MathProf - Komplexe Zahlen - Schreibweisen - Umwandlung - Polardarstellung

MathProf - Mathematik-Software - Komplexe Zahlen | Polarform | Exponentialform | Grafik

Fachthema: Schreibweisen komplexer Zahlen

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Komplexe Zahlen | Polarform | Exponentialform | Grafik

Online-Hilfe
für das Modul zur Umwandlung (Umrechnung) der Schreibweisen
komplexer Zahlen in andere in der Gaußschen Zahlenebene.

In diesem Unterprogramm kann die Wandlung folgender Darstellungsformen komplexer Zahlen praktiziert werden: Polarform in kartesische Form (algebraische Form) - Exponentielle Form in kartesische Form - Kartesische Form in Polarform (trigonometrische Form) - Exponentielle Form in Polarform - Polarform in exponentielle Form - Kartesische Form in exponentielle Form (Exponentialform).
Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit.

Der
implementierte Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Komplexe Zahlen - Polarform - Exponentialform - Winkel einer komplexen Zahl - Winkelkoordinaten einer komplexen Zahl - Imaginäre Zahlen - Gaußsche Zahlenebene - Komplexe Zahlen umrechnen - Komplexe Zahlenebene - Komplexe Ebene - Polardarstellung komplexer Zahlen - Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen - Realteil komplexer Zahlen - Imaginärteil komplexer Zahlen - Argument - Komplexe Zahlen grafisch darstellen - Kartesische Darstellung komplexer Zahlen - Exponentielle Darstellung komplexer Zahlen - Exponentialdarstellung komplexer Zahlen - Exponentialschreibweise komplexer Zahlen - Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen - Algebraische Form komplexer Zahlen - Schreibweisen - Darstellungsformen - Trigonometrische Form komplexer Zahlen - Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten - Umrechnung komplexer Zahlen - Umwandlung komplexer Zahlen - Kartesische Form komplexer Zahlen - Exponentielle Form komplexer Zahlen - Bilder - Darstellung - Plot - Graphik - Graph - Kreis - Berechnen - Rechner - Umrechnung - Umwandlung - Berechnung - Darstellen

 
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Schreibweisen komplexer Zahlen


Das kleine Unterprogramm [Algebra] - [Komplexe Zahlen] - Schreibweisen komplexer Zahlen ermöglicht die Wandlung (Umrechnung) von Schreibweisen komplexer Zahlen in andere.

 

MathProf - Komplexe Zahlen - Schreibweise - Umwandlung - Umrechnung - Polarform - Exponentialform - Kartesische Form - Trigonometrische Form - Reelle Zahlen - komplexe Zahlen - Imaginäre Zahlen


Da zur Darstellung komplexer Zahlen verschiedene Schreibweisen verwendet (benötigt) werden, ist oftmals deren Umwandlung in andere Formen notwendig. In diesem Programmmodul können die hierfür jeweils erforderlichen Berechnungsschritte nachvollzogen werden. Zudem wird die komplexe Zahl in der Gauß'schen Zahlenebene dargestellt. Zur Verfügung stehen folgende Möglichkeiten einer Umwandlung (Darstellungsformen):
 

  • Polarform - Kartesische Form (Algebraische Form)
  • Exponentielle Form - Kartesische Form (Algebraische Form)
  • Kartesische Form (Algebraische Form) - Polarform
  • Exponentielle Form - Polarform
  • Polarform - Exponentielle Form
  • Kartesische Form (Algebraische Form) - Exponentielle Form

Schreibweisen komplexer Zahlen - Darstellungsformen


Komplexe Zahlen können in folgenden Schreibweisen (Darstellungsformen) definiert werden:

Kartesische Form (algebraische Form):

z = x + jy

x: Realteil von z

y: Imaginärteil von z

j: Imaginäre Einheit (j2 = -1)
 

Polarform:

z = r·(cos(φ) + j·sin(φ))

r: Betrag von z

φ: Argument (Winkel) von z
 

Exponentialform:

z = r·ejφ

r: Betrag von z

φ: Argument (Winkel) von z

e: Eulersche Zahl

 

Berechnung und Darstellung


Gehen Sie folgendermaßen vor, die Umwandlung einer komplexen Zahl von einer Schreibweise in eine andere durchführen zu lassen:

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters aus, welche der vorhandenen Schreibweisen Sie in eine andere wandeln möchten.
     
