MathProf - Logistische Gleichung I

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Logistische Gleichung I

 

Mit Hilfe des kleinen Moduls [Sonstiges] - [Logistische Gleichung] - Logistische Gleichung I kann die in der Chaostheorie häufig verwendete, sogenannte Logistische Gleichung untersucht werden.

 

MathProf - Logistische Gleichung


Die Funktion

xneu = p·(1-xalt)·xalt

wird als logistische Gleichung bezeichnet und wurde vom Belgier Pierre Francois Verhulst (1804 - 1849) als Modell für die Entwicklung von Populationen vorgeschlagen. In diesem Programmteil kann das Verhalten dieser Funktion in Abhängigkeit vom Parameter p untersucht werden. Dieses wird vom Startwert xalt (0 <= xalt <= 1) und dem Parameter p (0 <= p <= 4) beeinflusst.

Der Parameter p repräsentiert hierbei gewissermaßen den Grad des chaotischen Verhaltens. Innerhalb eines Wertebereichs für xalt von 0 bis 3 besitzt die Funktion einen fixen Wert, zwischen den Werten 3 und 3,5 zeigt sie periodisches Verhalten und ab einem Wert von ca. 3,57 weist sie chaotisches Verhalten auf.

In diesem Programmteil wird die Funktion f(x) = y = x·(1-x) innerhalb des Wertebereichs ihrer beiden Nullstellen 0 und 1 dargestellt. Nach der Definition eines Startwerts x(0) stellt die Iteration ein schrittweises Pendeln ('Treppe') zwischen der Funktion y = x·(1-x) und einer Geraden dar. In Abhängigkeit vom Faktor p nähert sich diese Streckenfolge immer mehr dem Schnittpunkt der Funktionen f(x) = y = x (Gerade) und f(x) = y = x·(1-x). Je größer der Parameter p gewählt wird, desto chaotischer wird das Verhalten dieser Streckenfolge (Verlauf der 'Treppe') (Näheres siehe Fachliteratur).

Darstellung


Zusammenhänge dieser Art können Sie analysieren, wenn Sie folgende Schritte ausführen:

  1. Legen Sie durch die Bedienung der Schieberegler Iterationsschritte auf dem Bedienformular die Anzahl zu verwendender Iterationsschritte fest.
     
  2. Möchten Sie den Parameter p durch eine Festlegung von Punktkoordinaten definieren, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  3. Soll Parameter p mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     
  4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bedienformular

 

MathProf - Logistische Gleichung

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:
 

  • Punkt beschriften: Beschriftung des Punktes P (Parameter) ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben.

 

Weitere Themenbereiche

 

Logistische Gleichung II
 

Module zum Themenbereich Sonstiges


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