MathProf - Raumkurven in Parameterdarstellung (3D)

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

  Raumkurven in Parameterdarstellung (3D-Kurven)

 

Im Unterprogramm [3D-Mathematik] - Raumkurven in Parameterform können Kurven im Raum dargestellt werden, welche durch Funktionsterme in Parameterform beschrieben werden.

 

MathProf - Raumkurven - 3D

 

In diesem Modul wird die Möglichkeit geboten, Zusammenhänge dieser Art grafisch, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von Funktionsparametern zu untersuchen. Es ermöglicht die Darstellung von Raumkurven, welche definiert werden durch
 

  • Funktionen in Parameterform in kartesischen Koordinaten, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,p) ; y = g(k,p) ; z = h(k,p)

Das Programm stellt die entsprechenden Kurven mit Hüllen dar, deren Durchmesser einstellbar ist.

 

MathProf - Raumkurven - Darstellung

 

Definitionsform

 

Raumkurve - Gleichung - Definition

 

Beispiel:

 

Raumkurven - Gleichung  - 1

 

Hinweis


Bei der Darstellung einer Raumkurve in Parameterform, werden die Koordinaten der Kurvenpunkte durch drei Gleichungen ermittelt. Die Variablen (Koordinatenwerte) x, y und z hängen von einem reellwertigen Parameter k ab. Das Symbol, welches diesen Parameter beschreibt, ist in diesem Unterprogramm auf K festgelegt. Funktionsterme dieser Art müssen (bei Verwendung dieses Parameters) bei deren Definition deshalb stets das Zeichen K enthalten.

Beispiel:

 

x = f(k) = sin(k)

y = g(k) = cos(k)

z = h(k) = k+2

 

Darstellung

 

MathProf - Raumkurve - Darstellung

 

Um sich Raumkurven darstellen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Aktivieren Sie den Menüpunkt Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung (voreingestellt).
     
  2. Definieren Sie die drei zur Darstellung einer Raumkurve benötigten Funktionsterme in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f1(k,p) =, g1(k,p) =, h1(k,p) = und aktivieren Sie das entsprechende Kontrollkästchen.

    Soll die gemeinsame Darstellung zweier Kurven erfolgen, so sind drei weitere Funktionsterme in den darunter angeordneten Eingabefeldern mit den Bezeichnungen
    f2(k,p) =, g2(k,p) =, h2(k,p) = festzulegen und das zugehörige Kontrollkästchen zu aktivieren.

    Beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
     

  3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den Parameterwertebereich für den Funktionsparameter K (Parameter k von k1 = und bis k2 =) fest, über welchen die Kurve darzustellen ist (voreingestellt: -π k π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bzw. Statisch, ob das Programm den zur grafischen Ausgabe erforderlichen Darstellungsbereich automatisch bestimmen soll, oder ob Sie diesen vorgeben möchten. Trifft Letzteres zu, so legen Sie diesen durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld Abs. Bereich fest.
     
  5. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so führen Sie Folgendes durch:

    Definieren Sie durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Parameter p von ... und bis ... den Startwert, sowie den Endwert des vom Funktionsparameter P zu durchlaufenden Wertebereichs und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Schrittweite die Schrittweite für Funktionsparameter P fest. Voreingestellt sind der Startwert -5, der Endwert 5, sowie eine Schrittweite von 0,1.

    Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bei Simulation oder Manuell, ob Sie die Parameterwertsimulation manuell durchführen möchten, oder ob das Programm diese automatisch ausführen soll.
     
  6. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Den Radius der Hülle einer dargestellten Kurve können Sie festlegen, indem Sie den Rollbalken im Bedienformularbereich Hülle positionieren.

Hinweise:

Werden Untersuchungen mit Funktionstermen durchgeführt, von welchen keiner das Einzelzeichen P enthält (parameterfreie Funktionen), so ist die Schaltfläche Sim. Start stets deaktiviert. Wurde hingegen wenigstens ein Funktionsterm definiert, welcher dieses Zeichen enthält, und wurde die Durchführung einer manuellen Simulation gewählt, so steht auf dem Bedienformular ein Schieberegler P zur Verfügung, mit welchem Sie den zu verwendenden Wert für Parameter P einstellen können. Wurde eine automatische Simulation gewählt, so können Sie diese starten, indem Sie die Schaltfläche Start Sim. bedienen. Sie trägt hierauf die Bezeichnung Stop Sim. Beendet werden kann die Simulation wieder, indem Sie diese Schaltfläche nochmals bedienen. Es wird stets der Parameterwertebereich durchlaufen, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.

 

Bei einer gemeinsamen Darstellung zweier Kurven kann durch die Aktivierung der Kontrollkästchen K1 bzw. K2 auf dem Bedienformular gewählt werden, welche dieser eingeblendet werden.

 

Funktionswerte

 

Zudem wird die Durchführung numerischer Analysen der Ortskoordinaten einer Raumkurve ermöglicht.

 

MathProf - Raumkurve - Koordinaten

 

Wird der Menüpunkt Werte - Funktionswerte gewählt, so ermittelt das Programm die x-, y- und z-Koordinatenwerte von Punkten, die die Raumkurve beschreiben. Um sich diese ausgeben zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Definieren Sie die drei zur Definition einer Raumkurve benötigten Funktionsterme in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f(k) =, g(k) = sowie h(k) = und beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den Wertebereich für den Funktionsparameter K (Parameter k von k1 = und bis k2 =) fest, über welchen Sie sich Funktionswerte ausgeben lassen möchten (voreingestellt: -π k π).
     
