MathProf - Rechnen - Brüche - Bruchrechner - Kürzen - Bruch - Prozent

MathProf - Mathematik-Software - Bruchrechnung | Addieren | Subtrahieren

Fachthema: Rechnen mit Brüchen

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Grundschule, Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Bruchrechnung | Addieren | Subtrahieren

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Bruchrechnungen mit echten Brüchen und unechten Brüchen unter Festlegung von Zähler (Dividend) und Nenner (Divisor).

Nach Durchführung einer Bruchrechnung gibt das Programm das entsprechende Ergebnis sowohl in Form von Bruchzahlen wie auch als Dezimalzahl aus und ermittelt das Verhältnis der entsprechenden Zahlen.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte I zu diesem Modul:

Bruchrechnen - Bruchrechnung - Bruch - Rechnen - Brüche - Bruchrechner - Regeln - Rechenregeln - Rechengesetze - Kehrbruch - Kürzen von Brüchen - Brüche berechnen - Bruchteile - Bruchterme - Kehrwert - Hauptnenner - Gemischte Zahlen - Gemischte Zahl - Gemischter Bruch - Gemischte Brüche - Natürliche Zahl - Brüche addieren - Rechnen mit Brüchen - Brüche subtrahieren - Brüche multiplizieren - Brüche dividieren - Brüche kürzen - Umwandeln von Brüchen - Gemeinsamer Nenner - Gemeinsamer Teiler - Gemeinsame Nenner - Gemeinsame Teiler - Kleinere Zahl - Größere Zahl - Echter Bruch - Unechter Bruch - Umwandeln - Bruch addieren - Bruch multiplizieren - Bruch dividieren - Bruch umkehren - Zeichen - Geteilt mit Rest - Bruch als Dezimalzahl - Dezimalschreibweise - Erklärung - Addition von Brüchen - Subtraktion von Brüchen - Addieren von Brüchen - Subtrahieren von Brüchen - Multiplizieren von Brüchen - Dividieren von Brüchen - Dividend - Divisor - Divsion von Brüchen - Doppelbruch - Mehrfachbruch - Doppelbrüche - Doppelter Bruch - Rechner für Brüche - Malnehmen von Brüchen - Teilen von Brüchen - Addieren von Bruchzahlen - Subtrahieren von Bruchzahlen - Dividieren von Bruchzahlen - Multiplizieren von Bruchzahlen - Brüche als Dezimalzahl - Bruch umrechnen - Brüche umrechnen - Ungleichnamige Brüche - Gleichnamige Brüche - Brüche gleichnamig machen - Gleichnamig - Gleichwertige Brüche - Stammbruch - Arten von Brüchen - Brucharten - Echte Brüche - Unechte Brüche - Scheinbruch - Scheinbrüche - Natürliche Zahlen dividieren - Verhältnis zweier Zahlen - Rechenoperationen mit Brüchen - Quotienten natürlicher Zahlen - Quotient zweier Zahlen - Bruchdarstellung - Rechnen mit Bruchzahlen - Bruchterme vereinfachen - Brüche vereinfachen - Brüche mit Potenzen - Kehrwert eines Bruchs - Multiplikation von Brüchen - Gebrochene Zahlen - Kommazahlen - Bruchteil - Verhältnis - Addition - Subtraktion - Multiplikation - Division - Mehrere Brüche - Zwei Brüche addieren - Zwei Brüche multiplizieren

  

Themen und Stichworte Ii zu diesem Modul:

