MathProf - Fourier-Reihe - Fourier-Analyse - Fourier-Koeffizienten

MathProf - Mathematik-Software - Fourier-Reihen | Komplex | Koeffizienten | Periode

Fachthema: Fourier-Reihen und Fourierreihen-Entwicklung

MathProf - Analysis - Software für höhere Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium, die Hochschullehre sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Fourier-Reihen | Komplex | Koeffizienten | Periode

Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen der rellen und komplexen Koeffizienten, welche zur Bildung von Fourier-Reihen (Fourierreihen) erforderlich sind.

In diesem Unterprogramm kann nach der Definition eines entsprechenden Funktionsterms die Bildung der Fourier-Koeffizienten durch den Rechner veranlasst und die ermittelte Fourierreihe grafisch dargestellt sowie analysiert werden. Das Programm erlaubt bei der Ausgabe der Graphik des entsprechenden Zusammenhangs die Verwendung eines Parameters und somit die Darstellung veränderbarer Reihen.

Die numerisch berechneten Ergebnisse der Reihenentwicklung - die Koeffizienten einer Reihe - werden in einer Tabelle ausgegeben und die Durchführung einer grafischen Fourier-Analyse wird ermöglicht.


Beim Zeichnen des Graphen einer Kurve dieser Art können auch deren Koordinatenwerte bei beliebiger Position interaktiv abgetastet werden. Das Berechnen der Funktionswerte einer definierten Reihe dieser Art kann ebenfalls veranlasst werden. Deren Ausgabe erfolgt in einer dafür zur Verfügung stehenden Wertetabelle.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Fourier-Reihe - Fourierreihen - Fourier - Fourier series - Fourierreihentwicklung - Interpolation - Koeffizienten - Fourier-Koeffizienten - Analyse - Fourieranalyse - Reihe - Ausgabe der Koeffizienten einer Fourierreihe in einer Tabelle - Fourierreihendarstellung - Reihenentwickung - Fourierreihen entwickeln - Fourierreihen berechnen - Fourierreihe bestimmen - Fourier-Integral - Fourier-Analyse - Fourierkoeffizienten - Komplexe Fourierkoeffizienten - Berechnen der Koeffizienten von Fourierreihen - Fourier-Reihen darstellen - Fourierzerlegung - Reelle Fourierreihen - Sägezahnkurve - Frequenz - Periode - Sägezahnfunktion - Trigonometrisches Polynom - Fourierentwicklung - Dreieckschwingung - Rechteckschwingung - Rechteckfunktion - Dreiecksfunktion - Fourierpolynom - Analyse - Trigonometrische Interpolation - Zeichnen - Integral - Bild - Grafik - Entwickeln - Entwicklung - Methode - Formel - Bestimmen - Eigenschaften - Trapez - Graphen - Methode - Sin - Cos - Summe - Animation - Beispiel - Frequenz - Definition - Reelle Fourierreihe - Komplexe Fourierreihe - Simulation - Beispiele - Zerlegung - Tabelle - Formeln - Aufstellen - Polynom - Werte - Series - a0 - Bilder - Analysieren - Treppenfunktion - Periodenlänge - Phase - Dreieck-Impuls - Amplitudenspektrum - Fourierspektrum - Frequenzspektrum - Grafisch - Rechteck - Dreieck - Plotter - Funktion - Gleichung - Darstellung - Eigenschaften - Rechner - Berechnen - Plotten - Berechnung - Darstellen - Grafische Darstellung - Fourier-Approximation - Untersuchen - Untersuchung - Graph - Komplex - Sinus - Cosinus - Reell - Plotter - Reelle Koeffizienten - Komplexe Koeffizienten - Trigonometrische Interpolation

  
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 Fourier-Reihen


MathProf - Fourier Reihen - Reihenentwicklung - Grafisch - Koeffizienten - Plotten - Periode - Rechner - Sägezahn - Beispiel - Fourier-Analyse - Fourier-Koeffizienten - Fourierreihe - Fourier Reihenentwicklung - Entwickeln - Entwicklung - Bestimmen - Bestimmung - Fourier Reihe - Analyse - Berechnen - Komplex - Beispiel - Polynom - Werte - Plotter
Modul Fourierreihen



Das Unterprogramm [Analysis] - [Reihen] - Fourier-Reihen bietet die Möglichkeit, Untersuchungen zum Fachthema Fourier-Reihen durchzuführen und die Koeffizienten der Fourier-Reihen ermitteln zu lassen.

