MathProf - Binomische Formel - Zahlen - Binom - Rechner - Quadrat

Fachthema: Binomische Formel

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Interpretation von Sachverhalten bzgl. binomischer Formeln zweiten Grades.

Dieses Unterprogramm ermöglicht die Durchführung der interaktiven Analyse der grafischen Herleitung des binomischen Lehrsatzes.

Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm

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Themen und Stichworte zu diesem Modul: Binom - Binomische Formel - Binomische Gleichung - Binomischer Lehrsatz - Rechnen mit binomischen Formeln - Bildlich - a - b - Binomische Formeln - Binomisch - Erste binomische Formel - Zweite binomische Formel - Dritte binomische Formel - Quadratische Terme - Binomische Formel grafisch - 1. binomische Formel - 2. binomische Formel - Hoch 2 - Hoch 3 - Hoch 4 - Hoch 5 - Quadrat - Fläche - Flächeninhalt - Bilder - Darstellung - Binome - Faktorisieren - Ausklammern - Formeln - Multiplizieren - Umformen - Berechnen - Plotten - Plotter - Berechnung - Rechnen - Darstellen - Zeichnen - Graph - Grafisch - Übersicht - Rechengesetze - Auflösen - Anwenden - Erklärung - Beschreibung - Übersicht - Definition - Multiplizieren - Umwandeln - Zahlen - Zerlegen - Vereinfachen - Terme - Klammer - Klammer auflösen - Geometrisch - Lösen - Lösungen - Erklärung - Mathematik - Kubisch - Positiv - Negativ - Produkt - Umgekehrt - Variablen - Auflösen - Zweiten Grades - Dritten Grades - Vierten Grades - Exponent - Grad 2 - Grad 3 - Grad 4 - Quadrat - Quadratisch - Summanden - Variablen - Zahlen - Potenzen von Binomen - Quadrat - Merksatz - Merksätze - Faktorisieren - Rechner - Zeichnung - Veranschaulichen - Veranschaulichung - Rückwärts - Vorwärts - Beispiel - Zeichnerisch

 

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Modul Binomische Formel

 
Das kleine Unterprogramm [Algebra] - [Sonstiges] - Binomische Formel ermöglicht eine grafische Interpretation der Zusammenhänge bei der binomischen Formel 1. Grades.

Binomische Formeln dienen der Umformung von Produkten aus Binomen.

Geometrische (grafische) Deutung:

Das Produkt zweier Zahlen lässt sich stets als Fläche zweier Seiten eines Quadrats, oder Rechtecks mit den Längen a und b darstellen. Somit ergibt sich für (a+b)² die Fläche eines Quadrates mit den Seitenlängen (a+b). Dieses Quadrat lässt sich in vier Teilflächen zerlegen. Es sind dies die Quadrate a² und b², sowie die beiden Rechteckflächen a·b. Somit lässt sich der algebraische Ausdruck (a + b)² = a² + 2·a·b + b² herleiten.
 

 
Binome setzen sich aus Faktoren mit zwei Variablen zusammen, welche additiv auftreten.
 

Durch Anwendung dieser Formeln kann das Quadrat einer algebraischen Summe angegeben werden. Zudem ist es möglich einen algebraischen Summenterm in Faktoren zu zerlegen.
 

Verallgemeinerter binomischer Lehrsatz:


Die erste binomische Formel besitzt den Ausdruck (a + b)² und besitzt die Lösung a² + 2·a·b + b².

Die Merkregel zum Ausmultiplizieren binomischer Formeln dieser Art lautet:

- Das erste Glied quadrieren
- Das Doppelte des ersten und des zweites Gliedes bilden
- Das zweite Glied quadrieren

Hinweis: In diesem Unterprogramm werden die entsprechenden Sachverhalte lediglich anhand der 1. binomischen Formel behandelt.

