MathProf - Gebrochenrationale Funktionen (Polynomgleichungen) - Interaktiv

MathProf - Mathematik-Software - Gebrochenrationale Funktionen | Ableitung | Summe
 
MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Gebrochenrationale Funktionen | Ableitung | Summe

Online-Hilfe für das Modul
zur interaktiven Analyse und Darstellung
gebrochenrationaler Funktionen
(Polynomgleichungen) und
derer Polgeraden sowie einer evtl. vorhandenden Asymptote.

Anwendung der Polynomdivision, Polynommultiplikation
und der Substitution sowie die Durchführung einer Kurvendiskussion bei Ermittlung der Nullstellen, der Extrempunkte und der Wendestellen der definierten Funktion.

  Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv

 

Mit Hilfe des Unterprogramms [Analysis] - [Ganz- und gebrochenrationale Funktionen] - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv können Untersuchungen mit echt gebrochenrationalen Funktionen (rationalen Funktionen) interaktiv durchgeführt werden. Hierzu zählt u.a. die Durchführung der Polynomdivision und die Ermittlung evtl. vorhandener Pole und Asymptoten.

 

MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Kurve - Ableitung - Asymptote - Kurvendiskussion - Rationale Funktion


Es können Funktionen analysiert werden, die in nachfolgend aufgeführter Form vorliegen:

Gebrochenrationale Funktion - Gleichung  - 1

Es lassen sich darstellen:

  • Gebrochenrationale Funktion f(x)
  • Teilfunktionen g1(x) und g2(x) der Funktion f(x)
  • 1. Ableitung f'(x) der Funktion f(x)
  • 2. Ableitung f''(x) der Funktion f(x)
  • Polgeraden (Pole) der Funktion f(x)
  • Asymptote der Funktion f(x)

Zudem werden ermittelt:

  • Gleichung der Asymptote (Hüllkurve) der Funktion f(x)
  • Nullstellen und Pole der Funktion f(x)
  • Extremwerte (Extrempunkte) der Funktion f(x)
  • Wendepunkte (Wendestellen) der Funktion f(x)

Darstellung


Gehen Sie folgendermaßen vor, um eine interaktive Analyse mit gebrochenrationalen Funktionen durchführen zu lassen:

  1. Bestimmen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen, welche der o.a. Kurven dargestellt werden soll.
     
  2. Verändern Sie durch die Positionierung der entsprechenden Schieberegler a0, a1, a2, a3, a4 bzw. b0, b1, b2, b3, b4 auf dem Bedienformular die Werte der Koeffizienten a0 - a4, bzw. b0 - b4 der gebrochenrationalen Funktion.
     
  3. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung des Kontrollkästchens Kurvendiskussion fest, ob mit der Funktion f(x) eine Kurvendiskussion durchgeführt werden soll.

    Möchten Sie den Untersuchungsbereich zur Durchführung einer Kurvendiskussion mit der Maus verändern, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung Bereichsmarkierung, klicken in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich eines Bereichsmarkierungspunkts und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
     
  4. Es besteht die Möglichkeit eine Veränderung von Koeffizientenwerten vom Programm simulieren zu lassen. Bedienen Sie hierfür die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die simulativ zu verändernden Vorgabebedingungen durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bei der Durchführung einer Kurvendiskussion werden angezeigt:
 

  • Nullstellen der ermittelten Funktion (N: Nullstelle)

  • Extrema (Extremstellen) der ermittelten Funktion (H: Hochpunkt ; T: Tiefpunkt)

  • Wendepunkte (Wendestellen) der ermittelten Funktion (W: Wendepunkt : Wendestelle)

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

Es wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die Koeffizienten einer gebrochenrationalen Funktion bis 4. Grades festlegen können.

 

MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Ableitung - Hüllkurve - Extrempunkte - Nullstellen

 

Hierbei können die Parameter folgender Einflussgrößen verändert werden:

  • a0 ... a4: Koeffizienten der ganzrationalen Funktion g1(x)

  • b0 ... b4: Koeffizienten der ganzrationalen Funktion g2(x)

Darstellen lassen sich durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollschalter:

 

f(x) = g1(x)/g2(x): Gebrochenrationale Funktion f(x) = g1(x)/g2(x)

g1(x): Zähler der gebrochenrationalen Funktion f(x)

g2(x): Nenner der gebrochenrationalen Funktion f(x)

1. Abl. von f(x): 1. Ableitung der gebrochenrationalen Funktion f(x)

2. Abl. von f(x): 2. Ableitung der gebrochenrationalen Funktion f(x)

Polgerade von f(x): Polgerade der gebrochenrationalen Funktion f(x)

Asymptote von f(x): Asymptote der gebrochenrationalen Funktion f(x)
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:

  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der mittels Kurvendiskussion ermittelten Punkte

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gebrochenrationale Funktionen

Mathematische Funktionen I

Mathematische Funktionen II

Kurvendiskussion

 

Beispiel

 

Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:

 

a4: 8

a3: 4

a2: 7

a1: 10

a0: -1

b4: 6

b3: 0

b2: 3

b1: 2

b0: 3

 

Hierdurch sind die Koeffizienten für die beiden Funktionen g1(x) und g2(x) festgelegt. Die Terme lauten somit:

 

g1(x) = 8·x4+4·x3+7·x2+10·x-1

g2(x) = 6·x4+3·x2+2·x+3

 

Bei einer Aktivierung des Kontrollkästchens f(x) = g1(x)/g2(x) (voreingestellt) stellt das Programm die gebrochenrationale Funktion f(x) = g1(x)/g2(x) = (8·x4+4·x3+7·x2+10·x-1)/(6·x4+3·x2+2·x+3) dar.

 

Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen g1(x) bzw. g2(x) werden die Kurven ausgegeben, welche durch die gebrochenrationale Funktion g1(x) bzw. g2(x) beschrieben werden.

 

Wird das Kontrollkästchen 1.Abl. von f(x) = g1(x)/g2(x) aktiviert, so stellt das Programm die 1. Ableitung der gebrochenrationalen Funktion f(x) = g1(x)/g2(x) dar.

 

Die Kurve, welche durch 2. Ableitung der Funktion f(x) = g1(x)/g2(x) beschrieben wird, wird ausgegeben, wenn das Kontrollkästchens 2. Abl. aktiviert wird.

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Asymptote ermittelt das Programm die Gleichung y = 1,333 für die Asymptote der Funktion f(x) = g1(x)/g2(x) und gibt diese aus.

 

Wird zudem das Kontrollkästchen Kurvendiskussion aktiviert, so führt das Programm eine Kurvendiskussion mit der Funktion f(x) durch und ermittelt für den voreingestellten Untersuchungsbereich -3 x 3:

 

Die gebrochenrationale Funktion f(x) besitzt innerhalb des festgelegten Untersuchungsbereichs:

 

Nullstellen: N (-1 / 0) N (0,093 / 0)  
Extrema: HP (1,124 / 2,016) TP (-0,434 / -1,397)  
Wendepunkte: W (-0,758 / 0,704) W (0,049 / -0,16) W (1,597 / 1,913)

 

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