MathProf - Nullstellen - Näherungsverfahren - Newton - Rechner

 

Modul Nullstellen - Iterationsverfahren

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Mit Hilfe des kleinen Unterprogramms [Analysis] - [Nullstellen] - Nullstellen - Iterationsverfahren können verschiedene Näherungsverfahren zur Ermittlung von Nullstellen mathematischer Funktionen (Nullstellenbestimmung - Numersiche Nullstellensuche) untersucht und verglichen werden.

 

Als Nullstelle einer Funktion wird die Stelle bezeichnet, bei der die Kurve einer Funktion die Abszisse (x-Achse) berührt oder schneidet. Zur Berechnung der Nullstellen mathematischer Funktionen kommen unter anderem numerische Methoden zum Einsatz. Iterationsverfahren (Nullstellenverfahren) dieser Art werden insbesondere dann verwendet, wenn eine analytische Bestimmung von Nullstellen nicht möglich ist.
 
In diesem Modul stehen folgende Verfahren zur Durchführung der Nullstellenberechnung zur Auswahl:

• Newton-Verfahren (Newtonsches Näherungsverfahren)
• Regula falsi (2. Art)
• Bisektions-Verfahren (Intervallhalbierungsverfahren)
• Sekanten-Methode (Sekantenverfahren)
• Brent-Methode (Brent-Verfahren)

Hierbei stehen zwei nebeneinander angeordnete, aufklappbare Auswahlboxen zur Verfügung, um Näherungsverfahren zu selektieren. Somit wird es ermöglicht, Vergleiche zwischen den Verfahren bzgl. derer Iterationsmethodik anzustellen.

 

 
Durch die Festlegung eines geeigneten Startwerts x₀ können mit Hilfe des Newtonschen Tangentenverfahrens Näherungswerte für die gesuchte Lösung einer Gleichung der Form f(x) = 0 ermittelt werden. Die hierbei angewandte Iterationsvorschrift lautet:


 
Konvergenzbedingung: Die Folge der hierdurch ermittelten Näherungswerte x₀, x₁, x₂ ... konvergiert in diesem Fall gegen die Lösung der Gleichung f(x) = 0, wenn im Intervall [a,b], in dem sich alle Näherungswerte befinden, die nachfolgende Bedingung erfüllt ist:


   

Zwischenwertsatz:

Der Zwischenwertsatz findet zum Nachweis von Nullstellen einer Funktion Anwendung. Zugleich gibt er Auskunft darüber, ob eine Gleichung innerhalb eines bestimmten Intervalls eine Lösung besitzt. Er besagt:

Eine in einem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige Funktion f nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal in (a,b) an.

Nullstellensatz (Satz von Bolzano):

Eine Nullstelle x₀ einer Funktion f ist der Wert aus dem Definitionsbereich bei dem der Funktionswert verschwindet, f(x₀) = 0. Der Nullstellensatz besagt:

Eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige Funktion mit f(a)·f(b) < 0 besitzt in (a,b) mindestens eine Nullstelle x₀ ungerader Ordnung a < x₀ < b mit f(x₀) = 0.
 

Um zwei der oben aufgeführten Verfahren zu vergleichen, gehen Sie folgendermaßen vor:

1. Definieren Sie im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) = die mathematische Funktion für welche Sie die Berechnung durchführen lassen möchten.
    
2. Wählen Sie zwei zu vergleichende Verfahren aus den aufklappbaren Auswahlboxen.
    
3. Legen Sie den Intervallbereich (Startintervall) fest, innerhalb dessen eine Nullstelle der Funktion gesucht werden soll. Tun Sie dies durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die dafür zur Verfügung stehenden Felder (Untersuchungsbereich von x1 = und bis x2 =).
    
4. Geben Sie in das Feld Max. Stellenzahl den ganzzahligen Wert zur Festlegung der Anzahl maximal durchzuführender Iterationsschritte ein (voreingestellt: 100).
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    
6. Um sich die Funktion und die ermittelten Iterationsstellen grafisch ausgeben zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Die Näherungswerte werden mitsamt derer zugehöriger Ordinatenwerte in den Tabellen ausgegeben. Ist schlechte Konvergenz oder Divergenz vorhanden und wird die vorgegebene Anzahl durchzuführender Schritte erreicht, so bricht das Programm die Iteration ab. Ist die definierte Funktion nicht differenzierbar, so wird eine entsprechende Meldung ausgegeben.

Beachten Sie:

Zwischen den Grenzen des Startintervalls muss die zu untersuchende Funktion eine Nullstelle besitzen und die Funktionswerte an diesen Stellen müssen entgegengesetzte Vorzeichen besitzen! Ist dies nicht der Fall, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung. Vor der Durchführung von Berechnungen können Sie die Einhaltung dieser Bedingung jedoch überprüfen, indem Sie sich die zu analysierende Funktion darstellen lassen.

 

Hinweis:

Diese Berechnungen werden mit einer Stellengenauigkeit von 6 Nachkommastellen durchgeführt, d.h ein ermittelter Abszissenwert wird als Nullstelle akzeptiert, wenn dieser bis auf die 6. Nachkommastelle dem numerischen Wert 0 entspricht.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkte: Darstellung der ermittelten Punkte des jeweils angewandten Verfahrens ein-/ausschalten
• Nummerierung: Nummerierung der ermittelten Punkte des jeweils angewandten Verfahrens ein-/ausschalten
• U-Bereich mark.: Markierung des Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Horner - Schema

Mathematische Funktionen I

Mathematische Funktionen II

Kurvendiskussion

 

 
Bei einer Untersuchung der Funktion f(x) = x²-2 auf Nullstellen im Bereich von -2 ≤ x ≤ 0,5 unter der Verwendung der Methoden Brent-Verfahren und Bisektionsverfahren (Intervallhalbierungsverfahren), sowie einer Begrenzung der Anzahl maximal durchzuführender Schritte auf 100, kann nach einer Eingabe des Terms X^2-2 und einer Durchführung der erforderlichen Berechnungen festgestellt werden:

Diese Funktion besitzt eine Nullstelle beim Abszissenwert x = -1,41421. Bei Anwendung des Bisektions-Verfahren waren 22 Schritte notwendig um diese Nullstelle zu ermitteln. Bei Verwendung der Brent-Methode wurden hingegen lediglich 5 Iterationsschritte durchlaufen um diese Nullstelle aufzufinden.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Nullstelle
Wikipedia - Newton-Verfahren
Wikipedia - Gauß-Newton-Verfahren
Wikipedia - Regula falsi
Wikipedia - Bisektion
  

 
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Startfenster des Unterprogramms Nullstellen - Iterationsverfahren
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Horner-Schema

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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