MathProf - Regression - Lineare Regression - Nichtineare Regression
Fachthema: Regression - Lineare Regression - Nichtlineare Regression
MathProf - Statistik - Stochastik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Analysen mit Hilfe
verschiedener Regressionsverfahren sowie dem Berechnen der entsprechenden Korrelationskoeffizienten (Regressionskoeffizienten) und resultierenden Regressionsfunktionen.
In diesem Tool wird die Anwendung der linearen Regression wie auch der nichtlinearen Regression ermöglicht.
Bei Durchführung der linearen Regressionsanalyse erfolgt hierbei unter anderem die Berechnung und Darstellung der relevanten Regressionsgerade (Ausgleichsgerade) unter Berücksichtigung der relevanten Irrtumswahrscheinlichkeit nach Festlegung relevanter Wertepaare bei Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate.
Folgende Regressionsmodelle können zur Auswertung erfasster Daten angewandt werden:
Lineare Regression, logarithmische Regression, geometrische Regression, reziproke Regression, exponentielle Regression, trigonometrische Regression, reziproke quadratische Regression, kubische Regression.
Dieses Unterprogramm beinhaltet zudem einige Beispiele zur Ermittlung
der Korrelation mit verschiedenen Modellen.
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Regression - Regressionsmodelle - Analyse - Regressionsanalyse - Modell - Lineare Regression - Nichtlineare Regression - Korrelationskoeffizient - Ausgleichskurve - Ausgleichspolynom - Regressionsrechnung - Lineares Regressionsmodell - Regressionsgleichung - Regressionsfunktion - Regressionsparameter - Ausgleichsgerade - Regressionsgerade - Regressionskoeffizient - Regressionsmodell - Linearer Zusammenhang - Korrelationsanalyse - Regressionskurve - Linear interpolieren - Koeffizienten - Methode der kleinsten Quadrate - Methode der kleinsten Fehlerquadrate - Analysieren - Parameter - Konstante - Polynomiale Regression - Grafik - Graph - Grafisch - Untersuchen - Untersuchung - Bilder - Darstellung - Beispiel - Was ist - Was sind - Wieviel - Wie viel - Bedeutung - Was bedeutet - Bestimmung - Bestimmen - Berechnen - Berechnung - Darstellen - Diagramm - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Definition - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Einführung - Formel - Funktion - Wert - Rechner - Plotten - Plotter - Korrelation - Bivariate Korrelation - Logistische Regression - Korrelationsmaß - Korrelationsmaße - Zusammenhangsmaße - Tabelle - Formeln - Zusammenhangsanalyse - Quadratische Regression - Logarithmische Regression - Reziproke Regression - Exponentielle Regression - Trigonometrische Regression - Kubische Regression |
Regression - Regressionsanalyse - Regressionsgerade - Regressionsfunktion
Modul Regressionsanalyse
Im Unterprogramm [Stochastik] - Regressionsanalyse können Regressionsanalysen mit verschiedenen Modellen durchgeführt werden. Hierbei erfolgt u.a. die Ermittlung des relevanten Korrelationskoeffizienten des entsprechenden Modells. Grafische Darstellungen sowie numerische Berechnungen erlauben das Interpretieren (die Interpretation) entsprechender Sachverhalte und Zusammenhänge zu diesem Fachthema.
Eine Regression beschreibt in der Statistik den Zusammenhang der zwischen zwei oder mehreren Variablen besteht. Mit dem Begriff Regressionsanalyse (Zusammenhangsanalyse) wird ein statistisches Analyseverfahren bezeichnet, welches unter Zuhilfenahme unterschiedlicher Modelle Zusammenhänge zwischen einer, oder mehreren unabhängigen Variablen hervorzubringen.
Der Begriff Regressionsrechnung ist ein anderer Ausdruck für den Fachbegriff Regressionsanalyse, die zur Beschreibung der funktionalen Abhängigkeit eines Merkmals durch ein oder mehrere andere Merkmale eingesetzt wird. Durch eine Anwendung von Regressionsanalysen können vermutete Zusammenhänge daraufhin überprüft werden, ob diese mit ermittelten Daten konsistent sind. Regressionsmodelle sind Vorhersagemodelle. Ein Regressionsmodell bestimmt mit Hilfe einer mathematischen Funktion die Relation zwischen einer abhängigen und einer unabhängigen Variable.
