MathProf - Rechnen - Brüche - Bruchrechner - Kürzen - Bruch - Prozent

  Modul Bruchrechnung

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Mit Hilfe des kleinen Unterprogramms [Algebra] - Bruchrechnung lassen sich Operationen mit gemeinen Brüchen durchführen.

 

Das Programm gibt das Ergebnis einer durchgeführten Bruchoperation in Form eines gemeinen Bruchs, wie auch in gekürzter Form aus. Zudem wird dieses als Dezimalwert angezeigt.

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Berechnungen mit gemeinen Brüchen durchzuführen:

1. Geben Sie die ganzzahligen Werte für Zähler und Nenner des ersten Bruchs in die Felder 1. Bruch ein.
    
2. Führen Sie dies ebenfalls für den zweiten Bruch durch. Legen Sie die entsprechenden Werte hierbei in den Feldern 2. Bruch fest.
    
3. Bedienen Sie eine dafür vorgesehene Symbolschaltfläche +, -, * oder / um die gewünschte Operation mit den definierten Brüchen durchführen zu lassen.
    
4. Möchten Sie das Ergebnis zur Ausführung weiterer Rechenoperationen verwenden, so bedienen Sie die Schaltfläche Ergebnis übernehmen. Hierbei wird das Resultat der zuletzt durchgeführten Operation in die Eingabefelder des ersten Bruchs übernommen und die Einträge in den Feldern des zweiten Bruchs werden gelöscht.

Vor Durchführung einer neuen Berechnung bedienen Sie die Schaltfläche Löschen.
 

Übersicht über die Zuordnung der Schalter bzgl. derer auszuführender Operationen:

Schaltersymbol	Operation
+	Addition
-	Subtraktion
*	Multiplikation
/	Division

 

Hinweise:

Sind nicht alle Eingabefelder mit Zahlenwerten belegt, so wird keine Operation durchgeführt. Bei einem echten Bruch ist der Nenner größer dem Zähler. Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer oder gleich dem Nenner.
 

Nach einer Eingabe der Werte für:

1. Bruch:  5 / 9

 

2. Bruch:  7 / 8

 

werden nach der Bedienung der entsprechenden Schaltflächen nachfolgend aufgeführte Berechnungen durchgeführt und Ergebnisse ausgegeben:

 

Schalter: + (Addition): Operation: 5 / 9 + 7 / 8 = 103 / 72 = 1,403556

Schalter: - (Subtraktion): Operation: 5 / 9 - 7 / 8 = -23 / 72 = -0,319444

Schalter: * (Multiplikation): Operation: 5 / 9 * 7 / 8 = 35 / 72 = 0,48611

Schalter: / (Division): Operation: 5 / 9 / 7 / 8 = 40 / 63 = 0,634291

 

Beispiel 1


Beispiel 2

 

 
Brüche entstehen bei der Teilung eines Ganzen oder mehrerer Ganzer. Der Zähler eines Bruchs gibt die Anzahl geteilter Ganzer an. Der Nenner gibt Auskunft darüber in wie viele Teile ein Ganzes zu teilen ist. Brüche die einen Zähler 1 besitzen heißen Stammbrüche. Ist der Nenner eines Bruchs gleich dem Zähler eines anderen oder umgekehrt, so handelt es sich um reziproke Brüche (z.B. ist 5/4 reziprok zu 4/5). Brüche mit gleichen Nennern heißen zueinander gleichnamig. Besitzen sie hingegen unterschiedliche Nenner so werden sie als ungleichnamig bezeichnet.
  

 
Nachfolgend wird auf die Grundlagen sowie die hierbei geltenden Rechengesetze (Rechenregeln) eingegangen.
 
1. Addition von Brüchen (Brüche addieren)

I - Brüche addieren - Allgemein:

Brüche werden addiert, indem man sie auf den gleichen Nenner (Hauptnenner) erweitert, hierauf deren Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner (gemeinsamen Quotient) beibehält (Nenner bestimmen).

Beispiel:

2/3 + 1/5

Hauptnenner: 3 · 5 = 15
Addition der Zähler: 5 · 2/15 + 3 · 3/15 = 10/15 + 9/15 = 19/15

 → 2/3 + 1/5 = 19/15 = 1 + 4/5

II - Gleichnamige Brüche addieren:

Gleichnamige Brüche werden addiert, indem die Zähler unter Beibehaltung des Nenners addiert.



oder:



Beispiele:





III - Ungleichnamige Brüche addieren:

Ungleichnamige Brüche werden addiert, indem man sie gleichnamig macht und hierauf wie bei gleichnamigen Brüchen die Zähler unter Beibehaltung des Nenners addiert.
 