Zwei Brüche dividieren - Zwei Brüche teilen - Brüche teilen - Addieren - Subtrahieren - Multiplizieren - Subtrahieren - Quotient - Faktor - Bruchzahlen - Bruchzahl - Dezimalzahl - Dezimal - Grundlagen - Grundlegendes - Wandeln - Wandlung - Umwandlung - Berechnen - Rechner - Berechnung - Ergebnis - Vereinfachung - Verhältnisse - Zahl - Zahlen - Ganze Zahlen - Teil - Teilen - Teiler - Null - Ein - Eins - Zwei - Drei - Vier - Fünf - Sechs - Sieben - Acht - Neun - Zehn - Elf - Zwölf - Dreizehn - Vierzehn - Fünfzehn - Sechzehn - Siebzehn - Achtzehn - Neunzehn - Zwanzig - Dreißig - Vierzig - Fünfzig - Sechzig - Siebzig - Achtzig - Neunzig - Hundert - Tausend - 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 -7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 -19 - 20 - 1/2 - 1/3 - 1/4 - 1/5 - 1/6 - 1/7 - 1/8 - 1/9 - 1/10 - 2/3 - 2/4 - 2/5 - 2/6 - 2/7 - 2/9 - 3/4 - 3/5 - 3/7 - 3/8 - 4/5 - 4/7 - 4/9 - 5/6 - 5/7 - 5/8 - 5/9 - 6/7 - 7/8 - 8/9 - 3/10 - 4/10 - 5/10 - 6/10 - 7/10 - 8/10 - 9/10 - * - / - + - Ein Halb - Ein Drittel - Ein Viertel - Ein Fünftel - Ein Sechstel - Ein Siebtel - Ein Achtel - Ein Zehntel - Zwei Zehntel - Drei Zehntel - Vier Zehntel - Fünf Zehntel - Sechs Zehntel - Sieben Zehntel - Acht Zehntel - Neun Zehntel - Zwei Drittel - Drei Viertel - Vier Fünftel - Sechs Siebtel - Sieben Achtel - Acht Neuntel - Hälfte - Drittel - Viertel - Fünftel - Sechstel - Achtel - Zehntel - Halbieren - Bruch halbieren - Brüche halbieren - Halbierung - Dritteln - Zum Quadrat - Mal - Geteilt - Geteilt durch - Dividiert - Addiert - Subtrahiert - Gleicher Zähler - Gleicher Nenner - Gleiche Zähler - Gleicher Nenne - Suchen - Finden - Rechenhilfen - Rechenhilfe - Verhältnis - Äquivalenzumformungen - Proportion - Proportionen - Verhältnisse - Verhältnisgleichung - Verhältnisgleichungen - Verhältnisrechnung - Verhältnis berechnen - Produktgleichung - Bruchterme kürzen - Bruchterme addieren - Bruchterme multiplizieren - Bruchterme dividieren - Bruchterme subtrahieren - Brüche in Dezimalzahlen umwandeln - Dezimalzahlen in Brüche umwandeln - Bruch in Kommazahl wandeln - Erweiterungszahl - Bruch erweitern - Erweitern von Brüchen - Mehrere Brüche - Definition - Erweitern - Erweitert - Erweiterung - Auflösen - Brüche erweitern - Erweiterter Bruch - Brüche erweitern und kürzen - Brüche kürzen - Bruch kürzen - Kürzen - Kürzungszahl - Bruchrechenregeln - Ausmultiplizieren - Gekürzter Bruch - Kürzungsregeln - Nenner bestimmen - Nenner gleichsetzen - Gemeinsamer Hauptnenner - Gemeinsamer Quotient - Potenzen - Potenz - Brüche potenzieren - Reziproke - Reziproke Zahl - Bestimmen - Bestimmung - Prozent in Bruch - Bruch in Prozent - Brüche in Prozent - Umwandeln - Umrechnen - Umformen - Umformung - Brüche in Hundertstel - Wandeln - Wandlung - Hundertstel - Prozente - Prozentzahlen - Brüche vergleichen - Brüche ordnen - Größenvergleich - Negative Brüche - Nennergleiche Brüche - Zählergleiche Brüche - Brüche mit Variablen - Bruchrechnen mit Variablen - Bruch mit Variablen - Bruchterme umformen - Brüche mit Unbekannten- Hauptnenner bilden - Rational machen - Rationalisieren - Brüche rationalisieren - Nenner rational machen - Wurzelterme - Definitionsmenge - Definitionsbereich - Lösungsmenge

