MathProf - Pellsche Gleichung - Binomische Gleichung

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Spezielle Gleichungen
(Binomische Gleichung - Diophantische Gleichung - Pellsche Gleichung)

 

Im kleinen Unterprogramm [Algebra] - Spezielle Gleichungen kann nach Lösungen binomischer und diophantischer Gleichungen, sowie einer Pellschen Gleichung gesucht werden.

 

MathProf - Gleichungen - Binomisch

 

 

Binomische Gleichungen


Zur Lösung binomischer Gleichungen n-ten Grades, wählen Sie das Registerblatt Binomische und Diophantische Gleichung, geben die Koeffizienten der Gleichung in die dafür vorgesehenen (linksseitig angeordneten) Felder ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen.

Das Programm ermittelt die Lösungen binomischer Gleichungen bis 500-ten Grades.

Diophantische Gleichungen


Lineare diophantische Gleichungen stellen sich in der Form

a·x + b·y = c   mit c = ggT(a,b)

dar.

Diophantische Gleichungen mit zwei Variablen sind lösbar mit unendlich vielen Lösungen, wenn der größte gemeinsame Teiler (ggT) von a und b ein Teiler von c ist.

Mit deren Hilfe können beispielsweise Punkte auf einer Geraden berechnet werden, die ausschließlich ganzzahlige Koordinatenwerte besitzen.

Wählen Sie das Registerblatt Binomische und Diophantische Gleichung. Nach der Eingabe der Werte für a und b in die entsprechenden (rechtsseitig angeordneten) Felder, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm die Lösungen der diophantischen Gleichung und gibt diese (sofern vorhanden) in der dafür zur Verfügung stehenden Tabelle aus.

Pellsche Gleichungen

 

Als Pellsche Gleichung (nach John Pell,1610 – 1685) wird eine diophantische Gleichung der Form x² - dy² = 1 bezeichnet, wobei d positiv, ganzzahlig sein muss.
 

Ist d eine Quadratzahl, so besitzt die Gleichung nur die trivialen Lösungen [+(-)1 | 0] und [0 | +(-)1] für d = 1. Andernfalls existieren unendlich viele Lösungen, welche mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung von d bestimmbar sind.

Ist eine Lösung x0,y0 bekannt, so lassen sich weitere Lösungen für d mit Hilfe folgender Zusammenhänge bestimmen. Es gilt:

 

x(1) = 2 x(0) x(0) - 1

y(1) = 2 x(0) y(0) 

 

x(n) = 2 x(0) x(n-1) - x(n-2)

y(n) = 2 x(0) y(n-1) - y(n-2)

 

Geometrisch betrachtet, bedeutet die Suche nach Lösungen dieser Gleichung, eine Suche nach ganzzahligen Gitterpunkten auf einer Hyperbel.
 

Nach einer Wahl des Registerblatts Pellsche Gleichung, der Eingabe eines ganzzahligen Wertes für den Parameter d in das Feld Zahl D und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

Hinweis:

Da die Ermittlung der Lösungen dieser Gleichung sehr zeitaufwändig ist, können Sie Berechnungen jederzeit mit der Taste ESC abbrechen.

 

Beispiele


Beispiel 1 - Binomische Gleichung:

Es gilt, die Lösungen der binomischen Gleichung

(2·x-y)³

ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Binomische und Diophantische Gleichung.

 

Nach der Eingabe der Werte 2, 1 und 3 in die dafür vorgesehenen Felder und einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen wird folgendes Ergebnis ausgegeben:

(2*X + 1*Y)^3 = 8*X^3 + 12*X^2*Y + 6*X*Y^2 + 1*Y^3

Beispiel 2 - Diophantische Gleichung:

Es sind die Lösungen der diophantischen Gleichung 2·x+4·y = 2 zu ermitteln.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Wählen Sie das Registerblatt Binomische und Diophantische Gleichung.

Nach der Eingabe der Werte 2, 4 und 2 in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm diese mit:

X = 1+2·K

Y = 0-1·K
 

Beispiel 3 - Pellsche Gleichung:

Wählen Sie das Registerblatt Pellsche Gleichung und geben Sie in das Feld Zahl D den Wert 5 ein. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen kann aus den aufgelisteten Ergebnissen entnommen werden:

 

Hat die Pellsche Gleichung für d = 5 die Minimallösung (x0 = 9;y0 = 4), so ergeben sich weitere Lösungen mit:

 

x(0) = 9

y(0) = 4

 

x(1) = 161

y(1) = 72   

 

x(2) = 2889

y(2) = 1292
 

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