MathProf - Rechnen mit komplexen Zahlen - Reelle Zahlen - Imaginäre Zahlen

MathProf - Mathematik-Software - Umrechnen komplexer Zahlen | Realteil | Imaginärteil

Fachthema: Rechnen mit komplexen Zahlen

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung komplexer Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Umrechnen komplexer Zahlen | Realteil | Imaginärteil

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung verschiedener Berechnungen
mit komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene (komplexen Zahlenebene).

Dieses Unterprogramm ermöglicht das Umrechnen komplexer Zahlen zwischen der kartesischen Form, der Exponentialform und der Polarform.
Die vom Programm ermittelten Lösungen werden in einer Tabelle ausgegeben und lassen sich ausdrucken.

Radizieren komplexer Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Subtraktion komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Division komplexer Zahlen - Potenzieren komplexer Zahlen - Konjugation komplexer Zahlen - Logarithmus komplexer Zahlen - Umwandlung komplexer Zahlen - Wurzel komplexer Zahlen - Einheitswurzel - Komplexe Einheitswurzel - Rechenregeln komplexer Zahlen - Darstellung komplexer Zahlen - Darstellungsformen komplexer Zahlen - Polardarstellung komplexer Zahlen - Komplexe Zahlen in Polarkoordinatendarstellung - Betrag einer komplexen Zahl

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Komplexe Zahl - Rechnen mit komplexen Zahlen - Reelle Zahlen - Imaginäre Zahlen - Real- und imaginärteil - Komplexe Zahlen berechnen - Rechner für komplexe Zahlen - Umrechnung komplexer Zahlen - Realteil komplexer Zahlen - Betrag einer komplexer Zahl - Imaginärteil komplexer Zahlen - Komplexe Zahlen potenzieren - Komplexe Zahlen umwandeln - Eulersche Zahl - Inverse komplexe Zahl - Komplexe Wurzel - Wurzeln komplexer Zahlen - Trigonometrische Form einer komplexen Zahl - Quadratwurzel komplexer Zahlen - Exponentialform komplexer Zahlen - Komplexe Zahlen potenzieren - Komplexe Zahlen umrechnen - Polardarstellung komplexer Zahlen - Komplexe Zahlen in Polarform - Polarkoordinaten komplexer Zahlen - Potenz komplexer Zahlen - Rechenregeln komplexer Zahlen - Sinus komplexer Zahlen - Winkel komplexer Zahlen - Cosinus komplexer Zahlen - Tangens komplexer Zahlen - Konjugiert komplexe Zahlen - Komplex konjugierte Zahl - Komplement - Konjugation komplexer Zahlen - Polardarstellung komplexer Zahlen - Kartesische Darstellung komplexer Zahlen - Exponentielle Darstellung komplexer Zahlen - Exponentialdarstellung einer komplexen Zahl - Quadratwurzel einer komplexen Zahl - Radizieren einer komplexen Zahl - Komplexe Zahlen in Exponentialschreibweise - Reziproke einer komplexen Zahl - Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen - Trigonometrische Form komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Komplexe Zahlenmenge - Komplexe Zahlen umformen - Komplexe Zahlen umwandeln - Absolutbetrag - Logarithmus - Euler - Form - Potenz - Quadrat - Quadratwurzel - Quadrieren - Konjugiert komplexe Zahl - Umrechnen - Umrechnung - Umwandeln - Umwandlung - Konjugieren - Radizieren - Argument - Betrag - Quotient - Potenzieren - Eulersche Gleichung - Eulersche Form - Sinus - Cosinus - Hyperbolicus - Tangens - Wurzel - Exponent - Negative Wurzel - Tabelle - Werte - Winkel - Beispiele - Formel - Hoch 3 - Hoch 4 - Hoch n - Untersuchen - Untersuchung - Berechnen - Rechner - Bestimmen - Rechenregeln - Argument einer komplexen Zahl

 
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Rechnen mit komplexen Zahlen in verschiedenen Darstellungsformen

 

Im Unterprogramm [Algebra] - [Komplexe Zahlen] - Berechnungen mit komplexen Zahlen können verschiedene Berechnungen mit komplexen Zahlen durchgeführt werden.