  
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Bruchrechnung - Verhältnis


MathProf - Bruchrechnen - Bruchrechnung - Brüche - Bruch Kürzen von Brüchen - Brüche berechnen - Brüche addieren - Rechnen mit Brüchen - Brüche subtrahieren - Brüche multiplizieren - Brüche dividieren - Brüche kürzen - Umwandeln von Brüchen - Gemeinsamer Nenner - Gemeinsamer Teiler - Echter Bruch - Unechter Bruch - Dezimalbruch - Bruch addieren - Bruch multiplizieren - Bruch dividieren - Dezimalzahl - Bruchterme addieren - Bruchterme multiplizieren - Bruchterme dividieren - Bruchterme subtrahieren - Brüche in Dezimalzahlen umwandeln - Dezimalzahlen in Brüche umwandeln - Bruch in Kommazahl wandeln - Rechner - Berechnen

  Modul Bruchrechnung


 
Mit Hilfe des kleinen Unterprogramms
[Algebra] - Bruchrechnung lassen sich Operationen mit gemeinen Brüchen durchführen.

 

MathProf - Bruchrechnung - Zähler - Nenner - Brüche kürzen - Brüche addieren - Brüche subtrahieren - Brüche multiplizieren - Brüche dividieren - Addition - Multiplikation - Division - Subtraktion - Bruch - Bruchrechnen - Brüche - Gemeinsamer Nenner - Echter Bruch - Unechter Bruch - Rechner - Berechnen

 

Das Programm gibt das Ergebnis einer durchgeführten Bruchoperation in Form eines gemeinen Bruchs, wie auch in gekürzter Form aus. Zudem wird dieses als Dezimalwert angezeigt.

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Berechnungen mit gemeinen Brüchen durchzuführen:

  1. Geben Sie die ganzzahligen Werte für Zähler und Nenner des ersten Bruchs in die Felder 1. Bruch ein.
     
  2. Führen Sie dies ebenfalls für den zweiten Bruch durch. Legen Sie die entsprechenden Werte hierbei in den Feldern 2. Bruch fest.
     
  3. Bedienen Sie eine dafür vorgesehene Symbolschaltfläche +, -, * oder / um die gewünschte Operation mit den definierten Brüchen durchführen zu lassen.
     
  4. Möchten Sie das Ergebnis zur Ausführung weiterer Rechenoperationen verwenden, so bedienen Sie die Schaltfläche Ergebnis übernehmen. Hierbei wird das Resultat der zuletzt durchgeführten Operation in die Eingabefelder des ersten Bruchs übernommen und die Einträge in den Feldern des zweiten Bruchs werden gelöscht.

Vor Durchführung einer neuen Berechnung bedienen Sie die Schaltfläche Löschen.
 

Übersicht über die Zuordnung der Schalter bzgl. derer auszuführender Operationen:

Schaltersymbol Operation
   
  + Addition
  - Subtraktion
  * Multiplikation
  / Division

 

Hinweise:

Sind nicht alle Eingabefelder mit Zahlenwerten belegt, so wird keine Operation durchgeführt. Bei einem echten Bruch ist der Nenner größer dem Zähler. Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer oder gleich dem Nenner.
 

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Beispiel


Nach einer Eingabe der Werte für:

1. Bruch:  5 / 9

 

2. Bruch:  7 / 8

 

werden nach der Bedienung der entsprechenden Schaltflächen nachfolgend aufgeführte Berechnungen durchgeführt und Ergebnisse ausgegeben:

 

Schalter: + (Addition):


Operation: 5 / 9 + 7 / 8 = 103 / 72 = 1,403556

 

Schalter: - (Subtraktion):


Operation: 5 / 9 - 7 / 8 = -23 / 72 = -0,319444

 

Schalter: * (Multiplikation):


Operation: 5 / 9 * 7 / 8 = 35 / 72 = 0,48611

 