Beispiel:

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2. Subtraktion von Brüchen (Brüche subtrahieren)

I - Brüche subtrahieren - Allgemein:

Brüche werden subtrahiert, indem man sie auf den gleichen Nenner (Hauptnenner) erweitert, hierauf deren Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner (gemeinsamen Quotient) beibehält.

Beispiel:

2/3 - 1/5

Hauptnenner: 3 · 5 = 15
Subtraktion der Zähler: 5 · 2/15 - 3 · 3/15 = 10/15 - 9/15 = 1/15

 → 2/3 - 1/5 = 1/15

II - Gleichnamige Brüche subtrahieren:

Gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem die Zähler unter Beibehaltung des Nenners subtrahiert.



oder:



Beispiele:





III - Ungleichnamige Brüche subtrahieren:

Ungleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man sie gleichnamig macht und hierauf wie bei gleichnamigen Brüchen die Zähler unter Beibehaltung des Nenners subtrahiert.
 


Beispiel:

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3.  Multiplikation von Brüchen mit einer natürlichen Zahl (Faktorisieren - Brüche multiplizieren)
 
Brüche werden mit einer natürlichen Zahl multipliziert (faktorisiert), indem man deren Zähler mit der natürlichen Zahl multipliziert.

Beispiel:

4 · 5/7 = 4 · 5/7 = 20/7

 → 4 · 5/7 = 20/7

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4.  Multiplikation von Brüchen mit Brüchen

Brüche werden mit Brüchen multipliziert, indem man die jeweiligen Zähler und und die jeweiligen Nenner miteinander multipliziert (Ausmultiplizieren).

Beispiel:

4/3 · 2/5

Multiplikation der Zähler: 4 · 2 = 8
Multiplikation der Nenner: 3 · 5 = 15

Ergebnis: 8/15

 → 4/3 · 2/5 = 8/15

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5. Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl (Brüche diviedieren)

Brüche werden durch eine natürliche Zahl dividiert, indem man den Nenner des Bruchs mit der natürlichen Zahl multipliziert und den Zähler beibehält.

Beispiel:

1/4 geteilt durch 3

Zähler: 1
Multiplikation der Nenner: 4 · 3 = 12

Ergebnis: 1/12

 → 1/3 : 3 = 1/12

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6. Division eines Bruches durch einen Bruch (Doppelbruch)

Doppelbrüche liegen vor, wenn im Zähler oder Nenner eines Bruchs nochmals ein oder mehrere Brüche auftreten. Brüche werden durch einen Bruch dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches (Kehrbruch) multipliziert. Dies bedeutet: Im zweiten Bruch werden Zähler und Nenner vertauscht. Hierauf werden die beiden Brüche miteinander multipliziert.

Beispiel:

2/3 geteilt durch 3/4

Kehrwert des zweiten Bruchs (Kehrbruch): 4/3

Multiplikation des ersten Bruchs mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs:

2/3 · 4/3

Multiplikation der Zähler: 2 · 4 = 8
Multiplikation der Nenner: 3 · 3 = 9

Ergebnis: 8/9

 → 2/3 geteilt durch 3/4 = 8/9

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7.  Potenzieren von Brüchen

Brüche werden mit einem Exponenten potenziert, indem man Zähler und Nenner getrennt mit dem Exponenten multipliziert.
 
Beispiel:

2/3 hoch 3

Zähler: 2
Nenner: 3

Potenzierung des Zählers: 2^3 = 2 · 2 · 2 = 8
Potenzierung des Nenners: 3^3 = 3 · 3 · 3 = 27

Ergebnis: 8/27

 → (2/3)^3 = 8/27
 

Echter Bruch:

Ist bei einem Bruch der Zähler kleiner als der Nenner, so handelt es sich um einem echten Bruch.

Beipiele für echte Brüche:

1/4
2/9

Unechter Bruch:

Ist bei einem Bruch der Nenner kleiner als der Zähler, so handelt es sich um von einem unechten Bruch.

Beipiele für unechte Brüche:

7/3
11/4

Scheinbruch:

Besitzt ein Bruch als Wert eine ganze Zahl, so wird er als Scheinbruch bezeichnet.

