MathProf - Rechnen mit komplexen Zahlen

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Rechnen mit komplexen Zahlen

 

Im Unterprogramm [Algebra] - [Komplexe Zahlen] - Berechnungen mit komplexen Zahlen können verschiedene Berechnungen mit komplexen Zahlen durchgeführt werden.

 

MathProf - Komplexe Zahlen - Produkt

 

Die Benutzung dieses Programmmoduls ermöglicht die:
 

  • Umwandlung einer, in bestimmter Form, gegebenen komplexen Zahl Z in andere Darstellungsformen
     

  • Ermittlung einer zu Z konjugiert komplexen Zahl Z*
     

  • Ermittlung

    - des Betrags einer komplexen Zahl Z
    - der 2. und 3. Potenz einer komplexen Zahl Z
    - der Reziproken einer komplexen Zahl Z
    - der Lösungen der 2. und 3. Wurzeln einer
       komplexen Zahl Z
    - des nat. Logarithmus einer komplexen Zahl Z
     

  • Bildung von

    - Summe
    - Differenz
    - Produkt
    - Quotient

    zweier komplexen Zahlen Z1 und Z2
     

  • Ermittlung der Hauptwerte folgender trigonometrischer Funktionen einer komplexen Zahl Z:

    - Sinus von Z
    - Cosinus von Z
    - Tangens von Z
    - Sinus hyperbolicus von Z
    - Cosinus hyperbolicus von Z
    - Tangens hyperbolicus von Z

Schreibweisen komplexer Zahlen


Komplexe Zahlen können in folgenden Schreibweisen definiert werden:

Kartesische Form:

z = x + jy

x: Realteil von z

y: Imaginärteil von z

j: Imaginäre Einheit (j2 = -1)


Polarform:

z = r·(cos(φ) + j·sin(φ))

r: Betrag von z

φ: Argument (Winkel) von z


Exponentialform:

z = r·ejφ

r: Betrag von z

φ: Argument (Winkel) von z

e: Eulersche Zahl

 

Mathematische Zusammenhänge

 

Mathematische Zusammenhänge zu diesem Fachthema werden nachfolgend aufgezeigt:

 

Grundlegendes:

 

j2 = -1

j3 = j · j2 = -j

j4 = j2 · j2 = (-1) · (-1) = +1

1 / j = -j

 

r = |z| = (x² + y²)

tan φ = y / x

 

 

Gleichheit:

 

z1 = z2 genau dann, wenn x1 = x2 und y1 = y2

 

Addition:

 

z1 + z2 = (x1 + x2) + j (y1 + y2)

 

Subtraktion:

 

z1 - z2 = (x1 - x2) + j (y1 - y2)

 

Multiplikation:

 

z1 · z2 = (x1x2 - y1y2) + j (x1y2 + x2y1)

z1 · z2 = r1r2[cos(φ1 + φ2) + j sin(φ1 + φ2)]

          = r1r2·e j(φ1+φ2)

 

Division:

 

z1 / z2 = (x1x2 + y1y2) / (x2² + y2²) + j (x2y1 - x1y2) / (x2² + y2²)

z1 / z2 = r1 / r2[cos(φ1 - φ2) + j sin(φ1 - φ2)]

          = r1/ r2·e j(φ1-φ2)

 

Konjugiert komplexe Zahl:

 

z* = x - jy ist die z = x + jy konjugiert komplexe Zahl

 

Für zwei zueinander konjugierte komplexe Zahlen z1 und z2 gilt:

 

z1 = z2*

z2 = z1*

 

Die Zeiger der zugehörigen Bildpunkte liegen spiegelsymmetrisch zur reellen Achse.

 

Wurzeln:

 

Die Gleichung  zn = a = a0·e jα (mit a0 > 0)

besitzt genau n verschiedene Lösungen (Wurzeln):

 

zk = nr[cos(φ/n + 2π·k/n) + j sin(φ/n + 2π·k/n)  mit k = 0...n-1

 

Die zugehörigen Bildpunkte liegen auf dem Mittelpunktskreis mit dem Radius Rna0

 

Potenz:

 

zn = [r·e jφ] = rn·e jnφ

 

zn = [r[cos(φk) + j sin(φk)]]n =  rn[cos(nφk) + j sin(nφk)]

 

Vor dem Potenzieren muss eine komplexe Zahl in Polarform gebracht werden.