Schalter: / (Division):


Operation: 5 / 9 / 7 / 8 = 40 / 63 = 0,634291

 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Kürzen von Brüchen - Brüche berechnen - Brüche addieren - Rechnen mit Brüchen - Brüche subtrahieren - Brüche multiplizieren - Brüche dividieren - Brüche kürzen - Umwandeln von Brüchen - Gemeinsamer Nenner - Gemeinsamer Teiler - Echter Bruch - Unechter Bruch - Dezimalbruch - Bruch addieren - Bruch multiplizieren - Bruch dividieren - Dezimalzahl - Bruchterme addieren - Bruchterme multiplizieren - Bruchterme dividieren - Bruchterme subtrahieren - Brüche in Dezimalzahlen umwandeln - Dezimalzahlen in Brüche umwandeln - Bruch in Kommazahl wandeln - Rechner - Berechnen
Beispiel 1

MathProf - Addition von Brüchen - Subtraktion von Brüchen - Addieren von Brüchen - Subtrahieren von Brüchen - Multiplizieren von Brüchen - Dividieren von Brüchen - Dividend - Divisor - Divsion von Brüchen - Rechner für Brüche - Teilen von Brüchen - Addieren von Bruchzahlen - Subtrahieren von Bruchzahlen - Dividieren von Bruchzahlen - Multiplizieren von Bruchzahlen - Rechner - Berechnen
Beispiel 2

 

Rechenregeln - Rechengesetze - Grundlagen - Grundlegendes


1. Addition von Brüchen

Brüche werden addiert, indem man sie auf den gleichen Nenner (Hauptnenner) erweitert, hierauf deren Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner (gemeinsamen Quotient) beibehält (Nenner bestimmen).

Beispiel:

2/3 + 1/5

Hauptnenner: 3 ·
5 = 15
Addition der Zähler: 5
· 2/15 + 3 · 3/15 = 10/15 + 9/15 = 19/15

  2/3 + 1/5 = 19/15 = 1 + 4/5


2. Subtraktion von Brüchen

Brüche werden subtrahiert, indem man sie auf den gleichen Nenner (Hauptnenner) erweitert, hierauf deren Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner (gemeinsamen Quotient) beibehält.

Beispiel:

2/3 - 1/5

Hauptnenner: 3 ·
5 = 15
Subtraktion der Zähler: 5 ·
2/15 - 3 · 3/15 = 10/15 - 9/15 = 1/15

  2/3 - 1/5 = 1/15


3.  Multiplikation von Brüchen mit einer natürlichen Zahl
 
Brüche werden mit einer natürlichen Zahl multipliziert, indem man deren Zähler mit der natürlichen Zahl multipliziert.

Beispiel:

4 ·
5/7 = 4 · 5/7 = 20/7

  4 · 5/7 = 20/7


4.  Multiplikation von Brüchen mit Brüchen

Brüche werden mit Brüchen multipliziert, indem man die jeweiligen Zähler und und die jeweiligen Nenner miteinander multipliziert (Ausmultiplizieren).

Beispiel:

4/3 ·
2/5

Multiplikation der Zähler: 4 ·
2 = 8
Multiplikation der Nenner: 3 ·
5 = 15

Ergebnis: 8/15


  4/3 · 2/5 = 8/15


5. Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl

Brüche werden durch eine natürliche Zahl dividiert, indem man den Nenner des Bruchs mit der natürlichen Zahl multipliziert und den Zähler beibehält.

Beispiel:

1/4 geteilt durch 3

Zähler: 1
Multiplikation der Nenner: 4 ·
3 = 12

Ergebnis: 1/12


  1/3 : 3 = 1/12


6. Division eines Bruches durch einen Bruch (Doppelbruch)


Brüche werden durch einen Bruch dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches (Kehrbruch) multipliziert. Dies bedeutet: Im zweiten Bruch werden Zähler und Nenner vertauscht. Hierauf werden die beiden Brüche miteinander multipliziert.