Beipiele für Scheinbrüche:

4/2 => 2
9/3  => 3

Wertgleiche Brüche:

Zahlen, welche durch Brüche angegeben werden können, heißen Bruchzahlen. Eine Bruchzahl kann durch unterschiedliche wertgleiche Brüche angegeben werden.
 
Beipiele für wertgleiche Brüche:

1/2 = 2/4 = 4/8
1/3 = 3/9 = 5/15
 
Natürliche Zahl:

Ist der Zähler ein Vielfaches des Nenners, so stellt der Bruch eine natürliche Zahl dar.

Beipiele für natürliche Zahlen:

8/4 = 2
15/3 = 5

Gemischte Zahl:

Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl sowie einem Bruch.

Beipiele für gemischte Zahlen:

4 2/5 = 4 + 2/5
6 2/7 = 6 + 2/7

Kehrwert eines Bruchs:

Der Kehrwert eines Bruchs (reziproker Bruch) ist ein Bruch, bei welchem dessen Zähler und Nenner veratuscht werden.

Beispiel:

Gegebener Bruch: 2/7
Sein Kehrwert lautet: 7/2 
  
Negativer Bruch:
 
Ein negativer Bruch ist ein Bruch bei welchem entweder der Zähler oder der Nenner desselben ein negatives Vorzeichen (Minus) besitzt. Sind Zähler wie auch Nenner eines Bruchs negativ, so ist sein Wert positiv. Ist lediglich sein Zähler oder sein Nenner negativ und besitzt der andere Teil dessen ein umgekehrtes Vorzeichen, so ist der Wert des Bruchs negativ.
  
Umwandlung einer gemischten Zahl in einen Bruch:

Vorgehensweise: Die ganze Zahl wird mit dem Nenner des Bruchs multipliziert und zum Zähler des Bruchs addiert. Der Nenner dessen bleibt erhalten.
 
Beipiel für die Umwandlung einer gemischten Zahl in einen Bruch:

Gemischte Zahl: 5 3/7

Zähler 3 wird mit ganzer Zahl 5 multipliziert: 5 · 3 = 15
Nenner 7 bleibt erhalten

Hieraus folgt: 5 3/7 = 5 · 3/7 = 15/7
 
Hinweis:
Eine gemischte Zahl wird auch als gemischter Bruch bezeichnet.
 

Bruch kürzen (vereinfachen):

Ein Bruch kann gekürzt (vereinfacht) werden, indem der Zähler sowie der Nenner dessen durch dieselbe Zahl dividiert werden.

Beispiel:

Bruch: 15/25
Kürzungszahl:5

15/25 = 15/25 : 5/5 = 3/5

Ergebnis (gekürzter Bruch - vereinfachter Bruch): 3/5
 
Bruch erweitern:

Brüche werden erweitert, indem sowohl deren Zähler, wie auch deren Nenner mit der Erweiterungszahl (dem gleichen Faktor) multipliziert werden.

Beispiel:

Bruch: 3/4
Erweiterungszahl:2

3/4 = 3/4 · 2/2 = 6/8

Ergebnis (erweiterter Bruch): 6/8

Brüche gleichnamig machen:

Brüche sind gleichnamig, wenn sie dieselben Nenner besitzen (gleichnamige Brüche). Ungleichnamige Brüche sind Brüche mit ungleichen Nennern.

Brüche werden gleichnamig gemacht, indem man sie auf denselben Nenner bringt. Dies geschieht durch das Kürzen oder Erweitern dieser. Lediglich Brüche mit gleichem Nenner sind vergleichbar und können addiert oder voneinander subtrahiert werden.

Beispiel:

Erster Bruch: 1/2
Zweiter Bruch: 1/3

Durch das Finden des Hauptnenners werden diese beiden Brüche gleichnamig gemacht. Der Haupnenner dieser beiden Brüche ist 6.

Gleichnamige Brüche: 3/6 und 2/6

 → 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
 

Regeln um Brüche zu vergleichen und zu ordnen:

• Besitzen zwei zu vergleichende Brüche denselben Zähler (zählergleiche Brüche), so ist der Bruch mit dem kleineren Nenner der größere Bruch
   
• Besitzen zwei zu vergleichende Brüche denselben Nenner (nennergleiche Brüche), so ist der Bruch mit dem kleineren Zähler der kleiner Bruch
   
• Sind weder die Zähler noch die Nenner zweier Brüche gleich, so sind die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Hauptnenner zu bringen (über Kreuz zu multiplizieren) und hierauf nach den zuvor aufgeführten Kriterien zu vergleichen
   

Beispiele I (zählergleiche Brüche):

