MathProf - Rechnen - Brüche - Bruchrechner - Bruch - Prozentrechnung

Fachthema: Rechnen mit Brüchen
MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Grundschule, Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Bruchrechnungen mit echten Brüchen und unechten Brüchen unter Festlegung von Zähler (Dividend) und Nenner (Divisor).
Nach Durchführung einer Bruchrechnung gibt das Programm das entsprechende Ergebnis sowohl in Form von Bruchzahlen wie auch als Dezimalzahl aus und ermittelt das Verhältnis der entsprechenden Zahlen.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

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Themen und Stichworte I zu diesem Modul:Bruchrechnen - Bruchrechnung - Bruch - Rechnen - Brüche - Bruchrechner - Regeln - Rechenregeln - Rechengesetze - Kehrbruch - Kürzen von Brüchen - Brüche berechnen - Bruchteile - Bruchterme - Bruchrechnungen - Kehrwert - Kehrwertbildung - Hauptnenner - Gemischte Zahlen - Gemischte Zahl - Gemischter Bruch - Gemischte Brüche - Schreibweise - Gemischte Schreibweise - Zahl - Zahlen - Mal - Durch - Plus - Minus - Natürliche Zahl - Brüche addieren - Rechnen mit Brüchen - Brüche subtrahieren - Brüche multiplizieren - Brüche dividieren - Brüche multiplizieren und dividieren - Brüche kürzen - Umwandeln von Brüchen - Bruch in Dezimalzahl - Gemeinsamer Nenner - Gemeinsamer Teiler - Gemeinsame Nenner - Gemeinsame Teiler - Kleinere Zahl - Größere Zahl - Echter Bruch - Unechter Bruch - Umwandeln - Bruch addieren - Bruch multiplizieren - Bruch dividieren - Bruch umkehren - Zeichen - Geteilt mit Rest - Bruch als Dezimalzahl - Dezimalschreibweise - Erklärung - Einfach erklärt - Übersicht - Beschreibung - Definition - Grundaufgaben - Addition von Brüchen - Subtraktion von Brüchen - Addieren von Brüchen - Subtrahieren von Brüchen - Multiplizieren von Brüchen - Dividieren von Brüchen - Dividend - Divisor - Divsion von Brüchen - Doppelbruch - Mehrfachbruch - Doppelbrüche - Doppelter Bruch - Rechner für Brüche - Rechenweg - Wertgleiche Brüche - Bruch mal Bruch - Bruch durch Bruch - Bruch plus Bruch - Bruch mal - Bruch durch - Bruch plus - Malnehmen von Brüchen - Teilen von Brüchen - Addieren von Bruchzahlen - Subtrahieren von Bruchzahlen - Dividieren von Bruchzahlen - Multiplizieren von Bruchzahlen - Brüche als Dezimalzahl - Bruch umrechnen - Brüche umrechnen - Ungleichnamige Brüche - Gleichnamige Brüche - Brüche gleichnamig machen - Gleichwertige Brüche - Negativer Bruch - Negativer Nenner - Negativer Zähler - Stammbruch - Arten von Brüchen - Brucharten - Echte Brüche - Unechte Brüche - Scheinbruch - Scheinbrüche - Natürliche Zahlen dividieren - Verhältnis zweier Zahlen - Rechenoperationen mit Brüchen - Quotienten natürlicher Zahlen - Quotient zweier Zahlen - Bruchdarstellung - Rechnen mit Bruchzahlen - Bruchterme vereinfachen - Brüche vereinfachen - Wertgleiche Brüche - Brüche mit Potenzen - Bruch invertieren - Bruchaddition - Termumformung - Kehrwert eines Bruchs - Multiplikation von Brüchen - Gebrochene Zahlen - Bruch hoch minus - Bruch durch Bruch - Brüche plus rechnen - Terme- Veranschaulichen - Gleiche Nenner - Ungleiche Brüche - Ordnen - Sortieren - Vereinfachen - Vereinfacht - Anwendungsbeispiele - Darstellen - Darstellung - Kommazahlen - Bruchrechnen mit ganzen Zahlen - Ganze Zahlen - Bruchteil - Verhältnis - Addition - Subtraktion - Multiplikation - Division - Mehrere Brüche - Zwei Brüche addieren - Zwei Brüche multiplizieren |