Beispiel:

2/3 geteilt durch 3/4

Kehrwert des zweiten Bruchs (Kehrbruch): 4/3

Multiplikation des ersten Bruchs mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs:

2/3 ·
4/3

Multiplikation der Zähler: 2 ·
4 = 8
Multiplikation der Nenner: 3 ·
3 = 9

Ergebnis: 8/9


  2/3 geteilt durch 3/4 = 8/9


7.  Potenzieren von Brüchen

Brüche werden mit einem Exponenten potenziert, indem man Zähler und Nenner getrennt mit dem Exponenten multipliziert.
 
Beispiel:

2/3 hoch 3

Zähler: 2
Nenner: 3

Potenzierung des Zählers: 2^3 = 2 ·
2 · 2 = 8
Potenzierung des Nenners: 3^3 = 3 ·
3 · 3 = 27

Ergebnis: 8/27


  (2/3)^3 = 8/27
 

Echter Bruch - Unechter Bruch - Natürliche Zahlen - Gemischte Zahlen - Sachverhalte


Echter Bruch:

Ist bei einem Bruch der Zähler kleiner als der Nenner, so handelt es sich um einem echten Bruch.


Beipiele für echte Brüche:

1/4

2/9

Unechter Bruch:

Ist bei einem Bruch der Nenner kleiner als der Zähler, so handelt es sich um von einem unechten Bruch.


Beipiele für unechte Brüche:

7/3

11/4

Scheinbruch:

Besitzt ein Bruch als Wert eine ganze Zahl, so wird er als Scheinbruch bezeichnet.


Beipiele für Scheinbrüche:

4/2 => 2

9/3  => 3
 
Natürliche Zahl:

Ist der Zähler ein Vielfaches des Nenners, so stellt der Bruch eine natürliche Zahl dar.


Beipiele für natürliche Zahlen:

8/4 = 2

15/3 = 5

Gemischte Zahl:

Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl sowie einem Bruch.


Beipiele für gemischte Zahlen:

4 2/5

6 2/7

Umwandlung einer gemischten Zahl in einen Bruch:

Vorgehensweise: Die ganze Zahl wird mit dem Nenner des Bruchs multipliziert und zum Zähler des Bruchs addiert. Der Nenner dessen bleibt erhalten.
 
Beipiel für die Umwandlung einer gemischten Zahl in einen Bruch:

Gemischte Zahl: 5 3/7

Zähler 3 wird mit ganzer Zahl 5 multipliziert: 5 ·
3 = 15
Nenner 7 bleibt erhalten

Hieraus folgt: 5 3/7 = 5 ·
3/7 = 15/7
 

Brüche kürzen - Brüche vereinfachen - Bruchterme vereinfachen - Brüche erweitern - Brüche gleichnamig machen - Kürzungsregeln


Bruch kürzen (vereinfachen):

Ein Bruch kann gekürzt (vereinfacht) werden, indem der Zähler sowie der Nenner dessen durch dieselbe Zahl dividiert werden.

Beispiel:

Bruch: 15/25
Kürzungszahl:5

15/25 = 15/25 : 5/5 = 3/5

Ergebnis (gekürzter Bruch - vereinfachter Bruch): 3/5

 
Bruch erweitern:

Brüche werden erweitert, indem sowohl deren Zähler, wie auch deren Nenner mit der Erweiterungszahl multipliziert werden.

Beispiel:

Bruch: 3/4
Erweiterungszahl:2

3/4 = 3/4 ·
2/2 = 6/8

Ergebnis (erweiterter Bruch): 6/8

Brüche gleichnamig machen:

Brüche sind gleichnamig, wenn sie dieselben Nenner besitzen (gleichnamige Brüche). Ungleichnamige Brüche sind Brüche mit ungleichen Nennern.