  3. Wählen Sie die Schrittweite, mit welcher die Berechnungen durchzuführen sind, über die aufklappbare Auswahlbox aus (voreingestellt: 0,1).
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

MathProf - Raumkurve - Bogenlänge

Wird der Menüpunkt Werte - Bogenlänge gewählt und möchten Sie die Bogenlänge einer in Parameterform beschriebenen Raumkurve näherungsweise ermitteln lassen, so sollten Sie Folgendes ausführen:

  1. Definieren Sie die drei zur Definition einer Raumkurve benötigten Funktionsterme in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f(k) =, g(k) = sowie h(k) = und beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den Wertebereich für den Funktionsparameter K (Parameter k von k1 = und bis k2 =) fest, über welchen Sie sich die Bogenlänge der Kurve ausgeben lassen möchten (voreingestellt: -π k π).
     
  3. Wählen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Stützstellen, mit welcher Genauigkeit diese Berechnungen durchgeführt werden sollen (je mehr Stützstellen verwendet werden, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse.

Es ist darauf zu achten, dass deklarierte Funktionsterme nicht das Einzelzeichen P enthalten, welches ausschließlich bei der Definition einer Funktion zur grafischen Darstellung Verwendung findet.

 

Hinweis:

Befinden sich in den oberen drei Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f1(k,p) =, g1(k,p) = und h1(k,p) = bereits Funktionsdeklarationen, so werden diese bei Aufruf dieses Befehls in die Eingabefelder des erscheinenden Unterformulars übernommen.

 

Wertebereichsanalyse

 

MathProf - Raumkurve - Parameter

 

Bei Durchführung einer Wertebereichsanalyse kann der Wert des Parameters K innerhalb des Bereichs verändert werden, der auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegeben wurde. Einstellbar ist dieser durch die Positionierung des Rollbalkens mit der Bezeichnung K.

 

Um eine Wertebereichsanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Wertebereichsanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.

 

Koordinatenwertanalyse

 

MathProf - Raumkurve - 3D

 

Das Programm erlaubt die Abtastung der Kontur der dargestellten Raumkurve in Abhängigkeit von Parameter K und somit die Analyse entsprechender Koordinatenwerte. Der Wert des Parameters K kann durch die Positionierung des Rollbalkens mit der Bezeichnung K innerhalb des Bereichs verändert werden, der auf dem Hauptformular des Unterprogramms definiert wurde. Die x-, y- und z-Koordinatenwerte des entsprechenden Kurvenpunktes werden ausgegeben.

 

Um eine Koordinatenwertanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Koordinatenwertanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.

 

Darstellungsbereich

 

Bei der Darstellung derartiger Gebilde ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung der Kurve erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet die Kurve an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Koord. positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Sonstiges

 

Da es unter Umständen notwendig sein kann, bei gleichzeitiger Darstellung zweier Raumkurven verschiedene Wertebereiche für Parameter K zu verwenden, steht der Menüpunkt Optionen - Verschiedene Parameterwertebereiche für Funktionen zur Verfügung. Nach einer Wahl dessen werden zwei weitere Eingabefelder eingeblendet, durch welche es ermöglicht wird, beiden Kurven verschiedene Wertebereiche für Funktionsparameter K zuzuweisen.

 

Um die Anzeige der Funktionsbibliothek ein- bzw. auszublenden steht der Menüpunkt Optionen - Funktionsbibliothek ausblenden bzw. Optionen - Funktionsbibliothek einblenden zur Verfügung.

 

Beide o.a. Einstellungen werden sitzungsübergreifend gespeichert.

 

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Funktionen in Parameterform

 

Beispiele

 

Beispiel 1 - Darstellung:

 

Es gilt, sich eine Raumkurve darstellen zu lassen, welche durch die Terme

 

x = f(k) = sin(k)

y = g(k) = cos(k)

z = h(k) = k/3

 

in kartesischen Koordinaten beschrieben wird. Der Parameterwertebereich sei: -π  k π

 

Vorgehensweise:

 

Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Funktionsterme 1 (voreingestellt) und geben Sie die Terme SIN(K), COS(K) und K/3 in die entsprechenden Felder ein.

 

Legen Sie durch die Eingabe der Zahlenwerte -3,14159 und 3,14159 in die Felder Parameter von k1 = und bis k2 = den Wertebereich für Parameter k fest (nach einem Klick in ein Eingabefeld rechte Maustaste benutzen).

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen wird die Darstellung der Kurve ausgegeben.

 

Beispiel 2 - Bogenlänge:

 

Berechnung der Bogenlänge, des durch die Funktionsterme

 

x = f(k) = sin(k)

y = g(k) = cos(k)

z = h(k) = 0

 

in kartesischen Koordinaten beschriebenen Kreises (Mittellinie des dargestellten Torus), innerhalb des Bereichs -π k π.

 

Vorgehensweise und Lösung:
 

Nach der Wahl des Menüpunkts Werte - Bogenlänge, der Definition der Funktionsterme SIN(K), COS(K) und 0 in den Feldern x = f(k) =, y = g(k) =, z = h(k) =, der Eingabe der Zahlenwerte -3,14159 und 3,14159 in die Felder Von k1 = und bis k2 = und der Festlegung einer zur Berechnung zu verwendenden Anzahl von ca. 30000 Stützstellen durch die Positionierung des Rollbalkens Anz. Stützstellen, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen das Ergebnis:

Die Bogenlänge der Mittellinie des Torus beträgt 6,28318 LE (entspricht dem Kreisumfang 2πr bei r = 1).
 

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