Themen und Stichworte II zu diesem Modul:Zwei Brüche dividieren - Zwei Brüche teilen - Brüche teilen - Addieren - Subtrahieren - Multiplizieren - Summe - Summen - Summieren - Addieren und Subtrahieren - Multiplizieren und Dividieren - Quotient - Faktor - Bruchzahlen - Bruchzahl - Dezimalzahl - Dezimal - Grundlagen - Grundlegendes - Wandeln - Wandlung - Umwandlung - Berechnen - Rechner - Berechnung - Ergebnis - Übersicht - Vereinfachung - Verhältnisse - Zahl - Zahlen - Ganze Zahlen - Teil - Teilen - Teiler - Null - Ein - Eins - Zwei - Drei - Vier - Fünf - Sechs - Sieben - Acht - Neun - Zehn - Elf - Zwölf - Dreizehn - Vierzehn - Fünfzehn - Sechzehn - Siebzehn - Achtzehn - Neunzehn - Zwanzig - Dreißig - Vierzig - Fünfzig - Sechzig - Siebzig - Achtzig - Neunzig - Hundert - Tausend - 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 -7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 -19 - 20 - 1/2 - 1/3 - 1/4 - 1/5 - 1/6 - 1/7 - 1/8 - 1/9 - 1/10 - 2/3 - 2/4 - 2/5 - 2/6 - 2/7 - 2/9 - 3/4 - 3/5 - 3/7 - 3/8 - 4/5 - 4/7 - 4/9 - 5/6 - 5/7 - 5/8 - 5/9 - 6/7 - 7/8 - 8/9 - 3/10 - 4/10 - 5/10 - 6/10 - 7/10 - 8/10 - 9/10 - * - / - + - Ein Halb - Ein Drittel - Ein Viertel - Ein Fünftel - Ein Sechstel - Ein Siebtel - Ein Achtel - Ein Zehntel - Zwei Zehntel - Drei Zehntel - Vier Zehntel - Fünf Zehntel - Sechs Zehntel - Sieben Zehntel - Acht Zehntel - Neun Zehntel - Zwei Drittel - Drei Viertel - Vier Fünftel - Sechs Siebtel - Sieben Achtel - Acht Neuntel - Hälfte - Drittel - Viertel - Fünftel - Sechstel - Achtel - Zehntel - Ganze - Halbe - Drittel - Viertel - Fünftel - Sechstel - Siebtel - Achtel - Neuntel - Zehntel - Zwei Viertel - Zwei Fünftel - Zwei Sechstel - Zwei Siebtel - Zwei Achtel - Zwei Neuntel - Eineinhalb - Zweieinhalb - Dreienhalb - Anderthalbfach - Anderthalbfache - Halbieren - Bruch halbieren - Brüche halbieren - Halbierung - Dritteln - Zum Quadrat - Mal - Geteilt - Geteilt durch - Dividiert durch - Multpliziert mit - Dividiert - Addiert - Subtrahiert - Gleicher Zähler - Gleicher Nenner - Gleiche Zähler - Gleicher Nenner - Suchen - Finden - Rechenhilfen - Rechenhilfe - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Bruchaufgabe - Bruchaufgaben - Wie viel - Wie viele - Wieviel - Wieviele - Wie - Weshalb - Was ist - Warum - Was sind - Bedeutung - Was bedeutet - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Verhältnis - Brüche vergleichen - Dezimalzahlen vergleichen - Gleiche Brüche - Äquivalenzumformungen - Zehnerbruch - Dezimalbruch - Zehnerbrüche - Dezimalbrüche - Proportion - Proportionen - Verhältnisse - Verhältnisgleichung - Verhältnisgleichungen - Verhältnisrechnung - Verhältnis berechnen - Produktgleichung - Bruchterme kürzen - Bruchterme addieren - Bruchterme multiplizieren - Bruchterme dividieren - Bruchterme subtrahieren - Brüche in Dezimalzahlen umwandeln - Dezimalzahlen in Brüche umwandeln - Bruch in Kommazahl wandeln - Erweiterungszahl - Erweiterungsfaktor - Bruch erweitern - Erweitern von Brüchen - Mehrere Brüche - Bruchteile benennen - Bruch benennen - Brüche benennen - Erweitern - Erweitert - Erweiterung - Auflösen - Brüche erweitern - Erweiterter Bruch - Brüche erweitern und kürzen - Brüche kürzen - Bruch kürzen - Kürzen - Kürzungszahl - Bruchrechenregeln - Bruch mit Wurzel - Bruch mit Zahl - Bruch mit Hochzahl - Bruch mit Exponent - Brüche mit Wurzeln - Brüche mit Zahlen - Brüche mit Hochzahlen - Brüche mit Exponenten - Brüche malnehmen - Multipliziert - Dividiert - Radizieren - Teilung - Verfielfachen - Verfielfachung - Bruchmultiplikation - Bruchschreibweise - Bruchstrich - Summe - Bruchteile - Bruchterm - Bruchumwandlung - Ausmultiplizieren - Gekürzt - Gekürzter Bruch - Kürzungsregeln - Kürzen eines Bruches - Zweier Brüche - Nenner bestimmen - Nenner gleichsetzen - Gemeinsamer Hauptnenner - Gemeinsamer Quotient - Quotienten - Bruch hoch - Potenzen - Potenz - Brüche potenzieren - Reziproke - Reziproke Zahl - Ganze Zahl - Ganzes - Stammbrüche - Gleichnamig - Ungleichnamig - Bestimmen - Bestimmung - Lösungsweg - Prozent - Prozentrechnung - Prozentrechnen - Prozent in Bruch - Bruch in Prozent - Brüche in Prozent - Trainer - Trainieren - Umwandeln - Umrechnen - Umformen - Umformung - Brüche in Hundertstel - Anteil - Anteile - Wandeln - Wandlung - Hundertstel - Prozente - Prozentzeichen - Prozentzahlen - Bruchteile - Bruchteil - Brüche vergleichen - Brüche ordnen - Größenvergleich - Mit x - Bruchgleichungen - x - Bruchgleichung umstellen - Bruchgleichung lösen - Bruchgleichung - Bruchrechenaufgaben - Definitionsmenge - Definitionsbereich - Negative Brüche - Nennergleiche Brüche - Zählergleiche Brüche - Brüche mit Variablen - Bruchrechnen mit Variablen - Über Kreuz multiplizieren - Bruch mit Variablen - Bruchterme umformen - Brüche mit Unbekannten- Hauptnenner bilden - Hauptnenner bestimmen - Rational machen - Rationalisieren - Brüche rationalisieren - Nenner rational machen - Wurzelterme - Merksatz - Merksätze - Definitionsmenge - Definitionsbereich - Lösungsmenge |
Bruchrechnung - Verhältnis
Modul Bruchrechnung
Mit Hilfe des kleinen Unterprogramms [Algebra] - Bruchrechnung lassen sich Operationen mit gemeinen Brüchen durchführen.
Grundlegendes
Brüche entstehen bei der Teilung eines Ganzen oder mehrerer Ganzer. Der Zähler eines Bruchs gibt die Anzahl geteilter Ganzer an. Der Nenner gibt Auskunft darüber in wie viele Teile ein Ganzes zu teilen ist. Der waagerechte oder schräge Strich eines Bruchs trägt die Bezeichnung Bruchstrich. Die Zahl unter dem Bruchstrich wird als Nenner bezeichnet und die Zahl über dem Bruchstrich wird mit dem Begriff Zähler benannt. Brüche die einen Zähler 1 besitzen heißen Stammbrüche.
Ist der Nenner eines Bruchs gleich dem Zähler eines anderen oder umgekehrt, so handelt es sich um reziproke Brüche (z.B. ist 5/4 reziprok zu 4/5). Brüche mit gleichen Nennern heißen zueinander gleichnamig. Besitzen sie hingegen unterschiedliche Nenner so werden sie als ungleichnamig bezeichnet.
Ein Bruch kann auf unterschiedliche Weise dargestellt werden:
- in Form einer mathematischer Notation (z.B. 3/4)
- in Worten (z.B. drei Viertel)
- als der Teil einer Reihe von Gegenständen
- grafisch, beispielsweise in Form des Teils eines Balkens oder eines Kreises
Programmbedienung
Das Programm gibt das Ergebnis einer durchgeführten Bruchoperation in Form eines gemeinen Bruchs, wie auch in gekürzter Form aus. Zudem wird dieses als Dezimalwert angezeigt.
Gehen Sie folgendermaßen vor, um Berechnungen mit gemeinen Brüchen durchzuführen:
- Geben Sie die ganzzahligen Werte für Zähler und Nenner des ersten Bruchs in die Felder 1. Bruch ein.
- Führen Sie dies ebenfalls für den zweiten Bruch durch. Legen Sie die entsprechenden Werte hierbei in den Feldern 2. Bruch fest.
- Bedienen Sie eine dafür vorgesehene Symbolschaltfläche +, -, * oder / um die gewünschte Operation mit den definierten Brüchen durchführen zu lassen.
- Möchten Sie das Ergebnis zur Ausführung weiterer Rechenoperationen verwenden, so bedienen Sie die Schaltfläche Ergebnis übernehmen. Hierbei wird das Resultat der zuletzt durchgeführten Operation in die Eingabefelder des ersten Bruchs übernommen und die Einträge in den Feldern des zweiten Bruchs werden gelöscht.