 

MathProf - Komplexe Zahlen - Kartesische Form - Polarform - Exponentialform - Trigonometrische Form - Darstellungsformen - Reelle Zahlen - Imaginäre Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen - Umwandlung komplexer Zahlen - Umrechnung komplexer Zahlen

 
Die Benutzung dieses Programmmoduls ermöglicht die:
 

  • Umwandlung einer, in bestimmter Form, gegebenen komplexen Zahl Z in andere Darstellungsformen
     

  • Ermittlung einer zu Z konjugiert komplexen Zahl Z*
     

  • Ermittlung

    - des Betrags einer komplexen Zahl Z
    - der 2. und 3. Potenz einer komplexen Zahl Z
    - der Reziproken einer komplexen Zahl Z
    - der Lösungen der 2. und 3. Wurzeln einer komplexen Zahl Z
    - des nat. Logarithmus einer komplexen Zahl Z
     

  • Bildung von

    - Summe
    - Differenz
    - Produkt
    - Quotient

    zweier komplexen Zahlen Z1 und Z2
     

  • Ermittlung der Hauptwerte folgender trigonometrischer Funktionen einer komplexen Zahl Z:

    - Sinus von Z
    - Cosinus von Z
    - Tangens von Z
    - Sinus hyperbolicus von Z
    - Cosinus hyperbolicus von Z
    - Tangens hyperbolicus von Z

Schreibweisen komplexer Zahlen


Komplexe Zahlen können in folgenden Schreibweisen definiert werden:

Kartesische Form:

z = x + jy

x: Realteil von z

y: Imaginärteil von z

j: Imaginäre Einheit (j2 = -1)


Polarform:

z = r·(cos(φ) + j·sin(φ))

r: Betrag von z

φ: Argument (Winkel) von z


Exponentialform:

z = r·ejφ

r: Betrag von z

φ: Argument (Winkel) von z

e: Eulersche Zahl


Eulersche Formel:

e= cos(φ) + i·sin(φ)
e-= cos(φ) - i
·sin(φ)
 

Mathematische Zusammenhänge - Rechenregeln komplexer Zahlen

 

Mathematische Zusammenhänge zu diesem Fachthema werden nachfolgend aufgezeigt:

 

Grundlegendes (Rechenregeln):

 

j2 = -1

j3 = j · j2 = -j

j4 = j2 · j2 = (-1) · (-1) = +1

1 / j = -j

 

r = |z| = (x² + y²)

tan φ = y / x

 

 

Gleichheit:

 

z1 = z2 genau dann, wenn x1 = x2 und y1 = y2

 

Addition:

 

z1 + z2 = (x1 + x2) + j (y1 + y2)

 

Subtraktion:

 

z1 - z2 = (x1 - x2) + j (y1 - y2)

 

Multiplikation:

 

z1 · z2 = (x1x2 - y1y2) + j (x1y2 + x2y1)

z1 · z2 = r1r2[cos(φ1 + φ2) + j sin(φ1 + φ2)]

          = r1r2·e j(φ1+φ2)

 

Division:

 

z1 / z2 = (x1x2 + y1y2) / (x2² + y2²) + j (x2y1 - x1y2) / (x2² + y2²)

z1 / z2 = r1 / r2[cos(φ1 - φ2) + j sin(φ1 - φ2)]

          = r1/ r2·e j(φ1-φ2)

 

Konjugiert komplexe Zahl:

 

z* = x - jy ist die z = x + jy konjugiert komplexe Zahl

 

Für zwei zueinander konjugierte komplexe Zahlen z1 und z2 gilt:

 

z1 = z2*

z2 = z1*

 

Die Zeiger der zugehörigen Bildpunkte liegen spiegelsymmetrisch zur reellen Achse.

 

Wurzeln:

 

Die Gleichung  zn = a = a0·e jα (mit a0 > 0)

besitzt genau n verschiedene Lösungen (Wurzeln):

 

zk = nr[cos(φ/n + 2π·k/n) + j sin(φ/n + 2π·k/n)  mit k = 0...n-1

 

Die zugehörigen Bildpunkte liegen auf dem Mittelpunktskreis mit dem Radius Rna0

 

Potenz:

 

zn = [r·e jφ] = rn·e jnφ

 

zn = [r[cos(φk) + j sin(φk)]]n =  rn[cos(nφk) + j sin(nφk)]

 

Vor dem Potenzieren muss eine komplexe Zahl in Polarform gebracht werden.

