MathProf - Pappus-Kreise

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Pappus-Kreise

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - [Extras] - Pappus-Kreise ermöglicht die Darstellung der, nach dem griechischen Mathematiker Pappus (ca. 300 v. Chr.) benannten, Kreise.

 

MathProf - Pappus-Kreise

 

Gegeben seien zwei Kreise, von denen einer den anderen einschließend berührt. Zudem sollen weitere Kreise derart eingefügt werden, dass diese die beiden Arbelos, wie auch den jeweils zuvor eingebundenen Kreis berühren. Eine derart erzeugte Pappus-Kette besteht aus unendlich vielen Kreisen.

 

Die Bahn auf der die Mittelpunkte n derart eingebundener Pappuskreise liegen, beschreibt eine Ellipse. Die Mittelpunkte der Kreise liegen bei:

 

xn = r (1 + r) / ((2 (n² (1-r)² + r ))

yn = n r (1 - r) / ( n² (1-r)² + r )

 

Die Radien der Pappuskreise errechnen sich mit:

 

rn = r(1 - r) / (2 (n² (1-r)² + r ))

 

Die Halbachsen der Ellipse lassen sich ermitteln aus:

 

a = 1/4 (1 + r)

b = 1/2

 

mit r = AF/AB

 

Darstellung

 

Veranschaulichen können Sie sich die Zusammenhänge, wenn Sie folgende Schritte ausführen:
 

  1. Legen Sie durch die Bedienung des Schiebereglers Strecke AB den Radius des Außen(halb)kreises fest.
     

  2. Benutzen Sie den Schieberegler Anzahl Kreise, um die Anzahl einzuschließender Kreise festzulegen.
     

  3. Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Kreise füllen, so werden alle dargestellten Kreise gefüllt.

    Wenn Sie das Kontrollkästchen Weitere Kreise aktivieren, können Sie weitere Tangentialkreise (Apollonius-Kreise) einzeichnen lassen. Jeder dieser wird von den, ihn umgebenden, Kreisen berührt.

    Wird das Kontrollkästchen Vollkreis aktiviert, so erfolgt die Darstellung der Pappus-Kreise am Vollkreis.

    Bei einer Aktivierung des Kontrollkästchens Ellipse wird die Ellipse eingeblendet auf deren Bahn sich die Mittelpunkte aller mit dem Außenkreis tangierenden Kreise befinden. Eine Aktivierung des Kontrollkästchens Vertikale bewirkt die Einblendung der Strecke FC.
     

  4. Möchten Sie den Abszissenwert des Lotfußpunktes F des Dreiecks exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den entsprechenden Wert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     

  5. Soll die Position des Lotfußpunktes F mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     

  6. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

 

Bedienformular

 

MathProf - Pappus - Ellipse


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte beschriften: Beschriftung wichtiger Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten wichtiger Punkte ein-/ausschalten
  • Mittelpunkte: Darstellung der auf der äußeren Ellipsenbahn liegenden Kreismittelpunkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Satz des Arbelos

Archimedische Kreise

Hippokrates Möndchen

 

Beispiel


Wurde die Position des Lotfußpunktes F auf (-4 / 0) eingestellt und der Radius des Außenkreises auf r = 8 (Strecke AB = 16) festgelegt, so werden folgende Resultate ausgegeben:

Mittelpunkt des linken Halbkreisbogens AF: MP1 (- 6 / 0)

Radius des linken Halbkreisbogens AF: r = 2

 

Mittelpunkt des rechten Halbkreisbogens FB: MP2 (2 / 0)

Radius des rechten Halbkreisbogens FB: r = 6

 

Die Länge der vertikalen Strecke FC beträgt: l = 6,928


Die durch die Mittelpunkte der Pappus-Kreise beschriebene Ellipse besitzt die Eigenschaften:

 

Mittelpunkt: ME (-3 / 0)

Horizontale Halbachse: a = 5

Vertikale Halbachse: b = 4
 

Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)


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