MathProf - Regression - Lineare Regression - Nichtineare Regression

Fachthema: Regression - Lineare Regression - Nichtlineare Regression
MathProf - Statistik - Stochastik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Analysen mit Hilfe
verschiedener Regressionsverfahren sowie dem Berechnen der entsprechenden Korrelationskoeffizienten (Regressionskoeffizienten) und resultierenden Regressionsfunktionen.
In diesem Tool wird die Anwendung der linearen Regression wie auch der nichtlinearen Regression ermöglicht.
Bei Durchführung der linearen Regressionsanalyse erfolgt hierbei unter anderem die Berechnung und Darstellung der relevanten Regressionsgerade (Ausgleichsgerade) unter Berücksichtigung der relevanten Irrtumswahrscheinlichkeit nach Festlegung relevanter Wertepaare bei Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate.
Folgende Regressionsmodelle können zur Auswertung erfasster Daten angewandt werden:
Lineare Regression, logarithmische Regression, geometrische Regression, reziproke Regression, exponentielle Regression, trigonometrische Regression, reziproke quadratische Regression, kubische Regression.
Neben dem Mittelwert, der Varianz und der Stichproben-Standardabweichung ermittelt der Rechner zudem den Standardfehler sowie weitere relevante Größen der entsprechenden Messwertreihe wie das geometrische Mittel, das quadratische Mittel, das harmonische Mittel, den Variationskoeffizienten und die vorliegende Streubreite.
Dieses Unterprogramm beinhaltet zudem einige Beispiele zur Ermittlung
der Korrelation mit verschiedenen Modellen.

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Regression - Regressionsmodelle - Statistische Auswertung - Analyse - Regressionsanalyse - Modell - Annahmen - Lineare Regression - Einfache lineare Regression - Nichtlineare Regression - Quadratische Regression - Korrelationskoeffizient - Lineare Anpassung - Linearisierung - Kurvenanpassung - Ausgleichsrechnung - Ausgleichsfunktion - Ausgleichskurve - Ausgleichspolynom - Ausgleichsparabel - Geradenausgleich - Regressionsrechnung - Regressionsverfahren - Lineare Korrelation - Lineares Regressionsmodell - Regressionsgleichung - Regressionsfunktion - Regressionsparameter - Nichtlineares Regressionsmodell - Ausgleichsgerade - Regressionsgerade - Geometrisches Mittel - Quadratisches Mittel - Harmonisches Mittel - Irrtumswahrscheinlichkeit - t-Wert - t-Verteilung - Regressionskoeffizient - Regressionsdiagramm - Regressionsmodell - Regressionswert - Berechnen einer Regressionsgerade - Linearer Zusammenhang - Korrelation berechnen - Statistische Verfahren zur Auswertung von Modellen - Regressionstest - Korrelationsanalyse - Varianz berechnen - Standardabweichung berechnen - Standardfehler berechnen - Geometrisches Mittel berechnen - Quadratisches Mittel berechnen - Regressionslinie - Statistische Testverfahren - Regressionskurve - Kurve interpolieren - Linear interpolieren - Lineare Näherung - Koeffizienten berechnen - Harmonisches Mittel berechnen - Variationskoeffizient berechnen - Standardabweichung berechnen - Geradenanpassung - Analysieren - Abweichungsanalyse - Parameter - Konstante - Streubreite berechnen - Streudiagramm - Streudiagramme - Polynomiale Regression - Mittlere Abweichung berechnen - Abweichung - Abweichung vom Mittelwert - Abweichung berechnen - Fehlerarten - Fehlergerade - Grafik - Graph - Grafisch - Untersuchen - Untersuchung - Bilder - Darstellung - Beispiel - Was ist - Was sind - Wieviel - Wie viel - Bedeutung - Was bedeutet - Bestimmung - Bestimmen - Berechnen - Berechnung - Darstellen - Diagramm - Auswertung - Auswerten - Datenauswertung - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Definition - Verbesserung - Verbessern - Interpretieren - Interpretation - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Formel - Funktion - Wert - Rechner - Plotten - Plotter - Prüfgröße - Messwert - Messwerte auswerten - Mittelwert - Median - Korrelation - Varianz - Standardabweichung - Quadratische Streuung - Mittlerer Fehler - Variationskoeffizient - Stichprobenvarianz - Stichproben - Standardfehler - Streubreite - Mittlere Abweichung - Bivariante Korrelation - Bivariante Analyse - Korrelationsmaß - Korrelationsmaße - Zusammenhangsmaße - Zusammenhangsmaße - Ausreißer - Statistische Methoden - Statistische Tests - Tabelle - Formeln - Statistische Analyse - Statistische Auswertung - Zusammenhangsanalyse - Quadratische Regression - Logarithmische Regression - Reziproke Regression - Exponentielle Regression - Trigonometrische Regression - Kubische Regression |
Regression - Regressionsanalyse - Regressionsgerade - Regressionsfunktion
Modul Regressionsanalyse
Im Unterprogramm [Stochastik] - Regressionsanalyse können Regressionsanalysen mit verschiedenen Modellen durchgeführt werden. Hierbei erfolgt u.a. die Ermittlung des relevanten Korrelationskoeffizienten des entsprechenden Modells. Grafische Darstellungen sowie numerische Berechnungen erlauben das Interpretieren (die Interpretation) entsprechender Sachverhalte und Zusammenhänge zu diesem Fachthema.

Mit Regressionsanalyse wird ein statistisches Analyseverfahren bezeichnet, welches unter Zuhilfenahme unterschiedlicher Modelle Zusammenhänge zwischen einer, oder mehreren unabhängigen Variablen hervorzubringen.
Durch eine Anwendung von Regressionsanalysen können vermutete Zusammenhänge daraufhin überprüft werden, ob diese mit ermittelten Daten konsistent sind. Dieses Modul ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit folgenden Regressionsmodellen (lineare Regression und nichtlineare Regression):
- Lineare Regression Y = M·X+N (lineares Regressionsmodell)
- Logarithmische Regression Y = A+B·LN(X)
- Geometrische Regression Y = A·X^B
- Reziproke Regression Y = A+B/X
- Exponentielle Regression Y = A·B^X
- Trigonometrische Regression Y = A+B·SIN(X)
- Reziproke quadratische Regression Y = A+B/X²
- Quadratische Regression Y = A+B·X²
- Kubische Regression Y = A+B·X³
- Kleinster und größter Messwert (Minimum, Maximum)
- Mittelwert
- Median
- Varianz
- Standardabweichung (quadr. Streuung, durchschnittliche Abweichung der Messwerte vom Erwartungswert)
- Mittlerer Fehler des Mittelwerts
- Geometrisches Mittel
- Quadratisches Mittel
- Harmonisches Mittel
- Variationskoeffizient
- Stichprobenvarianz
- Stichproben-Standardabweichung
- Standardfehler
- Streubreite
- Mittlere Abweichung
- Mittelwert ohne größten Ausreißer (Max.)
- Mittelwert ohne kleinsten Ausreißer (Min.)
Zusätzlich ermittelte Größen
Mittelwert:
Median:
falls n ungerade:
falls n gerade:
Varianz s²:
Standardabweichung:
Mittlerer Fehler des Mittelwerts:
Harmonisches Mittel:
Quadratisches Mittel:
Geometrisches Mittel:
Variationskoeffizient:
(Verhältnis der Standardabweichung zum arithmetischen Mittel)
Stichprobenvarianz:
Stichproben-Standardabweichung:
Standardfehler:
Mittlere Abweichung:
Mittelwert ohne Ausreißer (max):
Mittelwert ohne größten (maximalen) Ausreißer
Mittelwert ohne Ausreißer (min):
Mittelwert ohne kleinsten (minimalen) Ausreißer
Lineare Regression

Die Methode der linearen Regression dient dem Zweck, eine möglichst gut an Messwerte angepasste, lineare Funktion zu ermitteln. Gesucht wird somit die Gleichung y = m·x+n einer Ausgleichsgeraden (Korrelationsgerade), von welcher gegebene Messwerte möglichst geringe Abstände aufweisen. Verwendet wird hierfür die Gaußsche Methode der kleinsten Quadrate.