Dieses Modul ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit folgenden Regressionsmodellen (lineare Regression und nichtlineare Regression):
- Lineare Regression Y = M·X+N (lineares Regressionsmodell)
- Logarithmische Regression Y = A+B·LN(X)
- Geometrische Regression Y = A·X^B
- Reziproke Regression Y = A+B/X
- Exponentielle Regression Y = A·B^X
- Trigonometrische Regression Y = A+B·SIN(X)
- Reziproke quadratische Regression Y = A+B/X²
- Quadratische Regression Y = A+B·X²
- Kubische Regression Y = A+B·X³
Hierbei werden nachfolgend aufgeführte Größen ermittelt und ausgegeben:
- Kleinster und größter Messwert (Minimum, Maximum)
- Mittelwert
- Median
- Varianz
- Standardabweichung (quadr. Streuung, durchschnittliche Abweichung der Messwerte vom Erwartungswert)
- Mittlerer Fehler des Mittelwerts
- Geometrisches Mittel
- Quadratisches Mittel
- Harmonisches Mittel
- Variationskoeffizient
- Stichprobenvarianz
- Stichproben-Standardabweichung
- Standardfehler
- Streubreite
- Mittlere Abweichung
- Mittelwert ohne größten Ausreißer (Max.)
- Mittelwert ohne kleinsten Ausreißer (Min.)
Als lineare Regression wird eine statistische Methode bezeichnet, die zur Ermittlung der Gleichung einer Gerade (linearen Funktion) dient, deren Koordinatenwerte näherungsweise einer Reihe zugrundeliegender Daten entsprechen.
Als quadratische Regression wird eine statistische Methode bezeichnet, die zur Ermittlung der Gleichung einer Parabel dient, deren Koordinatenwerte näherungsweise einer Reihe zugrundeliegender Daten entsprechen.
Als kubische Regression wird eine statistische Methode bezeichnet, die zur Ermittlung der Gleichung einer kubischen Parabel (kubischen Funktion) dient, deren Koordinatenwerte näherungsweise einer Reihe zugrundeliegender Daten entsprechen.
Als logarithmische Regression wird eine statistische Methode bezeichnet, die zur Ermittlung der Gleichung einer Logarithmusfunktion dient, deren Koordinatenwerte näherungsweise einer Reihe zugrundeliegender Daten entsprechen.
Als exponentielle Regression wird eine statistische Methode bezeichnet, die zur Ermittlung der Gleichung einer Exponentialfunktion dient, deren Koordinatenwerte näherungsweise einer Reihe zugrundeliegender Daten entsprechen.
Als trigonometrische Regression wird eine statistische Methode bezeichnet, die zur Ermittlung der Gleichung einer trigonometrischen Funktion dient, deren Koordinatenwerte näherungsweise einer Reihe zugrundeliegender Daten entsprechen.
Als polynomiale Regression wird eine statistische Methode bezeichnet, die zur Ermittlung der Gleichung eines Polynoms dient, dessen Koordinatenwerte näherungsweise einer Reihe zugrundeliegender Daten entsprechen. Im einfachsten Fall dieser Art wird hierdurch eine (quadratische) Parabel, ein Polynom 2. Grades, beschrieben. (Diese Art der Regression wird in diesem Modul nicht behandelt)
Logistische Regression: Mit Hilfe logistischer Regressionsmodelle wird die Abhängigkeit nominal abhängiger Variablen von anderen unabhängigen Variablen, die ein beliebiges Messniveau aufweisen, analysiert (z.B. die Anwesenheit bei einer Fortbildung j/n). Sie ist eine Art der Regressionsanalyse mit Hilfe derer ein nominalskaliertes, kategoriebezogenes Merkmal vorhersagbar gemacht wird. (Diese Art der Regression wird in diesem Modul nicht behandelt)
Zusätzlich ermittelte Größen - Formeln
Im Folgenden sind die Formeln der in diesem Modul für die definierten Messwerte zusätzlich ermittelten Größen aufgeführt.
Mittelwert:
Median:
falls n ungerade:
falls n gerade:
Varianz s²:
Standarabweichung:
Mittlerer Fehler des Mittelwerts:
Harmonisches Mittel:
Quadratisches Mittel:
Geometrisches Mittel:
Variationskoeffizient:
(Verhältnis der Standardabweichung zum arithmetischen Mittel)
Stichprobenvarianz:
Stichproben-Standardabweichung:
Standardfehler:
Mittlere Abweichung:
Mittelwert ohne Ausreißer (max):
Mittelwert
ohne größten (maximalen) Ausreißer
Mittelwert ohne Ausreißer (min):
Mittelwert
ohne kleinsten (minimalen) Ausreißer
Lineare Regression
Lineare Regression: Die Methode der linearen Regression dient dem Zweck, eine möglichst gut an Messwerte angepasste, lineare Funktion zu ermitteln. Eine derartige Regressionsgleichung besitzt den Aufbau einer linearen Funktion und wird als Regressionsgerade oder Ausgleichsgerade bezeichnet. Regressionskoeffizienten (auch als Regressionsparameter bezeichnet) bewerten den Einfluss einer Variablen in einer Regressionsgleichung.
