MathProf - Gebrochen rationale Funktionen - Polynomgleichung - Extremstellen

MathProf - Mathematik-Software - Gebrochenrationale Funktionen | Ableitung | Summe

Fachthema: Gebrochen rationale Funktionen

MathProf - Analysis - Ein Programm zum Lösen unterschiedlichster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte aus verschiedenen Teilgebieten der grundlegenden Mathematik und der höheren Mathematik mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich hierfür interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Gebrochenrationale Funktionen | Ableitung | Summe

Online-Hilfe
für das Modul zur interaktiven Analyse und Darstellung gebrochenrationaler Funktionen und derer Polgeraden bei Polstellen sowie evtl. vorhandender Asymptoten.

In diesem Unterprogramm erfolgt neben dem Zeichnen des Graphen einer gebrochen rationalen Funktion die Anwendung der Polynomdivision, der Polynommultiplikation und der Substitution sowie die Durchführung einer Kurvendiskussion mit dieser. Hierbei wird neben vielem anderen das Berechnen der Nullstellen, das Bestimmen der Extrempunkte sowie der Wendestellen der definierten Funktion durchgeführt.

Auch das Plotten der 1. Ableitungsfunktion und 2. Ableitungsfunktion rationaler Funktionen wird ermöglicht.


Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben. 

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Gebrochen rationale Funktion - Kurvendiskussion - Polstellen von gebrochenrationalen Funktionen - Asymptoten von gebrochenrationalen Funktionen - Rationale Funktion ableiten - Rationale Funktion zeichnen - Nullstellen einer rationalen Funktion - Polstellen einer rationalen Funktion - Asymptote bestimmen - Gebrochenrationale Funktion plotten - Funktionsgraph einer gebrochenrationalen Funktion - Nullstellen berechnen von gebrochenrationalen Funktionen - Ableiten von gebrochenrationalen Funktionen - Polstellen bestimmen - Extremstellen von gebrochenrationalen Funktionen - Extremstellen - Extrempunkte von gebrochenrationalen Funktionen - Verhalten von gebrochenrationalen Funktionen - Einfache Polstellen - Parameter - Gleichung - Ableitung - Nullstellen - Polstellen - Wendepunkte - Definition - Eigenschaften - Funktionsterm - Formel - Kurvendiskussion - Asymptoten - Graph - Plotten - Grafisch - Bild - Darstellen - Plotter - Rechner - Berechnen - Beispiel - Grafik - Plotten - Term - Zeichnen - Darstellen - Grafische Darstellung - Mehrfache Polstellen - Wendepunkte von gebrochenrationalen Funktionen - Nullstellen von Polynomgleichungen

  
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Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv


Mit Hilfe des Unterprogramms [Analysis] - [Ganz- und gebrochenrationale Funktionen] - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv können Untersuchungen mit echt gebrochenrationalen Funktionen (rationalen Funktionen) interaktiv durchgeführt werden. Hierzu zählt u.a. die Durchführung der Polynomdivision und die Ermittlung evtl. vorhandener Pole (Polstellen) und Asymptoten.

 

MathProf - Gebrochenrationale Funktionen - Kurve - Ableitung - Asymptote - Kurvendiskussion - Rationale Funktion - Gebrochen rationale Funktion - Lokale Extrema - Extremstellen - Nullstellen - Wendepunkte - Extrempunkte - Funktion - Polstellen - Tiefpunkt - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Ableiten - Polstellen - 1. Ableitung - 2. Ableitung - Asymptoten - Polstellen

 

Es können Funktionen analysiert werden, die in nachfolgend aufgeführter Form vorliegen:

Gebrochenrationale Funktion - Gleichung  - 1

Es lassen sich darstellen:

  • Gebrochenrationale Funktion f(x)
  • Teilfunktionen g1(x) und g2(x) der Funktion f(x)
  • 1. Ableitung f'(x) der Funktion f(x)
  • 2. Ableitung f''(x) der Funktion f(x)
  • Polgeraden (Pole) der Funktion f(x)
  • Asymptote der Funktion f(x) (Senkrechte Asymptote - Waagerechte Asymptote - Hüllkurve)

Zudem werden ermittelt:

  • Gleichung der Asymptote (Hüllkurve) der Funktion f(x)
  • Nullstellen und Pole der Funktion f(x)
  • Extremwerte (Extrempunkte) der Funktion f(x)
  • Wendepunkte (Wendestellen) der Funktion f(x)

Darstellung


Gehen Sie folgendermaßen vor, um eine interaktive Analyse mit gebrochenrationalen Funktionen (gebrochen rationalen Funktionen) durchführen zu lassen:

  1. Bestimmen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen, welche der o.a. Kurven dargestellt werden soll.
     
  2. Verändern Sie durch die Positionierung der entsprechenden Schieberegler a0, a1, a2, a3, a4 bzw. b0, b1, b2, b3, b4 auf dem Bedienformular die Werte der Koeffizienten a0 - a4, bzw. b0 - b4 der gebrochenrationalen Funktion.
     
  3. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung des Kontrollkästchens Kurvendiskussion fest, ob mit der Funktion f(x) eine Kurvendiskussion durchgeführt werden soll.