 

MathProf - Fourier-Reihen - Koeffizienten - Periode - Zerlegung - Tabelle - Analyse - Entwicklung - Darstellung - Fourier-Analyse - Fourierreihe - Fourier - Reihenentwicklung - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter - Fourieranalyse - Fourierreihendarstellung - Reihenentwickung

 
In manchen naturwissenschaftlich-technischen Anwendungsgebieten (z.B. Elektrotechnik) treten Zusammenhänge auf, bei welchen es erforderlich ist, diese mit Hilfe der Überlagerung sinusförmiger Funktionen zu beschreiben. Mittels der Durchführung einer Fourier-Analyse ist es möglich, die Koeffizienten der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus so zu bestimmen, dass diese durch Überlagerung eine beliebige Funktion beschreiben können.
 

Formeln - Grundlagen

 
1. Reelle Form:

Ein nicht-sinusförmiger Schwingungsvorgang y = y(t) mit einer Kreisfrequenz ω0 kann, wie folgt, nach Fourier in seine harmonischen Komponenten (Grundschwingung und Oberschwingung) zerlegt werden:

Fourier-Reihe - Gleichung - 1

Die reellen Koeffizienten dieser Zerlegung tragen hierbei die Bezeichnungen a0, a1, a2 ... und b1, b2 ... und werden aus nachfolgend aufgeführten Integralen berechnet:

Fourier-Reihe - Gleichung - 2

Fourier-Reihe - Gleichung - 3

Fourier-Reihe - Gleichung - 4

2. Komplexe Form:

 

Fourier-Reihen können auch mit Hilfe komplexer Zahlen beschrieben werden:

 

Fourier-Reihe - Gleichung - 5

 

Eine Einsicht darüber erlangt man, indem man die Summe aufteilt:

 

Fourier-Reihe - Gleichung - 6

Fourier-Reihe - Gleichung - 7

 

Durch Koeffizientenvergleich erhält man:

 

Fourier-Reihe - Gleichung - 8

 

Es gilt:

Fourier-Reihe - Gleichung - 9

 

mit:

 
T = 2π/ω0: Schwingungsdauer

ω0: Kreisfrequenz der Grundschwingung

nω0: Kreisfrequenzen der harmonischen Oberschwingungen (n = 2,3,4...)

an,bn: Reelle Koeffizienten

cn: Komplexe Koeffizienten

Fourier-Reihe - Gleichung - 11

 

Dieses Modul ermöglicht es, Fourier-Reihen mit einer Periode von p = 2π von stetigen Funktionen entwickeln zu lassen und die reellen Koeffizienten an und bn, sowie die komplexen Koeffizienten cn bzw. c-n bestimmen zu lassen.

 

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Fourier-Reihe - Fourierkoeffizienten - Animation - Berechnung - Funktion - Fourier-Reihen - Periode - Zerlegung - Analyse - Entwicklung - Fourierreihen - Fourier-Analyse - Fourierreihe - Fourier Koeffizienten - Fourier Reihenentwicklung - Sägezahnkurve - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter


Gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor, um Koeffizienten von Fourier-Reihen bestimmen zu lassen und sich Zusammenhänge zu diesem Fachthema grafisch zu veranschaulichen.

  1. Definieren Sie die zu analysierende Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld f(x,p) =.
     
  2. Legen Sie die zur Ermittlung der Reihe zu verwendende Koeffizientenanzahl durch die Eingabe eines ganzzahligen Werts in das Feld Anz. Koeffizienten fest.
     
  3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm die Werte für die entsprechenden rellen Koeffizienten a[n] sowie b[n] aus. Zudem werden die Werte der komplexen Koeffizienten c[n] bzw. c[-n] in der Tabelle angezeigt.
     
  4. Um sich die Darstellung der ermittelten Reihe grafisch ausgeben zu lassen, legen Sie in den Eingabefeldern (Darstellungsbereich von x1 = und bis x2 =) den zur Ausgabe der entsprechenden Kurve zu verwendenden Wertebereich fest (voreingestellt: -π x π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     

    Beachten Sie: Der gewählte Darstellungsbereich (Periode p) darf den Wert p = 2π nicht überschreiten. Bei der Bemessung dieses Bereichs gilt: |x2-x1| 2π.
     

  5. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     

  6. Das Programm verwendet nach Aufruf der grafischen Darstellung für die Anzahl von Gliedern den im Eingabefeld Koeffizientenanzahl festgelegten Wert. Durch eine Bedienung des Rollbalkens Koeffizientenanzahl kann dieser hierauf verändert werden.
     