 

Natürlicher Logarithmus:

 

ln z = ln r + j (φ + k·2π )

 

mit: z ≠ 0 , k Z , (0  ≤ φ < )

 

Der natürliche Logarithmus ist unendlich vieldeutig.

Der Hauptwert wird für k = 0 angenommen.

 

Trigonometrische Funktionen:

 

sin(x + jy) = sin (x) · cosh (y) + j cos (x) · sinh (y)

cos(x + jy) = cos (x) · cosh (y) - j sin (x) · sinh (y)

tan(x + jy) = sin (2x) / (cos (2x) + cosh 2y ) + j sinh (2y) / (cos (2x) + cosh (2y) )

sinh(x + jy) = sinh (x) · cos (y) + j cosh (x) sin (y)

cosh(x + jy) = cosh (x) · cos (y) + j sinh (x) sin (y)

tanh(x + jy) = sinh (2x) / (cosh (2x) + cos (2y)) + j sin (2y) / (cosh (2x) + cos (2y) )

 

Berechnung

 

Berechnungen in diesem Unterprogramm werden grundsätzlich mit zwei komplexen Zahlen z1 und z2 durchgeführt. Deren Definition kann erfolgen in:
 

  • Kartesischer Form

  • Exponentialform

  • Polarform

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Kartesische Form, Polarform oder Exponentialform für die komplexen Zahlen z1 und z2 und der Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder, gibt das Programm die Ergebnisse nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen in der Tabelle aus. Diese werden in den drei oben aufgeführten Darstellungsformen angezeigt.

 

Durch die Aktivierung des Kontrollschalters Winkelangaben für φ in Bogenmaß bzw. Winkelangaben für φ in Gradmaß können Sie festlegen, ob die Berechnungen für komplexe Zahlen in Exponentialform im Grad- oder im Bogenmaß durchgeführt werden sollen.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Themenbereiche

 

Einheitskreis komplexer Zahlen

Taschenrechner für komplexe Zahlen

Schreibweisen komplexer Zahlen

Addition komplexer Zahlen

Multiplikation komplexer Zahlen

 

Beispiel

 

Lassen Sie Berechnungen mit den beiden in kartesischer Form gegebenen Zahlen z1 = 2 - 2 j und z2 = 4 + 5 j durchführen, so ermittelt das Programm nach einer Aktivierung der beiden Kontrollschalter für Kartesische Form, sowie des Kontrollschalters Winkelangaben für φ  in Bogenmaß, der Eingabe der relevanten Zahlenwerte und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:


Für die komplexe Zahl z1:

Komplexe Zahl z1:
In kartesischer Form: z1 = 2 - 2 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 = 2,82843 · ( cos(5,49779) + j · sin(5,49779) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 = 2,82843 · e5,49779j

Konjugierte zur komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: z1* = 2 + 2 j
Nach Wandlung in Polarform: z1* = 2,82843 · ( cos(0,7854) + j · sin(0,7854) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1* = 2,82843 · e0,7854j

Betrag der komplexen Zahl z1: | z1 | = 2,82843

2. Potenz der komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: z1 ² = 0 - 8 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 ² = 8 · ( cos(4,71239) + j · sin(4,71239) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 ² = 8 · e4,71239j

3. Potenz der komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: z1 ³ = -16 - 16 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 ³ = 22,62742 · ( cos(3,92699) + j · sin(3,92699) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 ³ = 22,62742 · e3,92699j

Reziproke der komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: 1/z1 = 0,25 + 0,25 j
Nach Wandlung in Polarform: 1/z1 = 0,35355 · ( cos(0,7854) + j · sin(0,7854) )
Nach Wandlung in Exponentialform: 1/z1 = 0,35355 · e0,7854j

2. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 1:
In kartesischer Form: z = 1,55377 - 0,64359 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,68179 · ( cos(5,89049) + j · sin(5,89049) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,68179 · e5,89049j

2. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 2:
In kartesischer Form: z = -1,55377 + 0,64359 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,68179 · ( cos(2,74889) + j · sin(2,74889) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,68179 · e2,74889j

3. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 1:
In kartesischer Form: z = -1 - 1 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,41421 · ( cos(3,92699) + j · sin(3,92699) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,41421 · e3,92699j

3. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 2:
In kartesischer Form: z = 1,36603 - 0,36603 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,41421 · ( cos(6,02139) + j · sin(6,02139) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,41421 · e6,02139j

3. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 3:
In kartesischer Form: z = -0,36603 + 1,36603 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,41421 · ( cos(1,8326) + j · sin(1,8326) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,41421 · e1,8326j

Natürlicher Logarithmus der komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: ln(z1) = 1,03972 + 5,49779 j
Nach Wandlung in Polarform: ln(z1) = 5,59524 · ( cos(1,38389) + j · sin(1,38389) )
Nach Wandlung in Exponentialform: ln(z1) = 5,59524 · e1,38389j
 

Für die komplexe Zahl z2:

Komplexe Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z2 = 4 + 5 j
Nach Wandlung in Polarform: z2 = 6,40312 · ( cos(0,89606) + j · sin(0,89606) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z2 = 6,40312 · e0,89606j

Konjugierte zur komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z2* = 4 - 5 j
Nach Wandlung in Polarform: z2* = 6,40312 · ( cos(5,38713) + j · sin(5,38713) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z2* = 6,40312 · e5,38713j

Betrag der komplexen Zahl z2: | z2 | = 6,40312

2. Potenz der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z2 ² = -9 + 40 j
Nach Wandlung in Polarform: z2 ² = 41 · ( cos(1,79211) + j · sin(1,79211) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z2 ² = 41 · e1,79211j

3. Potenz der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z2 ³ = -236 + 115 j
Nach Wandlung in Polarform: z2 ³ = 262,52809 · ( cos(2,68817) + j · sin(2,68817) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z2 ³ = 262,52809 · e2,68817j

Reziproke der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: 1/z2 = 0,09756 - 0,12195 j
Nach Wandlung in Polarform: 1/z2 = 0,15617 · ( cos(5,38713) + j · sin(5,38713) )
Nach Wandlung in Exponentialform: 1/z2 = 0,15617 · e5,38713j

2. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 1:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = -2,28069 - 1,09616 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 2,53044 · ( cos(3,58962) + j · sin(3,58962) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 2,53044 · e3,58962j

2. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = 2,28069 + 1,09616 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 2,53044 · ( cos(0,44803) + j · sin(0,44803) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 2,53044 · e0,44803j

3. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 1:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = -1,36058 + 1,26374 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,85694 · ( cos(2,39308) + j · sin(2,39308) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,85694 · e2,39308j

3. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = -0,41414 - 1,81017 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,85694 · ( cos(4,48748) + j · sin(4,48748) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,85694 · e4,48748j

3. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 3:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = 1,77472 + 0,54643 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,85694 · ( cos(0,29869) + j · sin(0,29869) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,85694 · e^ 0,29869 j

Natürlicher Logarithmus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: ln(z2) = 1,85679 + 0,89606 j
Nach Wandlung in Polarform: ln(z2) = 2,06169 · ( cos(0,44962) + j · sin(0,44962) )
Nach Wandlung in Exponentialform: ln(z2) = 2,06169 · e0,44962j


Für durchgeführte Rechenoperationen mit Zahl z1 und Zahl z2:

Summe der komplexen Zahlen z1 und z2:
Kartesische Form der Summe: z1 + z2 = 6 + 3 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 + z2 = 6,7082 · ( cos(0,46365) + j · sin(0,46365) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 + z2 = 6,7082 · e0,46365j

Differenz der komplexen Zahlen z1 und z2:
Kartesische Form der Differenz: z1 - z2 = -2 - 7 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 - z2 = 7,28011 · ( cos(4,43409) + j · sin(4,43409) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 - z2 = 7,28011 · e4,43409j

Produkt der komplexen Zahlen z1 und z2:
Kartesische Form des Produkts: z1 · z2 = 18 + 2 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 · z2 = 18,11077 · ( cos(0,11066) + j · sin(0,11066) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 · z2 = 18,11077 · e0,11066j