Vor Durchführung einer neuen Berechnung bedienen Sie die Schaltfläche Löschen.
Übersicht über die Zuordnung der Schalter bzgl. derer auszuführender Operationen:
Schaltersymbol | Operation |
+ | Addition |
- | Subtraktion |
* | Multiplikation |
/ | Division |
Hinweise:
Sind nicht alle Eingabefelder mit Zahlenwerten belegt, so wird keine Operation durchgeführt. Bei einem echten Bruch ist der Nenner größer dem Zähler. Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer oder gleich dem Nenner.
Beispiel
Nach einer Eingabe der Werte für:
1. Bruch: 5 / 9
2. Bruch: 7 / 8
werden nach der Bedienung der entsprechenden Schaltflächen nachfolgend aufgeführte Berechnungen durchgeführt und Ergebnisse ausgegeben:
Schalter: + (Addition):
|
Schalter: - (Subtraktion):
|
Schalter: * (Multiplikation):
|
Schalter: / (Division): |
Beispiel 1
Beispiel 2
Rechenregeln - Rechengesetze - Grundlagen - Übersicht - Rechenweg
Nachfolgend wird auf die Grundlagen sowie die hierbei geltenden Rechengesetze (Rechenregeln) eingegangen.
1. Addition von Brüchen (Brüche addieren)
I - Brüche addieren - Allgemein:
Brüche werden addiert, indem man sie auf den gleichen Nenner (Hauptnenner) erweitert, hierauf deren Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner (gemeinsamen Quotient) beibehält (Nenner bestimmen). Diese Vorgehensweise wird auch als Hauptnenner bestimmen bezeichnet.
Beispiel:
2/3 + 1/5
Hauptnenner: 3 · 5 = 15
Addition der Zähler: 5 · 2/15 + 3 · 3/15 = 10/15 + 9/15 = 19/15
→ 2/3 + 1/5 = 19/15 = 1 + 4/5
II - Gleichnamige Brüche addieren:
Gleichnamige Brüche werden addiert, indem die Zähler unter Beibehaltung des Nenners addiert.
oder:
Beispiele:
III - Ungleichnamige Brüche addieren:
Ungleichnamige Brüche werden addiert, indem man sie gleichnamig macht und hierauf wie bei gleichnamigen Brüchen die Zähler unter Beibehaltung des Nenners addiert.
Beispiel:
2. Subtraktion von Brüchen (Brüche subtrahieren)
I - Brüche subtrahieren - Allgemein:
Brüche werden subtrahiert, indem man sie auf den gleichen Nenner (Hauptnenner) erweitert, hierauf deren Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner (gemeinsamen Quotient) beibehält.
Beispiel:
2/3 - 1/5
Hauptnenner: 3 · 5 = 15
Subtraktion der Zähler: 5 · 2/15 - 3 · 3/15 = 10/15 - 9/15 = 1/15
→ 2/3 - 1/5 = 1/15
II - Gleichnamige Brüche subtrahieren:
Gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem die Zähler unter Beibehaltung des Nenners subtrahiert.
oder:
Beispiele:
III - Ungleichnamige Brüche subtrahieren:
Ungleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man sie gleichnamig macht und hierauf wie bei gleichnamigen Brüchen die Zähler unter Beibehaltung des Nenners subtrahiert.
Beispiel:
3. Multiplikation von Brüchen mit einer natürlichen Zahl (Faktorisieren - Brüche multiplizieren)
Brüche werden mit einer natürlichen Zahl multipliziert (faktorisiert), indem man deren Zähler mit der natürlichen Zahl multipliziert.
Beispiel:
4 · 5/7 = 4 · 5/7 = 20/7
→ 4 · 5/7 = 20/7
Dieser Vorgang wird auch als Verfielfachung (das Verfielfachen) eines Bruchs bezeichnet.
4. Multiplikation von Brüchen mit Brüchen
Brüche werden mit Brüchen multipliziert, indem man die jeweiligen Zähler und und die jeweiligen Nenner miteinander multipliziert (Ausmultiplizieren).
Beispiel:
4/3 · 2/5
Multiplikation der Zähler: 4 · 2 = 8
Multiplikation der Nenner: 3 · 5 = 15
Ergebnis: 8/15
→ 4/3 · 2/5 = 8/15
5. Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl (Brüche dividieren)
Brüche werden durch eine natürliche Zahl dividiert, indem man den Nenner des Bruchs mit der natürlichen Zahl multipliziert und den Zähler beibehält. Als Quotienten werden die Ergebnisse durchgeführter Divisonen zweier (oder mehrerer) Zahlen bezeichnet. Werden zwei Zahlen durcheinander dividiert, so ergibt sich als Ergebnis der Quotient dieser beiden Zahlen.
