MathProf - Kugel - Kugel (Kugeln im Raum) (3D)

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Kugel - Kugel (Kugeln im Raum) (3D)

 

Das Unterprogramm [Vektoralgebra] - Kugel - Kugel ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit zwei Kugeln.

 

MathProf - Kugel - Schnittkreis

 

Die Anwendungsmöglichkeiten dieses Moduls sind:
 

  • Ermittlung der Eigenschaften des Schnittkreises zweier Kugeln
  • Ermittlung der Eigenschaften der Schnittebene/Potenzebene zweier Kugeln

Definitionsformen von Kugeln

Um eine Kugel zu beschreiben, bestehen in diesem Unterprogramm folgende Möglichkeiten:

Definition der Kugel in vektorieller Form:

Kugel - Gleichung - 1

Definition der Kugel durch vier auf ihr liegende Punkte:

A(x;y;z), B(x;y;z), C(x;y;z) und D(x;y;z).

Bedeutung der im Programm verwendeten Bezeichnungskürzel

Die Bedeutungen der im Programm verwendeten Bezeichungskürzel sind folgende:

E: Ebene in Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie Koordinatenform
P1,P2,P3: Ebenenpunkte bzw. Punkt
d: Abstand einer Ebene vom Koordinatenursprung
Sx,Sy,Sz: Spurpunkte einer Ebene
n: Normalenvektor einer Ebene
MP: Mittelpunkt einer Kugel
x,y,z: Koordinaten des Mittelpunkts einer Kugel
r: Radius einer Kugel
A,B,C,D: Auf einer Kugel liegende Punkte

 

MathProf - Kugel - Ebene

 

Berechnung und Darstellung

 

Um die Lage zweier Kugeln zu untersuchen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Wählen Sie, durch die Aktivierung des Kontrollschalters Kugel K1 in vekt. Form bzw. Kugel K1 in 4-Punkte-Form, in welcher Form die erste Kugel beschrieben werden soll und geben Sie die erforderlichen Koeffizienten bzw. Koordinatenwerte in die dafür vorgesehenen Felder ein. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
     
  2. Geben Sie die Werte der Koeffizienten der zweiten Kugel K2 in vekt. Form in die entsprechenden Felder ein.
     
  3. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen.
     
  4. Möchten Sie sich die Lage der Kugeln grafisch veranschaulichen, so aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch und bedienen die Schaltfläche Darstellen.

Das Programm untersucht, ob sich die Kugeln schneiden, und gibt den Radius, sowie den Mittelpunkt des Schnittkreises der Kugeln aus. Darüber hinaus ermittelt es die Gleichung der Schnittebene in Koordinatenform. Möchten Sie über Details der Schnittebene der beiden Kugeln informiert werden, so bedienen Sie die Schaltfläche Details Ebene.

Nachfolgend aufgeführte Details einer Ebene werden hierbei ausgegeben:

  • Abstand d der Ebene vom Koordinatenursprung
  • Spurpunkte Sx,Sy,Sz (Durchstoßpunkte) der Ebene
  • Normalenvektor n der Ebene
  • Definition der Ebene in 3-Punkte-, Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie in Koordinatenform

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Darstellung - Optionen


Im Formularbereich Darstellung - Optionen können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • N-Vektor: Darstellung des Normalenvektors der ermittelten Schnittebene (falls vorhanden) ein-/ausschalten
  • Schnittebene: Darstellung der Schnittebene der Kugeln (falls vorhanden) ein-/ausschalten
  • Schnittkreis: Darstellung der Schnittkreises (falls vorhanden) der beiden Kugeln ausgeben
  • Potenzebene: Darstellung der Potenzebene der Kugeln (falls vorhanden) ausgeben
  • Kugelpunkte: Darstellung der auf der Kugel liegenden Punkte ein-/ausschalten
    (nur verfügbar wenn Kugel in 4-Punkte-Form gewählt wird)
  • Kugelpunkte beschriften: Beschriftung der auf der Kugel liegenden Punkte ein-/ausschalten (nur verfügbar, wenn Kugel in 4-Punkte-Form gewählt wird)
  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kugel - Gerade (3D)

Kugel - Ebene - Punkt (3D)

Ebene in Normalen-Form (3D)

 

Beispiele


Beispiel 1 - Schnitt zweier Kugeln in vekt. Form:

Es gilt zu ermitteln, ob sich zwei Kugeln, welche in vektorieller Form definiert sind, schneiden. Trifft dies zu, so ist die Gleichung der Schnittebene (in Koordinatenform) der beiden Kugeln zu bestimmen.

