MathProf - Regressionsanalyse (Korrelation) - Lineare Regression
Online-Hilfe für das Modul
zur Durchführung von Regressionsanalysen anhand
verschiedener Regressionsmodelle und der Ermittlung der entsprechenden Korrelationskoeffizienten. Hierzu zählen die lineare Regression (lineare Korrelation - lineares Regressionsmodell) und die nichtlineare Regression.
Regressionsanalyse
Im Unterprogramm [Stochastik] - Regressionsanalyse können Regressionsanalysen mit verschiedenen Modellen durchgeführt werden. Hierbei erfolgt u.a. die Ermittlung des relevanten Korrelationskoeffizienten des entsprechenden Modells.
Durch eine Anwendung von Regressionsanalysen können vermutete Zusammenhänge daraufhin überprüft werden, ob diese mit ermittelten Daten konsistent sind.
Dieses Modul ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit folgenden Modellen:
- Lineare Regression Y = M·X+N (lineares Regressionmodell)
- Logarithmische Regression Y = A+B·LN(X)
- Geometrische Regression Y = A·X^B
- Reziproke Regression Y = A+B/X
- Exponentielle Regression Y = A·B^X
- Trigonometrische Regression Y = A+B·SIN(X)
- Reziproke quadratische Regression Y = A+B/X²
- Quadratische Regression Y = A+B·X²
- Kubische Regression Y = A+B·X³
Zudem werden nachfolgend aufgeführte Größen ermittelt und ausgegeben:
- Kleinster und größter Messwert (Minimum, Maximum)
- Mittelwert
- Median
- Varianz
- Standardabweichung (quadr. Streuung, durchschnittliche Abweichung der Messwerte vom Erwartungswert)
- Mittlerer Fehler des Mittelwerts
- Geometrisches Mittel
- Quadratisches Mittel
- Harmonisches Mittel
- Variationskoeffizient
- Stichprobenvarianz
- Stichproben-Standardabweichung
- Standardfehler
- Streubreite
- Mittlere Abweichung
- Mittelwert ohne größten Ausreißer (Max.)
- Mittelwert ohne kleinsten Ausreißer (Min.)
Lineare Regression
Die Methode der linearen Regression dient dem Zweck, eine möglichst gut an Messwerte angepasste, lineare Funktion zu ermitteln. Gesucht wird somit die Gleichung y = m·x+n einer Ausgleichsgeraden (Korrelationsgerade), von welcher gegebene Messwerte möglichst geringe Abstände aufweisen. Verwendet wird hierfür die Gauß'sche Methode der kleinsten Quadrate. Um die Güte eines, auf diese Weise ermittelten, Zusammenhangs beurteilen zu können, wird der Korrelationskoeffizient ermittelt (-1 ≤ r ≤ 1, wobei r = 0 darauf hinweist, dass kein Zusammenhang zwischen den beiden Variablen x und y existiert).
Nach Festlegung eines Konfidenzintervalls (Vertrauensbereichs) für die Korrelation, kann mit Hilfe einer Student-t-Verteilung für kleine Stichproben untersucht werden, mit welcher anzunehmender Wahrscheinlichkeit der ermittelte lineare Zusammenhang sicher ist.
Das Programm ermittelt die zu dieser Beurteilung erforderlichen Werte und führt eine entsprechende Analyse durch. Es vergleicht anhand des eingestellten Konfidenzintervalls, ob mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit ein linearer Zusammenhang zwischen den x- und y-Werten besteht. Wird beispielsweise eine Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,1 gewählt und vom Programm ausgegeben, dass der "Zusammenhang wahrscheinlich" ist, so ist mit einer anzunehmenden Wahrscheinlichkeit von 99% davon auszugehen, dass ein linearer Zusammenhang zwischen den Messgrößen besteht. Wird hingegen eine Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,01 gewählt und vom Programm ermittelt, dass der Zusammenhang unwahrscheinlich ist, so muss die Annahme verworfen werden, dass mit 99,9%-iger Wahrscheinlichkeit ein linearer Zusammenhang zwischen den Messwerten vorliegt.