Beispiel:
1/4 geteilt durch 3
Zähler: 1
Multiplikation der Nenner: 4 · 3 = 12
Ergebnis: 1/12
→ 1/3 : 3 = 1/12
6. Division eines Bruches durch einen Bruch (Doppelbruch)
Doppelbrüche liegen vor, wenn im Zähler oder Nenner eines Bruchs nochmals ein oder mehrere Brüche auftreten. Brüche werden durch einen Bruch dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches (Kehrbruch) multipliziert. Dies bedeutet: Im zweiten Bruch werden Zähler und Nenner vertauscht. Hierauf werden die beiden Brüche miteinander multipliziert. Dieses Verfahren wird als über Kreuz multiplizieren bezeichnet.
Beispiel:
2/3 geteilt durch 3/4
Kehrwert des zweiten Bruchs (Kehrbruch): 4/3
Multiplikation des ersten Bruchs mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs:
2/3 · 4/3
Multiplikation der Zähler: 2 · 4 = 8
Multiplikation der Nenner: 3 · 3 = 9
Ergebnis: 8/9
→ 2/3 geteilt durch 3/4 = 8/9
7. Potenzieren von Brüchen
Brüche werden mit einem Exponenten potenziert, indem man Zähler und Nenner getrennt mit dem Exponenten multipliziert.
Beispiel:
2/3 hoch 3
Zähler: 2
Nenner: 3
Potenzierung des Zählers: 2^3 = 2 · 2 · 2 = 8
Potenzierung des Nenners: 3^3 = 3 · 3 · 3 = 27
Ergebnis: 8/27
→ (2/3)^3 = 8/27
Echter Bruch - Unechter Bruch - Natürliche Zahlen - Gemischte Zahlen - Dezimalbruch - Sachverhalte - Übersicht
Echter Bruch:
Ist bei einem Bruch der Zähler kleiner als der Nenner, so handelt es sich um einem echten Bruch.
Beispiele für echte Brüche:
1/4
2/9
Unechter Bruch:
Ist bei einem Bruch der Nenner kleiner als der Zähler, so handelt es sich um von einem unechten Bruch.
Beispiele für unechte Brüche:
7/3
11/4
Scheinbruch:
Besitzt ein Bruch als Wert eine ganze Zahl, so wird er als Scheinbruch bezeichnet.
Beispiele für Scheinbrüche:
4/2 => 2
9/3 => 3
Wertgleiche Brüche:
Zahlen, welche durch Brüche angegeben werden können, heißen Bruchzahlen. Eine Bruchzahl kann durch unterschiedliche wertgleiche Brüche angegeben werden.
Beispiele für wertgleiche Brüche:
1/2 = 2/4 = 4/8
1/3 = 3/9 = 5/15
Natürliche Zahl:
Ist der Zähler ein Vielfaches des Nenners, so stellt der Bruch eine natürliche Zahl dar.
Beispiele für natürliche Zahlen:
8/4 = 2
15/3 = 5
Gemischte Zahl:
Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl sowie einem Bruch.
Beispiele für gemischte Zahlen:
4 2/5 = 4 + 2/5
6 2/7 = 6 + 2/7
Kehrwert eines Bruchs:
Der Kehrwert eines Bruchs (reziproker Bruch) ist ein Bruch, bei welchem dessen Zähler und Nenner veratuscht werden.
Beispiel:
Gegebener Bruch: 2/7
Sein Kehrwert lautet: 7/2
Negativer Bruch:
Ein negativer Bruch ist ein Bruch bei welchem entweder der Zähler oder der Nenner desselben ein negatives Vorzeichen (Minus) besitzt. Sind Zähler wie auch Nenner eines Bruchs negativ, so ist sein Wert positiv. Ist lediglich sein Zähler oder sein Nenner negativ und besitzt der andere Teil dessen ein umgekehrtes Vorzeichen, so ist der Wert des Bruchs negativ.
Umwandlung einer gemischten Zahl in einen Bruch:
Vorgehensweise: Die ganze Zahl wird mit dem Nenner des Bruchs multipliziert und zum Zähler des Bruchs addiert. Der Nenner dessen bleibt erhalten.