4/3 > 4/5, da der Nenner (Zahl 3) des Bruchs 4/3 kleiner ist als der Nenner (Zahl 5) des Bruchs 4/5
4/5 < 4/3, da der Nenner (Zahl 5) des Bruchs 4/5 größer ist als der Nenner (Zahl 3) des Bruchs 4/3

Beispiele II (nennergleiche Brüche):

3/5 > 2/5, da der Zähler (Zahl 3) des Bruchs 3/5 größer ist als der Zähler (Zahl 2) des Bruchs 2/5
2/5 < 3/5, da der Zähler (Zahl 2) des Bruchs 2/5 kleiner ist als der Zähler (Zahl 3) des Bruchs 3/5

Beispiele III (Zähler und Nenner sind ungleich):

Multiplikation über Kreuz:

3/4 > 2/5, da 3 · 5 > 2 · 4 bzw. 15 > 8
4/7 < 2/3, da 4 · 3 < 2 · 7 bzw. 12 < 14
 

 
Unter dem Rationalmachen von Brüchen wird das Beseitigen einer Wurzel aus dem Nenner eines Bruchs verstanden.

1. Wurzel im Nenner

Um eine einzeln im Nenner vorkommende Wurzel zu beseitigen und den Nenner des Bruchs rational zu machen, werden der Zähler sowie der Nenner des Bruchs mit dieser Wurzel multipliziert (erweitert). Hierauf befindet sich im Nenner des Bruchs keine Wurzel mehr.

Beispiel 1:







Beispiel 2:








2. Wurzel im Zähler und im Nenner

Auch in diesem Fall werden der Nenner sowie der Zähler des Bruchs mit der im Nenner vorkommenden Wurzel multipliziert (erweitert).

Beispiel:






 

3. Zwei Wurzeln im Nenner

Befinden sich im Nenner eines Bruchs zwei Wurzeln, welche durch Additionszeichen oder Subtraktionszeichen miteinander verknüpft sind, so können diese unter bestimmten Umständen mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes dort beseitigt werden.
 
Beispiel:






  

 
Ein Prozent entspricht einem Hundertstel. Bei der Umwandlung einer Zahl mit Prozentzeichen wird dieses entfernt und die davor stehende Zahl durch 100 geteilt.

Es glit:
1% = 1/100

Beispiele:
 
20% = 20 · 1/100 = 20/100 = 2/10 = 1/5 = 0,2
35% = 35 · 1/100 = 35/100 = 0,35
6,7% = 6,7 · 1/100 = 67/100 = 0,67
130% = 130 · 1/100 = 130/100 = 13/10 = 1,3
 
Bruchteile können in Form von Brüchen, Dezimalbrüchen oder als Prozentsatz angegeben werden.
 

 
Ein Hundertstel entspricht einem Prozent. Bei der Umwandlung eines Bruchs in eine Zahl mit Prozentzeichen wird der Nenner des Bruchs auf die Zahl 100 gebracht und der Zähler dessen mit der Zahl vor dem Prozentzeichen multipliziert.

Es glit:
1/100 =  1%

Beispiele I;
 
Die Zahl 100 befindet sich im Nenner des Bruchs (Reziproke):

7/100 = 7 · 1/100 = 7%
30/100 = 30 · 1/100 = 30%
15,8/100 = 15,8 · 1/100 = 15,8%
47/100 = 47 · 1/100 = 47%

Befindet sich im Nenner des zu wandelnden Bruchs nicht die Zahl 100, so ist zuerst durch entsprechendes Erweitern oder Kürzen des Bruchs dafür zu sorgen, dass sich diese im Nenner befindet.

Beispiele II;
 
Die Zahl 100 befindet sich nicht im Nenner des Bruchs:

Zu wandelnder Bruch: 7/20
7/20 = (7 · 5) / (20 · 5) = 35/100 = 0,35  <- Erweiterung des Bruchs mit der Zahl 5

Zu wandelnder Bruch: 12/5
12/5 = (12 · 20) / (5 · 20) = 240/100 = 2,4  <- Erweiterung des Bruchs mit der Zahl 20

 

 

Werden zwei Verhältnisse a : b  und c : d zueinander in Beziehung gesetzt, so wird von einer Proportion gesprochen. Der Quotient zweier Größen wird als Verhältnis bezeichnet. In einer Verhältnisgleichung wird durch Äquivalenzumformungen das Produkt der Außenglieder (a · d) sowie der Innenglieder (b · c) gebildet. Dieses Produkt der Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder. Es lautet: a · d = b · c. Eine lineare Gleichung dieser Art wird als Produktgleichung bezeichnet. Da eine dieser vier Variablen unbekannt ist, wird sie mit x bezeichnet.

