MathProf - Rechner für Nullstellen - Näherungsverfahren - Newtonsches Verfahren

MathProf - Analysis - Ein Programm für Mathematik zum Lösen verschiedener Aufgaben und zur Anwendung unterschiedlicher numerischer Methoden und Verfahren. Eine Software zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Analyse verschiedener Iterationsverfahren (Approximationsverfahren), welche zum numerischen Berechnen der Näherungswerte der Nullstellen mathematischer Funktionen verwendet werden.

In diesem Unterprogramm wird die Nullstellenberechnung unter Verwendung unterschiedlicher numerischer Verfahren (Algorithmen) ermöglicht. Hierzu zählen unter anderem das Newtonsche Näherungsverfahren, das Sekantenverfahren sowie das Bisektionsverfahren.

Der implementierte Nullstellen-Rechner ermöglicht die Analyse der oben beschriebenen numerischen Näherungsverfahren zur Bestimmung der Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse und die Darstellung der entsprechenden Zusammenhänge. Die Ausgabe der Werte ermittelter Ergebnisse erfolgt zur Echtzeit. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben. 

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls zur numerischen Differentiation geben, sind eingebunden.

 

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Themen und Stichworte: Numerik - Bisektionsverfahren - Regula falsi - Nullstellen berechnen - Sekantenverfahren - Iterationsverfahren - Newton-Verfahren zur Ermittlung von Nullstellen - Newton-Approximation - Sukzessive Annäherung zur Berechnung von Nullstellen - Intervallhalbierungsverfahren - Newton-Iteration - Nullstellenberechnung - Nullstellenrechner - Nullstellenbestimmung - Numerische Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen von mathematischen Funktionen - Numerische Nullstellensuche - Numerische Mathematik - Numerische Berechnung von Nullstellen - Numerische Näherungsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen - Nullstellenbestimmung mit Hilfe von Näherungsmethoden - Numerische Differentiation - Numerische Methoden zur Bestimmung von Nullstellen - Lösungsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen - Numerische Berechnung von Nullstellen - Approximationsverfahren zur Ermittlung von Nullstellen - Nullstellen-Approximation - Newtonsches Näherungsverfahren - Näherungsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen - Intervallschachtelung - Funktionsrechner für Nullstellen - Nullstellenproblem - Nullstellenverfahren - Algorithmen zur Bestimmung von Nullstellen - Numerische Approximation zur Nullstellenberechnung - Bisektionsmethode

 

Mit Hilfe des kleinen Unterprogramms [Analysis] - [Nullstellen] - Nullstellen - Iterationsverfahren können verschiedene Näherungsverfahren zur Ermittlung von Nullstellen mathematischer Funktionen (Nullstellenbestimmung - Numersiche Nullstellensuche) untersucht und verglichen werden.

Zur Auswahl stehen hierbei folgende Verfahren zur Nullstellenberechnung:

• Newton-Verfahren (Newtonsches Näherungsverfahren)
• Regula falsi (2. Art)
• Bisektions-Verfahren (Intervallhalbierungsverfahren)
• Sekanten-Methode (Sekantenverfahren)
• Brent-Methode (Brent-Verfahren)

Iterationsverfahren dieser Art werden insbesondere dann verwendet, wenn eine analytische Bestimmung von Nullstellen nicht möglich ist.

In diesem Programmteil stehen zwei nebeneinander angeordnete, aufklappbare Auswahlboxen zur Verfügung, um Näherungsverfahren auszuwählen. Hierdurch wird es nach der Durchführung der Berechnungen ermöglicht, Vergleiche zwischen den Verfahren bzgl. derer Iterationsmethodik anzustellen.

Um zwei dieser Verfahren zu vergleichen, gehen Sie folgendermaßen vor:

1. Definieren Sie im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) = die mathematische Funktion für welche Sie die Berechnung durchführen lassen möchten.
    
2. Wählen Sie zwei zu vergleichende Verfahren aus den aufklappbaren Auswahlboxen.
    
3. Legen Sie den Intervallbereich (Startintervall) fest, innerhalb dessen eine Nullstelle der Funktion gesucht werden soll. Tun Sie dies durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die dafür zur Verfügung stehenden Felder (Untersuchungsbereich von x1 = und bis x2 =).
    
4. Geben Sie in das Feld Max. Stellenzahl den ganzzahligen Wert zur Festlegung der Anzahl maximal durchzuführender Iterationsschritte ein (voreingestellt: 100).
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    
6. Um sich die Funktion und die ermittelten Iterationsstellen grafisch ausgeben zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Die Näherungswerte werden mitsamt derer zugehöriger Ordinatenwerte in den Tabellen ausgegeben. Ist schlechte Konvergenz oder Divergenz vorhanden und wird die vorgegebene Anzahl durchzuführender Schritte erreicht, so bricht das Programm die Iteration ab. Ist die definierte Funktion nicht differenzierbar, so wird eine entsprechende Meldung ausgegeben.

Beachten Sie:

Zwischen den Grenzen des Startintervalls muss die zu untersuchende Funktion eine Nullstelle besitzen und die Funktionswerte an diesen Stellen müssen entgegengesetzte Vorzeichen besitzen! Ist dies nicht der Fall, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung. Vor der Durchführung von Berechnungen können Sie die Einhaltung dieser Bedingung jedoch überprüfen, indem Sie sich die zu analysierende Funktion darstellen lassen.

Hinweis:

Diese Berechnungen werden mit einer Stellengenauigkeit von 6 Nachkommastellen durchgeführt, d.h ein ermittelter Abszissenwert wird als Nullstelle akzeptiert, wenn dieser bis auf die 6. Nachkommastelle dem numerischen Wert 0 entspricht.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkte: Darstellung der ermittelten Punkte des jeweils angewandten Verfahrens ein-/ausschalten
• Nummerierung: Nummerierung der ermittelten Punkte des jeweils angewandten Verfahrens ein-/ausschalten
• U-Bereich mark.: Markierung des Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Horner - Schema

Mathematische Funktionen I

Mathematische Funktionen II

Kurvendiskussion

Nullstellen berechnen:

Bei einer Untersuchung der Funktion f(x) = x²-2 auf Nullstellen im Bereich von -2 ≤ x ≤ 0,5 unter der Verwendung der Methoden Brent-Verfahren und Bisektionsverfahren (Intervallhalbierungsverfahren), sowie einer Begrenzung der Anzahl maximal durchzuführender Schritte auf 100, kann nach einer Eingabe des Terms X^2-2 und einer Durchführung der erforderlichen Berechnungen festgestellt werden:

Diese Funktion besitzt eine Nullstelle beim Abszissenwert x = -1,41421. Bei Anwendung des Bisektions-Verfahren waren 22 Schritte notwendig um diese Nullstelle zu ermitteln. Bei Verwendung der Brent-Methode wurden hingegen lediglich 5 Iterationsschritte durchlaufen um diese Nullstelle aufzufinden.
 

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