Beispiel für die Umwandlung einer gemischten Zahl in einen Bruch:
Gemischte Zahl: 5 3/7
Zähler 3 wird mit ganzer Zahl 5 multipliziert: 5 · 3 = 15
Nenner 7 bleibt erhalten
Hieraus folgt: 5 3/7 = 5 · 3/7 = 15/7
Hinweis:
Eine gemischte Zahl wird auch als gemischter Bruch bezeichnet bzw. als gemischte Schreibweise.
Zehnerbruch - Dezimalbruch:
Als Dezimalbruch oder Zehnerbruch wird ein Bruch bezeichnet, dessen Nenner die Zahl 10, 100, 1000 etc. enthält.
Beispiele für Zenherbrüche:
3/10, 7/100, 6/1000
Brüche kürzen - Brüche vereinfachen - Bruchterme vereinfachen - Brüche erweitern - Brüche gleichnamig machen - Kürzungsregeln
Bruch kürzen (vereinfachen):
Ein Bruch kann gekürzt (vereinfacht) werden, indem der Zähler sowie der Nenner dessen durch dieselbe Zahl dividiert werden.
Beispiel:
Bruch: 15/25
Kürzungszahl:5
15/25 = 15/25 : 5/5 = 3/5
Ergebnis (gekürzter Bruch - vereinfachter Bruch): 3/5
Bruch erweitern:
Brüche werden erweitert, indem sowohl deren Zähler, wie auch deren Nenner mit der Erweiterungszahl (dem Erweiterungsfaktor) (dem gleichen Faktor) multipliziert werden.
Beispiel:
Bruch: 3/4
Erweiterungszahl:2
3/4 = 3/4 · 2/2 = 6/8
Ergebnis (erweiterter Bruch): 6/8
Brüche gleichnamig machen:
Brüche sind gleichnamig, wenn sie dieselben Nenner besitzen (gleichnamige Brüche). Ungleichnamige Brüche sind Brüche mit ungleichen Nennern.
Brüche werden gleichnamig gemacht, indem man sie auf denselben Nenner bringt. Dies geschieht durch das Kürzen oder Erweitern dieser. Lediglich Brüche mit gleichem Nenner sind vergleichbar und können addiert oder voneinander subtrahiert werden.
Beispiel:
Erster Bruch: 1/2
Zweiter Bruch: 1/3
Durch das Finden des Hauptnenners werden diese beiden Brüche gleichnamig gemacht. Der Haupnenner dieser beiden Brüche ist 6.
Gleichnamige Brüche: 3/6 und 2/6
→ 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
Brüche vergleichen - Nennergleiche Brüche - Zählergleiche Brüche - Ordnen - Sortieren
Regeln um Brüche zu vergleichen und zu ordnen:
- Besitzen zwei zu vergleichende Brüche denselben Zähler (zählergleiche Brüche), so ist der Bruch mit dem kleineren Nenner der größere Bruch
- Besitzen zwei zu vergleichende Brüche denselben Nenner (nennergleiche Brüche), so ist der Bruch mit dem kleineren Zähler der kleiner Bruch
- Sind weder die Zähler noch die Nenner zweier Brüche gleich, so sind die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Hauptnenner zu bringen (über Kreuz zu multiplizieren) und hierauf nach den zuvor aufgeführten Kriterien zu vergleichen
Beispiele I (zählergleiche Brüche):
4/3 > 4/5, da der Nenner (Zahl 3) des Bruchs 4/3 kleiner ist als der Nenner (Zahl 5) des Bruchs 4/5
4/5 < 4/3, da der Nenner (Zahl 5) des Bruchs 4/5 größer ist als der Nenner (Zahl 3) des Bruchs 4/3
Beispiele II (nennergleiche Brüche):
3/5 > 2/5, da der Zähler (Zahl 3) des Bruchs 3/5 größer ist als der Zähler (Zahl 2) des Bruchs 2/5
2/5 < 3/5, da der Zähler (Zahl 2) des Bruchs 2/5 kleiner ist als der Zähler (Zahl 3) des Bruchs 3/5
Beispiele III (Zähler und Nenner sind ungleich):
Multiplikation über Kreuz:
3/4 > 2/5, da 3 · 5 > 2 · 4 bzw. 15 > 8
4/7 < 2/3, da 4 · 3 < 2 · 7 bzw. 12 < 14
Brüche rational machen - Brüche rationalisieren
Nenner rational machen: Unter dem Rationalmachen von Brüchen wird das Beseitigen einer Wurzel aus dem Nenner eines Bruchs verstanden.