  7. Durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der aufklappbaren Box bestehen folgende Möglichkeiten die Darstellung zu beeinflussen. Es sind dies:

     

    Reihe in gew. Bereich und Fkt.: Darstellung der ermittelten Reihe über den gewählten Ausgabebereich (x1 x x2) sowie Darstellung der Funktion f(x,p).
    Reihe in gew. Bereich ohne Fkt.: Darstellung der ermittelten Reihe über den gewählten Ausgabebereich (x1
    x x2).
    Reihe über ges. Bereich und Fkt.: Darstellung der ermittelten Reihe über den gesamten Darstellungsbereich (Werte in Eingabefeldern für festgelegten Darstellungsbereich werden ignoriert) sowie Darstellung der Funktion f(x,p).
    Reihe über ges. Bereich ohne Fkt.: Darstellung der ermittelten Reihe über den gesamten Darstellungsbereich (Werte in Eingabefeldern für festgelegten Darstellungsbereich werden ignoriert).
     

  8. Durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Bereich legen Sie fest, ob der eingestellte Darstellungsbereich markiert werden soll.
     
  9. Um sich den Ordinatenwert der Funktion, bzw. den entsprechenden Wert für die ermittelte Fourier-Reihe bei einer bestimmten Abszissenposition ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Punkt, positionieren Sie den Mauscursor bei der gewünschten Abszissenposition, oder bedienen die Schaltfläche Punkt.
     
  10. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  11. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Koeffizientenanzahl oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten. Um Koeffizientenanzahlen simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation.

    Vor Ausführung einer Koeffizientenanzahlsimulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Zudem können Sie den für die Schrittweite zu verwendenden Wert einstellen. Ändern Sie diesen bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweise:

Es erfolgt keine Überprüfung der Funktion auf Unstetigkeitsstellen. Verwenden Sie deshalb ausschließlich Funktionen, die innerhalb des gewählten Bereichs stetig sind - andernfalls erhalten Sie eine fehlerhafte Darstellung bzw. fehlerhaft ermittelte Koeffizientenwerte.

 

In diesem Unterprogramm kann eine numerische Analyse mit einer Koeffizientenanzahl durchgeführt werden die zwischen 1 und 50 liegt. Je höher diese gewählt wird, desto genauer sind die Berechnungsergebnisse.

 

Beim Aufruf einer grafischen Darstellung wird die Liste evtl. zuvor ausgegebener Berechnungsergebnisse nicht aktualisiert! Dies ist stets separat durch eine Bedienung der Schaltfläche Berechnen durchzuführen!

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Bedienformular

 

Wurde zur Analyse der Zusammenhänge ein Funktionsterm erstellt, der kein Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

 

MathProf - Fourier-Reihen - Koeffizienten - Analyse - Darstellung - Periode - Fourier

 

Wurde zur Analyse der Zusammenhänge ein Funktionsterm erstellt, der das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.

 

MathProf - Fourier-Reihe - Periode - Bereich - Reell - Komplex - Zerlegung - Entwicklung - Reihen - Fourier

 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Fourier-Summen

 

Beispiele


Beispiel 1:

Bei Durchführung einer Fourier-Analyse mit der Funktion f(x) = -x³/50 über einen Bereich von 0 bis 2π erhalten Sie nach Eingabe des Terms -X^3/50, der Festlegung einer Koeffizientenanzahl von 5 und der Eingabe der Werte 0 und 6,28319 für den Darstellungsbereich, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, folgende Ergebnisse für die ermittelten reellen Koeffizienten a[0] - a[5] und b[1] - b[5] der Fourier-Reihe:

Koeff.-Nr. (n) a[n] b[n]
0 -1,23474  
1 -0,74297 1,33914
2 -0,17748 0,75957
3 -0,07276 0,51749
4 -0,03611 0,39103
5 -0,01914 0,31391


Bei Ausgabe der grafischen Darstellung nach der Durchführung eines Klicks auf die Schaltfläche Darstellen wird ersichtlich, dass diese Reihe sich im Bereich [0;2π] der Funktion f(x) = -x³/50 nähert. Ferner kann festgestellt werden, dass diese Konvergenz bei einer Erhöhung der Koeffizientenzahl zunimmt.

Für die Werte der komplexen Koeffizienten c[n] und c[-n] gibt das Programm zudem aus:

Koeff.-Nr. (n) c[n] c[-n]
0 -0,61737  
1 -0,371-0,669i -0,371+0,669i
2 -0,088-0,379i -0,088+0,379i
3 -0,036-0,258i -0,036+0,258i
4 -0,018-0,195i -0,018+0,195i
5 -0,009-0,156i -0,009+0,156i


Beispiel 2:

Es gilt, die Fourier-Reihe der Funktion f(x) = 2·sin(x/3-cos(x)/10) ermitteln und sich grafisch darstellen zu lassen. Weiterhin sind die Koordinatenwerte der definierten Funktion, sowie der ermittelten Fourier-Reihe bei einer Koeffizientenanzahl von 8, an Stelle x = 3 auszugeben. Der Darstellungsbereich sei mit 0 bis 2π festzulegen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Der Funktionsterm 2*SIN(X/3-COS(X)/10) wird im dafür vorgesehenen Eingabefeld definiert. Im Eingabefeld Anz. Koeffizienten wird der Wert 8 festgelegt.