Zusammenhangsmaße (Korrelationsmaße) dienen dazu, um zu analysieren in welcher Form (wie eng) zwei Größen miteinander in Verbindung stehen und zunehmen bzw. abnehmen. Hierzu zählt unter anderem der Korrelationskoeffizient. Um die Güte eines, auf diese Weise ermittelten, Zusammenhangs beurteilen zu können, wird der Korrelationskoeffizient ermittelt (-1 ≤ r ≤ 1, wobei r = 0 darauf hinweist, dass kein Zusammenhang zwischen den beiden Variablen x und y existiert).
- Selektieren Sie den Eintrag Linear Y = M·X+N aus der aufklappbaren Box Auswahl Modell.
- Geben Sie die auszuwertenden Messdaten in die dafür vorgesehenen Felder X und Y ein, bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle erforderlichen Messwerte aufgenommen sind.
- Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das Eingabefeld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
- Wählen Sie durch die Selektion des entsprechenden Eintrags aus der Box Irrtumswahrsch. den Wert (0,1, 0,01, 0,05 bzw. 0,005) der zuzulassenden Irrtumswahrscheinlichkeit α.
- Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen.
- Möchten Sie sich die Verteilung der Messwerte, sowie den Verlauf der ermittelten Regressionsgeraden grafisch veranschaulichen, so klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Darstellen.
Nichtlineare Regression

Da in der Praxis häufig die Analyse nichtlinearer Zusammenhänge erforderlich ist, ermöglicht das Programm auch die Durchführung einiger dieser. Hierbei werden die Parameter a und b der entsprechenden Funktion, sowie der zugehörige Korrelationskoeffizient, welcher Auskunft über die Qualität des Zusammenhangs der Messgrößen gibt, ermittelt.
- Wählen Sie den entsprechenden Eintrag aus der aufklappbaren Box Auswahl Modell.
- Geben Sie die auszuwertenden Messdaten in die dafür vorgesehenen Felder X und Y ein, bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle erforderlichen Messwerte aufgenommen sind.
- Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
- Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
- Um sich die Verteilung der Messwerte, sowie den Verlauf der Kurve der ermittelten Regressionsfunktion grafisch zu veranschaulichen, klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Darstellen.
· Logarithmische Regression: | Alle X-Werte müssen > 0 sein |
· Geometrische Regression: | Alle X-Werte und alle Y-Werte müssen > 0 sein |
· Reziproke Regression: | Kein X-Wert darf 0 sein |
· Reziproke quadr. Regression: | Kein X-Wert darf 0 sein |
· Exponentielle Regression: | Alle Y-Werte müssen > 0 sein |
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
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Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle

- Punkte: Darstellung der Punktbeschriftung ein-/ausschalten
- Koordinaten: Darstellung der Koordinatenwerte der Punkte ein-/ausschalten
X -Werte | Y-Werte |
-15,722 | -1,274 |
-13,852 | -0,456 |
-6,968 | -0,288 |
-3,484 | 0,793 |
0,4 | 1,658 |
1,0 | 1,0 |
2,33 | 1,899 |
14,872 | 2,596 |
19,971 | 1,0 |
Anzahl der X-Werte: | 9 |