Führen Sie Folgendes aus, um eine lineare Regressionsanalyse mit Datenpaaren von Messwertreihen durchführen zu lassen:
- Selektieren Sie den Eintrag Linear Y = M·X+N aus der aufklappbaren Box Auswahl Modell.
- Geben Sie die auszuwertenden Messdaten in die dafür vorgesehenen Felder X und Y ein, bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle erforderlichen Messwerte aufgenommen sind.
- Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das Eingabefeld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
- Wählen Sie durch die Selektion des entsprechenden Eintrags aus der Box Irrtumswahrsch. den Wert (0,1, 0,01, 0,05 bzw. 0,005) der zuzulassenden Irrtumswahrscheinlichkeit α.
- Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen.
- Möchten Sie sich die Verteilung der Messwerte, sowie den Verlauf der ermittelten Regressionsgeraden grafisch veranschaulichen, so klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Darstellen.
Hinweis:
Die Anzahl eingegebener X-Werte muss mit der Anzahl eingegebener Y-Werte übereinstimmen, bevor die Durchführung von Berechnungen, bzw. die Ausgabe einer grafischen Darstellung ermöglicht wird. Ferner muss hierfür eine Mindestanzahl von 3 Datenwertpaaren definiert sein.
Nichtlineare Regression
Da in der Praxis häufig die Analyse nichtlinearer Zusammenhänge erforderlich ist, ermöglicht das Programm auch die Durchführung einiger dieser. Hierbei werden die Parameter a und b der entsprechenden Funktion, sowie der zugehörige Korrelationskoeffizient, welcher Auskunft über die Qualität des Zusammenhangs der Messgrößen gibt, ermittelt.
Führen Sie Folgendes aus, um eine nichtlineare Regressionsanalyse mit Datenpaaren von Messwertreihen durchführen zu lassen:
- Wählen Sie den entsprechenden Eintrag aus der aufklappbaren Box Auswahl Modell.
- Geben Sie die auszuwertenden Messdaten in die dafür vorgesehenen Felder X und Y ein, bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle erforderlichen Messwerte aufgenommen sind.
- Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
- Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
- Um sich die Verteilung der Messwerte, sowie den Verlauf der Kurve der ermittelten Regressionsfunktion grafisch zu veranschaulichen, klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Darstellen.
Hinweis:
Die Anzahl eingegebener X-Werte muss mit der Anzahl eingegebener Y-Werte übereinstimmen, bevor die Durchführung von Berechnungen, bzw. die Ausgabe einer grafischen Darstellung ermöglicht wird. Ferner muss hierfür eine Mindestanzahl von 3 Datenwertpaaren definiert sein.
Bei Auswahl der entsprechenden Methode gilt es Folgendes zu beachten:
| · Logarithmische Regression: | Alle X-Werte müssen > 0 sein |
| · Geometrische Regression: | Alle X-Werte und alle Y-Werte müssen > 0 sein |
| · Reziproke Regression: | Kein X-Wert darf 0 sein |
| · Reziproke quadr. Regression: | Kein X-Wert darf 0 sein |
| · Exponentielle Regression: | Alle Y-Werte müssen > 0 sein |
Video
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Bedienformular
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Punkte: Darstellung der Punktbeschriftung ein-/ausschalten
- Koordinaten: Darstellung der Koordinatenwerte der Punkte ein-/ausschalten
Datenverwaltung
Möchten Sie eingegebene Messwerte speichern, so kann dies über den Menüeintrag Datei - Speichern durchgeführt werden. Um mit bereits gespeicherten Daten eine Analyse durchzuführen, verwenden Sie den Menüeintrag Datei - Öffnen. Beim Öffnen einer Datei werden bereits eingegebene Werte durch die Dateidaten überschrieben!
