MathProf - Gaußscher Algorithmus - Gauß-Algorithmus - Matrix - Eliminationsverfahren

MathProf - Mathematik-Software - Gaußscher Algorithmus | Lineares Gleichungssystem
 
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Online-Hilfe für das Modul
zur Durchführung der schrittweisen Ermittlung
der Lösungen linearer Gleichungssysteme (LGS) mit bis zu acht Unbekannten mit Hilfe des Gauß-Verfahrens (lineares Gleichungssystem lösen). Dieses Modul ermöglicht die schrittweise Bildung der entsprechenden Matrix mit den festgelegten Koeffizienten unter Verwendung des Gauß-Algorithmus (Gaußsches Eliminationsverfahren).

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 Gaußscher Algorithmus - Gauß-Algorithmus -
Gaußsches Eliminierungsverfahren - Gauß-Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme - Lineares Gleichungssystem lösen

 

Im Unterprogramm [Algebra] - Gaußscher Algorithmus kann die schrittweise Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Hilfe des Gauß-Verfahrens nachvollzogen werden (Gaußsches Eliminierungsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme).

 

MathProf - Gauß Algorithmus - Gauß-Verfahren - Lineares Gleichungssystem - LGS - Matrix - Koeffizienten - Gaußscher Algorithmus - Gleichungssystem lösen - Eliminationsverfahren


Das Lösungsverfahren Gaußscher Algorithmus (Gaußsches Eliminierungsverfahren) beruht auf der Bildung einer Matrix in Trapezform (Diagonalform) aus den Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems. Dieses Unterprogramm bildet diese Matrix schrittweise. Hierbei wird eine Zeile bei jedem Schritt derart bearbeitet, dass in Zeile n die n-te Variable den Koeffizientenwert 1 besitzt. Es gilt jedoch zu beachten, dass hierbei sowohl die darunter angeordneten, als auch die darüber angeordneten Zeilen bearbeitet werden.

Ein lineares Gleichungssystem ist nur dann lösbar, wenn die Anzahl der Gleichungen n mit der Anzahl der Variablen n genau übereinstimmt, diese sich nicht widersprechen und nicht linear voneinander abhängig sind.

In diesem Modul können Sie die Bildung der Matrix in Trapezform mit linearen Gleichungssystemen (LGS) bis 8. Grades nachfolgend aufgeführter Form nachvollziehen:

a(1,1) · x(1) + ... + a(1,n) · x(n) = b(1)

 

....

 

....

 

....

 

a(n,1) · x(1) + ... + a(n,n) · x(n) = b(n)

 

Berechnung


Vor der Eingabe von Zahlenwerten muss der Grad des zu berechnenden Gleichungssystems durch die Benutzung des Steuerelements Grad des LGS festgelegt werden. Bei jeder Bedienung dieses Steuerelements werden alle Eingaben gelöscht.

Nach der Eingabe der entsprechenden Koeffizientenwerte (linke Seite) und der Absolutglieder (rechte Seite), sowie einer Bedienung des Schalters Berechnen, werden die einzelnen Schritte zur Bildung der Matrix ausgegeben. Wird mit Hilfe des eingesetzten Verfahrens keine Lösung gefunden, so erhalten Sie eine entsprechende Meldung.

Hinweis:

Es gilt darauf zu achten, dass das zu berechnende Gleichungssystem vor einer Eingabe der Koeffizientenwerte auf die oben aufgeführte Form gebracht werden muss (alle Absolutglieder des LGS müssen rechts des Gleichheitszeichens stehen).

 

Allgemein

 

Über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten speichern können Sie die Koeffizienten des LGS speichern und bei Bedarf über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten laden wieder laden.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem

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Komplexes Gleichungssystem

 

Beispiel


Es gilt, die reellen Lösungen des nachfolgend aufgestellten linearen Gleichungssystems mit Hilfe des Eliminationsverfahrens ermitteln zu lassen:

-3·x1 - 1·x2 - 4·x3 = 4

3·x1 + 3·x2 + 2·x3 = 0

4·x1 + 3·x2 + 5·x3 = 3

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach Festlegung des Grades des LGS auf 3 und der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die Tabelle Koeffizienten:

 

 -3  -1  -4
 3  3  2
 4  3  5


sowie der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die Tabelle Absolutglieder:

4

0

3
 

werden die zur Lösung des Systems notwendigen Schritte nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgendermaßen durchlaufen:

Schritt 1 (Urzustand des LGS):
 

 x1  x2  x3    Absolutglied
 -3  -1  -4 =>  4
 3  3  2 =>  0
 4  3  5 =>  3

Schritt 2:
 

 x1  x2  x3    Absolutglied
 -3  -1  -4 =>  4
 0  2  -2 =>  -4
 0  1,666  -0,333 =>  8,333

Schritt 3:
 

 x1  x2  x3    Absolutglied
 -3  -1  -4 =>  4
 0  -2  -2 =>  4
 0  0  1,333 =>  5

Schritt 4 (Lösung):
 

 x1  x2  x3    Absolutglied
 1  0,333  1,333 =>  1,333
 0  1  -1 =>  2
 0  0  1 =>  3,75


Wie hieraus zu entnehmen ist, wurde das Gleichungssystem auf folgende Form gebracht (Trapezform):

1·x1 + 0,333·x2 + 1,333·x3 = 1,333

0·x1 + 1·x2 - 1·x3 = 2

0·x1 + 0·x2 + 1·x3 = 3,75
 

Die Variable x3 besitzt demzufolge die Lösung x3 = 3,75. Durch Einsetzverfahren können nun die restlichen Lösungen des LGS ermittelt werden.
 

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