MathProf - Parabel - Quadratische Funktion - Parabeln - Schnittpunkte

MathProf - Mathematik-Software - Quadratische Funktion | Nullstellen | Parameter

Fachthema: Quadratische Funktion - Parabel

MathProf - Software für interaktive Mathematik zur Erarbeitung der Grundlagen der Analysis, zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Quadratische Funktion | Nullstellen | Parameter

Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen, zum Zeichnen sowie zur Analyse der
Eigenschaften von Parabeln und Geraden.

In diesem Unterprogramm lassen sich sowohl quadratische Funktionen in Scheitelpunktform, in allgemeiner Form, Nullstellenform bzw. Produktform (faktorisierte Form, Linearfaktordarstellung, Normalform), wie auch Geraden untersuchen und zeichnen. Funktionen
dieser Art können somit in verschiedenen Darstellungsformen (Parabelformen) definiert werden.

Bei der Durchführung von Berechnungen zu diesem Themengebiet erfolgt unter anderem die Ermittlung der Nullstellen, der Diskriminante, der Parameter p und q, des Scheitelpunkts einer definierten Parabel sowie die entsprechende Öffnungsrichtung dieser.

Auch können die Schnittpunkte zweier Parabeln berechnet werden und es lässt sich sowohl die Schnittpunktberechnung einer Gerade und einer quadratischen Funktion, wie auch diejenige zweier Geraden ausführen.

Des Weiteren werden die Achsenschnittpunkte definierter Parabeln und somit die Schnittpunkte mit der x-Achse und der y-Achse berechnet und dargestellt. Außerdem können die Stauchung bzw. Streckung sowie weitere Eigenschaften und Parameter einer linearen oder quadratischen Funktion analysiert werden.

Das Berechnen einer Tangente an eine Parabel und somit die Ermittlung der Steigung einer Parabel bei einem bestimmten Punkt wird ebenfalls ermöglicht. Die vom Programm berechneten Lösungen werden in einer Tabelle ausgegeben. Auch die Berechnung der Funktionswerte einer definierten Funktion kann veranlasst werden. Deren Auflistung erfolgt in einer Wertetabelle.


Der implementierte Plotter lässt auch die grafische Untersuchung entsprechender Zusammenhänge zu diesem Fachthema zu und gibt die Lösungsmenge definierter Gleichungen aus.

Beispiele zu quadratischen wie auch linearen Funktionen, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte I zu diesem Modul:

Parabel - Quadratische Funktion - Quadratische Gleichung - Parabelgleichung - Quadratische Funktionsgleichung - Funktionsgleichung - Quadratische Terme - Allgemeine Form - Quadratfunktionen - Parabeln - Produktform - Formeln - Quadratfunktion - Parabeln analysieren - Normalparabel - Normalparabeln - Gleichungen 2. Grades - Parabel 2. Grades - Parabel 2. Ordnung - Tangente an Parabel - Parabeltangente - Schnittpunkt von Parabel und Gerade - Schnittpunke von 2 Parabeln - Graphen quadratischer Funktionen - Eigenschaften quadratischer Funktionen - Eigenschaften einer Parabel - Nullstellenberechnung - Parabelrechner - Polynomform einer Parabel - Parabelformen - Steigung einer Parabel - Scheitelpunkt einer Parabel - Produktform einer Parabel - Gleichung einer Parabel - Normalform in Scheitelpunktform wandeln - Scheitelform einer Parabel - Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion - Normalform einer quadratischen Gleichung - Normalform umwandeln - Normalparabeln - Nullstellenform einer Parabel - Normalform einer Parabel - Allgemeine Form einer Parabel - Allgemeine quadratische Funktion - Nullstellen von Parabeln und Geraden - Formel - Schnittpunkte quadratischer Funktionen - Rein quadratische Funktionen - Rein quadratische Gleichungen - Gemischt quadratische Gleichung - Fläche zwischen Parabel und Gerade - Lösungsmenge quadratischer Gleichungen - Quadratische Ergänzung - Quadratisch ergänzen - Erweitern - Erweiterung - Quadratisch erweitern - Quadratische Erweiterung - Umformen - Umformung - Quadratischer Term - Quadratische Terme - Ausklammern - Faktorisierung - Faktorisieren

 

