzrationaler Funktionen

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Studenten, Lehrer und Ingenieure sowie für alle die sich für Mathematik interessieren. Neben dem Einsatz zur Durchführung wissenschaftlicher Untersuchungen kann es als Lernsoftware für Schüler der Oberstufe eingesetzt werden.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Interpolation - Interpolierung - Ganzrationale Funktion

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung der Interpolation ganzrationaler Funktionen, inkl. der Ausführung einer Kurvendiskussion zur Berechnung der Nullstellen, Extrempunkte (Extremstellen) und Wendepunkte (Wendestellen) des ermittelten Interpolationspolynoms.

In diesem Teilprogramm kann die Anzahl zu verwendender Stützstellen, welche zur Bestimmung einer gesuchten Näherungsfunktion benötigt werden, auf bis zu fünf festgelegt werden. Auch kann eine lineare Interpolation unter der Verwendung von zwei Stützstellen durchgeführt werden. Nach der Berechnung der Koeffizienten des entsprechenden Näherungspolynoms wird neben der grafischen Ausgabe der ermittelten Kurve auch die Darstellung der ersten und zweiten Ableitungsfunktion dessen ermöglicht.


Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Durchführung einer interaktiven Operation dar.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Ganzrationale Funktionen - Näherungsverfahren - Interpolationspolynom - Funktionsinterpolation - Polynomiale Interpolation - Näherungspolynom - Punkte - Koeffizienten - Ableitung - Ableitungsfunktion - Nullstellen - Hochpunkte - Tiefpunkte - Wendepunkte - 2D-Interpolation - Bilder - Darstellung - Berechnung - Darstellen

 
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Interpolation ganzrationaler Funktionen

 

Das Teilprogramm [Analysis] - [Interpolation und Polynomregression] - Interpolation ganzrationaler Funktionen ermöglicht die Ermittlung und Analyse ganzrationaler Interpolationspolynome mit Hilfe mauspositionierbarer Stützstellen.

 

MathProf - Interpolation - Ganzrationale Funktion - Wendepunkte - Krümmung - Interpolationspolynom - Näherungsverfahren - Kurve - Polynome - Stützstellen - Polynominterpolation - Nullstellen - Extrema - Wendepunkte - Hochpunkt - Tiefpunkt - Näherungsfunktion - Näherungspolynom

 

Durch die Definition von bis zu 5 Stützstellen, welche durch Mausbewegungen oder Werteingaben definiert werden können, wird eine Funktion der Form

Interpolation - Gleichung

dargestellt.

Das Programm ermittelt interpolativ mit Hilfe der vorgegebenen Punktkoordinaten eine ganzrationale Funktion, welche durch diese Punkte verläuft. Eine hierbei dargestellte Funktion n-ten Grades benötigt stets n Stützstellen.
 

Darstellung

Um sich eine ganzrationale Funktion, welche durch vorgegebene Punkte verläuft, ermitteln und darstellen zu lassen sollten Sie Folgendes ausführen:

  1. Wählen Sie durch Bedienung des Steuerelements Funktionsgrad die Anzahl der Punkte, durch welche die Funktion verlaufen soll.
     
  2. Möchten Sie die Koordinatenwerte der Punkte exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  3. Um die Koordinatenwerte der einzelnen Punkte mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  4. Bestimmen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung oder 2. Ableitung, ob die Darstellung der 1. Ableitung bzw. der 2. Ableitung der ermitttelten Funktion ausgegeben werden soll.
     
  5. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung eines der Kontrollkästchen Nullstellen, Extrema oder Wendepunkte fest, ob eine Kurvendiskussion mit der ermittelten Funktion durchgeführt werden soll.

    Möchten Sie den Untersuchungsbereich bei Durchführung einer Kurvendiskussion mit der Maus verändern, so klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich einer Bereichsmarkierung und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnissee).
     