 

Natürlicher Logarithmus:

 

ln z = ln r + j (φ + k·2π )

 

mit: z ≠ 0 , k Î Z , (0  ≤ φ < )

 

Der natürliche Logarithmus ist unendlich vieldeutig.

Der Hauptwert wird für k = 0 angenommen.

 

Trigonometrische Funktionen:

 

sin(x + jy) = sin (x) · cosh (y) + j cos (x) · sinh (y)

cos(x + jy) = cos (x) · cosh (y) - j sin (x) · sinh (y)

tan(x + jy) = sin (2x) / (cos (2x) + cosh 2y ) + j sinh (2y) / (cos (2x) + cosh (2y) )

sinh(x + jy) = sinh (x) · cos (y) + j cosh (x) sin (y)

cosh(x + jy) = cosh (x) · cos (y) + j sinh (x) sin (y)

tanh(x + jy) = sinh (2x) / (cosh (2x) + cos (2y)) + j sin (2y) / (cosh (2x) + cos (2y) )

 

Berechnung

 

Berechnungen in diesem Unterprogramm werden grundsätzlich mit zwei komplexen Zahlen z1 und z2 durchgeführt. Deren Definition kann erfolgen in:

  • Kartesischer Form

  • Exponentialform

  • Polarform

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Kartesische Form, Polarform oder Exponentialform für die komplexen Zahlen z1 und z2 und der Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder, gibt das Programm die Ergebnisse nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen in der Tabelle aus. Diese werden in den drei oben aufgeführten Darstellungsformen angezeigt.

 

Durch die Aktivierung des Kontrollschalters Winkelangaben für φ in Bogenmaß bzw. Winkelangaben für φ in Gradmaß können Sie festlegen, ob die Berechnungen für komplexe Zahlen in Exponentialform im Grad- oder im Bogenmaß durchgeführt werden sollen.

 

Weitere Themenbereiche

 

Einheitskreis komplexer Zahlen

Taschenrechner für komplexe Zahlen

Schreibweisen komplexer Zahlen

Berechnungen mit komplexen Zahlen

Addition komplexer Zahlen

Multiplikation komplexer Zahlen

 

Beispiel

 

Lassen Sie Berechnungen mit den beiden in kartesischer Form gegebenen Zahlen z1 = 2 - 2 j und z2 = 4 + 5 j durchführen, so ermittelt das Programm nach einer Aktivierung der beiden Kontrollschalter für Kartesische Form, sowie des Kontrollschalters Winkelangaben für φ  in Bogenmaß, der Eingabe der relevanten Zahlenwerte und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:


Für die komplexe Zahl z1:

Komplexe Zahl z1:
In kartesischer Form: z1 = 2 - 2 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 = 2,82843 · ( cos(5,49779) + j · sin(5,49779) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 = 2,82843 · e5,49779j

Konjugierte zur komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: z1* = 2 + 2 j
Nach Wandlung in Polarform: z1* = 2,82843 · ( cos(0,7854) + j · sin(0,7854) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1* = 2,82843 · e0,7854j

Betrag der komplexen Zahl z1: | z1 | = 2,82843

2. Potenz der komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: z1 ² = 0 - 8 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 ² = 8 · ( cos(4,71239) + j · sin(4,71239) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 ² = 8 · e4,71239j

3. Potenz der komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: z1 ³ = -16 - 16 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 ³ = 22,62742 · ( cos(3,92699) + j · sin(3,92699) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 ³ = 22,62742 · e3,92699j

Reziproke der komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: 1/z1 = 0,25 + 0,25 j
Nach Wandlung in Polarform: 1/z1 = 0,35355 · ( cos(0,7854) + j · sin(0,7854) )
Nach Wandlung in Exponentialform: 1/z1 = 0,35355 · e0,7854j

2. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 1:
In kartesischer Form: z = 1,55377 - 0,64359 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,68179 · ( cos(5,89049) + j · sin(5,89049) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,68179 · e5,89049j

2. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 2:
In kartesischer Form: z = -1,55377 + 0,64359 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,68179 · ( cos(2,74889) + j · sin(2,74889) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,68179 · e2,74889j

3. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 1:
In kartesischer Form: z = -1 - 1 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,41421 · ( cos(3,92699) + j · sin(3,92699) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,41421 · e3,92699j

3. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 2:
In kartesischer Form: z = 1,36603 - 0,36603 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,41421 · ( cos(6,02139) + j · sin(6,02139) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,41421 · e6,02139j

3. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 3:
In kartesischer Form: z = -0,36603 + 1,36603 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,41421 · ( cos(1,8326) + j · sin(1,8326) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,41421 · e1,8326j

Natürlicher Logarithmus der komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: ln(z1) = 1,03972 + 5,49779 j
Nach Wandlung in Polarform: ln(z1) = 5,59524 · ( cos(1,38389) + j · sin(1,38389) )
Nach Wandlung in Exponentialform: ln(z1) = 5,59524 · e1,38389j
 

Für die komplexe Zahl z2:

Komplexe Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z2 = 4 + 5 j
Nach Wandlung in Polarform: z2 = 6,40312 · ( cos(0,89606) + j · sin(0,89606) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z2 = 6,40312 · e0,89606j

Konjugierte zur komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z2* = 4 - 5 j
Nach Wandlung in Polarform: z2* = 6,40312 · ( cos(5,38713) + j · sin(5,38713) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z2* = 6,40312 · e5,38713j

Betrag der komplexen Zahl z2: | z2 | = 6,40312

2. Potenz der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z2 ² = -9 + 40 j
Nach Wandlung in Polarform: z2 ² = 41 · ( cos(1,79211) + j · sin(1,79211) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z2 ² = 41 · e1,79211j

3. Potenz der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z2 ³ = -236 + 115 j
Nach Wandlung in Polarform: z2 ³ = 262,52809 · ( cos(2,68817) + j · sin(2,68817) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z2 ³ = 262,52809 · e2,68817j

Reziproke der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: 1/z2 = 0,09756 - 0,12195 j
Nach Wandlung in Polarform: 1/z2 = 0,15617 · ( cos(5,38713) + j · sin(5,38713) )
Nach Wandlung in Exponentialform: 1/z2 = 0,15617 · e5,38713j

2. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 1:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = -2,28069 - 1,09616 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 2,53044 · ( cos(3,58962) + j · sin(3,58962) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 2,53044 · e3,58962j

2. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = 2,28069 + 1,09616 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 2,53044 · ( cos(0,44803) + j · sin(0,44803) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 2,53044 · e0,44803j

3. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 1:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = -1,36058 + 1,26374 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,85694 · ( cos(2,39308) + j · sin(2,39308) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,85694 · e2,39308j

3. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = -0,41414 - 1,81017 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,85694 · ( cos(4,48748) + j · sin(4,48748) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,85694 · e4,48748j

3. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 3:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = 1,77472 + 0,54643 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,85694 · ( cos(0,29869) + j · sin(0,29869) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,85694 · e^ 0,29869 j

Natürlicher Logarithmus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: ln(z2) = 1,85679 + 0,89606 j
Nach Wandlung in Polarform: ln(z2) = 2,06169 · ( cos(0,44962) + j · sin(0,44962) )
Nach Wandlung in Exponentialform: ln(z2) = 2,06169 · e0,44962j


Für durchgeführte Rechenoperationen mit Zahl z1 und Zahl z2:

Summe der komplexen Zahlen z1 und z2:
Kartesische Form der Summe: z1 + z2 = 6 + 3 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 + z2 = 6,7082 · ( cos(0,46365) + j · sin(0,46365) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 + z2 = 6,7082 · e0,46365j

Differenz der komplexen Zahlen z1 und z2:
Kartesische Form der Differenz: z1 - z2 = -2 - 7 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 - z2 = 7,28011 · ( cos(4,43409) + j · sin(4,43409) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 - z2 = 7,28011 · e4,43409j

Produkt der komplexen Zahlen z1 und z2:
Kartesische Form des Produkts: z1 · z2 = 18 + 2 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 · z2 = 18,11077 · ( cos(0,11066) + j · sin(0,11066) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 · z2 = 18,11077 · e0,11066j