Themen und Stichworte II zu diesem Modul:

Normalparabel - Nullstellen quadratischer Funktionen - Rein quadratische Gleichungen - Schnittpunkt einer Parabel mit der x-Achse - Schnittpunkt einer Parabel mit der y-Achse - y-Achsenabschnitt einer Parabel - Y-Wert einer Parabel - Parameter einer quadratischen Funktion - Berechnung der Nullstellen quadratischer Funktionen - Linearfaktorform - Polynomform - Eigenschaften von Parabeln - Eigenschaften linearer Funktionen - Allgemeine Parabelgleichung - Allgemeine quadratische Gleichung - Gleichung einer Parabel bestimmen - Scheitelpunktberechnung - Scheitelpunktgleichung - Scheitelpunktform - Scheitelform - Merkmale einer Parabel - Parabel durch zwei Punkte - Parabel verschieben - Scheitelpunkt bestimmen - Scheitelpunkt berechnen - Schnittpunktberechnung - Reinquadratische Gleichungen - Gegenseitige Lage zweier Parabeln - Funktion zweiten Grades - Quadratische Funktion plotten - Quadratische Gleichung plotten - Quadratische Gleichungen grafisch darstellen - Parabel grafisch darstellen - Quadratische Funktionen zeichnen - Gestreckte Parabel - Faktorisierte Form einer Parabel - Gestauchte Parabel - Öffnungsrichtung einer Parabel - Koeffizienten einer quadratischen Funktion - Berechnung der Funktionsgleichung einer Parabel - Koeffizienten berechnen - Hauptform - Parabelfunktion bestimmen - Parabelfunktion aus 3 Punkten - Parabel durch 3 Punkte - Verschobene Parabel - Fehlende Koordinaten berechnen - Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen - Berührpunkt der Tangente - Quadratische Abnahme - Quadratische Zunahme - Quadratischer Anstieg - Gemischt quadratische Funktion - Scheitelbestimmung - Parabelöffnung - Parabelform - Parameter einer Parabel - Parabel-Analyse - Scheitel - Scheitel einer Parabel - Scheitelgleichung - Absolutglied - Quadratisches Glied - Darstellungsformen von Parabeln - Achsenschnittpunkte einer Gerade berechnen - Wertetabelle - Diskriminante - Lösungsformel - Unbekannte - Grundlagen - Grundlegendes - Funktionsterm - Grafikrechner - Ortskurve - Parabelscheitel - Übersicht - Bild - Formen - Koeffizienten - Berechnen - Plotter - Plotten - Grafikrechner - Grafik - Zeichnen - Darstellung - Formeln - Formelsammlung - Merkmale - Koordinaten - Lösung - Funktionswerte - Berechnung - Darstellen - Tangente - Steigung - Steigung in einem Punkt - Parabelpunkt - Punkte - Nullstellen ablesen - Graphen - Darstellungsformen - Eigenschaften - Nullstellen - Tangenten - Schnittpunkte - Lösen - Graphen ablesen - Funktionsgleichung ablesen - Nullstellen ablesen - Bestimmen - Bestimmung - Grafische Darstellung - Untersuchen - Untersuchung - Zuordnen - Zuordnung - Tabelle - Werte - Verändern - Veränderung - Parabel ablesen - Parabeln ablesen - Quadratische Funktionen ablesen - Ändern - Änderung - Beispiele - Aufgaben - Beispielaufgaben - abc-Formel - abc Formel - a - b - c - Satz von Vieta - Wurzelsatz - Quadratisches Polynom - Quadratische Polynome - Mitternachtsformel - pq-Formel - pq Formel - p - q - Lösungsformel für quadratische Gleichungen - Doppelte Lösung - Nullstellenform - Achsenschnittpunkte einer Parabel - Satz vom Nullprodukt - Produktsatz - Produkt-Null-Satz - Nullproduktregel

 
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Parabel - Quadratische Funktion


MathProf - Parabel - Quadratische Funktion - Gleichung - Parabeln - Parabel durch 3 Punkte - Funktionsgleichung - Produktform - Eigenschaften - Nullstellen - Allgemeine Form - Formel - Quadratische Gleichung - Parabelgleichung - Beispiel - Normalparabel - Achsenschnittpunkte - Quadratische Gleichungen - Stauchung - Streckung - Scheitelpunkt - Scheitelpunktfom - Achsenschnittpunkte - Schnittpunkte - Diskriminante - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Modul Quadratische Funktionen



Um detaillierte Untersuchungen linearer, wie quadratischer Funktionen (Geraden und Parabeln) zu ermöglichen, wurde das Modul [Analysis] - [Parabel und Gerade] - Parabelgleichungen (Quadratische Funktionen) implementiert.