1. Wurzel im Nenner
Um eine einzeln im Nenner vorkommende Wurzel zu beseitigen und den Nenner des Bruchs rational zu machen, werden der Zähler sowie der Nenner des Bruchs mit dieser Wurzel multipliziert (erweitert). Hierauf befindet sich im Nenner des Bruchs keine Wurzel mehr.
Beispiel 1:
Beispiel 2:
2. Wurzel im Zähler und im Nenner
Auch in diesem Fall werden der Nenner sowie der Zähler des Bruchs mit der im Nenner vorkommenden Wurzel multipliziert (erweitert).
Beispiel:
3. Zwei Wurzeln im Nenner
Befinden sich im Nenner eines Bruchs zwei Wurzeln, welche durch Additionszeichen oder Subtraktionszeichen miteinander verknüpft sind, so können diese unter bestimmten Umständen mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes dort beseitigt werden.
Beispiel:
Prozentrechnung - Prozent - Wandlung Prozent in Bruch - Bruchteile
Ein Prozent entspricht einem Hundertstel.
Bei der Umwandlung einer Zahl mit Prozentzeichen wird dieses entfernt und die davor stehende Zahl durch 100 geteilt.
Es glit:
1% = 1/100
Beispiele:
20% = 20 · 1/100 = 20/100 = 2/10 = 1/5 = 0,2
35% = 35 · 1/100 = 35/100 = 0,35
6,7% = 6,7 · 1/100 = 67/100 = 0,67
130% = 130 · 1/100 = 130/100 = 13/10 = 1,3
Bruchteile können in Form von Brüchen, Dezimalbrüchen oder als Prozentsatz angegeben werden.
Wandlung Bruch in Prozent
Ein Hundertstel entspricht einem Prozent. Bei der Umwandlung eines Bruchs in eine Zahl mit Prozentzeichen wird der Nenner des Bruchs auf die Zahl 100 gebracht und der Zähler dessen mit der Zahl vor dem Prozentzeichen multipliziert.
Es glit:
1/100 = 1%
Beispiele I;
Die Zahl 100 befindet sich im Nenner des Bruchs (Reziproke):
7/100 = 7 · 1/100 = 7%
30/100 = 30 · 1/100 = 30%
15,8/100 = 15,8 · 1/100 = 15,8%
47/100 = 47 · 1/100 = 47%
Befindet sich im Nenner des zu wandelnden Bruchs nicht die Zahl 100, so ist zuerst durch entsprechendes Erweitern oder Kürzen des Bruchs dafür zu sorgen, dass sich diese im Nenner befindet.
Beispiele II;
Die Zahl 100 befindet sich nicht im Nenner des Bruchs:
Zu wandelnder Bruch: 7/20
7/20 = (7 · 5) / (20 · 5) = 35/100 = 0,35 <- Erweiterung des Bruchs mit der Zahl 5
Zu wandelnder Bruch: 12/5
12/5 = (12 · 20) / (5 · 20) = 240/100 = 2,4 <- Erweiterung des Bruchs mit der Zahl 20
Anteil - Bruchteil - Ganzes
Ein Anteil kann mit Hilfe der Bruchrechnung als Bruchteil eines Ganzen berechnet werden. Hierbei wird dieser wie folgt berechnet.
Anteil = Bruchteil / Ganzes
Beispiel:
Ein Stück Kuchen, welches 100 g Gewicht besitzt, beinhaltet 30 g Zucker. Wie hoch ist der Anteil des Zuckers in diesem Kuchenstück?
Hierdurch sind der Bruchteil (30 g) sowie das Ganze (100 g) gegeben. Durch Einsetzen der beiden entsprechenden Werte in die oben dargestellte Gleichung ergibt sich:
Anteil = 30 g / 100 g = 30/100 oder gekürzt 3/10.
Somit beträgt der Anteil des Zuckers an diesem Kuchenstück 3/10.
Nach einer Wandlung dieses Bruchs in Prozentangaben (siehe oben) kann festgestellt werden, dass der prozentuale Anteil des Zuckers in diesem Kuchestück 30 % beträgt.
Propotion - Proportionen - Verhältnisse - Verhältnisgleichung
Werden zwei Verhältnisse a : b und c : d zueinander in Beziehung gesetzt, so wird von einer Proportion gesprochen. Der Quotient zweier Größen wird als Verhältnis bezeichnet. In einer Verhältnisgleichung wird durch Äquivalenzumformungen das Produkt der Außenglieder (a · d) sowie der Innenglieder (b · c) gebildet. Dieses Produkt der Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder. Es lautet: a · d = b · c. Eine lineare Gleichung dieser Art wird als Produktgleichung bezeichnet. Da eine dieser vier Variablen unbekannt ist, wird sie mit x bezeichnet.
