MathProf - Kugel-Kugel - Schnittkreis zweier Kugeln - Lagebeziehung

MathProf - Mathematik-Software - Schnitt zweier Kugeln | Ebene | Abstand | Schnittkreis

Fachthema: Kugeln im Raum

MathProf - Sphärische Geometrie - Software für interaktive Mathematik und zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen. Ein Programm zum Einsatz im Mathematikunterricht sowie für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Schnitt zweier Kugeln | Ebene | Abstand | Schnittkreis

Online-Hilfe
für das Modul Lineare Algebra und analytische Geometrie
zur Durchführung von Untersuchungen mit Kugeln im Raum.

Dieses Unterprogramm ermöglicht neben anderem das Berechnen des Schnittkreises von 2 Kugeln sowie dessen grafische Darstellung. Zudem lässt sich die numerische sowie die grafische Analyse der Lagebeziehung zweier Kugeln duchführen. Auch die Berechnung und Darstellung einer ggf. vorhandenen Schnittebene Kugel-Kugel kann veranlasst werden.

Ein frei bewegbares und drehbares, dreidimensionales Koordinatensystem ermöglicht die Durchführung interaktiver Analysen bzgl. Sachverhalten und relevanter Zusammenhänge zu diesem Fachthema. Auch die Ausführung verschiedener 3D-Simulationen mit Gebilden dieser Art kann veranlasst werden.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Kugeln im Raum - Schnittkreis zweier Kugeln - Schnittebene zweier Kugeln - Schnittpunkt zweier Kugeln - Lage zweier Kugeln - Vektorrechnung mit Kugeln - Vektorielle Gleichung einer Kugel - Schnittkreis Kugel Kugel - Schnitt Kugel Kugel - Lagebeziehung Kugel Kugel - Zwei Kugeln - Kugelgleichung im Raum - Bild - Grafik - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Lage Kugel Kugel - Kugeln plotten - Kugel durch 4 Punkte - Berührpunkt - Kugel berechnen - Potenzebene einer Kugel - Lage zweier Kugeln - Formel - Schnitt zweier Kugeln - Gegenseitige Lage von Kugeln - Kugelgleichungen - Kugelberechnung 

 
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Kugel - Kugel

 

Das Unterprogramm [Vektoralgebra] - Kugel - Kugel ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit zwei Kugeln.
 

MathProf - Kugel - Schnittkreis - Abstand - Ebene - Schnittebene - Polarebene - Kugelgleichung

  
  • Ermittlung der Eigenschaften des Schnittkreises zweier Kugeln
  • Ermittlung der Eigenschaften der Schnittebene/Potenzebene zweier Kugeln

Definitionsformen von Kugeln (Kugelgleichungen)

Um eine Kugel zu beschreiben, bestehen in diesem Unterprogramm folgende Möglichkeiten:

Definition der Kugel in vektorieller Form:

Kugel - Gleichung - 1

Definition der Kugel durch vier auf ihr liegende Punkte:

A(x;y;z), B(x;y;z), C(x;y;z) und D(x;y;z).

Bedeutung der im Programm verwendeten Bezeichnungskürzel

Die Bedeutungen der im Programm verwendeten Bezeichungskürzel sind folgende:

E: Ebene in Punkt-Richtungs-, Normalen-,
sowie Koordinatenform
P1,P2,P3: Ebenenpunkte bzw. Punkt
d: Abstand einer Ebene vom Koordinatenursprung
Sx,Sy,Sz: Spurpunkte einer Ebene
n: Normalenvektor einer Ebene
MP: Mittelpunkt einer Kugel
x,y,z: Koordinaten des Mittelpunkts einer Kugel
r: Radius einer Kugel
A,B,C,D: Auf einer Kugel liegende Punkte
 

Screenshots

 

MathProf - Kugel - Kugel - Kugelgleichung - Schnittebene - Schnittkreis - Lagebeziehung Kugel - Abstand Ebene-Kugel - 1

MathProf - Kugel - Kugel - Kugelgleichung - Schnittebene - Schnittkreis - Lagebeziehung Kugel-Kugel - 2

MathProf - Kugel - Kugel - Kugelgleichung - Schnittebene - Schnittkreis - Lagebeziehung Kugel-Kugel - 3

MathProf - Kugel - Kugel - Kugelgleichung - Schnittebene - Schnittkreis - Lagebeziehung Kugel-Kugel - 4

 
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Berechnung und Darstellung

 

Um die Lage zweier Kugeln zu untersuchen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Wählen Sie, durch die Aktivierung des Kontrollschalters Kugel K1 in vekt. Form bzw. Kugel K1 in 4-Punkte-Form, in welcher Form die erste Kugel beschrieben werden soll und geben Sie die erforderlichen Koeffizienten bzw. Koordinatenwerte in die dafür vorgesehenen Felder ein. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
     
  2. Geben Sie die Werte der Koeffizienten der zweiten Kugel K2 in vekt. Form in die entsprechenden Felder ein.
     
  3. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen.
     