 

MathProf - Parabelgleichung - Quadratische Funktion - Quadratische Gleichung - Diskriminante - Normalparabel - Scheitelpunkt - Tangente - Schnittpunkt - Parabel - Steigung - Achsenschnittpunkte - Diskriminante - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Abbildung 1 - Eingabefenster für eine Gleichung

 

MathProf - Parabel - Normalform - Normalparabel - Parabelgleichungen - PQ-Gleichung - Scheitelpunkt - Tangente - Schnittpunkt - Parabeln - Steigung - Achsenschnittpunkte - Diskriminante - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Abbildung 2 - Eingabefenster für zwei Gleichungen

 

Dieses Unterprogramm erlaubt hierbei die Untersuchung von Parabelgleichungen (Funktionsgleichungen) folgender Arten:

  • Allgemeine Form der Parabel: y = a·x²+b·x+c
  • Normalform (Normalparabel - PQ-Gleichung) der Parabel: y = x²+p·x+q
  • Scheitelpunktform (Scheitelform) der Parabel: y = (x+d)²+e

  • Nullstellenform (Produktform bzw. Faktorisierte Form) der Parabel: y = a·(x-x1)·(x-x2)

Es werden ermittelt:

  • Art der Funktion

bei der Analyse einer Gerade:

  • Nullstelle der Gerade
  • Schnittpunkt der Gerade mit y-Achse

bei der Analyse einer Parabel:

  • Scheitelpunkt der Parabel
  • Diskriminante der Parabel
  • Parameter p und q (PQ-Formel) der Parabel
  • Nullstelle(n) der Parabel
  • Schnittpunkt der Parabel mit y-Achse
  • Öffnungsrichtung der Parabel
  • Fläche (Flächeninhalt) zwischen x-Achse und Parabel
  • Wertebereich der Funktion

und bei der Analyse zweier Funktionen zusätzlich:

  • Schnittpunkt(e) beider Funktionen
  • Tangenten in Schnittpunkten der Funktionen (Tangente an Parabel)
 

Formeln - Formelsammlung - Mitternachtsformel - abc-Formel - Lösungsformel - pq Formel - Grundlagen

 
Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen eines regelmäßigen Vielecks relevant sind.

Die abc-Formel bzw. Mitternachtsformel (Lösungsformel für qaudratische Gleichungen), ist eine Formel, welche zur Ermittlung der Lösungen von quadratischen Gleichungen folgender Form genutzt werden kann:

MathProf - Quadratische Gleichung - ABC-Form - Quadratische Funktion

Sie besitzt die nachfolgend aufgeführte doppelte Lösung:

MathProf - ABC-Formel - Mitternachtsformel
 
Die pq-Formel, ist eine Formel, welche zur Ermittlung der Lösungen von quadratischen Gleichungen folgender Form genutzt werden kann (quadratisches Polynom):

MathProf - Quadratische Gleichung - pq-Form - Quadratische Funktion

pq-Formel:

MathProf - pq-Formel

 

Satz von Vieta - Wurzelsatz

 
Der Satz von Vieta (Wurzelsatz) ist ein mathematischer Lehrsatz aus der elementaren Algebra. Er beschreibt den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung, welche in Normalform definiert ist und ihren Nullstellen.

Sind x1 und x2 die Lösungen der Gleichung x2+px+q = 0, so gilt:

x2+px+q = (x−x1)·(x−x2)

und

x
1+x2 = -p ∧ x1⋅x2 = q

MathProf - pq-Formel

 

Quadratische Ergänzung

 
Eine quadratische Ergänzung dient dazu, Terme bzw. Gleichungen, welche eine quadratische Variable beinhalten derartig umzuformen, damit diese aus der bestehenden Normalform in die Scheitelpunktform gewandelt werden. Es gilt hierbei Terme der Form ax2+bx+c in die Form a(x-d)2+e umzuwandeln und somit hieraus den Scheitelpunkt sowie die Nullstellen der durch diese Gleichung beschriebenen Parabel auf einfache Weise auffindbar zu machen.

