MathProf - Gauß-Algorithmus - Matrix - Eliminationsverfahren - LGS - Gauß-Jordan

MathProf - Mathematik-Software - Gaußscher Algorithmus | Lineares Gleichungssystem

Fachthema: Gaußscher Algorithmus

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Gaußscher Algorithmus | Lineares Gleichungssystem

Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen der Lösungen linearer Gleichungssysteme (LGS) mit bis zu acht Unbekannten mit Hilfe des Gauß-Verfahrens.

Der in diesem Teilprogramm eingebundene
Rechner ermöglicht die schrittweise Bildung einer Matrix (Lösungsweg) mit frei festlegbaren Koeffizienten zur Ermittlung der Lösungen eines linearen Gleichungssystems unter Verwendung des Gauß-Algorithmus (Gaußsches Eliminationsverfahren) und zeigt den hierbei durchlaufenen Rechenweg auf.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Rechner für den Gauß-Algorithmus - Gauß-Verfahren - Methode - Gleichsetzungsverfahren - Koeffizientenmatrix - Gaußsches Eliminationsverfahren - Additionsverfahren - Gauß-Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme - Gaußsches Verfahren zur Lösung von LGS - Lineares Gleichungssystem lösen - Gauß-Jordan-Verfahren - Gauss-Jordan-Methode - Anwendung des Additionsverfahrens - Algorithmen - Lösungsmenge - Lösbarkeit - Unlösbare Gleichungssysteme - Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme - Zeilenumformung - Zeilentausch - Nullzeile - Zeilenstufenform - Stufenform - Trapezform - Zeilen tauschen - Gaußsches Lösungsverfahren für LGS - LGS lösen - Lösungsweg - Matrix - Systematisches Lösen linearer Gleichungssysteme - Obere Dreiecksform - Lösen - Berechnen - Unendlich viele Lösungen - Zeilenstufenform

 
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 Gaußscher Algorithmus

 

Im Unterprogramm [Algebra] - Gaußscher Algorithmus kann die schrittweise Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Hilfe des Gauß-Verfahrens nachvollzogen werden (Gaußsches Eliminierungsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme).

 

MathProf - Gauß Algorithmus - Gauß-Verfahren - Lineares Gleichungssystem - LGS - Matrix - Koeffizienten - Gaußscher Algorithmus - Gleichungssystem lösen - Eliminationsverfahren

 

Das Lösungsverfahren Gaußscher Algorithmus (Gaußsches Eliminierungsverfahren) beruht auf der Bildung einer Matrix in Trapezform (Diagonalform) aus den Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems. Dieses Unterprogramm bildet diese Matrix schrittweise. Hierbei wird eine Zeile bei jedem Schritt derart bearbeitet, dass in Zeile n die n-te Variable den Koeffizientenwert 1 besitzt. Es gilt jedoch zu beachten, dass hierbei sowohl die darunter angeordneten, als auch die darüber angeordneten Zeilen bearbeitet werden.

Ein lineares Gleichungssystem ist nur dann lösbar, wenn die Anzahl der Gleichungen n mit der Anzahl der Variablen n genau übereinstimmt, diese sich nicht widersprechen und nicht linear voneinander abhängig sind. Ein derartiges System besitzt entweder eine eindeutige Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Beinhaltet das Gleichungssystem eine Nullzeile, so existiert keine Lösung.

In diesem Modul können Sie die Bildung der Matrix in Trapezform mit linearen Gleichungssystemen (LGS) bis 8. Grades nachfolgend aufgeführter Form nachvollziehen:

a(1,1) · x(1) + ... + a(1,n) · x(n) = b(1)

 

....

 

....

 

....

 

a(n,1) · x(1) + ... + a(n,n) · x(n) = b(n)

Die erweiterte Koeffizientenmatrix eines zu lösenden linearen Gleichungssystems vom Grad 3 lautet beispielsweise:

MathProf - Lineares Gleichungssystem - LGS - Matrix

 

Berechnung


Vor der Eingabe von Zahlenwerten muss der Grad des zu berechnenden Gleichungssystems durch die Benutzung des Steuerelements Grad des LGS festgelegt werden. Bei jeder Bedienung dieses Steuerelements werden alle Eingaben gelöscht.

Nach der Eingabe der entsprechenden Koeffizientenwerte (linke Seite) und der Absolutglieder (rechte Seite), sowie einer Bedienung des Schalters Berechnen, werden die einzelnen Schritte zur Bildung der Matrix ausgegeben. Wird mit Hilfe des eingesetzten Verfahrens keine Lösung gefunden, so erhalten Sie eine entsprechende Meldung.

Hinweis:

Es gilt darauf zu achten, dass das zu berechnende Gleichungssystem vor einer Eingabe der Koeffizientenwerte auf die oben aufgeführte Form gebracht werden muss (alle Absolutglieder des LGS müssen rechts des Gleichheitszeichens stehen).

 

Allgemein

 

Über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten speichern können Sie die Koeffizienten des LGS speichern und bei Bedarf über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten laden wieder laden.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Themenbereiche

 

Lineares Gleichungssystem

Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem

Überbestimmtes lineares Gleichungssystem

Komplexes Gleichungssystem

 

Beispiel


Es gilt, die reellen Lösungen des nachfolgend aufgestellten linearen Gleichungssystems mit Hilfe des Eliminationsverfahrens ermitteln zu lassen:

-3·x1 - 1·x2 - 4·x3 = 4

3·x1 + 3·x2 + 2·x3 = 0

4·x1 + 3·x2 + 5·x3 = 3

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach Festlegung des Grades des LGS auf 3 und der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die Tabelle Koeffizienten:

 

 -3  -1  -4
 3  3  2
 4  3  5


sowie der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die Tabelle Absolutglieder:

4

0

3
 

werden die zur Lösung des Systems notwendigen Schritte nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgendermaßen durchlaufen:

Schritt 1 (Urzustand des LGS):
 

 x1  x2  x3    Absolutglied
 -3  -1  -4 =>  4
 3  3  2 =>  0
 4  3  5 =>  3


Schritt 2:
 

 x1  x2  x3    Absolutglied
 -3  -1  -4 =>  4
 0  2  -2 =>  -4
 0  1,666  -0,333 =>  8,333


Schritt 3:
 

 x1  x2  x3    Absolutglied
 -3  -1  -4 =>  4
 0  -2  -2 =>  4
 0  0  1,333 =>  5


Schritt 4 (Lösung):
 

 x1  x2  x3    Absolutglied
 1  0,333  1,333 =>  1,333
 0  1  -1 =>  2
 0  0  1 =>  3,75


Wie hieraus zu entnehmen ist, wurde das Gleichungssystem auf folgende Form gebracht (Trapezform):

1·x1 + 0,333·x2 + 1,333·x3 = 1,333

0·x1 + 1·x2 - 1·x3 = 2

0·x1 + 0·x2 + 1·x3 = 3,75
 

Die Variable x3 besitzt demzufolge die Lösung x3 = 3,75. Durch Einsetzverfahren können nun die restlichen Lösungen des LGS ermittelt werden.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Kurzinfos zum Themengebiet Analysis Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie Kurzinfos zum Themengebiet Algebra Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Gaußsches Eliminationsverfahren zu finden. 

 
Implementierte Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen und wissenschaftlichen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozessabläufe zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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