  4. Möchten Sie sich die Lage der Kugeln grafisch veranschaulichen, so aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch und bedienen die Schaltfläche Darstellen.

Das Programm untersucht, ob sich die Kugeln schneiden, und gibt den Radius, sowie den Mittelpunkt des Schnittkreises der Kugeln aus. Darüber hinaus ermittelt es die Gleichung der Schnittebene in Koordinatenform. Möchten Sie über Details der Schnittebene der beiden Kugeln informiert werden, so bedienen Sie die Schaltfläche Details Ebene.

Nachfolgend aufgeführte Details einer Ebene werden hierbei ausgegeben:

  • Abstand d der Ebene vom Koordinatenursprung
  • Spurpunkte Sx,Sy,Sz (Durchstoßpunkte) der Ebene
  • Normalenvektor n der Ebene
  • Definition der Ebene in 3-Punkte-, Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie in Koordinatenform

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Darstellung - Optionen


Im Formularbereich Darstellung - Optionen können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • N-Vektor: Darstellung des Normalenvektors der ermittelten Schnittebene (falls vorhanden) ein-/ausschalten
  • Schnittebene: Darstellung der Schnittebene der Kugeln (falls vorhanden) ein-/ausschalten
  • Schnittkreis: Darstellung der Schnittkreises (falls vorhanden) der beiden Kugeln ausgeben
  • Potenzebene: Darstellung der Potenzebene der Kugeln (falls vorhanden) ausgeben
  • Kugelpunkte: Darstellung der auf der Kugel liegenden Punkte ein-/ausschalten
    (nur verfügbar wenn Kugel in 4-Punkte-Form gewählt wird)
  • Kugelpunkte beschriften: Beschriftung der auf der Kugel liegenden Punkte ein-/ausschalten (nur verfügbar, wenn Kugel in 4-Punkte-Form gewählt wird)
  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kugel - Gerade (3D)

Kugel - Ebene - Punkt (3D)

Ebene in Normalen-Form (3D)

 

Beispiele


Beispiel 1 - Schnitt zweier Kugeln in vekt. Form:

Es gilt zu ermitteln, ob sich zwei Kugeln, welche in vektorieller Form definiert sind, schneiden. Trifft dies zu, so ist die Gleichung der Schnittebene (in Koordinatenform) der beiden Kugeln zu bestimmen.

Nach Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition einer Kugel K1 in vekt. Form

Kugel - Gleichung - 2

und der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der zweiten Kugel K2 in vekt. Form

Kugel - Gleichung - 3

ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen:

Beide Kugeln schneiden sich. Die Gleichung der Schnittebene (in Koordinatenform) der beiden Kugeln lautet:

E: 8·X + 4·Y + 2·Z = -4

Die Koordinaten des Mittelpunkts des Schnittkreises sind M (1,381 / -2,81 / -1,905). Der Radius des Schnittkreises beträgt r = 1,676.

 

Um die Eigenschaften der Schnittebene der beiden Kugeln zu erfahren, bedienen Sie die Schaltfläche Details Ebene. Hierbei werden ausgegeben:

 

Die Gleichung der Schnittebene E in vektorieller Schreibweise, in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

Kugel - Gleichung - 4

 

Die Gleichung der Schnittebene E in vektorieller Schreibweise, in Normalen-Form lautet:

 

Kugel - Gleichung - 5
 

Drei Punkte, die auf der Schnittebene E liegen sind:

P1 (-0,5 / 0 / 0)

P2 (-1 / 1 / 0)

P3 (-0,75 / 0 / 1)

 

Der Abstand der Schnittebene E vom Koordinatenursprung beträgt d = 0,436.

Die Spurpunkte der Schnittebene E sind:

Sx (-0,5 / 0 / 0)

Sy (0 / -1 / 0)

Sz (0 / 0 / -2)

 

Der Normalenvektor der Schnittebene E lautet:

 

Kugel - Gleichung - 6

Der Betrag des Normalenvektors der Schnittebene E besitzt den Wert 9,165.
 