Brüche werden gleichnamig gemacht, indem man sie auf denselben Nenner bringt. Dies geschieht durch das Kürzen oder Erweitern dieser. Lediglich Brüche mit gleichem Nenner sind vergleichbar und können addiert oder voneinander subtrahiert werden.

Beispiel:

Erster Bruch: 1/2
Zweiter Bruch: 1/3

Durch das Finden des Hauptnenners werden diese beiden Brüche gleichnamig gemacht. Der Haupnenner dieser beiden Brüche ist 6.

Gleichnamige Brüche: 3/6 und 2/6


  1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
 

Brüche vergleichen - Nennergleiche Brüche - Zählergleiche Brüche


Regeln um Brüche zu vergleichen:

  • Besitzen zwei zu vergleichende Brüche denselben Zähler (zählergleiche Brüche), so ist der Bruch mit dem kleineren Nenner der größere Bruch
     
  • Besitzen zwei zu vergleichende Brüche denselben Nenner (nennergleiche Brüche), so ist der Bruch mit dem kleineren Zähler der kleiner Bruch
     
  • Sind weder die Zähler noch die Nenner zweier Brüche gleich, so sind die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Hauptnenner zu bringen (über Kreuz zu multiplizieren) und hierauf nach den zuvor aufgeführten Kriterien zu vergleichen
     

Beispiele I (zählergleiche Brüche):

4/3 > 4/5, da der Nenner (Zahl 3) des Bruchs 4/3 kleiner ist als der Nenner (Zahl 5) des Bruchs 4/5
4/5 < 4/3, da der Nenner (Zahl 5) des Bruchs 4/5 größer ist als der Nenner (Zahl 3) des Bruchs 4/3

Beispiele II (nennergleiche Brüche):

3/5 > 2/5, da der Zähler (Zahl 3) des Bruchs 3/5 größer ist als der Zähler (Zahl 2) des Bruchs 2/5
2/5 < 3/5, da der Zähler (Zahl 2) des Bruchs 2/5 kleiner ist als der Zähler (Zahl 3) des Bruchs 3/5

Beispiele III (Zähler und Nenner sind ungleich):

Multiplikation über Kreuz:

3/4 > 2/5, da 3 ·
5 > 2 · 4 bzw. 15 > 8
4/7 < 2/3, da 4 ·
3 < 2 · 7 bzw. 12 < 14
 

Brüche rational machen - Brüche rationalisieren

 
Unter dem Rationalmachen von Brüchen wird das Beseitigen einer Wurzel aus dem Nenner eines Bruchs verstanden.

1. Wurzel im Nenner

Um eine einzeln im Nenner vorkommende Wurzel zu beseitigen und den Nenner des Bruchs rational zu machen, werden der Zähler sowie der Nenner des Bruchs mit dieser Wurzel multipliziert (erweitert). Hierauf befindet sich im Nenner des Bruchs keine Wurzel mehr.

Beispiel 1:


MathProf - Wurzel im Nenner - Formel - 1

MathProf - Wurzel im Nenner - Formel - 2

MathProf - Wurzel im Nenner - Formel - 3


Beispiel 2:

MathProf - Wurzel im Nenner - Formel - 4

MathProf - Wurzel im Nenner - Formel - 5

MathProf - Wurzel im Nenner - Formel - 6



2. Wurzel im Zähler und im Nenner

Auch in diesem Fall werden der Nenner sowie der Zähler des Bruchs mit der im Nenner vorkommenden Wurzel multipliziert (erweitert).

Beispiel:


MathProf - Wurzel im Zähler und im Nenner - Formel - 1

MathProf - Wurzel im Zähler und im Nenner - Formel - 2

MathProf - Wurzel im Zähler und im Nenner - Formel - 3

 

3. Zwei Wurzeln im Nenner

Befinden sich im Nenner eines Bruchs zwei Wurzeln, welche durch Additionszeichen oder Subtraktionszeichen miteinander verknüpft sind, so können diese unter bestimmten Umständen mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes dort beseitigt werden.

