MathProf - Dezimalbrüche - Dezimal - Zehnerbruch - Intervallschachtelung

Fachthemen: Dezimalbrüche

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur grafischen Veranschaulichung des Prinzips der Intervallschachtelung sowie der Dezimaldarstellung reeller Zahlen.

 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul: Dezimalbruch - Dezimalbrüche - Zehnerbruch - Zahl - Zahlen - Dezimalbruchentwicklung - Dezimaldarstellung - Rechner - Bruch - Brüche - Gewöhnlicher Bruch - Gemeiner Bruch - Gemeine Brüche - Kommazahl - Kommazahlen - Dezimalzahlen - Umwandeln - Umwandlung - Umrechnen - Umrechnung - Berechnen - Beispiel - Bilden - Regeln - Darstellen - Darstellung - Klasse  - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 -  8 -  9 - 10 - Dividieren - Multiplizieren - Division - Geteilt - Multiplikation - Teilen - Periode - Rechnen - Erklärung - Einfach erklärt - Bedeutung - Herleitung - Beweis - Was ist - Was - Warum - Weshalb - Was bedeutet - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Beschreibung - Einführung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Mathe - Mathematik - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Begriff - Begriffe - Natürliche Zahl - Dezimalzahl - Dezimalbrüche multiplizieren - Dezimalbrüche dividieren - Endlicher Dezimalbruch - Nicht periodisch - Gemischt periodisch - Periodischer Bruch - Endliche Brüche - Ergebnis - Periodische Brüche - Abbrechender Dezimalbruch - Periodischer Dezimalbruch - Abbrechende Dezimalbrüche - Periodische Dezimalbrüche - Gemischt periodische Dezimalzahlen - Stellenwert - Intervall - Zehntel - Hundertstel - Tausendstel - Dezimale - Dezimalen - Nachkommastellen

  

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Modul Dezimalbruch

Das kleine Unterprogramm [Algebra] - [Sonstiges] - Dezimalbruch bietet die Möglichkeit, sich das Prinzip der Intervallschachtelung zur Ermittlung der Dezimaldarstellung reeller Zahlen, unter anderem am Beispiel eines Dezimalbruchs zu veranschaulichen.

 
Die Dezimaldarstellung einer Zahl setzt sich aus der Anordnung einzelner Ziffern sowie dem Komma zusammen. Dieses Programmmodul ermöglicht die Durchführung von Analysen zur Dezimaldarstellung von Zahlen.

Dezimalbrüche: Bei einem Dezimalbruch (Zehnerbruch) handelt es sich um einen Bruch, dessen Nenner eine Potenz von Zehn mit natürlichzahligem Exponenten ist. Sein Nenner ist beispielsweise 10, 100, 1000 usw. Es kann im Zehnersystem direkt als Dezimalzahl geschrieben werden. Ein endlicher Dezimalbruch ist ein Dezimalbruch, der ohne Rest berechenbar ist.

Die Ziffern hinter dem Komma einer Zahl werden als Dezimale oder Nachkommastellen bezeichnet.

Konkrete Untersuchungen mit einem Dezimalbruch können in diesem Modul durchgeführt werden, wenn der Rollbalken mit der Bezeichnung Nenner auf den Wert 10 eingestellt wird.
 

 
Um sich das gesamte Prinzip der Intervallschachtelung zu veranschaulichen, wählen Sie mit den Rollbalken Zähler und Nenner die natürlichen Zahlen, für die diese Berechnung durchgeführt werden soll und legen mit dem dritten zur Verfügung stehenden Rollbalken Intervall den Intervallbereich hierfür fest.
 

 
Ein Bruch besteht aus einem Zähler und einem Nenner. Der Zähler befindet sich oberhalb des Bruchstrichs, der Nenner befindet sich darunter. Ein Bruch dieser Art der eine natürliche Zahl im Zähler sowie im Nenner besitzt wird als gewöhnlicher Bruch oder gemeiner Bruch bezeichnet.
 
Umrechnung gemeiner Bruch - Dezimalbruch:

Die Umrechnung (Umwandlung) vom gemeinen Bruch in einen Dezimalbruch kann durch die Anwendung der schriftlichen Division vollzogen werden.

Beispiel zur Durchführung der Umrechnung (Umwandlung):



Jeder gemeine Bruch kann als endlicher oder periodischer Bruch dargestellt werden.

