MathProf - Fourier-Reihen (Analyse)

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

 Fourier-Reihen
(Analyse)

 

Das Unterprogramm [Analysis] - [Reihen] - Fourier-Reihen bietet die Möglichkeit, Untersuchungen zum Fachthema Fourier-Reihen durchzuführen.

 

MathProf - Fourier - Reihen


In manchen naturwissenschaftlich-technischen Anwendungsgebieten (z.B. Elektrotechnik) treten Zusammenhänge auf, bei welchen es erforderlich ist, diese mit Hilfe der Überlagerung sinusförmiger Funktionen zu beschreiben. Mittels der Durchführung einer Fourier-Analyse ist es möglich, die Koeffizienten der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus so zu bestimmen, dass diese durch Überlagerung eine beliebige Funktion beschreiben können.

1. Reelle Form:

Ein nicht-sinusförmiger Schwingungsvorgang y = y(t) mit einer Kreisfrequenz ω0 kann, wie folgt, nach Fourier in seine harmonischen Komponenten (Grundschwingung und Oberschwingung) zerlegt werden:

Fourier-Reihe - Gleichung - 1

Die reellen Koeffizienten dieser Zerlegung tragen hierbei die Bezeichnungen a0, a1, a2 ... und b1, b2 ... und werden aus nachfolgend aufgeführten Integralen berechnet:

Fourier-Reihe - Gleichung - 2

Fourier-Reihe - Gleichung - 3

Fourier-Reihe - Gleichung - 4

2. Komplexe Form:

 

Fourier-Reihen können auch mit Hilfe komplexer Zahlen beschrieben werden:

 

Fourier-Reihe - Gleichung - 5

 

Eine Einsicht darüber erlangt man, indem man die Summe aufteilt:

 

Fourier-Reihe - Gleichung - 6

Fourier-Reihe - Gleichung - 7

 

Durch Koeffizientenvergleich erhält man:

 

Fourier-Reihe - Gleichung - 8

 

Es gilt:

Fourier-Reihe - Gleichung - 9

 

mit:

 

Fourier-Reihe - Gleichung - 10: Schwingungsdauer

ω0: Kreisfrequenz der Grundschwingung

nω0: Kreisfrequenzen der harmonischen Oberschwingungen (n = 2,3,4...)

an,bn: Reelle Koeffizienten

cn: Komplexe Koeffizienten

Fourier-Reihe - Gleichung - 11

 

Dieses Modul ermöglicht es, Fourier-Reihen mit einer Periode von p = 2π von stetigen Funktionen entwickeln zu lassen und die reellen Koeffizienten an und bn, sowie die komplexen Koeffizienten cn bzw. c-n bestimmen zu lassen.

 

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Fourier - Reihe


Gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor, um Koeffizienten von Fourier-Reihen bestimmen zu lassen und sich Zusammenhänge zu diesem Fachthema grafisch zu veranschaulichen.

  1. Definieren Sie die zu analysierende Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld f(x,p) =.
     
  2. Legen Sie die zur Ermittlung der Reihe zu verwendende Koeffizientenanzahl durch die Eingabe eines ganzzahligen Werts in das Feld Anz. Koeffizienten fest.
     
  3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm die Werte für die entsprechenden rellen Koeffizienten a[n] sowie b[n] aus. Zudem werden die Werte der komplexen Koeffizienten c[n] bzw. c[-n] in der Tabelle angezeigt.
     
  4. Um sich die Darstellung der ermittelten Reihe grafisch ausgeben zu lassen, legen Sie in den Eingabefeldern (Darstellungsbereich von x1 = und bis x2 =) den zur Ausgabe der entsprechenden Kurve zu verwendenden Wertebereich fest (voreingestellt: -π x π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     

    Beachten Sie: Der gewählte Darstellungsbereich (Periode p) darf den Wert p = 2π nicht überschreiten. Bei der Bemessung dieses Bereichs gilt: |x2-x1| 2π.
     

  5. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     

  6. Das Programm verwendet nach Aufruf der grafischen Darstellung für die Anzahl von Gliedern den im Eingabefeld Koeffizientenanzahl festgelegten Wert. Durch eine Bedienung des Rollbalkens Koeffizientenanzahl kann dieser hierauf verändert werden.
     
  7. Durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der aufklappbaren Box bestehen folgende Möglichkeiten die Darstellung zu beeinflussen. Es sind dies:

     

    Reihe in gew. Bereich und Fkt.: Darstellung der ermittelten Reihe über den gewählten Ausgabebereich (x1 x x2) sowie Darstellung der Funktion f(x,p).
    Reihe in gew. Bereich ohne Fkt.: Darstellung der ermittelten Reihe über den gewählten Ausgabebereich (x1
    x x2).
    Reihe über ges. Bereich und Fkt.: Darstellung der ermittelten Reihe über den gesamten Darstellungsbereich (Werte in Eingabefeldern für festgelegten Darstellungsbereich werden ignoriert) sowie Darstellung der Funktion f(x,p).
    Reihe über ges. Bereich ohne Fkt.: Darstellung der ermittelten Reihe über den gesamten Darstellungsbereich (Werte in Eingabefeldern für festgelegten Darstellungsbereich werden ignoriert).
     