Beispiel;
Das Verhältnis 8 : 5 = 4 : x sei bekannt. Durch entsprechende Umformungen wird diese Gleichung nach x aufgelöst.
8 : 5 = 4 : x
8 · x = 5 · 4
8 · x = 20
x = 20/8 = 5/2
Bruchgleichungen - Brüche mit Variablen - Bruchrechnen mit Variablen - Bruch mit Variablen - Bruchterme umformen - Termumformung
Brüche können Variablen sowohl im Zähler wie auch im Nenner enthalten. Derartige Brüche können prinzipiell gleich behandelt werden wie Brüche, welche lediglich Zahlen beinhalten. Mit ihnen kann sowohl die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation wie auch die Division durchgeführt werden. Diese besitzen beispielsweise die nachfolgende Gestalt.
4/(2-x)
3/2bc
(5+b)/(3-ac)
Bruchgleichungen mit Variablen im Nenner
Häufig gilt es Gleichungen zu lösen, bei welchen sich im Nenner eines Bruchs dieser eine Variable befindet. Hierbei ist zunächst zu untersuchen für welche Werte der Variable x der Nenner Null wird und die Definitionsmenge für die Variable x festzulegen (Bestimmung der Defintionsmenge). Dies kann durchgeführt werden, indem der Term jedes Nenners (Nennerterm) der Gleichung einzeln gleich Null gesetzt wird und dieser hierauf nach x aufgelöst wird (Schritt 1). Hierauf wird die entsprechende Gleichung nach x aufgelöst (Schritt 2).
Schritt 1:
Bestimmung der Definitionsmenge - Beispiel 1:
Gegeben sei die Bruchgleichung 2/x-1 = 4
Die Definitionsmenge lautet: D = R\{0}, d.h. diese Bruchgleichung ist gültig für alle Werte der Variablen x, ausschließllch der Zahl 0, denn für diese wird der Nennerterm x = 0;
Bestimmung der Definitionsmenge - Beispiel 2:
Gegeben sei die Bruchgleichung 5/(x-3) = 2
Die Definitionsmenge lautet: D = R\{3}, d.h. diese Bruchgleichung ist gültig für alle Werte der Variablen x, ausschließllch der Zahl 3, denn für diese wird der Nennerterm x-3 = 0.
Bestimmung der Definitionsmenge - Beispiel 3:
Gegeben sei die Bruchgleichung 3/(x+1) = 2/(x-2)
Die Definitionsmenge lautet: D = R\{-1;2}, d.h. Diese Bruchgleichung ist gültig für alle Werte der Variablen x, ausschließllch den Zahlen -1 und und 2, denn für diese werden die Nennerterme x+1 bzw. x-2 gleich 0.
Schritt 2:
Im folgenden Schritt wird die Gleichung nach der Variable x aufgelöst.
Auflösung nach Variable - Beispiel 1:
Gegeben sei die Bruchgleichung 2/x-1 = 4.
Um den Term x-1 im Nenner des linken Bruchs verschwinden zu lassen, werden beide Seiten der Gleichung mit (x- 1) multipliziert. Es folgt:
2/x-1 = 4 | ·(x-1)
2 = 4(x-1)
4(x-1) = 2
4x-4 = 2
4x = 6
x = 6/4 = 3/2
Als Lösung der Gleichung wird für die Variable x der Wert 3/2 ermittelt. Somit lautet die Lösungsmenge dieser Bruchgleichung L = {3/2}
Auflösung nach Variable - Beispiel 2:
Gegeben sei die Bruchgleichung 3/(x+1) = 2/(x-2).
Um den Term x+1 im Nenner des linken Bruchs verschwinden zu lassen, werden beide Seiten der Gleichung mit (x+1) multipliziert. Es folgt:
3/(x+1) = 2/(x-2) | ·(x+1)
Um den Term x-2 im Nenner des rechten Bruchs verschwinden zu lassen, werden beide Seiten der Gleichung mit (x-2) multipliziert. Es folgt:
3 = 2(x-1)/(x-2) | ·(x-2)
3(x-2) = 2(x-1)
3x-6 = 2x-2 | -2x
x+6 = -2
x = -8
Als Lösung der Gleichung wird für die Variable x der Wert -8 ermittelt. Somit lautet die Lösungsmenge dieser Bruchgleichung L = {-8}
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema (Bruchrechenaufgaben). Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Bruchrechnung zu finden.
Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
MathProf 5.0 - Unterprogramm Zahluntersuchung
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
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