MathProf - Parabel (Quadratische Funktion)

MathProf - Mathematik-Software - Quadratische Funktion | Nullstellen | Parameter
 
MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Quadratische Funktion | Nullstellen | Parameter

Online-Hilfe für das Modul
zur Berechnung und Darstellung sowie der Analyse der Funktionen von Parabeln. Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform,
in allgemeiner Form, Nullstellenform(Produktform) oder Normalform (PQ-Formel) und Geraden (lineare Funktionen). Es erfolgt u.a. die Bestimmung der Nullstellen, der Diskriminante, der Parameter p und q, des Scheitelpunkts und der Schnittpunkte der definierten Parabel mit den Koordinatenachsen.

Parabelgleichung (Quadratische Gleichung - Lineare Gleichung)

 

Um detaillierte Untersuchungen linearer, wie quadratischer Funktionen (Geraden und Parabeln) zu ermöglichen, wurde das Modul [Analysis] - [Parabel und Gerade] - Parabelgleichungen (Quadratische Funktionen) implementiert.

 

MathProf - Parabelgleichung - Quadratische Funktion - Quadratische Gleichung - Graph - Diskriminante

 

MathProf - Parabel - Normalform - Normalparabel - Lineare Funktion - Parabelgleichungen - PQ-Gleichung


Dieses Unterprogramm erlaubt hierbei die Untersuchung von Parabelgleichungen (Geradengleichungen) folgender Arten:

  • Allgemeine Form der Parabel: y = a·x²+b·x+c
  • Normalform (Normalparabel - PQ-Gleichung) der Parabel: y = x²+p·x+q
  • Scheitelpunktform der Parabel: y = (x+d)²+e

  • Nullstellenform (Produktform) der Parabel: y = a·(x-x1)·(x-x2)

Es werden ermittelt:

  • Art der Funktion

bei der Analyse einer Gerade:

  • Nullstelle der Gerade
  • Schnittpunkt der Gerade mit y-Achse

bei der Analyse einer Parabel:

  • Scheitelpunkt der Parabel
  • Diskriminante der Parabel
  • Parameter p und q (PQ-Formel) der Parabel
  • Nullstelle(n) der Parabel
  • Schnittpunkt der Parabel mit y-Achse
  • Öffnungsrichtung der Parabel
  • Fläche (Flächeninhalt) zwischen x-Achse und Parabel
  • Wertebereich der Funktion

und bei der Analyse zweier Funktionen zusätzlich:

  • Schnittpunkt(e) beider Funktionen
  • Tangenten in Schnittpunkten der Funktionen

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Parabel - Scheitelpunkt - Quadratische Funktion - Normalparabel - Parabelgleichung - Diskriminante

 

MathProf - Parabel - Nullstellen - Quadratische Funktion - Lineare Funktion - Gleichung - PQ-Formel


Eine Analyse von Parabelgleichungen können Sie folgendermaßen durchführen:

  1. Möchten Sie Untersuchungen mit nur einer Gleichung durchführen, so wählen Sie die Registerkarte Eine Gleichung, sollen hingegen zwei Gleichungen untersucht werden, so aktivieren Sie die Registerkarte Zwei Gleichungen.
     
  2. Legen Sie durch die Aktivierung der Kontrollschalter Allgemeine Form, Scheitelpunktform, Normalform oder Nullstellenform die Art der Funktion(en) fest, mit welchen Sie Untersuchungen durchführen möchten.
     
  3. Geben Sie die Koeffizienten der entsprechenden Gleichung(en) in die dafür vorgesehenen Felder ein.
     
  4. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen werden die Zusammenhänge grafisch ausgegeben.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular


MathProf - Parabel - Schnittpunkt - Nullstellen - Scheitelpunkt - Gleichung - Funktion - Graph   MathProf - Parabel - Quadratische Funktion - Normalparabel - Nullstellen - Scheitel - PQ-Formel

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Nullstellen: Markierung der Nullstellen der Funktionen ein-/ausschalten
  • Schnittpunkte: Markierung der Schnittpunkte der Funktionen ein-/ausschalten
  • Punktbeschr.: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Scheitelpunkte: Anzeige der Scheitelpunkte von Parabeln ein-/ausschalten
  • SP mit Y-Achse: Anzeige der Schnittpunkte der Funktionen mit der Y-Achse ein-/ausschalten
  • Tangenten in SP: Anzeige der Tangenten in den Schnittpunkten der Funktionen ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Parabelgleichungen - Interaktiv

Parabel und Gerade - Interaktiv

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Mathematische Funktionen I

 

Beispiele


Beispiel 1 - Analyse einer Funktion (Gerade):

Es gilt, die lineare Funktion f(x) = -3·x+2 auf deren Eigenschaften hin untersuchen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie die Registerkarte Eine Gleichung und aktivieren Sie den Kontrollschalter Allgemeine Form. In die Felder zur Definition der Funktion f(x) geben Sie die Werte 0 / -3 / 2 ein. Das Programm gibt nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen aus:

Typ: Gerade

Definierte Gleichung: Y = -3·X+2

 

Nullstelle: N1 (0,667 / 0)

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SP (0 / 2)
 

Beispiel 2 - Analyse einer Funktion (Parabel - Normalform):