  8. Durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Bereich legen Sie fest, ob der eingestellte Darstellungsbereich markiert werden soll.
     
  9. Um sich den Ordinatenwert der Funktion, bzw. den entsprechenden Wert für die ermittelte Fourier-Reihe bei einer bestimmten Abszissenposition ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Punkt, positionieren Sie den Mauscursor bei der gewünschten Abszissenposition, oder bedienen die Schaltfläche Punkt.
     
  10. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  11. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Koeffizientenanzahl oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten. Um Koeffizientenanzahlen simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation.

    Vor Ausführung einer Koeffizientenanzahlsimulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Zudem können Sie den für die Schrittweite zu verwendenden Wert einstellen. Ändern Sie diesen bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweise:

Es erfolgt keine Überprüfung der Funktion auf Unstetigkeitsstellen. Verwenden Sie deshalb ausschließlich Funktionen, die innerhalb des gewählten Bereichs stetig sind - andernfalls erhalten Sie eine fehlerhafte Darstellung bzw. fehlerhaft ermittelte Koeffizientenwerte.

 

In diesem Unterprogramm kann eine numerische Analyse mit einer Koeffizientenanzahl durchgeführt werden die zwischen 1 und 50 liegt. Je höher diese gewählt wird, desto genauer sind die Berechnungsergebnisse.

 

Beim Aufruf einer grafischen Darstellung wird die Liste evtl. zuvor ausgegebener Berechnungsergebnisse nicht aktualisiert! Dies ist stets separat durch eine Bedienung der Schaltfläche Berechnen durchzuführen!

 

Bedienformular

 

Wurde zur Analyse der Zusammenhänge ein Funktionsterm erstellt, der kein Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

 

MathProf - Fourier - Koeffizienten

 

Wurde zur Analyse der Zusammenhänge ein Funktionsterm erstellt, der das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.

 

MathProf - Fourier - Periode

 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Fourier-Summen

 

Beispiele


Beispiel 1:

Bei Durchführung einer Fourier-Analyse mit der Funktion f(x) = -x³/50 über einen Bereich von 0 bis 2π erhalten Sie nach Eingabe des Terms -X^3/50, der Festlegung einer Koeffizientenanzahl von 5 und der Eingabe der Werte 0 und 6,28319 für den Darstellungsbereich, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, folgende Ergebnisse für die ermittelten reellen Koeffizienten a[0] - a[5] und b[1] - b[5] der Fourier-Reihe:

Koeff.-Nr. (n) a[n] b[n]
0 -1,23474  
1 -0,74297 1,33914
2 -0,17748 0,75957
3 -0,07276 0,51749
4 -0,03611 0,39103
5 -0,01914 0,31391


Bei Ausgabe der grafischen Darstellung nach der Durchführung eines Klicks auf die Schaltfläche Darstellen wird ersichtlich, dass diese Reihe sich im Bereich [0;2π] der Funktion f(x) = -x³/50 nähert. Ferner kann festgestellt werden, dass diese Konvergenz bei einer Erhöhung der Koeffizientenzahl zunimmt.

Für die Werte der komplexen Koeffizienten c[n] und c[-n] gibt das Programm zudem aus:

Koeff.-Nr. (n) c[n] c[-n]
0 -0,61737  
1 -0,37148-0,66957i -0,37148+0,66957i
2 -0,08874-0,37978i -0,08874+0,37978i
3 -0,03638-0,25875i -0,03638+0,25875i
4 -0,01805-0,19552i -0,01805+0,19552i
5 -0,00957-0,15695i -0,00957+0,15695i


Beispiel 2:

Es gilt, die Fourier-Reihe der Funktion f(x) = 2·sin(x/3-cos(x)/10) ermitteln und sich grafisch darstellen zu lassen. Weiterhin sind die Koordinatenwerte der definierten Funktion, sowie der ermittelten Fourier-Reihe bei einer Koeffizientenanzahl von 8, an Stelle x = 3 auszugeben. Der Darstellungsbereich sei mit 0 bis 2π festzulegen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Der Funktionsterm 2*SIN(X/3-COS(X)/10) wird im dafür vorgesehenen Eingabefeld definiert. Im Eingabefeld Anz. Koeffizienten wird der Wert 8 festgelegt.

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen und einer Positionierung des Rollbalkens Koeffizientenanzahl auf den Wert 8 (voreingestellt), sowie einer Festlegung der Koordinaten des Mausfangpunkts auf (3 / 0) nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Punkt und der Durchführung eines Klicks auf die Schaltfläche Punkt kann entnommen werden, dass der Ordinatenwert der Funktion an dieser Stelle y = 1,816, sowie der entsprechende Wert für die ermittelte Fourier-Reihe an dieser Stelle y = 1,782 beträgt.

 

Wird die grafische Darstellung beendet und hierauf die Schaltfläche Berechnen bedient, so gibt das Programm die Werte der reellen Koeffizienten a[n] und b[n] sowie der komplexen Koeffizienten c[n] und c[-n] für die ermittelte Fourier-Reihe aus.
 

Module zum Themenbereich Analysis


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