  6. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bei der Durchführung einer Kurvendiskussion werden angezeigt:
 

  • Nullstellen der ermittelten Funktion (N: Nullstelle)

  • Extremstellen der ermittelten Funktion (H: Hochpunkt ; T: Tiefpunkt)

  • Wendepunkte der ermittelten Funktion (W: Wendepunkt)

Beachten Sie:

Nicht für alle gegebenen Bedingungen existieren eindeutige Lösungen. Wird keine Lösung gefunden, so wird dies angezeigt.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Interpolation - Ganzrationale Funktion - Kurvendiskussion - Ableitung - Extremstellen - Interpolationspolynom


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte: Beschriftung der definierten Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten (linksseitig): Darstellung der Koordinatenwerte definierter Punkte ein-/ausschalten
  • Beschriftung: Beschriftung der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten (rechtsseitig): Darstellung der Koordinatenwertangaben, der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen I

Interpolation nach Newton und Lagrange

Kurvendiskussion

 

Beispiel - Interpolation

 

Es ist eine ganzrationale Interpolationsfunktion bestimmen zu lassen, welche durch die Punkte P1 (-5 / 4), P2 (3 / 3), P3 (1 / 2) und P4 (4 / -1) verläuft.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Durch die Festlegung des Grades der auszugebenden Funktion (mittels der Bedienung des Steuerelements Funktionsgrad) auf den Wert 3 sowie eine Definition der Stützstellenpunkte P1 - P4 nach einer Bedienung der Schaltfläche Punkte, ermittelt das Programm die Koeffizienten a3 - a0 der Funktion. In diesem Fall wird die gesuchte ganzrationale Funktion beschrieben durch die Gleichung:

 

f(x) = -0,17824·x³-0,07407·x²+3,11343·x-0,861111

 

mit den Koefizienten a3 = -0,17824, a2 = -0,07407, a1 = 3,11343 und a0 = -0,861111.

 

Werden zudem die Kontrollkästchen Nullstellen, Extrema und Wendepunkte aktiviert, so führt das Programm eine Kurvendiskussion mit der Funktion f(x) durch und ermittelt für den voreingestellten Untersuchungsbereich -10 x 10:

 

Die o.a. ganzrationale Funktion f(x) besitzt innerhalb des festgelegten Untersuchungsbereichs:

 

Nullstellen: N (-4,518 / 0) N (0,28 / 0) N (3,823 / 0)
Extremstellen: HP (2,278 / 3,74) TP (-2,555 / -6,327)  
Wendepunkt: W (-0,139 / -1,293)    

 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Interpolationspolynom - Kurvendiskussion - Grad - Näherungsverfahren - Beispiel - Interpolation - Kurve - Polynome - Stützstellen - Polynominterpolation - Ganzrationale Funktionen - Interpolationsverfahren - Interpolationsmethoden - Nullstellen - Extrema - Wendepunkte - Hochpunkt - Tiefpunkt - Näherungsfunktion - Näherungspolynom
MathProf - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Nullstellen - Wendepunkte - Extremwerte - Stützstellen - Näherungsverfahren - Beispiel - Interpolation - Kurve - Polynome - Stützstellen - Polynominterpolation - Ganzrationale Funktionen - Interpolationsverfahren - Interpolationsmethoden - Nullstellen - Extrema - Wendepunkte - Hochpunkt - Tiefpunkt - Näherungsfunktion
MathProf - Interpolation - Ganzrationale Funktion - Ganzrationale Funktionen - Interpolationspolynom - Kurvendiskussion - Beispiel - Kurve - Polynome - Stützstellen - Polynominterpolation - Interpolationsverfahren - Interpolationsmethoden - Nullstellen - Extrema - Wendepunkte - Hochpunkt - Tiefpunkt - Näherungsfunktion - Näherungspolynom - Ableitungen - Nullstellen - Extrema
   

Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Kurzinfos zum Themengebiet Analysis Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie Kurzinfos zum Themengebiet Algebra Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten.
  
Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Weitere Produkte
  
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu weiteren von uns entwickelten Produkten.

PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einfussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik


Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
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