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen und einer Positionierung des Rollbalkens Koeffizientenanzahl auf den Wert 8 (voreingestellt), sowie einer Festlegung der Koordinaten des Mausfangpunkts auf (3 / 0) nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Punkt und der Durchführung eines Klicks auf die Schaltfläche Punkt kann entnommen werden, dass der Ordinatenwert der Funktion an dieser Stelle y = 1,816, sowie der entsprechende Wert für die ermittelte Fourier-Reihe an dieser Stelle y = 1,782 beträgt.

 

Wird die grafische Darstellung beendet und hierauf die Schaltfläche Berechnen bedient, so gibt das Programm die Werte der reellen Koeffizienten a[n] und b[n] sowie der komplexen Koeffizienten c[n] und c[-n] für die ermittelte Fourier-Reihe aus.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Fourier Reihe - Fourierreihe - Enwickeln - Entwicklung - Bestimmen - Bestimmung - Methode - Berechnen - Aufstellen - Bilden - Darstellen - Entwickeln - Formel - Funktion - Fourierreihen - Beispiel - Fourier-Analyse - Fourier-Koeffizienten - Koeffizienten - Fourier Reihenentwicklung - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 1

MathProf - Fourier Reihe - Komplex - Animation - Grafisch - Periode - Sin - Cos - Periodenlänge - Phase - Plotten - Sinus - Tabelle - Zeichnen - Animation - Graph - Periode - Fourierreihen - Beispiel - Fourier-Analyse - Fourier-Koeffizienten - Fourierreihe - Fourier Reihenentwicklung - Rechner - Berechnung - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 2

MathProf - Fourierreihe - Anwendung - Koeffizienten - Sinus - Beispiel - Fourier-Analyse - Fourier-Koeffizienten - Fourier Reihenentwicklung - Komplexe Fourierreihe - Reelle Koeffizienten - Komplexe Koeffizienten - Trigonometrische Interpolation - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 3

MathProf - Fourier Reihen - Reihenentwicklung - Fourierentwicklung - Fourierpolynom - Reelle Fourierreihe - Zeichnen - Bestimmen - Analyse - Berechnen - Entwickeln - Formeln - Fourierreihen - Beispiel - Fourier-Analyse - Fourier-Koeffizienten - Fourierreihe - Fourier Reihenentwicklung - Sägezahnkurve - Plotter - Rechner - Darstellen
Grafische Darstellung - Beispiel 4

MathProf - Fourier Reihen - Reihenentwicklung - Grafisch - Koeffizienten - Plotten - Periode - Rechner - Sägezahn - Beispiel - Fourier-Analyse - Fourier-Koeffizienten - Fourierreihe - Fourier Reihenentwicklung - Entwickeln - Entwicklung - Bestimmen - Bestimmung
Grafische Darstellung - Beispiel 5

MathProf - Fourier Reihe - Analyse - Berechnen - Entwickeln - Koeffizienten - Komplex - Plotten - Beispiel - Fourier-Analyse - Fourier-Koeffizienten - Fourierreihe - Fourier Reihenentwicklung - Polynom - Werte - Rechner - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 6

MathProf - Fourierreihendarstellung - Reihenentwickung - Fourier-Analyse - Rechner - Berechnen - Darstellen - Koeffizienten - Plotten - Berechnen - Berechnung - Analyse - Koeffizienten - Fourierreihe - Funktion
Grafische Darstellung - Beispiel 7

MathProf - Fourier Reihe - Reihenentwicklung - Darstellen - Koeffizienten - Plotten - Tabelle - Funktion - Beispiel - Fourier-Analyse - Sin - Cos - Fourierreihe - Berechnen - Zeichnen - Graph - Grafisch - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 8
   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Fourier-Reihe und unter Wikipedia - Trigonometrisches Polynom zu finden.
 

Weitere implementierte Module zum Themenbereich Analysis

 
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Screenshot des Startfensters dieses Moduls
 

MathProf - Fourier-Reihe - Fourierreihen - Fourier - Fourierreihe - Fourierreihentwicklung - Koeffizienten - Komplex - Fourierentwicklung - Bestimmen - Eigenschaften - Graphen - Grafisch - Darstellung - Eigenschaften - Rechner - Berechnen - Plotten - Berechnung - Darstellen
Startfenster des Unterprogramms Fourier-Reihen
 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Trigonometrische Reihe - Fouriersynthese - Koeffizienten - Reihe - Summen - Trigonometrische Reihe - Trigonometrie - Funktion - Fourier -   Formel - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
MathProf 5.0 - Unterprogramm Fourier-Summen



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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