Beispiel 2 - Schnitt einer Kugel in 4-Punkte-Form und einer Kugel in vekt. Form:

Es gilt zu ermitteln, ob sich zwei Kugeln schneiden. Kugel K1 wird durch die vier auf ihrer Peripherie liegende Punkte A (-4 / 1 / 4), B (0 / 1 / 2), C (1 / 0 / 0) und D (-3 / 1 / 2) beschrieben. Kugel K2 ist in vekt. Form wie folgt definiert:

Kugel - Gleichung - 7

Schneiden sich die beiden Kugeln, so ist die Gleichung der Schnittebene (in Koordinatenform) der beiden Kugeln zu bestimmen.

Nach Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte zur Definition einer Kugel K1 in 4-Punkte-Form und der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der zweiten Kugel K2 in vekt. Form, ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen Folgendes.

Beide Kugeln schneiden sich. Die Gleichung der Schnittebene (in Koordinatenform) der beiden Kugeln lautet:

E: -5·X + 19·Y - 12·Z = 20

Die Koordinaten des Mittelpunkts des Schnittkreises sind M (-3,415 / -0,223 / -0,596). Der Radius des Schnittkreises beträgt r = 0,864.

 

Um die Eigenschaften der Schnittebene der beiden Kugeln zu erfahren, bedienen Sie die Schaltfläche Details Ebene. Hierbei werden ausgegeben:

 

Die Gleichung der Schnittebene E in vektorieller Schreibweise, in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

Kugel - Gleichung - 8

 

Die Gleichung der Schnittebene E in vektorieller Schreibweise, in Normalen-Form lautet:

 

Kugel - Gleichung - 9
 

Drei Punkte, die auf der Schnittebene E liegen, sind:

P1 (-4 / 0 / 0)

P2 (-0,2 / 1 / 0)

P3 (-6,4 / 0 / 1)

 

Der Abstand der Schnittebene E vom Koordinatenursprung beträgt d = 0,869.

Die Spurpunkte der Schnittebene E sind:

Sx (-4 / 0 / 0)

Sy (0 / 1,053 / 0)

Sz (0 / 0 / -1,667)

 

Der Normalenvektor der Schnittebene E lautet:

 

Kugel - Gleichung - 10
 

Betrag des Normalenvektors der Schnittebene E: 4,604
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Kugel - Kugeln - Schnittkreis - Kugelgleichung - Vektorielle Gleichung - Vektorrechnung - Darstellen - Zwei Kugeln - Punkte - Kugeln im Raum - 3d - Koordinaten - Räumliches Koordinatensystem - Kartesisches Koordinatensystem - Raumkoordinaten - Raumkoordinatensystem - Beispiel - Abstand Ebene-Kugel
MathProf - Kugel - Kugeln - Schnittkreis - Kugelgleichung - Vektorielle Gleichung - Schnittebene - Potenzebene - Punkte - 3d - Koordinaten - Räumliches Koordinatensystem - Kartesisches Koordinatensystem - Raumkoordinaten - Raumkoordinatensystem - Beispiel - Abstand - Ebene-Kugel
MathProf - Kugel - Kugeln - Schnittkreis - Kugelgleichung - Vektorielle Gleichung - Vektorrechnung - Darstellen - Zwei Kugeln - Punkte - Kugeln im Raum 3d - Koordinaten - Räumliches Koordinatensystem - Kartesisches Koordinatensystem - Raumkoordinaten - Raumkoordinatensystem - Beispiel - Abstand Ebene-Kugel

 

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen


Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
    

Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Kugel zu finden.

  
Implementierte Module zum Themenbereich Vektoralgebra

 

Gerade und Vektoren - Vektorielle Linearkombination - Vektorielles Teilverhältnis - Vektoraddition in der Ebene - Resultierende - Komponentendarstellung (3D) - Vektorprodukt (3D) - Skalarprodukt (3D) - Spatprodukt (3D) - Vektorprojektion (3D) - Tripelprodukt (3D) - Numerische Vektoraddition im Raum - Grafische Vektoraddition im Raum (3D) - Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Gerade in 2-Punkte-Form (3D) - Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Ebene in 3-Punkte-Form (3D) - Ebene in Normalen-Form (3D) - Ebene in Koordinaten-Form (3D) - Zwei Ebenen (3D) - Kugel - Gerade (3D) - Kugel - Ebene - Punkt (3D) - Kugel - Kugel (3D)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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