Es besteht auch die Möglichkeit die auszuwertenden Datenpaare in einer Excel-Tabelle zu definieren. Die Zahlenwerte sind nach folgendem Schema in der Excel-Tabelle festzulegen:
In Spalte A der Excel-Tabelle legen Sie die Werte für die X-Koordinaten und in Spalte B die Y-Koordinaten der Messwerte fest. Beginnen Sie mit der Eingabe in den obersten Feldern der entsprechenden Spalten.
Speichern Sie diese Tabelle hierauf in einer Datei ab.
Sollen diese Daten wieder geladen werden, so wählen Sie im Programm den Menüeintrag Datei - Excel-Daten importieren und öffnen Sie die entsprechende Datei. Eingelesen werden alle Werte bis zum ersten leeren Feld in einer Excel-Tabellen-Spalte.
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Beispiele
Beispiel 1 - Lineare Regression (lineares Regressionsmodell):
Es ist eine Analyse folgender Messwertpaare auf lineare Zusammenhänge durchzuführen:
| X -Werte | Y-Werte |
| -15,722 | -1,274 |
| -13,852 | -0,456 |
| -6,968 | -0,288 |
| -3,484 | 0,793 |
| 0,4 | 1,658 |
| 1,0 | 1,0 |
| 2,33 | 1,899 |
| 14,872 | 2,596 |
| 19,971 | 1,0 |
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Selektion des Eintrags Linear Y = M·X+N aus der aufklappbaren Auswahlbox und der Eingabe der o.a. Daten in die Tabelle, wird bei Festlegung einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% (α = 0,1) nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ausgegeben:
Ermittelte Funktion: Y = 0,081142·X+0,782878
Student-t-Wert: 1,4149
Irrtumswahrscheinlichkeit: 0,1
Vergleichswert: 3,257911
Korrelationskoeffizient: 0,776266
Korrelation wahrscheinlich
Dies bedeutet: Da der ermittelte Vergleichswert größer dem Student-t-Wert der festgelegten Irrtumswahrscheinlichkeit ist, ist ein Zusammenhang zwischen der ermittelten Regressionsfunktion (Korrelationsgeraden) und den vorhandenen Werten zu 90% wahrscheinlich.
Bei Festlegung einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,5% (α = 0,005) stellt das Programm hingegen fest, dass ein derartiger Zusammenhang unwahrscheinlich ist:
Ermittelte Funktion: Y = 0,081142·X+0,782878
Student-t-Wert: 3,499483
Irrtumswahrscheinlichkeit: 0,005
Vergleichswert: 3,257911
Korrelationskoeffizient: 0,776266
Korrelation nicht wahrscheinlich
Für die Auswertung der X-und Y-Werte der Messwertreihe gibt das Programm aus:
Auswertung der X-Werte:
| Anzahl der X-Werte: | 9 |
| Minimum: | -15,722 |
| Maximum: | 7 |
| Mittelwert: | -0,161444 |
| Median: | 0,4 |
| Varianz: | 140,765252 |
| Standardabweichung: | 11,864453 |
| Mittlerer Fehler des Mittelwerts: | 3,954818 |
| Geometrisches Mittel: | ----------- |
| Harmonisches Mittel: | 2,586087 |
| Quadratisches Mittel: | 11,187079 |
| Variationskoeffizient: | -871,911401 |
| Stichprobenvarianz: | 125,124668 |
| Stichproben-Standardabweichung: | 11,185914 |
| Standardfehler: | 1,318273 |
| Streubreite: | 19,571 |
| Mittlere Abweichung: | 8,75116 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(max): | -2,678 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(min): | -0,231625 |
Auswertung der Y-Werte:
| Anzahl der Y-Werte: | 9 |
| Minimum: | -1,274 |
| Maximum: | 2,596 |
| Mittelwert: | 0,769778 |
| Median: | 1 |
| Varianz: | 1,538021 |
| Standardabweichung: | 1,24017 |
| Mittlerer Fehler des Mittelwerts: | 0,41339 |
| Geometrisches Mittel: | ----------- |
| Harmonisches Mittel: | -5,375822 |