Die Vorgehensweise zur Durchführung einer derartigen Wandlung wird nachfolgend anhand eines Beispiels beschrieben.

Gegeben sei die quadratische Gleichung 30·x + 84·x + 3·x² = 0
·
Schritt 1 - Sortierung:

Der umzuformende quadratische Term ist seinen Potenzen entsprechend absteigend zu sortieren.

30·x + 84 + 3·x² = 0
-> 3·x² + 30·x + 84 = 0

 
Schritt 2 - Umformung in die Normalform

Der Koeffizient vor x2 hat eine 1 zu sein. Somit werden alle Koeffizienten dieser Gleichung durch den Faktor 3 geteilt.

3·x² + 30·x + 84 = 0 | : 3
-> x² + 10·x + 28 = 0

 
Schritt 3 - Umformung der Gleichung

Die Gleichung wird in die Form gebracht, bei welcher alle Zahlen, die mit der Variable x verbunden sind auf derer linken Seite stehen und die alleinstehende Zahl (-28) auf derer rechten Seite.

x² + 10·x + 28 = 0
-> x² + 10·x = -28

 
Schritt 4 - Quadratische Ergänzung

Die Zahl, die sich vor der Variable x befindet wird halbiert und quadriert. Dies erfolgt nach folgendem Schema:

x2 + p·x = q  | +(p/2)²
x2 + p·x + (p/2)² = q + (p/2)²


Somit ergibt sich für den vorliegenden Fall Folgendes:

x² + 10·x = -28
x² + 10·x = -28  | +(10/2)²
  -  Quadratische Ergänzung
x² + 10·x +(10/2)² = -28 +(10/2)²
x² + 10·x + 25 = -3
 
Schritt 5 - Binomische Formel verwenden

1. Binomische Formel: (a+b)2 = a2 + 2⋅a⋅b + b2
2. Binomische Formel: (a−b)2 = a2 - 2⋅a⋅b + b2


Es gilt den Term x² + 10·x + 25 = -3 derartig umzuformen, damit dieser in Form einer binomischen Formel des Typs a2 + 2⋅a⋅b + b2 = -3 dargestellt werden kann. Hierbei wird der Vorfaktor der Variable x durch 2 geteilt (10:2 = 5) sowie das Resultat als Produkt mit der Zahl 2 (2·5) dargestellt:

x² + 10·x + 25 = -3
x² + 2·5·x + 25 = -3


Hieraus folgt:

(x + 5)² = -3

Diese Struktur entspricht der 1. binomischen Formel der Form a2 + 2⋅a⋅b + b2 und somit der Form (a+b)2.

 

Satz vom Nullprodukt

 
Der Satz vom Nullprodukt lautet: "Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist." Dies bedeutet, dass ein Produkt immer dann gleich null ist, wenn mindestens ein Faktor gleich null ist:

a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 oder b = 0.

 

Berechnung und grafische Darstellung

 

MathProf - Parabel - Scheitelpunkt - Quadratische Funktion - Normalparabel - Parabelgleichung - Diskriminante - Stauchung - Streckung - Quadratische Gleichung - Schnittpunkt - Parabelgleichung - Parabeln - Nullstellenform - Scheitelpunktfom - Schnittpunkt Parabel und Gerade - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Abbildung 1 - Parabel und Gerade

 

MathProf - Parabel - Nullstellen - Quadratische Funktion - Lineare Funktion - Gleichung - PQ-Formel - Achsenschnittpunkte - Stauchung - Streckung - Quadratische Gleichung - Quadratische Funktionen - Scheitelpunkt - Tangente - Schnittpunkt berechnen - Parabelgleichung - Parabeln - Steigung einer Parabel - Nullstellenform - Scheitelpunktfom - Schnittpunkte - Parabeln - Achsenschnittpunkte - Tangente an Parabel - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Abbildung 2 - Zwei Parabeln


Eine Analyse von Parabelgleichungen können Sie folgendermaßen durchführen:

  1. Möchten Sie Untersuchungen mit nur einer Gleichung durchführen, so wählen Sie die Registerkarte Eine Gleichung, sollen hingegen zwei Gleichungen untersucht werden, so aktivieren Sie die Registerkarte Zwei Gleichungen.
     