Es ist die quadratische Funktion f(x) = x²-0,4·x-1 bzgl. derer Eigenschaften zu untersuchen.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Selektieren Sie die Registerkarte Eine Gleichung und aktivieren Sie den Kontrollschalter Normalform. In die Felder zur Definition der Funktion f(x) tragen Sie die Werte -0,4 und -1 ein. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen gibt das Programm folgende Ergebnisse aus:

 

Typ: Parabel

Definierte Gleichung: Y = X²-0,4·X-1

Gleichung in allgemeiner Form: Y = X²-0,4·X-1

Art: Normalform

 

Scheitelpunkt S (0,2 / -1,04)

Parameter p: -0,4 

Parameter q: -1

Diskriminante: D = 1,04

 

Nullstellen: N1 (-0,82  / 0) und N2 (1,22 / 0)

Fläche zwischen x-Achse und Parabel: A = 1,414 FE

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SY1 (0 / -1)

 

Parabel ist nach oben geöffnet

Wertebereich: -1,04 bis Unendlich
 

Beispiel 3 - Analyse zweier Funktionen (Parabel und Gerade):

Die beiden Funktionen f1(x) = -0,4·x+1 und f2(x) = -0,4·x²+x+3 sind auf deren Eigenschaften hin zu untersuchen und deren Schnittpunkte sind zu ermitteln.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Aktivieren Sie die Registerkarte Zwei Gleichungen und die beiden Kontrollschalter Allgemeine Form für f1(x) und f2(x). Tragen Sie hierauf in die Felder zur Definition der Funktion f1(x) die Werte 0 / -0,4 / 1 ein und versehen Sie die Felder zur Definition der Funktion f2(x) mit den Werten -0,4 / 1 / 3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm:

Funktionsanalyse der Funktion f1(x):

Typ: Gerade

Gleichung: Y = -0,4·X+1

 

Nullstelle: N (2,5 / 0)

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SY1 (0 / 1)

Funktionsanalyse der Funktion f2(x):

Typ: Parabel

Definierte Gleichung: Y = -0,4·X²+1·X+3

Gleichung in allgemeiner Form: Y = -0,4·X²+1·X+3

 

Scheitelpunkt S (1,25 / 3,625)

Parameter p: -2,5

Parameter q: -7,5

Diskriminante: D = 9,063

 

Nullstellen: N1 (-1,76 / 0) und N2 (4,26 / 0)

Fläche zwischen x-Achse und Parabel: A = 14,55 FE

Schnittpunkt der Funktion mit der Y-Achse: SY2 (0 / 3)

 

Parabel ist nach unten geöffnet

Wertebereich: Minus unendlich bis 3,625

Schnittpunkte der Funktionen f1(x) und f2(x):

SP1 (-1,089 / 1,436)

SP2 (4,589 / -0,836)

 

Gleichung der Tangente in SP1: t1: f(x) = 1,8716·X+3,4748

Gleichung der Tangente in SP2: t2: f(x) = -2,6716·X+11,4252
 

Beispiel 4 - Analyse zweier Funktionen (Zwei Parabeln):

Die beiden Funktionen f1(x) = x²-3 und f2(x) = 0,02·(x+8)·(x-8) sind auf deren Eigenschaften hin zu untersuchen. Zudem sind deren Schnittpunkte ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Wahl der Registerkarte Zwei Gleichungen und der Aktivierung der Kontrollschalter Scheitelpunktform für f1(x) und Nullstellenform für f2(x) tragen Sie in die Felder zur Definition der Funktion f1(x) die Werte 0 und -3 ein. Die Felder zur Definition der Funktion f2(x) versehen Sie mit den Werten 0,02 / -8 / 8. Hierauf ermittelt das Programm nach der Durchführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen folgende Resultate:

Funktionsanalyse der Funktion f1(x):

Typ: Parabel

Definierte Gleichung: Y = X²-3

Gleichung in allgemeiner Form: Y = X²-3

Art: Scheitelpunktform

 

Scheitelpunkt: S (0 / -3)

Parameter p: 0

Parameter q: -3

Diskriminante: D = 3

 

Nullstellen: N1 (-1,732 / 0) und N2 (1,732  / 0)

Fläche zwischen x-Achse und Parabel: A = 6,928 FE

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SY1 (0 / -3)

 

Parabel ist nach oben geöffnet

Wertebereich: -3 bis Unendlich

Funktionsanalyse der Funktion f2(x):

Typ: Parabel

Definierte Gleichung: 0,02·(X+8)·(X-8)

Gleichung in allgemeiner Form: Y = 0,02·X²-1,28

Art: Nullstellenform

 

Scheitelpunkt: S (0 / -1,28)

Parameter p: 0

Parameter q: -64

Diskriminante: D = 64

 

Nullstellen: N1 (-8 / 0) und N2 (8 / 0)

Fläche zwischen x-Achse und Parabel: A = 13,653 FE

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SY2 (0 / -1,28)

 

Parabel ist nach oben geöffnet

Wertebereich: -1,28 bis Unendlich

Schnittpunkte der Funktionen f1(x) und f2(x):

SP1 (-1,325 / -1,245)

SP2 (1,325 / -1,245)

 

Gleichungen der Tangenten in SP1:

 

t1: f(x) = -2,6496·X-4,7551

t2: f(x) = -0,053·X-1,3151

 

Gleichungen der Tangenten in SP2:

 

t1: f(x) = 2,6496·X-4,7551

t2: f(x) = 0,053·X-1,3151
 

Module zum Themenbereich Analysis


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