Quotient der komplexen Zahlen z1 und z2:
Kartesische Form des Quotienten: z1 / z2 = -0,04878 - 0,43902 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 / z2 = 0,44173 · ( cos(4,60173) + j · sin(4,60173) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 / z2 = 0,44173 · e4,60173j


Für die Ermittlung trigonometrischer Funktionen der Zahl z1:


Sinus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: sin(z1) = 3,42095 + 1,50931 j
Nach Wandlung in Polarform: sin(z1) = 3,73911 · ( cos(0,41551) + j · sin(0,41551) )
Nach Wandlung in Exponentialform: sin(z1) = 3,73911 · e0,41551j

Cosinus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: cos(z1) = -1,56563 + 3,29789 j
Nach Wandlung in Polarform: cos(z1) = 3,65066 · ( cos(2,01403) + j · sin(2,01403) )
Nach Wandlung in Exponentialform: cos(z1) = 3,65066 · e2,01403j

Tangens der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: tan(z1) = -0,02814 - 1,02384 j
Nach Wandlung in Polarform: tan(z1) = 1,02422 · ( cos(4,68491) + j · sin(4,68491) )
Nach Wandlung in Exponentialform: tan(z1) = 1,02422 · e4,68491j

Sinus hyperbolicus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: sinh(z1) = -1,50931 - 3,42095 j
Nach Wandlung in Polarform: sinh(z1) = 3,73911 · ( cos(4,29688) + j · sin(4,29688) )
Nach Wandlung in Exponentialform: sinh(z1) = 3,73911 · e4,29688j

Cosinus hyperbolicus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: cosh(z1) = -1,56563 - 3,29789 j
Nach Wandlung in Polarform: cosh(z1) = 3,65066 · ( cos(4,26916) + j · sin(4,26916) )
Nach Wandlung in Exponentialform: cosh(z1) = 3,65066 · e4,26916j

Tangens hyperbolicus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: tanh(z1) = 1,02384 + 0,02839 j
Nach Wandlung in Polarform: tanh(z1) = 1,02423 · ( cos(0,02772) + j · sin(0,02772) )
Nach Wandlung in Exponentialform: tanh(z1) = 1,02423 · e0,02772j


Für die Ermittlung trigonometrischer Funktionen der Zahl z2:


Sinus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: sin(z2) = -56,16227 - 48,50246 j
Nach Wandlung in Polarform: sin(z2) = 74,20707 · ( cos(3,85394) + j · sin(3,85394) )
Nach Wandlung in Exponentialform: sin(z2) = 74,20707 · e3,85394j

Cosinus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: cos(z2) = -48,50686 + 56,15717 j
Nach Wandlung in Polarform: cos(z2) = 74,20609 · ( cos(2,28323) + j · sin(2,28323) )
Nach Wandlung in Exponentialform: cos(z2) = 74,20609 · e2,28323j

Tangens der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: tan(z2) = 0,00009 + 1,00001 j
Nach Wandlung in Polarform: tan(z2) = 1,00001 · ( cos(1,57071) + j · sin(1,57071) )
Nach Wandlung in Exponentialform: tan(z2) = 1,00001 · e1,57071j

Sinus hyperbolicus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: sinh(z2) = 7,74112 - 26,18653 j
Nach Wandlung in Polarform: sinh(z2) = 27,30676 · ( cos(4,99982) + j · sin(4,99982) )
Nach Wandlung in Exponentialform: sinh(z2) = 27,30676 · e4,99982j

Cosinus hyperbolicus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: cosh(z2) = 7,74631 - 26,16896 j
Nach Wandlung in Polarform: cosh(z2) = 27,29139 · ( cos(5,00018) + j · sin(5,00018) )
Nach Wandlung in Exponentialform: cosh(z2) = 27,29139 · e5,00018j

Tangens hyperbolicus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: tanh(z2) = 1,00056 - 0,00037 j
Nach Wandlung in Polarform: tanh(z2) = 1,00056 · ( cos(6,28282) + j · sin(6,28282) )
Nach Wandlung in Exponentialform: tanh(z2) = 1,00056 · e6,28282j

 

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