  2. Geben Sie die Werte der zu wandelnden komplexen Zahl in die dafür vorgesehenen Felder ein.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so wird die schrittweise Wandlung der Zahl in die gewählte Form aufgezeigt.

Hinweis:

Bei Festlegung eines Winkelwerts ist dieser stets im Gradmaß anzugeben.

 

Bedienformular

 

MathProf - Komplexe Zahl - Polarform - Kartesische Form - Trigonometrische Form - Algebraische Form

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

  • Kreis darstellen: Darstellung eines Kreises, der einen Radius vom Betrag der komplexen Zahl aufweist, ein-/ausschalten
  • Hilfslinien zeigen: Darstellung der Hilfslinien, die den Real- bzw. Imaginärteil der Zahl beschreiben, ein-/ausschalten
  • Drehrichtung zeigen: Pfeil, der die Drehrichtung des Zeigers beschreibt, ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Einheitskreis komplexer Zahlen

Taschenrechner für komplexe Zahlen

Berechnungen mit komplexen Zahlen

Addition komplexer Zahlen

Multiplikation komplexer Zahlen

 

Beispiele


Beispiel 1 - Wandlung Polarform - Kartesische Form:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Polar - Kartesisch, einer Eingabe der Zahlenwerte 6 und 100 in die entsprechenden Felder sowie einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, werden folgende Schritte für die Wandlung der in Polarform gegebenen komplexen Zahl z = 6·(cos(100°) + j·sin(100°)) in die kartesische Form durchlaufen:

Polarform:

z = r·(cos(φ) + j·sin(φ))

  = r·(cos(100°) + j*sin(100°))
 

Berechnung:

x = r·cos(φ)

  = 6·cos(100°) = -1,042

     (nach Wandlung der Winkeleinheit in das Bogenmaß)

 

y = r·sin(φ)

  = 6·sin(100°) = 5,909

     (nach Wandlung der Winkeleinheit in das Bogenmaß)
 

Ergebnis (kartesische Form):

z = x + jy = -1,042 + j5,909


Beispiel 2 - Wandlung Exponentialform - Kartesische Form:

Wird der Kontrollschalters Exponential - Kartesisch aktiviert, werden die Zahlenwerte 4 und 60 in die entsprechenden Felder eingegeben und ein Klick auf die Schaltfläche Berechnen ausgeführt, so werden folgende Schritte für die Wandlung der in Exponentialform gegebenen komplexen Zahl z = 4·ej60° in die kartesische Form durchlaufen:

Exponentialform:

z = r·ejφ

  = 4·ej60°
 

Wandlung in Polarform:

z = 4·(cos(φ) + j·sin(φ))

  = 4·(cos(60°) + j·sin(60°))
 

Berechnung (Wandlung der Polarform in Exponentialform):

x = r·cos(φ)

  = 4·cos(60°) = 2

     (nach Wandlung der Winkeleinheit in das Bogenmaß)

 

y = r·sin(φ)

  = 4·sin(60°) = 3,464

     (nach Wandlung der Winkeleinheit in das Bogenmaß)
 

Ergebnis (kartesische Form):

z = x + jy = 2 + j3,464

Bemerkung:

In diesem Fall ist die Durchführung eines zusätzlichen Berechnungsschritts erforderlich, da eine direkte Umwandlung von der Exponentialform in die Polarform nicht möglich ist.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Komplexe Zahlen - Betrag - Kartesische Form - Exponentialform - Polarform - Trigonometrische Form - Umrechnen - Umformen - Umwandeln - Beispiel - Reelle Zahlen - komplexe Zahlen - Imaginäre Zahlen - Eulersche Form

MathProf - Komplexe Zahlen - Betrag - Polardarstellung - Kartesische Form - Exponentialform - Polarform - Trigonometrische Form - Umrechnen - Umformen - Umwandeln - Beispiel - Reelle Zahlen - komplexe Zahlen - Imaginäre Zahlen

MathProf - Komplexe Zahlen - Betrag - Eulersche Zahl - Kartesische Form - Exponentialform - Polarform - Trigonometrische Form - Umrechnen - Umformen - Umwandeln - Beispiel - Reelle Zahlen - komplexe Zahlen - Imaginäre Zahlen - Eulersche Form

   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl

Wikipedia - Darstellungsformen komplexer Zahlen
 
Implementierte Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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