| Quadratisches Mittel: | 1,399888 |
| Variationskoeffizient: | 1,998006 |
| Stichprobenvarianz: | 1,36713 |
| Stichproben-Standardabweichung: | 1,169243 |
| Standardfehler: | 0,137797 |
| Streubreite: | 2,884 |
| Mittlere Abweichung: | 0,96163 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(max): | 0,5415 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(min): | 0,902 |
Beispiel 2 - Nichtlineare Regression (nichtlineares Regressionsmodell):
Es ist eine Analyse folgender Messwertpaare auf nichtlineare Zusammenhänge durchzuführen:
| X -Werte | Y-Werte |
| 1 | 1 |
| 4,2 | 3,6 |
| 7,6 | 4 |
| 10,2 | 4,2 |
| 12,9 | 4,7 |
Vorgehensweise und Lösung:
Nach Eingabe der Daten in die Tabelle, der aufeinanderfolgenden Selektion der entsprechenden Einträge aus der aufklappbaren Auswahlbox Auswahl Modell und anschließender Durchführung der Berechnungen wird ausgegeben:
Logarithmische Regression: Y = 1,166894+1,398267·LN(X)
Korrelationskoeffizient: 0,984631
Geometrische Regression: Y= 1,136655·X^(0,600445)
Korrelationskoeffizient: 0,961305
Reziproke Regression: Y = 4,635431-3,673982/X
Korrelationskoeffizient: -0,989391
Exponentielle Regression: Y = 1,388152·(1,118177)^X
Korrelationskoeffizient: 0,825075
Trigonometrische Regression: Y = 3,569435-0,614022·SIN(X)
Korrelationskoeffizient: -0,362257
Reziprok quadratische Regression: Y = -3,226025+4,20303/X²
Korrelationskoeffizient: -0,971994
Quadratische Regression: Y = 2,347932+0,016608·X²
Korrelationskoeffizient: 0,769171
Kubische Regression: 2,665857+0,001121·X³
Korrelationskoeffizient: 0,685883
Da der entsprechende Korrelationskoeffizient bei logarithmischer, geometrischer sowie reziproker Regression nahe den Werten 1 bzw. -1 liegt, lässt dies die Vermutung zu, dass sich die Zusammenhänge der Messwerte ggf. mit Hilfe einer dieser Funktionen beschreiben lassen.
Für die Auswertung der X-und Y-Werte dieser Messwertreihe gibt das Programm aus:
Auswertung der X-Werte:
| Anzahl der X-Werte: | 5 |
| Minimum: | 1 |
| Maximum: | 12,9 |
| Mittelwert: | 7,18 |
| Median: | 7,6 |
| Varianz: | 22,272 |
| Standardabweichung: | 4,719322 |
| Mittlerer Fehler des Mittelwerts: | 2,110545 |
| Geometrisches Mittel: | 5,304574 |
| Harmonisches Mittel: | 3,235758 |
| Quadratisches Mittel: | 8,328865 |
| Variationskoeffizient: | 3,10195 |
| Stichprobenvarianz: | 17,8176 |
| Stichproben-Standardabweichung: | 4,22109 |
| Standardfehler: | 0,943864 |
| Streubreite: | 11,9 |
| Mittlere Abweichung: | 3,664 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(max): | 5,75 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(min): | 8,725 |
Auswertung der Y-Werte:
| Anzahl der Y-Werte: | 5 |
| Minimum: | 1 |
| Maximum: | 4,7 |
| Mittelwert: | 3,5 |
| Median: | 4 |
| Varianz: | 2,11 |
| Standardabweichung: | 1,452584 |
| Mittlerer Fehler des Mittelwerts: | 0,649615 |
| Geometrisches Mittel: | 3,095579 |
| Harmonisches Mittel: | 2,52699 |
| Quadratisches Mittel: | 3,733363 |
| Variationskoeffizient: | 0,602857 |
| Stichprobenvarianz: | 1,688 |
| Stichproben-Standardabweichung: | 1,299231 |
| Standardfehler: | 0,290517 |
| Streubreite: | 3,7 |
| Mittlere Abweichung: | 1 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(max): | 3,2 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(min): | 4,125 |
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