Beispiele zur Darstellung endlicher oder periodischer Brüche:

0,07 = 7/(100-1) = 7/99 
0,3 = 3/(10-1) = 3/9 = 1/3 

Dezimalbrüche multiplizieren:

Zwei Dezimalbrüche werden miteinander multipliziert, indem ohne Rücksichtnahme auf das Komma wie bei der Durchführung der schriftlichen Multiplkation multipliziert wird (siehe auch Schriftliche Multiplikation). Das Ergebnis erhält die Anzahl der Dezimalstellen, welche die beiden Faktoren zusammen besitzen.

Dezimalbrüche dividieren:

Zwei Dezimalbrüche werden dividiert, indem wie bei Ausführung der Multiplikation dieser, zunächst deren Kommata ignoriert werden und das Setzen des Kommas nach Ausführung einer schriftlichen Division (siehe auch Schriftliche Division) gemäß der Anzahl der Dezimalstellen, welche der Quotient und der Dividend gemeinsam besitzen, durchführt. Besitzt der Dividend weniger Nullstellen als der Divisor, so werden diesem Nullen angehängt. Bei Verwendung der ersten angefügten 0 ist ein Komma zu setzen.
 
Dezimalbruchentwicklung:

Unter dem Begriff Dezimalbruchentwicklung wird das Wandeln einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch verstanden. Eine Dezimalzahl wird auch als Kommazahl bezeichnet.

Hinsichtlich der Dezimalbruchentwicklung bestehen folgende Sachverhalte:

 - Eine nicht abbrechende Dezimalbruchentwicklung entwickelt sich zu einer periodischen Entwicklung.
 - Die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl z/n entwickelt sich entweder abbrechend oder periodisch. Ihre Periodenlänge kann maximal von einer Länge n-1 sein.
 - Jeder Bruch, dessen Nenner eine Potenz von 10 ist, besitzt keine Periode.
 - Jede periodische oder abbrechende Dezimalzahl kann als gewöhnlicher Bruch (rationale Zahl) dargestellt werden.
 - Wenn der Nenner eine 2 oder eine 5 ist, so ist die resultierende Zahl endlich.
 - Wenn es sich bei dem Nenner um eine 2, eine 5 oder 10⋅n-1 handelt, so ist der Bruch endlich, ansonsten ist die resultierende Zahl gemischt periodisch.
 - Lediglich Brüche, deren (vollständig gekürzter) Nenner keine anderen Primfaktoren als 2-en und / oder 5-en besitzen, ergeben einen unperiodischen Dezimalbruch, der über eine endliche Zahl an Nachkommastellen verfügt.
 
Die prinzipiellen Zusammenhänge zur Intervallschachtelung eines Dezimalbruches entsprechen weitestgehend den unter Wurzellupe gemachten Angaben.
 

 
Abbrechender Dezimalbruch:

Bei einem abbrechenden Bruch oder abbrechenden Dezimalbruch ist die Anzahl seiner Nachkommastellen begrenzt. Er besitzt endlich viele Stellen nach dem Komma.

Beispiele für abbrechende Dezimalbrüche:

1/2 = 0,5
3/4 = 0,75

Periodischer Dezimalbruch:

Ein periodischer Dezimalbruch (periodischer Bruch) verfügt über eine oder mehrere sich unendlich wiederholende Zahlen oder Zahlenfolgen nach dem Komma. Ein periodischer Bruch kann in einen gemeinen Bruch gewandelt werden. Hierbei wird die Ziffer der Periode als Zähler gewählt und die der Periodenlänge entsprechende Zehnerpotenz, vermindert um 1, als Nenner gewählt.
 
Beispiele für periodische Dezimalbrüche:

1/3 = 0,33333.....
4/9 = 0,44444.....

 
Das Dezimalsystem ermöglicht jeder Ziffer einer Zahl die Zuordnung eines bestimmten Stellenwerts. Der Stellenwert der Ziffern ist jeweils das Zehntel (1/10) der benachbarten linken Stelle, bzw. das Zehnfache der benachbarten rechten Stelle. Von links nach rechts gelesen ergeben sich hierbei die Stellenwerte Zehntel, Hundertstel, Tausendstel usw.

Beispiel:

0,873 bedeutet 8 Zehntel + 7 Hundertstel + 3 Tausendstel

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Mathe-Anwendungsaufgaben genutzt werden.
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben.

Wurzellupe
 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Mittelwerte

MathProf 5.0 - Unterprogramm Wurzelrechnung - Intervallschachtelung

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

Unsere Produkte

 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.

 

I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 

MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
• Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
• Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
• Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
• Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
• Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
• Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 
 

 

 

II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv
 

PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
 

Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
• Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
• Kurzinfos zum Themengebiet Optik
• Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 
 

 

 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 

Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.