  2. Legen Sie durch die Aktivierung der Kontrollschalter Allgemeine Form, Scheitelpunktform, Normalform oder Nullstellenform die Art der Funktion(en) fest, mit welchen Sie Untersuchungen durchführen möchten.
     
  3. Geben Sie die Koeffizienten der entsprechenden Gleichung(en) in die dafür vorgesehenen Felder ein.
     
  4. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen werden die Zusammenhänge grafisch ausgegeben.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Bedienformular


MathProf - Parabel - Schnittpunkt - Nullstellen - Scheitelpunkt - Gleichung - Funktion - Graph   MathProf - Parabel - Quadratische Funktion - Normalparabel - Nullstellen - Scheitel - PQ-Formel

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Nullstellen: Markierung der Nullstellen der Funktionen ein-/ausschalten
  • Schnittpunkte: Markierung der Schnittpunkte der Funktionen ein-/ausschalten
  • Punktbeschr.: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Scheitelpunkte: Anzeige der Scheitelpunkte von Parabeln ein-/ausschalten
  • SP mit Y-Achse: Anzeige der Schnittpunkte der Funktionen mit der Y-Achse ein-/ausschalten
  • Tangenten in SP: Anzeige der Tangenten in den Schnittpunkten der Funktionen ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Parabelgleichungen - Interaktiv

Parabel und Gerade - Interaktiv

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Mathematische Funktionen I

 

Beispiele - Aufgaben


Beispiel 1 - Analyse einer Funktion (Gerade) - Gleichung lösen:

Es gilt, die lineare Funktion f(x) = -3·x+2 auf deren Eigenschaften hin untersuchen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie die Registerkarte Eine Gleichung und aktivieren Sie den Kontrollschalter Allgemeine Form. In die Felder zur Definition der Funktion f(x) geben Sie die Werte 0 / -3 / 2 ein. Das Programm gibt nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen aus:

Typ: Gerade

Definierte Gleichung: Y = -3·X+2

 

Nullstelle: N1 (0,667 / 0)

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SP (0 / 2)
 

Beispiel 2 - Analyse einer quadratischen Funktion (Parabel - Normalform) - Quadratische Gleichungen lösen:

Es ist die quadratische Funktion f(x) = x²-0,4·x-1 bzgl. derer Eigenschaften zu untersuchen.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Selektieren Sie die Registerkarte Eine Gleichung und aktivieren Sie den Kontrollschalter Normalform. In die Felder zur Definition der Funktion f(x) tragen Sie die Werte -0,4 und -1 ein. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen gibt das Programm folgende Ergebnisse aus:

 

Typ: Parabel

Definierte Gleichung: Y = X²-0,4·X-1

Gleichung in allgemeiner Form: Y = X²-0,4·X-1

Art: Normalform

 

Scheitelpunkt S (0,2 / -1,04)

Parameter p: -0,4 

Parameter q: -1

Diskriminante: D = 1,04

 

Nullstellen: N1 (-0,82  / 0) und N2 (1,22 / 0)

Fläche zwischen x-Achse und Parabel: A = 1,414 FE

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SY1 (0 / -1)

 

Parabel ist nach oben geöffnet

Wertebereich: -1,04 bis Unendlich
 

Beispiel 3 - Analyse zweier quadratischer Funktionen (Parabel und Gerade) - Quadratische Gleichungen lösen:

Die beiden Funktionen f1(x) = -0,4·x+1 und f2(x) = -0,4·x²+x+3 sind auf deren Eigenschaften hin zu untersuchen und deren Schnittpunkte sind zu ermitteln.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Aktivieren Sie die Registerkarte Zwei Gleichungen und die beiden Kontrollschalter Allgemeine Form für f1(x) und f2(x). Tragen Sie hierauf in die Felder zur Definition der Funktion f1(x) die Werte 0 / -0,4 / 1 ein und versehen Sie die Felder zur Definition der Funktion f2(x) mit den Werten -0,4 / 1 / 3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm:

Funktionsanalyse der Funktion f1(x):

Typ: Gerade

Gleichung: Y = -0,4·X+1

 