Die zweite binomische Formel lautet (a - b)². Sie besitzt die Lösung a² - 2·a·b + b².

Die dritte binomische Formel besitzt den Ausdruck (a + b)·(a - b) und besitzt die Lösung a² - b².

Herleitungen und Lösungswege (Auflösen der Klammern - Zerlegen):

1. binomische Formel: ( a + b )² = ( a + b ) · ( a + b ) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²
2. binomische Formel: ( a - b )² = ( a - b ) · ( a - b ) = a² - ab - ba + b² = a² - 2ab + b²
3. binomische Formel: ( a + b ) · ( a - b ) = a² - ab + ba - b² = a² - b²
 
Binomische Formeln für höhere Potenzen:

( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
( a + b )⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
( a + b )⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

( a - b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
( a - b )⁴ = a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴
( a - b )⁵ = a⁵ - 5a⁴b + 10a³b² -10a²b³ + 5ab⁴ - b⁵

Beispiele:

Beispiel 1 der Anwendung der ersten binomischen Formel (vorwärts):

Gegeben sei der Term (3x + 2y)²:

Dieser ist unter Anwendung der hierfür geltenden Rechengesetze aufzulösen.

Für den Koeffizienten a der binomischen Formel wird der Ausdruck 3x und für den Koeffizienten b der Ausdruck 2y eingesetzt. Hieraus ergibt sich gemäß dem Lehrsatz (a + b)² = a² + 2ab + b² mit a = 3x und b = 2y:

a² + 2ab + b²
(3x)² + 2·3x·2y + (2y)²
= 9x² + 12xy + 4y²

→ Somit gilt: (3x + 2y)² = 9x² + 12xy + 4y²

Beispiel 2 der Anwendung der ersten binomischen Formel (rückwärts):

Gegeben sei der Term 25x² + 30xy + 9y²:

Dieser ist in Form einer binomischen Formel darzustellen.

Aus dem linken Term 25x² und dem rechten Term 9y² wird die Wurzel gezogen.

25x² + 30xy + 9y²
25x² = a²  → a = 5x
9y² = b²  → b = 3y

Der mittlere Term 30xy wird auf seine Korrektheit geprüft:

30xy = 2ab  → 2·5·3·x·y = 30xy

→ Somit gilt: (5x + 3y)² = 25x² + 30xy + 9y² bzw. (a + b)² = a² + 2ab + b²
   

In diesem Unterprogramm kann die Überprüfung dieses Sachverhalts des binomischen Lehrsatzes anhand der ersten binomischen Formel mit Hilfe einer grafischen Darstellung durchgeführt werden.

Durch die Bedienung des Schiebereglers Parameter a werden die Seitenverhältnisse der entsprechend positionierten Rechtecke und Quadrate geändert. Die hierauf unmittelbar aktualisierten Berechnungsergebnisse werden ausgegeben.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Spezielle Gleichungen

Stellen Sie die Rollbalkenposition für Parameter a auf den Wert 4 ein, so erhalten Sie für das graue Quadrat die Fläche a² = 4² = 16, für das grüne Quadrat die Fläche b² = 12² = 144 und für das rote, sowie das blaue Rechteck jeweils die Fläche a·b = 48.

Aufsummiert ergibt derer gesamter Flächeninhalt 16 + 2·48 + 144 = 16 + 96 + 144 = 256. Dieser entspricht dem Wert, der über den algebraischen Ausdruck (a+b)² = (4+12)² = 256 ermittelt wird.
 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Binomischer Lehrsatz
Wikipedia - Binomische Formeln

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

MathProf 5.0 - Unterprogramm Brüche - Dezimalzahlen - Kettenbrüche

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

Unsere Produkte

 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.

 

I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 

MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
• Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
• Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
• Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
• Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
• Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
• Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 
 

 

 

II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv
 

PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
 

Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
• Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
• Kurzinfos zum Themengebiet Optik
• Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 
 

 

 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 

Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.