MathProf - Pellsche Gleichung - Binomische Gleichungen - Diophantische Gleichung

MathProf - Mathematik-Software - Pellsche Gleichung | Binomische und diophantische Gleichung

Fachthemen: Pellsche Gleichung - Binomische Gleichung - Diophantische Gleichung

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen und Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Pellsche Gleichung | Binomische und diophantische Gleichung

Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen spezieller Gleichungen.

Zu diesen gehören binomische Gleichungen, diophantische Gleichungen und Pellsche Gleichungen. Der Rechner gibt die ermittelten Lösungen dieser in einer Tabelle aus.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Diophantische Gleichung - Binomische Gleichung - ggT - Pellsche Gleichung - Lösen - Berechnen - Lösungen - Rechner - Formel - Tabelle - Binomische Gleichungen höheren Grades

 
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Spezielle Gleichungen

 

Im kleinen Unterprogramm [Algebra] - Spezielle Gleichungen kann nach Lösungen binomischer und diophantischer Gleichungen, sowie einer Pellschen Gleichung gesucht werden.

 

MathProf - Binomische Gleichung - Diophantische Gleichung - Pellsche Gleichung - Diophantische Gleichungen

 

 

Binomische Gleichungen


Zur Lösung binomischer Gleichungen n-ten Grades, wählen Sie das Registerblatt Binomische und Diophantische Gleichung, geben die Koeffizienten der Gleichung in die dafür vorgesehenen (linksseitig angeordneten) Felder ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen.

Das Programm ermittelt die Lösungen binomischer Gleichungen bis 500-ten Grades.

Diophantische Gleichungen


Lineare diophantische Gleichungen stellen sich in der Form

a·x + b·y = c   mit c = ggT(a,b)

dar.

Diophantische Gleichungen mit zwei Variablen sind lösbar mit unendlich vielen Lösungen, wenn der größte gemeinsame Teiler (ggT) von a und b ein Teiler von c ist.

Mit deren Hilfe können beispielsweise Punkte auf einer Geraden berechnet werden, die ausschließlich ganzzahlige Koordinatenwerte besitzen.

Wählen Sie das Registerblatt Binomische und Diophantische Gleichung. Nach der Eingabe der Werte für a und b in die entsprechenden (rechtsseitig angeordneten) Felder, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm die Lösungen der diophantischen Gleichung und gibt diese (sofern vorhanden) in der dafür zur Verfügung stehenden Tabelle aus.

Pellsche Gleichungen

 

Als Pellsche Gleichung (nach John Pell,1610 – 1685) wird eine diophantische Gleichung der Form x² - dy² = 1 bezeichnet, wobei d positiv, ganzzahlig sein muss.
 

Ist d eine Quadratzahl, so besitzt die Gleichung nur die trivialen Lösungen [+(-)1 | 0] und [0 | +(-)1] für d = 1. Andernfalls existieren unendlich viele Lösungen, welche mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung von d bestimmbar sind.

Ist eine Lösung x0,y0 bekannt, so lassen sich weitere Lösungen für d mit Hilfe folgender Zusammenhänge bestimmen. Es gilt:

 

x(1) = 2 x(0) x(0) - 1

y(1) = 2 x(0) y(0) 

 

x(n) = 2 x(0) x(n-1) - x(n-2)

y(n) = 2 x(0) y(n-1) - y(n-2)

 

Geometrisch betrachtet, bedeutet die Suche nach Lösungen dieser Gleichung, eine Suche nach ganzzahligen Gitterpunkten auf einer Hyperbel.
 

Nach einer Wahl des Registerblatts Pellsche Gleichung, der Eingabe eines ganzzahligen Wertes für den Parameter d in das Feld Zahl D und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

Hinweis:

Da die Ermittlung der Lösungen dieser Gleichung sehr zeitaufwändig ist, können Sie Berechnungen jederzeit mit der Taste ESC abbrechen.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Beispiele


Beispiel 1 - Binomische Gleichung:

Es gilt, die Lösungen der binomischen Gleichung

(2·x-y)³

ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Binomische und Diophantische Gleichung.

 

Nach der Eingabe der Werte 2, 1 und 3 in die dafür vorgesehenen Felder und einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen wird folgendes Ergebnis ausgegeben:

(2*X + 1*Y)^3 = 8*X^3 + 12*X^2*Y + 6*X*Y^2 + 1*Y^3
 

Beispiel 2 - Diophantische Gleichung:

Es sind die Lösungen der diophantischen Gleichung 2·x+4·y = 2 zu ermitteln.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Wählen Sie das Registerblatt Binomische und Diophantische Gleichung.

Nach der Eingabe der Werte 2, 4 und 2 in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm diese mit:

X = 1+2·K

Y = 0-1·K
 

Beispiel 3 - Pellsche Gleichung:

Wählen Sie das Registerblatt Pellsche Gleichung und geben Sie in das Feld Zahl D den Wert 5 ein. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen kann aus den aufgelisteten Ergebnissen entnommen werden:

 

Hat die Pellsche Gleichung für d = 5 die Minimallösung (x0 = 9;y0 = 4), so ergeben sich weitere Lösungen mit:

 

x(0) = 9

y(0) = 4

 

x(1) = 161

y(1) = 72   

 

x(2) = 2889

y(2) = 1292
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Binomische Gleichungen - Diophantische Gleichung - Pellsche Gleichung - Lösung - Lösen - Funktion - ggT - Rechner - Lösungen - Beispiel

MathProf - Binomische Gleichungen - Diophantische Gleichung - Pellsche Gleichung - Lösung - Lösen - Funktion - ggT - Rechner - Lösungen - Beispiel

  

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Binomische Formel
Wikipedia - Pellsche Gleichung
Wikipedia - Diphantische Gleichung

 
Implementierte Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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