Nullstelle: N (2,5 / 0)

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SY1 (0 / 1)

Funktionsanalyse der Funktion f2(x):

Typ: Parabel

Definierte Gleichung: Y = -0,4·X²+1·X+3

Gleichung in allgemeiner Form: Y = -0,4·X²+1·X+3

 

Scheitelpunkt S (1,25 / 3,625)

Parameter p: -2,5

Parameter q: -7,5

Diskriminante: D = 9,063

 

Nullstellen: N1 (-1,76 / 0) und N2 (4,26 / 0)

Fläche zwischen x-Achse und Parabel: A = 14,55 FE

Schnittpunkt der Funktion mit der Y-Achse: SY2 (0 / 3)

 

Parabel ist nach unten geöffnet

Wertebereich: Minus unendlich bis 3,625

Schnittpunkte der Funktionen f1(x) und f2(x):

SP1 (-1,089 / 1,436)

SP2 (4,589 / -0,836)

 

Gleichung der Tangente in SP1: t1: f(x) = 1,8716·X+3,4748

Gleichung der Tangente in SP2: t2: f(x) = -2,6716·X+11,4252
 

Beispiel 4 - Analyse zweier quadratischer Funktionen (Zwei Parabeln) - Quadratische Gleichungen lösen:

Die beiden Funktionen f1(x) = x²-3 und f2(x) = 0,02·(x+8)·(x-8) sind auf deren Eigenschaften hin zu untersuchen. Zudem sind deren Schnittpunkte ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Wahl der Registerkarte Zwei Gleichungen und der Aktivierung der Kontrollschalter Scheitelpunktform für f1(x) und Nullstellenform für f2(x) tragen Sie in die Felder zur Definition der Funktion f1(x) die Werte 0 und -3 ein. Die Felder zur Definition der Funktion f2(x) versehen Sie mit den Werten 0,02 / -8 / 8. Hierauf ermittelt das Programm nach der Durchführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen folgende Resultate:

Funktionsanalyse der Funktion f1(x):

Typ: Parabel

Definierte Gleichung: Y = X²-3

Gleichung in allgemeiner Form: Y = X²-3

Art: Scheitelpunktform

 

Scheitelpunkt: S (0 / -3)

Parameter p: 0

Parameter q: -3

Diskriminante: D = 3

 

Nullstellen: N1 (-1,732 / 0) und N2 (1,732  / 0)

Fläche zwischen x-Achse und Parabel: A = 6,928 FE

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SY1 (0 / -3)

 

Parabel ist nach oben geöffnet

Wertebereich: -3 bis Unendlich

Funktionsanalyse der Funktion f2(x):

Typ: Parabel

Definierte Gleichung: 0,02·(X+8)·(X-8)

Gleichung in allgemeiner Form: Y = 0,02·X²-1,28

Art: Nullstellenform

 

Scheitelpunkt: S (0 / -1,28)

Parameter p: 0

Parameter q: -64

Diskriminante: D = 64

 

Nullstellen: N1 (-8 / 0) und N2 (8 / 0)

Fläche zwischen x-Achse und Parabel: A = 13,653 FE

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SY2 (0 / -1,28)

 

Parabel ist nach oben geöffnet

Wertebereich: -1,28 bis Unendlich

Schnittpunkte der Funktionen f1(x) und f2(x):

SP1 (-1,325 / -1,245)

SP2 (1,325 / -1,245)

 

Gleichungen der Tangenten in SP1:

 

t1: f(x) = -2,6496·X-4,7551

t2: f(x) = -0,053·X-1,3151

 

Gleichungen der Tangenten in SP2:

 

t1: f(x) = 2,6496·X-4,7551

t2: f(x) = 0,053·X-1,3151
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Parabel - Quadratische Funktion - Gleichung - Parabeln - Quadratische Gleichung - Parabelgleichung - Beispiel - Normalparabel - Achsenschnittpunkte - Quadratische Gleichungen - Stauchung - Streckung - Scheitelpunkt - Scheitelpunktfom - Achsenschnittpunkte - Diskriminante - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 1