Bei einer Regressionsgleichung oder Regressionsfunktion handelt es sich um eine Gleichung bzw. Funktion, mit Hilfe derer die Prägnanz eines Merkmals aufgrund der Prägnanz eines anderen, mit dieser in Zusammenhang stehenden Merkmals prognostiziert werden kann.
Gesucht wird somit die Gleichung y = m·x+n einer Ausgleichsgeraden (Korrelationsgerade), von welcher gegebene Messwerte möglichst geringe Abstände aufweisen. Verwendet wird hierfür die Gaußsche Methode der kleinsten Quadrate (Methode der kleinsten Fehlerquadrate). Zugrundegelegt wird hierbei ein lineares Regressionsmodell.
Zusammenhangsmaße (Korrelationsmaße) dienen dazu, um zu analysieren in welcher Form (wie eng) zwei Größen miteinander in Verbindung stehen und zunehmen bzw. abnehmen. Hierzu zählt unter anderem der Korrelationskoeffizient. Um die Güte eines, auf diese Weise ermittelten, Zusammenhangs beurteilen zu können, wird der Korrelationskoeffizient ermittelt (-1 ≤ r ≤ 1, wobei r = 0 darauf hinweist, dass kein Zusammenhang zwischen den beiden Variablen x und y existiert). Als Korrelationskoeffizient wird der Wert bezeichnet, der die Stärke einer linearen Beziehung zwischen zwei Variablen in einer Korrelationsanalyse bemisst. Als Korrelationsanalyse wird ein statistisches Verfahren bezeichnet, welches Information über die zwischen Variablen bestehenden Relationen gibt.
Nach Festlegung eines Konfidenzintervalls (Vertrauensbereichs) für die Korrelation kann mit Hilfe einer Student-t-Verteilung für kleine Stichproben untersucht werden, mit welcher anzunehmender Wahrscheinlichkeit der ermittelte lineare Zusammenhang sicher ist. Eine Korrelation beschreibt eine Relation die zwischen zwei oder mehreren Merkmalen besteht. Sie ist ein Maß dafür, in welcher Art zwei Variablen einer linearen Beziehung zueinander stehen.
Eine bivariate Korrelation bestimmt über einen Korrelationskoeffizienten die Stärke eines Zusammenhangs dessen zwischen zwei Merkmalen sowie seine Richtung (positiv oder negativ). Diese Methode findet in diesem Programm keine Anwendung.
Eine bivariate Korrelation bestimmt über einen Korrelationskoeffizienten die Stärke eines Zusammenhangs dessen zwischen zwei Merkmalen sowie seine Richtung (positiv oder negativ). Diese Methode findet in diesem Programm keine Anwendung.
Das Programm ermittelt die zu dieser Beurteilung erforderlichen Werte und führt eine entsprechende Analyse durch. Es vergleicht anhand des eingestellten Konfidenzintervalls, ob mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit ein linearer Zusammenhang zwischen den x- und y-Werten besteht. Wird beispielsweise eine Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,1 gewählt und vom Programm ausgegeben, dass der "Zusammenhang wahrscheinlich" ist, so ist mit einer anzunehmenden Wahrscheinlichkeit von 99% davon auszugehen, dass ein linearer Zusammenhang zwischen den Messgrößen besteht. Wird hingegen eine Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,01 gewählt und vom Programm ermittelt, dass der Zusammenhang unwahrscheinlich ist, so muss die Annahme verworfen werden, dass mit 99,9%-iger Wahrscheinlichkeit ein linearer Zusammenhang zwischen den Messwerten vorliegt.
Bedienung dieses Unterprogramms
Führen Sie Folgendes aus, um mit diesem Modul eine lineare Regressionsanalyse mit Datenpaaren von Messwertreihen durchführen zu lassen:
- Selektieren Sie den Eintrag Linear Y = M·X+N aus der aufklappbaren Box Auswahl Modell.