Nach Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition einer Kugel K1 in vekt. Form

Kugel - Gleichung - 2

und der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der zweiten Kugel K2 in vekt. Form

Kugel - Gleichung - 3

ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen:

Beide Kugeln schneiden sich. Die Gleichung der Schnittebene (in Koordinatenform) der beiden Kugeln lautet:

E: 8·X + 4·Y + 2·Z = -4

Die Koordinaten des Mittelpunkts des Schnittkreises sind M (1,381 / -2,81 / -1,905). Der Radius des Schnittkreises beträgt r = 1,676.

 

Um die Eigenschaften der Schnittebene der beiden Kugeln zu erfahren, bedienen Sie die Schaltfläche Details Ebene. Hierbei werden ausgegeben:

 

Die Gleichung der Schnittebene E in vektorieller Schreibweise, in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

Kugel - Gleichung - 4

 

Die Gleichung der Schnittebene E in vektorieller Schreibweise, in Normalen-Form lautet:

 

Kugel - Gleichung - 5
 

Drei Punkte, die auf der Schnittebene E liegen sind:

P1 (-0,5 / 0 / 0)

P2 (-1 / 1 / 0)

P3 (-0,75 / 0 / 1)

 

Der Abstand der Schnittebene E vom Koordinatenursprung beträgt d = 0,436.

Die Spurpunkte der Schnittebene E sind:

Sx (-0,5 / 0 / 0)

Sy (0 / -1 / 0)

Sz (0 / 0 / -2)

 

Der Normalenvektor der Schnittebene E lautet:

 

Kugel - Gleichung - 6

Der Betrag des Normalenvektors der Schnittebene E besitzt den Wert 9,165.
 

Beispiel 2 - Schnitt einer Kugel in 4-Punkte-Form und einer Kugel in vekt. Form:

Es gilt zu ermitteln, ob sich zwei Kugeln schneiden. Kugel K1 wird durch die vier auf ihrer Peripherie liegende Punkte A (-4 / 1 / 4), B (0 / 1 / 2), C (1 / 0 / 0) und D (-3 / 1 / 2) beschrieben. Kugel K2 ist in vekt. Form wie folgt definiert:

Kugel - Gleichung - 7

Schneiden sich die beiden Kugeln, so ist die Gleichung der Schnittebene (in Koordinatenform) der beiden Kugeln zu bestimmen.

Nach Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte zur Definition einer Kugel K1 in 4-Punkte-Form und der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der zweiten Kugel K2 in vekt. Form, ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen Folgendes.

Beide Kugeln schneiden sich. Die Gleichung der Schnittebene (in Koordinatenform) der beiden Kugeln lautet:

E: -5·X + 19·Y - 12·Z = 20

Die Koordinaten des Mittelpunkts des Schnittkreises sind M (-3,415 / -0,223 / -0,596). Der Radius des Schnittkreises beträgt r = 0,864.

 

Um die Eigenschaften der Schnittebene der beiden Kugeln zu erfahren, bedienen Sie die Schaltfläche Details Ebene. Hierbei werden ausgegeben:

 

Die Gleichung der Schnittebene E in vektorieller Schreibweise, in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

Kugel - Gleichung - 8

 

Die Gleichung der Schnittebene E in vektorieller Schreibweise, in Normalen-Form lautet:

 

Kugel - Gleichung - 9
 

Drei Punkte, die auf der Schnittebene E liegen, sind:

P1 (-4 / 0 / 0)

P2 (-0,2 / 1 / 0)

P3 (-6,4 / 0 / 1)

 

Der Abstand der Schnittebene E vom Koordinatenursprung beträgt d = 0,869.

Die Spurpunkte der Schnittebene E sind:

Sx (-4 / 0 / 0)

Sy (0 / 1,053 / 0)

Sz (0 / 0 / -1,667)

 

Der Normalenvektor der Schnittebene E lautet:

 

Kugel - Gleichung - 10
 

Betrag des Normalenvektors der Schnittebene E: 4,604
 

Module zum Themenbereich Vektoralgebra


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