 
Beispiel:


MathProf - Zwei Wurzeln im Nenner - Formel - 1

MathProf - Zwei Wurzeln im Nenner - Formel - 2

MathProf - Zwei Wurzeln im Nenner - Formel - 3

  

Wandlung Prozent in Bruch

 
Ein Prozent entspricht einem Hundertstel. Bei der Umwandlung einer Zahl mit Prozentzeichen wird dieses entfernt und die davor stehende Zahl durch 100 geteilt.

Es glit:
1% = 1/100

Beispiele:
 
20% = 20 ·
1/100 = 20/100 = 2/10 = 1/5 = 0,2
35% = 35 ·
1/100 = 35/100 = 0,35
6,7% = 6,7 ·
1/100 = 67/100 = 0,67
130% = 130 ·
1/100 = 130/100 = 13/10 = 1,3
 

Wandlung Bruch in Prozent

 
Ein Hundertstel entspricht einem Prozent. Bei der Umwandlung eines Bruchs in eine Zahl mit Prozentzeichen wird der Nenner des Bruchs auf die Zahl 100 gebracht und der Zähler dessen mit der Zahl vor dem Prozentzeichen multipliziert.

Es glit:
1/100 =  1%

Beispiele I;
 
Die Zahl 100 befindet sich im Nenner des Bruchs (Reziproke):

7/100 = 7 ·
1/100 = 7%
30/100 = 30 ·
1/100 = 30%
15,8/100 = 15,8 ·
1/100 = 15,8%
47/100 = 47 ·
1/100 = 47%

Befindet sich im Nenner des zu wandelnden Bruchs nicht die Zahl 100, so ist zuerst durch entsprechendes Erweitern oder Kürzen des Bruchs dafür zu sorgen, dass sich diese im Nenner befindet.

Beispiele II;
 
Die Zahl 100 befindet sich nicht im Nenner des Bruchs:

Zu wandelnder Bruch: 7/20
7/20 = (7 ·
5) / (20 · 5) = 35/100 = 0,35  <- Erweiterung des Bruchs mit der Zahl 5

Zu wandelnder Bruch: 12/5
12/5 = (12 ·
20) / (5 · 20) = 240/100 = 2,4  <- Erweiterung des Bruchs mit der Zahl 20

 

 Propotion - Proportionen - Verhältnisse - Verhältnisgleichung

 

Werden zwei Verhältnisse a : b  und c : d zueinander in Beziehung gesetzt, so wird von einer Proportion gesprochen. Der Quotient zweier Größen wird als Verhältnis bezeichnet. In einer Verhältnisgleichung wird durch Äquivalenzumformungen das Produkt der Außenglieder (a · d) sowie der Innenglieder (b · c) gebildet. Dieses Produkt der Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder. Es lautet: a · d = b · c. Eine lineare Gleichung dieser Art wird als Produktgleichung bezeichnet. Da eine dieser vier Variablen unbekannt ist, wird sie mit x bezeichnet.

Beispiel;

Das Verhältnis 8 : 5 = 4 : x sei bekannt. Durch entsprechende Umformungen wird diese Gleichung nach x aufgelöst.

8 : 5 = 4 : x
8 ·
x = 5 · 4
8 ·
x = 20
x = 20/8 = 5/2
 

Brüche mit Variablen - Bruchrechnen mit Variablen - Bruch mit Variablen - Bruchterme umformen

 
Brüche können Variablen sowohl im Zähler wie auch im Nenner enthalten. Derartige Brüche können prinzipiell gleich behandelt werden wie Brüche, welche lediglich Zahlen beinhalten. Mit ihnen kann sowohl die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation wie auch die Division durchgeführt werden. Diese besitzen beispielsweise die nachfolgende Gestalt.