Minimum: | -15,722 |
Maximum: | 7 |
Mittelwert: | -0,161444 |
Median: | 0,4 |
Varianz: | 140,765252 |
Standardabweichung: | 11,864453 |
Mittlerer Fehler des Mittelwerts: | 3,954818 |
Geometrisches Mittel: | ----------- |
Harmonisches Mittel: | 2,586087 |
Quadratisches Mittel: | 11,187079 |
Variationskoeffizient: | -871,911401 |
Stichprobenvarianz: | 125,124668 |
Stichproben-Standardabweichung: | 11,185914 |
Standardfehler: | 1,318273 |
Streubreite: | 19,571 |
Mittlere Abweichung: | 8,75116 |
Mittelwert ohne Ausreißer(max): | -2,678 |
Mittelwert ohne Ausreißer(min): | -0,231625 |
Anzahl der Y-Werte: | 9 |
Minimum: | -1,274 |
Maximum: | 2,596 |
Mittelwert: | 0,769778 |
Median: | 1 |
Varianz: | 1,538021 |
Standardabweichung: | 1,24017 |
Mittlerer Fehler des Mittelwerts: | 0,41339 |
Geometrisches Mittel: | ----------- |
Harmonisches Mittel: | -5,375822 |
Quadratisches Mittel: | 1,399888 |
Variationskoeffizient: | 1,998006 |
Stichprobenvarianz: | 1,36713 |
Stichproben-Standardabweichung: | 1,169243 |
Standardfehler: | 0,137797 |
Streubreite: | 2,884 |
Mittlere Abweichung: | 0,96163 |
Mittelwert ohne Ausreißer(max): | 0,5415 |
Mittelwert ohne Ausreißer(min): | 0,902 |
Beispiel 2 - Nichtlineare Regression (nichtlineares Regressionsmodell):
X -Werte | Y-Werte |
1 | 1 |
4,2 | 3,6 |
7,6 | 4 |
10,2 | 4,2 |
12,9 | 4,7 |
Anzahl der X-Werte: | 5 |
Minimum: | 1 |
Maximum: | 12,9 |
Mittelwert: | 7,18 |
Median: | 7,6 |
Varianz: | 22,272 |
Standardabweichung: | 4,719322 |
Mittlerer Fehler des Mittelwerts: | 2,110545 |
Geometrisches Mittel: | 5,304574 |
Harmonisches Mittel: | 3,235758 |
Quadratisches Mittel: | 8,328865 |
Variationskoeffizient: | 3,10195 |
Stichprobenvarianz: | 17,8176 |
Stichproben-Standardabweichung: | 4,22109 |
Standardfehler: | 0,943864 |
Streubreite: | 11,9 |
Mittlere Abweichung: | 3,664 |
Mittelwert ohne Ausreißer(max): | 5,75 |
Mittelwert ohne Ausreißer(min): | 8,725 |
Anzahl der Y-Werte: | 5 |
Minimum: | 1 |
Maximum: | 4,7 |
Mittelwert: | 3,5 |
Median: | 4 |
Varianz: | 2,11 |
Standardabweichung: | 1,452584 |
Mittlerer Fehler des Mittelwerts: | 0,649615 |
Geometrisches Mittel: | 3,095579 |
Harmonisches Mittel: | 2,52699 |
Quadratisches Mittel: | 3,733363 |
Variationskoeffizient: | 0,602857 |
Stichprobenvarianz: | 1,688 |
Stichproben-Standardabweichung: | 1,299231 |
Standardfehler: | 0,290517 |
Streubreite: | 3,7 |
Mittlere Abweichung: | 1 |
Mittelwert ohne Ausreißer(max): | 3,2 |
Mittelwert ohne Ausreißer(min): | 4,125 |
Grafische Darstellung - Beispiel 1
Grafische Darstellung - Beispiel 2
Grafische Darstellung - Beispiel 3
Grafische Darstellung - Beispiel 4
Grafische Darstellung - Beispiel 5
Grafische Darstellung - Beispiel 6
Grafische Darstellung - Beispiel 7
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Regressionsanalyse zu finden.
Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
Startfenster des Unterprogramms Regressionsanalyse
MathProf 5.0 - Unterprogramm Statistische Messwertanalyse
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
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