Beispiel;

Das Verhältnis 8 : 5 = 4 : x sei bekannt. Durch entsprechende Umformungen wird diese Gleichung nach x aufgelöst.

8 : 5 = 4 : x
8 · x = 5 · 4
8 · x = 20
x = 20/8 = 5/2
 

 
Brüche können Variablen sowohl im Zähler wie auch im Nenner enthalten. Derartige Brüche können prinzipiell gleich behandelt werden wie Brüche, welche lediglich Zahlen beinhalten. Mit ihnen kann sowohl die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation wie auch die Division durchgeführt werden. Diese besitzen beispielsweise die nachfolgende Gestalt.

4/(2-x)
3/2bc
(5+b)/(3-ac)
 

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Bruchgleichungen mit Variablen im Nenner

Häufig gilt es Gleichungen zu lösen, bei welchen sich im Nenner eines Bruchs dieser eine Variable befindet. Hierbei ist zunächst zu untersuchen für welche Werte der Variable x der Nenner Null wird und die Definitionsmenge für die Variable x festzulegen (Bestimmung der Defintionsmenge). Dies kann durchgeführt werden, indem der Term jedes Nenners (Nennerterm) der Gleichung einzeln gleich Null gesetzt wird und dieser hierauf nach x aufgelöst wird (Schritt 1). Hierauf wird die entsprechende Gleichung nach x aufgelöst (Schritt 2).

Schritt 1:

Bestimmung der Definitionsmenge - Beispiel 1:

Gegeben sei die Bruchgleichung 2/x-1 = 4

Die Definitionsmenge lautet: D = R\{0}, d.h. diese Bruchgleichung ist gültig für alle Werte der Variablen x, ausschließllch der Zahl 0, denn für diese wird der Nennerterm x = 0;

Bestimmung der Definitionsmenge - Beispiel 2:

Gegeben sei die Bruchgleichung 5/(x-3) = 2

Die Definitionsmenge lautet: D = R\{3}, d.h. diese Bruchgleichung ist gültig für alle Werte der Variablen x, ausschließllch der Zahl 3, denn für diese wird der Nennerterm x-3 = 0.

Bestimmung der Definitionsmenge - Beispiel 3:

Gegeben sei die Bruchgleichung 3/(x+1) = 2/(x-2) 

Die Definitionsmenge lautet: D = R\{-1;2}, d.h. Diese Bruchgleichung ist gültig für alle Werte der Variablen x, ausschließllch den Zahlen -1 und und 2, denn für diese werden die Nennerterme x+1 bzw. x-2 gleich 0.

Schritt 2:

Im folgenden Schritt wird die Gleichung nach der Variable x aufgelöst.

Auflösung nach Variable - Beispiel 1:

Gegeben sei die Bruchgleichung 2/x-1 = 4.

Um den Term x-1 im Nenner des linken Bruchs verschwinden zu lassen, werden beide Seiten der Gleichung mit (x- 1) multipliziert. Es folgt:

2/x-1 = 4  | ·(x-1)  
2 = 4(x-1)
4(x-1) = 2
4x-4 = 2
4x = 6
x = 6/4 = 3/2

Als Lösung der Gleichung wird für die Variable x der Wert 3/2 ermittelt. Somit lautet die Lösungsmenge dieser Bruchgleichung L = {3/2}

Auflösung nach Variable - Beispiel 2:

Gegeben sei die Bruchgleichung 3/(x+1) = 2/(x-2).

Um den Term x+1 im Nenner des linken Bruchs verschwinden zu lassen, werden beide Seiten der Gleichung mit (x+1) multipliziert. Es folgt:

3/(x+1) = 2/(x-2)  | ·(x+1)

Um den Term x-2 im Nenner des rechten Bruchs verschwinden zu lassen, werden beide Seiten der Gleichung mit (x-2) multipliziert. Es folgt:

3 = 2(x-1)/(x-2)     | ·(x-2)
3(x-2) = 2(x-1)
3x-6 = 2x-2           | -2x
x+6 = -2
x = -8

Als Lösung der Gleichung wird für die Variable x der Wert -8 ermittelt. Somit lautet die Lösungsmenge dieser Bruchgleichung L = {-8}
 

 

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Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Bruchrechnung zu finden.

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Zahluntersuchung

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

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