4/(2-x)
3/2bc
(5+b)/(3-ac)

 



Bruchgleichungen mit Variablen im Nenner

Häufig gilt es Gleichungen zu lösen, bei welchen sich im Nenner eines Bruchs dieser eine Variable befindet. Hierbei ist zunächst zu untersuchen für welche Werte der Variable x der Nenner Null wird und die Definitionsmenge für die Variable x festzulegen (Bestimmung der Defintionsmenge). Dies kann durchgeführt werden, indem der Term jedes Nenners (Nennerterm) der Gleichung einzeln gleich Null gesetzt wird und dieser hierauf nach x aufgelöst wird (Schritt 1). Hierauf wird die entsprechende Gleichung nach x aufgelöst (Schritt 2).

Schritt 1:

Bestimmung der Definitionsmenge - Beispiel 1:

Gegeben sei die Bruchgleichung 2/x-1 = 4

Die Definitionsmenge lautet: D = R\{0}, d.h. diese Bruchgleichung ist gültig für alle Werte der Variablen x, ausschließllch der Zahl 0, denn für diese wird der Nennerterm x = 0;

Bestimmung der Definitionsmenge - Beispiel 2:

Gegeben sei die Bruchgleichung 5/(x-3) = 2

Die Definitionsmenge lautet: D = R\{3}, d.h. diese Bruchgleichung ist gültig für alle Werte der Variablen x, ausschließllch der Zahl 3, denn für diese wird der Nennerterm x-3 = 0.

Bestimmung der Definitionsmenge - Beispiel 3:

Gegeben sei die Bruchgleichung 3/(x+1) = 2/(x-2) 

Die Definitionsmenge lautet: D = R\{-1;2}, d.h. Diese Bruchgleichung ist gültig für alle Werte der Variablen x, ausschließllch den Zahlen -1 und und 2, denn für diese werden die Nennerterme x+1 bzw. x-2 gleich 0.

Schritt 2:

Im folgenden Schritt wird die Gleichung nach der Variable x aufgelöst.

Auflösung nach Variable - Beispiel 1:

Gegeben sei die Bruchgleichung 2/x-1 = 4.

Um den Term x-1 im Nenner des linken Bruchs verschwinden zu lassen, werden beide Seiten der Gleichung mit (x- 1) multipliziert. Es folgt:


2/x-1 = 4  | ·(x-1)  
2 = 4(x-1)
4(x-1) = 2
4x-4 = 2
4x = 6
x = 6/4 = 3/2

Als Lösung der Gleichung wird für die Variable x der Wert 3/2 ermittelt. Somit lautet die Lösungsmenge dieser Bruchgleichung L = {3/2}

Auflösung nach Variable - Beispiel 2:

Gegeben sei die Bruchgleichung 3/(x+1) = 2/(x-2).

Um den Term x+1 im Nenner des linken Bruchs verschwinden zu lassen, werden beide Seiten der Gleichung mit (x+1) multipliziert. Es folgt:

3/(x+1) = 2/(x-2)  | ·(x+1)

Um den Term x-2 im Nenner des rechten Bruchs verschwinden zu lassen, werden beide Seiten der Gleichung mit (x-2) multipliziert. Es folgt:

3 = 2(x-1)/(x-2)     | ·(x-2)
3(x-2) = 2(x-1)
3x-6 = 2x-2           | -2x
x+6 = -2
x = -8

Als Lösung der Gleichung wird für die Variable x der Wert -8 ermittelt. Somit lautet die Lösungsmenge dieser Bruchgleichung L = {-8}
 

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Bruchrechnung zu finden.

 
Weitere implementierte Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Ganze Zahlen - Zahl - Zahlen - Natürliche Zahlen - Teilbarkeit - Zerlegung - Faktoren - Zahlzerlegung - Echte Teilersumme - Teiler - Ganzzahlig - Teilerfremde   Zahlen - Untersuchen - Untersuchung - Rechner - Bestimmen - Bestimmung - Berechnung - kgV - ggT - Vielfache - Addieren - Addition - Teilen - Multiplizieren - Multiplikation - Quotient - Produkt - Summe - Rest
MathProf 5.0 - Unterprogramm Zahluntersuchung



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0