Quotient der komplexen Zahlen z1 und z2:
Kartesische Form des Quotienten: z1 / z2 = -0,04878 - 0,43902 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 / z2 = 0,44173 · ( cos(4,60173) + j · sin(4,60173) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 / z2 = 0,44173 · e4,60173j


Für die Ermittlung trigonometrischer Funktionen der Zahl z1:


Sinus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: sin(z1) = 3,42095 + 1,50931 j
Nach Wandlung in Polarform: sin(z1) = 3,73911 · ( cos(0,41551) + j · sin(0,41551) )
Nach Wandlung in Exponentialform: sin(z1) = 3,73911 · e0,41551j

Cosinus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: cos(z1) = -1,56563 + 3,29789 j
Nach Wandlung in Polarform: cos(z1) = 3,65066 · ( cos(2,01403) + j · sin(2,01403) )
Nach Wandlung in Exponentialform: cos(z1) = 3,65066 · e2,01403j

Tangens der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: tan(z1) = -0,02814 - 1,02384 j
Nach Wandlung in Polarform: tan(z1) = 1,02422 · ( cos(4,68491) + j · sin(4,68491) )
Nach Wandlung in Exponentialform: tan(z1) = 1,02422 · e4,68491j

Sinus hyperbolicus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: sinh(z1) = -1,50931 - 3,42095 j
Nach Wandlung in Polarform: sinh(z1) = 3,73911 · ( cos(4,29688) + j · sin(4,29688) )
Nach Wandlung in Exponentialform: sinh(z1) = 3,73911 · e4,29688j

Cosinus hyperbolicus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: cosh(z1) = -1,56563 - 3,29789 j
Nach Wandlung in Polarform: cosh(z1) = 3,65066 · ( cos(4,26916) + j · sin(4,26916) )
Nach Wandlung in Exponentialform: cosh(z1) = 3,65066 · e4,26916j

Tangens hyperbolicus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: tanh(z1) = 1,02384 + 0,02839 j
Nach Wandlung in Polarform: tanh(z1) = 1,02423 · ( cos(0,02772) + j · sin(0,02772) )
Nach Wandlung in Exponentialform: tanh(z1) = 1,02423 · e0,02772j


Für die Ermittlung trigonometrischer Funktionen der Zahl z2:


Sinus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: sin(z2) = -56,16227 - 48,50246 j
Nach Wandlung in Polarform: sin(z2) = 74,20707 · ( cos(3,85394) + j · sin(3,85394) )
Nach Wandlung in Exponentialform: sin(z2) = 74,20707 · e3,85394j

Cosinus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: cos(z2) = -48,50686 + 56,15717 j
Nach Wandlung in Polarform: cos(z2) = 74,20609 · ( cos(2,28323) + j · sin(2,28323) )
Nach Wandlung in Exponentialform: cos(z2) = 74,20609 · e2,28323j

Tangens der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: tan(z2) = 0,00009 + 1,00001 j
Nach Wandlung in Polarform: tan(z2) = 1,00001 · ( cos(1,57071) + j · sin(1,57071) )
Nach Wandlung in Exponentialform: tan(z2) = 1,00001 · e1,57071j

Sinus hyperbolicus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: sinh(z2) = 7,74112 - 26,18653 j
Nach Wandlung in Polarform: sinh(z2) = 27,30676 · ( cos(4,99982) + j · sin(4,99982) )
Nach Wandlung in Exponentialform: sinh(z2) = 27,30676 · e4,99982j

Cosinus hyperbolicus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: cosh(z2) = 7,74631 - 26,16896 j
Nach Wandlung in Polarform: cosh(z2) = 27,29139 · ( cos(5,00018) + j · sin(5,00018) )
Nach Wandlung in Exponentialform: cosh(z2) = 27,29139 · e5,00018j

Tangens hyperbolicus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: tanh(z2) = 1,00056 - 0,00037 j
Nach Wandlung in Polarform: tanh(z2) = 1,00056 · ( cos(6,28282) + j · sin(6,28282) )
Nach Wandlung in Exponentialform: tanh(z2) = 1,00056 · e6,28282j

 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl

Wikipedia - Darstellungsformen komplexer Zahlen
 
Implementierte Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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