- Geben Sie die auszuwertenden Messdaten in die dafür vorgesehenen Felder X und Y ein, bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle erforderlichen Messwerte aufgenommen sind.
- Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das Eingabefeld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
- Wählen Sie durch die Selektion des entsprechenden Eintrags aus der Box Irrtumswahrsch. den Wert (0,1, 0,01, 0,05 bzw. 0,005) der zuzulassenden Irrtumswahrscheinlichkeit α.
- Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen.
- Möchten Sie sich die Verteilung der Messwerte, sowie den Verlauf der ermittelten Regressionsgeraden grafisch veranschaulichen, so klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Darstellen.
Hinweis:
Die Anzahl eingegebener X-Werte muss mit der Anzahl eingegebener Y-Werte übereinstimmen, bevor die Durchführung von Berechnungen, bzw. die Ausgabe einer grafischen Darstellung ermöglicht wird. Ferner muss hierfür eine Mindestanzahl von 3 Datenwertpaaren definiert sein.
Nichtlineare Regression
Nichtlineare Regression: Die nichtlineare Regression stellt eine Form der Regressionsanalyse bereit, die eine nichtlineare Kombination der Modellparameter ist und von einer oder mehreren unabhängigen Variablen abhäng ist.
Als Ausgleichskurve oder Ausgleichspolynom wird die mittels der Anwendung eines Regressionsmodells ermittelte Funktion und somit die Regressionsfunktion bezeichnet.
Bedienung dieses Unterprogramms
Da in der Praxis häufig die Analyse nichtlinearer Zusammenhänge erforderlich ist, ermöglicht das Programm auch die Durchführung einiger dieser. Hierbei werden die Parameter a und b der entsprechenden Funktion, sowie der zugehörige Korrelationskoeffizient, welcher Auskunft über die Qualität des Zusammenhangs der Messgrößen gibt, ermittelt.
Führen Sie Folgendes aus, um eine nichtlineare Regressionsanalyse mit Datenpaaren von Messwertreihen durchführen zu lassen:
- Wählen Sie den entsprechenden Eintrag aus der aufklappbaren Box Auswahl Modell.
- Geben Sie die auszuwertenden Messdaten in die dafür vorgesehenen Felder X und Y ein, bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle erforderlichen Messwerte aufgenommen sind.
- Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
- Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
- Um sich die Verteilung der Messwerte, sowie den Verlauf der Kurve der ermittelten Regressionsfunktion grafisch zu veranschaulichen, klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Darstellen.
Hinweis:
Die Anzahl eingegebener X-Werte muss mit der Anzahl eingegebener Y-Werte übereinstimmen, bevor die Durchführung von Berechnungen, bzw. die Ausgabe einer grafischen Darstellung ermöglicht wird. Ferner muss hierfür eine Mindestanzahl von 3 Datenwertpaaren definiert sein.
Bei Auswahl der entsprechenden Methode gilt es Folgendes zu beachten:
| · Logarithmische Regression: | Alle X-Werte müssen > 0 sein |
| · Geometrische Regression: | Alle X-Werte und alle Y-Werte müssen > 0 sein |
| · Reziproke Regression: | Kein X-Wert darf 0 sein |
| · Reziproke quadr. Regression: | Kein X-Wert darf 0 sein |
| · Exponentielle Regression: | Alle Y-Werte müssen > 0 sein |
Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden.
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet.
Mittels der anschaulichen Gestaltung und leichten Bedienbarbarkeit der einzelnen Module dieser Software werden oftmals häufig gestellte Fragen mit den Anfangsworten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? zum entsprechenden Themengebiet auf verständliche Weise beantwortet und einfach erklärt sich durch dessen Benutzung vieles von alleine. Zudem liefert diese Applikation zu vielen gestellten Fragen eine verständliche Antwort, Beschreibung und Erklärung.
Video
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:
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Bedienformular
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Punkte: Darstellung der Punktbeschriftung ein-/ausschalten
- Koordinaten: Darstellung der Koordinatenwerte der Punkte ein-/ausschalten
Datenverwaltung
Möchten Sie eingegebene Messwerte speichern, so kann dies über den Menüeintrag Datei - Speichern durchgeführt werden. Um mit bereits gespeicherten Daten eine Analyse durchzuführen, verwenden Sie den Menüeintrag Datei - Öffnen. Beim Öffnen einer Datei werden bereits eingegebene Werte durch die Dateidaten überschrieben!