MathProf - Parabel - Quadratische Funktion - Parabel durch 3 Punkte - Funktionsgleichung - Produktform - Eigenschaften - Nullstellen - Allgemeine Form - Formel - Polynomform - Scheitelform - Beispiel - Normalparabel - Achsenschnittpunkte - Quadratische Gleichungen - Stauchung - Streckung - Quadratische Gleichung - Quadratische Funktionen - Scheitelpunkt - Schnittpunkt - Parabelgleichung - Parabeln - Scheitelpunktfom - Schnittpunkte Parabel und Gerade - Achsenschnittpunkte - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 2

MathProf - Parabel - Quadratische Funktion - Scheitelform - Parabel durch 3 Punkte - Formel - Beispiel - Achsenschnittpunkte - Quadratische Gleichungen - Allgemeine Parabelgleichung - Allgemeine quadratische Gleichung - Gestreckte Parabel - Gestauchte Parabel - Öffnungsrichtung - Stauchung - Streckung - Scheitelpunkt - Quadratische Gleichung - Quadratische Funktionen - Schnittpunkt berechnen - Schnittpunktberechnung - Parabelgleichung - Parabeln - Nullstellenform - Scheitelpunktfom - Schnittpunkte Parabel - Achsenschnittpunkte - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 3

MathProf - Parabel - Quadratische Funktion - Scheitelform - Parabel durch 3 Punkte - Funktion - Formel - Beispiel - Achsenschnittpunkte - Quadratische Gleichungen - Quadratische Gleichung - Quadratische Funktionen - Scheitelpunkt - Parabelgleichung - Nullstellenform - Scheitelpunktfom - Achsenschnittpunkte - Koeffizienten - Scheitelbestimmung - Parabelöffnung - Parabelform - Gemischt quadratische Funktion - Absolutglied - Quadratisches Glied - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 4

MathProf - Parabel - Quadratische Funktion - Schnittpunkt - Normalform - Nullstellen - Programm - Beispiel - Achsenschnittpunkte - Quadratische Gleichungen - Stauchen - Strecken - Quadratische Gleichung - Quadratische Funktionen - Scheitelpunkt - Schnittpunkt berechnen - Schnittpunktberechnung - Parabelgleichung - Parabeln - Nullstellenform - Scheitelpunktfom - Schnittpunkte Parabel und Gerade - Achsenschnittpunkte - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 5

MathProf - Parabel - Quadratische Funktion - Steigung - Scheitelpunkt - Scheitel - Tangente - Parameter - Steigung - Scheitelpunktform - Beispiel - Achsenschnittpunkte - Quadratische Gleichungen - Formel - Scheitelpunkt - Quadratische Funktionen - Schnittpunktberechnung - Parabelgleichung - Parabeln - Scheitelpunktfom - Achsenschnittpunkte - Tangente an Parabel - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 6
   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Parabel sowie unter Wikipedia - Quadratische Funktion zu finden.
 

Weitere implementierte Module zum Themenbereich Analysis

 
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Screenshot des Startfensters dieses Moduls
 

MathProf - Parabel - Quadratische Funktion - Quadratische Gleichung - Parabelgleichung - Quadratische Funktionsgleichung - Funktionsgleichung - Produktform - Formeln - Quadratfunktion - Normalparabel - Koeffizienten - Berechnen - Plotter - Plotten - Grafikrechner - Grafik - Zeichnen - Darstellung - Formeln - Eigenschaften - Nullstellen - Tangenten - Schnittpunkte - Rechner
Startfenster des Unterprogramms Parabelgleichungen (Quadratische Funktionen)
 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Gerade - Punkt-Steigungs-Form - Punktrichtungsgleichung - Lineare Funktionsgleichung - Hauptform - Parametergleichung - Steigung -   Geraden - Geradenschnitt - Eigenschaften - Geraden - Schnittpunkt - Winkel - Schnittwinkel - Lagebeziehung - Parameter - Steigungswinkel -   Bestimmen - Rechner - Graph - Plotter - Gleichung - Nullstelle - Berechnen - Darstellen - Zeichnen - Plotten
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kreis und Gerade - Interaktiv


MathProf - Gleichungen - 2. Grades - 3. Grades - 4. Grades - Polynome - Biquadratische Gleichungen - Lösen - Darstellung - Nullstellen - Komplex -   Lösungen - Rechner - Ableitung - Ableiten - Berechnen - Plotten - Darstellen - Graph - Plotten
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kubische Gleichungen

 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0