MathProf - Pappus-Kreise - Pappus-Ketten - Pappos-Kreise - Satz von Pappos

MathProf - Mathematik-Software - Pappus-Kreise | Halbkreis | Pappus-Kette | Halbkreis

Fachthema: Pappus-Kreise

MathProf - Elementare Geometrie - Software zur Analyse einfacher und komplexer Sachverhalte sowie zum Lösen verschiedenster Aufgaben und Visualisierung mathematischer Gegebenheiten mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Pappus-Kreise | Halbkreis | Pappus-Kette | Halbkreis

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung interaktiver
Analysen mit Pappus-Kreisen.


Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen in diesem Unterprogramm erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Pappos-Kreise - Pappus-Ketten - Kreise im Kreis - Halbkreisbogen - Graph - Grafisch - Plotter - Halbkreis - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Rechner - Kreis

 
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Pappus-Kreise

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - [Extras] - Pappus-Kreise ermöglicht die Darstellung der, nach dem griechischen Mathematiker Pappus (ca. 300 v. Chr.) benannten, Kreise.

 

MathProf - Pappus-Kreise - Pappus-Ketten - Kreise - Halbkreis - Ellipse - Kreise im Kreis - Pappos-Kreise
 

Gegeben seien zwei Kreise, von denen einer den anderen einschließend berührt. Zudem sollen weitere Kreise derart eingefügt werden, dass diese die beiden Arbelos, wie auch den jeweils zuvor eingebundenen Kreis berühren. Eine derart erzeugte Pappus-Kette besteht aus unendlich vielen Kreisen.

 

Die Bahn auf der die Mittelpunkte n derart eingebundener Pappuskreise liegen, beschreibt eine Ellipse. Die Mittelpunkte der Kreise liegen bei:

 

xn = r (1 + r) / ((2 (n² (1-r)² + r ))

yn = n r (1 - r) / ( n² (1-r)² + r )

 

Die Radien der Pappuskreise errechnen sich mit:

 

rn = r(1 - r) / (2 (n² (1-r)² + r ))

 

Die Halbachsen der Ellipse lassen sich ermitteln aus:

 

a = 1/4 (1 + r)

b = 1/2

 

mit r = AF/AB

 

Darstellung

 

Veranschaulichen können Sie sich die Zusammenhänge, wenn Sie folgende Schritte ausführen:
 

  1. Legen Sie durch die Bedienung des Schiebereglers Strecke AB den Radius des Außen(halb)kreises fest.
     

  2. Benutzen Sie den Schieberegler Anzahl Kreise, um die Anzahl einzuschließender Kreise festzulegen.
     

  3. Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Kreise füllen, so werden alle dargestellten Kreise gefüllt.

    Wenn Sie das Kontrollkästchen Weitere Kreise aktivieren, können Sie weitere Tangentialkreise (Apollonius-Kreise) einzeichnen lassen. Jeder dieser wird von den, ihn umgebenden, Kreisen berührt.

    Wird das Kontrollkästchen Vollkreis aktiviert, so erfolgt die Darstellung der Pappus-Kreise am Vollkreis.

    Bei einer Aktivierung des Kontrollkästchens Ellipse wird die Ellipse eingeblendet auf deren Bahn sich die Mittelpunkte aller mit dem Außenkreis tangierenden Kreise befinden. Eine Aktivierung des Kontrollkästchens Vertikale bewirkt die Einblendung der Strecke FC.
     

  4. Möchten Sie den Abszissenwert des Lotfußpunktes F des Dreiecks exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den entsprechenden Wert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     

  5. Soll die Position des Lotfußpunktes F mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     

  6. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Pappos-Kette - Kreise - Ellipse


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte beschriften: Beschriftung wichtiger Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten wichtiger Punkte ein-/ausschalten
  • Mittelpunkte: Darstellung der auf der äußeren Ellipsenbahn liegenden Kreismittelpunkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Satz des Arbelos

Archimedische Kreise

Hippokrates Möndchen

 

Beispiel


Wurde die Position des Lotfußpunktes F auf (-4 / 0) eingestellt und der Radius des Außenkreises auf r = 8 (Strecke AB = 16) festgelegt, so werden folgende Resultate ausgegeben:

Mittelpunkt des linken Halbkreisbogens AF: MP1 (- 6 / 0)

Radius des linken Halbkreisbogens AF: r = 2

 

Mittelpunkt des rechten Halbkreisbogens FB: MP2 (2 / 0)

Radius des rechten Halbkreisbogens FB: r = 6

 

Die Länge der vertikalen Strecke FC beträgt: l = 6,928


Die durch die Mittelpunkte der Pappus-Kreise beschriebene Ellipse besitzt die Eigenschaften:

 

Mittelpunkt: ME (-3 / 0)

Horizontale Halbachse: a = 5

Vertikale Halbachse: b = 4
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Pappus-Kreise - Pappus Kette - Kreis - Halbkreis - Kreise - Halbkreise - Ellipse - Pappuskreise - Halbkreisbogen - Lotfußpunkt - Beispiel - Kreise im Kreis - Pappos-Kreise
MathProf - Pappus-Kreise - Pappus Kette - Kreis - Halbkreis - Kreise - Halbkreise - Ellipse - Pappuskreise - Halbkreisbogen - Lotfußpunkt - Beispiel - Kreise im Kreis - Pappos-Kreise
MathProf - Pappus-Kreise - Pappus Kette - Kreis - Halbkreis - Kreise - Halbkreise - Ellipse - Pappuskreise - Halbkreisbogen - Lotfußpunkt - Beispiel - Kreise im Kreis - Pappos-Kreise

   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Pappos-Kette zu finden.
  

Implementierte Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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