Es besteht auch die Möglichkeit die auszuwertenden Datenpaare in einer Excel-Tabelle zu definieren. Die Zahlenwerte sind nach folgendem Schema in der Excel-Tabelle festzulegen:
In Spalte A der Excel-Tabelle legen Sie die Werte für die X-Koordinaten und in Spalte B die Y-Koordinaten der Messwerte fest. Beginnen Sie mit der Eingabe in den obersten Feldern der entsprechenden Spalten.
Speichern Sie diese Tabelle hierauf in einer Datei ab.
Sollen diese Daten wieder geladen werden, so wählen Sie im Programm den Menüeintrag Datei - Excel-Daten importieren und öffnen Sie die entsprechende Datei. Eingelesen werden alle Werte bis zum ersten leeren Feld in einer Excel-Tabellen-Spalte.
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Beispiele
Beispiel 1 - Lineare Regression (lineares Regressionsmodell):
Es ist eine Analyse folgender Messwertpaare auf lineare Zusammenhänge durchzuführen:
| X -Werte | Y-Werte |
| -15,722 | -1,274 |
| -13,852 | -0,456 |
| -6,968 | -0,288 |
| -3,484 | 0,793 |
| 0,4 | 1,658 |
| 1,0 | 1,0 |
| 2,33 | 1,899 |
| 14,872 | 2,596 |
| 19,971 | 1,0 |
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Selektion des Eintrags Linear Y = M·X+N aus der aufklappbaren Auswahlbox und der Eingabe der o.a. Daten in die Tabelle, wird bei Festlegung einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% (α = 0,1) nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ausgegeben:
Ermittelte Funktion: Y = 0,081142·X+0,782878
Student-t-Wert: 1,4149
Irrtumswahrscheinlichkeit: 0,1
Vergleichswert: 3,257911
Korrelationskoeffizient: 0,776266
Korrelation wahrscheinlich
Dies bedeutet: Da der ermittelte Vergleichswert größer dem Student-t-Wert der festgelegten Irrtumswahrscheinlichkeit ist, ist ein Zusammenhang zwischen der ermittelten Regressionsfunktion (Korrelationsgeraden) und den vorhandenen Werten zu 90% wahrscheinlich.
Bei Festlegung einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,5% (α = 0,005) stellt das Programm hingegen fest, dass ein derartiger Zusammenhang unwahrscheinlich ist:
Ermittelte Funktion: Y = 0,081142·X+0,782878
Student-t-Wert: 3,499483
Irrtumswahrscheinlichkeit: 0,005
Vergleichswert: 3,257911
Korrelationskoeffizient: 0,776266
Korrelation nicht wahrscheinlich
Für die Auswertung der X-und Y-Werte der Messwertreihe gibt das Programm aus:
Auswertung der X-Werte:
| Anzahl der X-Werte: | 9 |
| Minimum: | -15,722 |
| Maximum: | 7 |
| Mittelwert: | -0,161444 |
| Median: | 0,4 |
| Varianz: | 140,765252 |
| Standardabweichung: | 11,864453 |
| Mittlerer Fehler des Mittelwerts: | 3,954818 |
| Geometrisches Mittel: | ----------- |
| Harmonisches Mittel: | 2,586087 |
| Quadratisches Mittel: | 11,187079 |
| Variationskoeffizient: | -871,911401 |
| Stichprobenvarianz: | 125,124668 |
| Stichproben-Standardabweichung: | 11,185914 |
| Standardfehler: | 1,318273 |
| Streubreite: | 19,571 |
| Mittlere Abweichung: | 8,75116 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(max): | -2,678 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(min): | -0,231625 |
Auswertung der Y-Werte:
| Anzahl der Y-Werte: | 9 |
| Minimum: | -1,274 |
| Maximum: | 2,596 |
| Mittelwert: | 0,769778 |
| Median: | 1 |
| Varianz: | 1,538021 |
| Standardabweichung: | 1,24017 |
| Mittlerer Fehler des Mittelwerts: | 0,41339 |
| Geometrisches Mittel: | ----------- |
| Harmonisches Mittel: | -5,375822 |
| Quadratisches Mittel: | 1,399888 |
| Variationskoeffizient: | 1,998006 |
| Stichprobenvarianz: | 1,36713 |
| Stichproben-Standardabweichung: | 1,169243 |
| Standardfehler: | 0,137797 |
| Streubreite: | 2,884 |
| Mittlere Abweichung: | 0,96163 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(max): | 0,5415 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(min): | 0,902 |