    Möchten Sie den Untersuchungsbereich zur Durchführung einer Kurvendiskussion mit der Maus verändern, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung Bereichsmarkierung, klicken in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich eines Bereichsmarkierungspunkts und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
     
  4. Es besteht die Möglichkeit eine Veränderung von Koeffizientenwerten vom Programm simulieren zu lassen. Bedienen Sie hierfür die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die simulativ zu verändernden Vorgabebedingungen durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bei der Durchführung einer Kurvendiskussion werden angezeigt:
 

  • Nullstellen der ermittelten Funktion (N: Nullstelle)

  • Extrema (Extremstellen) der ermittelten Funktion (H: Hochpunkt ; T: Tiefpunkt)

  • Wendepunkte (Wendestellen) der ermittelten Funktion (W: Wendepunkt : Wendestelle)

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

Es wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die Koeffizienten einer gebrochenrationalen Funktion bis 4. Grades festlegen können.

 

MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Ableitung - Hüllkurve - Extrempunkte - Nullstellen

 

Hierbei können die Parameter folgender Einflussgrößen verändert werden:
 

  • a0 ... a4: Koeffizienten der ganzrationalen Funktion g1(x)

  • b0 ... b4: Koeffizienten der ganzrationalen Funktion g2(x)

Darstellen lassen sich durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollschalter:

 

f(x) = g1(x)/g2(x): Gebrochenrationale Funktion f(x) = g1(x)/g2(x)

g1(x): Zähler der gebrochenrationalen Funktion f(x)

g2(x): Nenner der gebrochenrationalen Funktion f(x)

1. Abl. von f(x): Erste Ableitung der gebrochenrationalen Funktion f(x)

2. Abl. von f(x): Zweite Ableitung der gebrochenrationalen Funktion f(x)

Polgerade von f(x): Polgerade der gebrochenrationalen Funktion f(x)

Asymptote von f(x): Asymptote (senkrechte Asymptote - waagerechte Asymptote) der gebrochenrationalen Funktion f(x)
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:

  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der mittels Kurvendiskussion ermittelten Punkt

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gebrochenrationale Funktionen

Mathematische Funktionen I

Mathematische Funktionen II

Kurvendiskussion

 

Beispiel

 

Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:

 

a4: 8

a3: 4

a2: 7

a1: 10

a0: -1

b4: 6

b3: 0

b2: 3

b1: 2

b0: 3

 

Hierdurch sind die Koeffizienten für die beiden Funktionen g1(x) und g2(x) festgelegt. Die Terme lauten somit:

 

g1(x) = 8·x4+4·x3+7·x2+10·x-1

g2(x) = 6·x4+3·x2+2·x+3

 

Bei einer Aktivierung des Kontrollkästchens f(x) = g1(x)/g2(x) (voreingestellt) stellt das Programm die gebrochenrationale Funktion f(x) = g1(x)/g2(x) = (8·x4+4·x3+7·x2+10·x-1)/(6·x4+3·x2+2·x+3) dar.

 

Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen g1(x) bzw. g2(x) werden die Kurven ausgegeben, welche durch die gebrochenrationale Funktion g1(x) bzw. g2(x) beschrieben werden.

 

Wird das Kontrollkästchen 1.Abl. von f(x) = g1(x)/g2(x) aktiviert, so stellt das Programm die 1. Ableitung der gebrochenrationalen Funktion f(x) = g1(x)/g2(x) dar.

 

Die Kurve, welche durch 2. Ableitung der Funktion f(x) = g1(x)/g2(x) beschrieben wird, wird ausgegeben, wenn das Kontrollkästchens 2. Abl. aktiviert wird.

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Asymptote ermittelt das Programm die Gleichung y = 1,333 für die Asymptote der Funktion f(x) = g1(x)/g2(x) und gibt diese aus.

 

Wird zudem das Kontrollkästchen Kurvendiskussion aktiviert, so führt das Programm eine Kurvendiskussion mit der Funktion f(x) durch und ermittelt für den voreingestellten Untersuchungsbereich -3 x 3:

 

Die gebrochenrationale Funktion f(x) besitzt innerhalb des festgelegten Untersuchungsbereichs:

 

Nullstellen: N (-1 / 0) N (0,093 / 0)  
Extrema: HP (1,124 / 2,016) TP (-0,434 / -1,397)  
Wendepunkte: W (-0,758 / 0,704) W (0,049 / -0,16) W (1,597 / 1,913)
 
Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Gebrochenrationale Funktionen - Nullstellen - Ableitung - Polstellen - Plotter - Kurvendiskussion - Ableiten - Berechnen - Beispiel - Senkrechte Asymptote - Waagrechte Asymptote - Hüllkurve - Ableitungsfunktion - Lokale Extrema - Extremstellen - Wendepunkt - Extrempunkte - Funktion - Pole - Tiefpunkt - Erste Ableitung - Zweite Ableitung
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MathProf - Gebrochenrationale Funktionen - Darstellen - Nullstellen - Parameter - Ableiten - Kurvendiskussion - Zeichnen - Eigenschaften - Beispiel - Senkrechte Asymptote - Waagrechte Asymptote - Hüllkurve - Ableitungsfunktion - Extremstellen -  Wendepunkt - Extrempunkte - Funktion - Polstellen - Tiefpunkt - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Extrema

   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Rationale Funktion
Wikipedia - Kurvendiskussion
Wikipedia - Ableitung
Wikipedia - Nullstelle
Wikipedia - Extremwert
   

Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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