MathProf - Irrationale Zahlen

 

Online-Hilfe für das Modul
zur grafischen Veranschaulichung der Methode der Bildung
irrationaler Zahlen mit Hilfe des Satzes des Pythagoras

Im kleinen Unterprogramm [Algebra] - [Sonstiges] - Irrationale Zahlen kann die Methode der Bildung irrationaler Zahlen mit Hilfe des Satzes des Pythagoras grafisch veranschaulicht werden.

Zahlen, die auf dem Zahlenstrahl Lücken füllen, werden als irrationale Zahlen bezeichnet. Diese ergänzen die auf dem Zahlenstrahl, zwischen rationalen Zahlen, existierenden Lücken. Mit Hilfe des Satz des Pythagoras können Wurzeln aus natürlichen Zahlen grafisch dargestellt werden. Zunächst wird ein Dreieck mit den Seitenlängen der Katheten von 1 dargestellt. Hieraus ergibt sich der Zusammenhang (Pythagoras):

Wird auf dieser Hypotenuse ein weiteres rechtwinkliges Dreieck konstruiert, wobei diese Hypotenuse zur Kathete des neuen rechtwinkligen Dreiecks wird, so ergibt sich für die Länge der Hypotenuse des neuen Dreiecks der Wert:

Durch diese Methode können somit alle Wurzeln natürlicher Zahlen erzeugt werden.

Auf dem Bedienformular können Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Basis eine entsprechende Zahl n einstellen. Daraufhin werden die Hypotenusen der Dreiecke konstruiert und der zuletzt resultierende Wert wird auf die x-Achse projiziert.

Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Koordinaten: Beschriftung von Koordinatenwerten ein-/ausschalten
• Punkte: Anzeige von Punkten ein-/ausschalten

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Wird durch eine Positionierung des Rollbalkens Basis für die Basis der Wurzel der Wert 5 eingestellt, so werden nach oben geschildertem Prinzip aufeinanderfolgend vier rechtwinklige Dreiecke konstruiert. Der Hypotenusen-Eckpunkt des zuletzt erzeugten Dreiecks besitzt die Koordinaten (1,631 / 1,53). Die Hypotenuse des zuletzt erzeugten Dreiecks wird (mit Hilfe des dargestellten Kreisbogens) auf die x-Achse projiziert. Die Länge dieser Hypotenuse beträgt 2,236..., was dem Wert √ 5 entspricht.
 

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