Beispiel 2 - Nichtlineare Regression (nichtlineares Regressionsmodell):
Es ist eine Analyse folgender Messwertpaare auf nichtlineare Zusammenhänge durchzuführen:
| X -Werte | Y-Werte |
| 1 | 1 |
| 4,2 | 3,6 |
| 7,6 | 4 |
| 10,2 | 4,2 |
| 12,9 | 4,7 |
Vorgehensweise und Lösung:
Nach Eingabe der Daten in die Tabelle, der aufeinanderfolgenden Selektion der entsprechenden Einträge aus der aufklappbaren Auswahlbox Auswahl Modell und anschließender Durchführung der Berechnungen wird ausgegeben:
Logarithmische Regression: Y = 1,166894+1,398267·LN(X)
Korrelationskoeffizient: 0,984631
Geometrische Regression: Y= 1,136655·X^(0,600445)
Korrelationskoeffizient: 0,961305
Reziproke Regression: Y = 4,635431-3,673982/X
Korrelationskoeffizient: -0,989391
Exponentielle Regression: Y = 1,388152·(1,118177)^X
Korrelationskoeffizient: 0,825075
Trigonometrische Regression: Y = 3,569435-0,614022·SIN(X)
Korrelationskoeffizient: -0,362257
Reziprok quadratische Regression: Y = -3,226025+4,20303/X²
Korrelationskoeffizient: -0,971994
Quadratische Regression: Y = 2,347932+0,016608·X²
Korrelationskoeffizient: 0,769171
Kubische Regression: 2,665857+0,001121·X³
Korrelationskoeffizient: 0,685883
Da der entsprechende Korrelationskoeffizient bei logarithmischer, geometrischer sowie reziproker Regression nahe den Werten 1 bzw. -1 liegt, lässt dies die Vermutung zu, dass sich die Zusammenhänge der Messwerte ggf. mit Hilfe einer dieser Funktionen beschreiben lassen.
Für die Auswertung der X-und Y-Werte dieser Messwertreihe gibt das Programm aus:
Auswertung der X-Werte:
| Anzahl der X-Werte: | 5 |
| Minimum: | 1 |
| Maximum: | 12,9 |
| Mittelwert: | 7,18 |
| Median: | 7,6 |
| Varianz: | 22,272 |
| Standardabweichung: | 4,719322 |
| Mittlerer Fehler des Mittelwerts: | 2,110545 |
| Geometrisches Mittel: | 5,304574 |
| Harmonisches Mittel: | 3,235758 |
| Quadratisches Mittel: | 8,328865 |
| Variationskoeffizient: | 3,10195 |
| Stichprobenvarianz: | 17,8176 |
| Stichproben-Standardabweichung: | 4,22109 |
| Standardfehler: | 0,943864 |
| Streubreite: | 11,9 |
| Mittlere Abweichung: | 3,664 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(max): | 5,75 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(min): | 8,725 |
Auswertung der Y-Werte:
| Anzahl der Y-Werte: | 5 |
| Minimum: | 1 |
| Maximum: | 4,7 |
| Mittelwert: | 3,5 |
| Median: | 4 |
| Varianz: | 2,11 |
| Standardabweichung: | 1,452584 |
| Mittlerer Fehler des Mittelwerts: | 0,649615 |
| Geometrisches Mittel: | 3,095579 |
| Harmonisches Mittel: | 2,52699 |
| Quadratisches Mittel: | 3,733363 |
| Variationskoeffizient: | 0,602857 |
| Stichprobenvarianz: | 1,688 |
| Stichproben-Standardabweichung: | 1,299231 |
| Standardfehler: | 0,290517 |
| Streubreite: | 3,7 |
| Mittlere Abweichung: | 1 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(max): | 3,2 |
| Mittelwert ohne Ausreißer(min): | 4,125 |
Weitere Screenshots zu diesem Modul
Grafische Darstellung - Beispiel 1
Grafische Darstellung - Beispiel 2
Grafische Darstellung - Beispiel 3
Grafische Darstellung - Beispiel 4
Grafische Darstellung - Beispiel 5
Grafische Darstellung - Beispiel 6
Grafische Darstellung - Beispiel 7
Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Regressionsanalyse zu finden.
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Screenshot des Startfensters dieses Moduls
Startfenster des Unterprogramms Regressionsanalyse
Screenshots weiterer Module von MathProf
MathProf 5.0 - Unterprogramm Statistische Messwertanalyse
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
Screenshot eines Moduls von PhysProf
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Physik interaktiv
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
