MathProf - Tangentialebene - Kugelkoordinaten - Zylinderkoordinaten

 

Modul Tangentialebenen von Flächen mit Funktionen in Parameterform

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Das Unterprogramm [3D-Mathematik] - [Tangentialebenen] - Flächen mit Funktionen in Parameterform - Tangentialebenen ermöglicht die Bestimmung einer Tangentialebene in einem Punkt an eine Fläche, welche durch Funktionen in Parameterform beschrieben wird.

 

 

Als Tangentialebene in einem Punkt wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum bezeichnet, welche die Fläche im Umfeld dieses Punktes am besten nähert.

In diesem Modul wird die Möglichkeit geboten, Zusammenhänge zu diesem Thema grafisch, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von Funktionsparametern zu untersuchen. Es ermöglicht die Untersuchung von Flächen, welche definiert werden durch
 

• Funktionen in Parameterform in kartesischen Koordinaten, beschrieben durch Terme der Form x = f(u,v,p) ; y = g(u,v,p) ; z = h(u,v,p)
• Funktionen in Parameterform in Zylinderkoordinaten, beschrieben durch Terme der Form r = f(u,v,p) ; j = g(u,v,p) ; z = h(u,v,p)
• Funktionen in Parameterform in Kugelkoordinaten, beschrieben durch Terme der Form r = f(u,v,p) ; j = g(u,v,p) ; t = h(u,v,p)

 
Das Programm ermittelt (sofern vorhanden) die Tangentialebene an diese Fläche bei den Parameterwerten u₀ und v₀ und stellt sie dar.
   
Das Programm stellt verschiedene Definitionsformen (Arten von Koordinaten) zur Beschreibung derartiger Flächen zur Verfügung. Die gewünschte Definitionsform selektieren Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Menüpunkts unter Optionen. Voreingestellt ist die Verwendung kartesischer Koordinaten. Nachfolgend wird ausschließlich auf die Verwendung dieser Definitionsform eingegangen.
 
Kartesische Koordinaten:
 

 
Beispiel:
 

 
Zylinderkoordinaten:
 

 
Beispiel:
 

 
 
 
 
Kugelkoordinaten:
 

 
Zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten gelten folgende Zusammenhänge:
 

 
Beispiel:
 

 
Die gewünschte Definitionsform selektieren Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Menüpunkts unter Optionen. Voreingestellt ist die Verwendung kartesischer Koordinaten. Nachfolgend wird ausschließlich auf die Verwendung dieser Definitionsform eingegangen.
 

Grafische Darstellung - Beispiel 1
 

Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 
Um Tangentialebenen an eine Fläche dieser Art ermitteln und darstellen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Definieren Sie die drei zur Definition einer Fläche benötigten Funktionsterme in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = f(u,v,p) =, y = g(u,v,p) = und z = h(u,v,p) =. Beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    
2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den zu durchlaufenden Bereich für die Parameter u und v fest (Parameter von u1 = und bis u2 = ; Parameter von v1 = und bis v2 =). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen (voreingestellt: 0 £ u £ 2p ; 0 £ u £ 2p).
    
3. Durch eine Aktivierung der Kontrollschalter Tangentialebene interaktiv bzw. Tangentialebene bei u = legen Sie fest, ob die Tangentialebene an einer bestimmten Stelle ermittelt werden soll, oder ob die Position zur Ermittlung der Tangentialebene variabel einstellbar sein soll.
    
   Wurde die Durchführung einer Untersuchung an einer bestimmten Stelle gewählt, so legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte die Parameterwerte u und v fest, für welche das Programm die Tangentialebene darzustellen hat.
    
4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bzw. Statisch, ob das Programm den zur grafischen Ausgabe erforderlichen Darstellungsbereich automatisch bestimmen soll, oder ob Sie diesen vorgeben möchten. Trifft Letzteres zu, so legen Sie diesen durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld Abs. Bereich fest.
    
5. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so führen Sie Folgendes durch:
   
   Definieren Sie, durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Parameter p von ... und bis ..., den Startwert, sowie den Endwert des vom Parameter P zu durchlaufenden Wertebereichs und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Schrittweite die Schrittweite für Parameter P fest. Voreingestellt sind der Startwert -5, der Endwert 5, sowie eine Schrittweite von 0,1.
   
   Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bei Simul. oder Manuell, ob Sie die Parameterwertsimulation manuell durchführen möchten, oder ob das Programm diese automatisch ausführen soll.
    
6. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
7. Wurde Kontrollschalter Tangentialebene interaktiv auf dem Hautformular des Unterprogramms aktiviert, so nutzen Sie die auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Schieberegler u und v, um die Parameterwerte festzulegen, für welche die Tangentialebene darzustellen ist.

Hinweis:
Werden Untersuchungen mit Funktionstermen durchgeführt, von welchen keiner das Einzelzeichen P enthält (parameterfreie Funktionen), so ist die Schaltfläche Sim. Start stets deaktiviert. Wurde hingegen mindestens ein Funktionterm definiert, welcher dieses Zeichen enthält, und wurde die Durchführung einer manuellen Simulation gewählt, so steht auf dem Bedienformular ein Schieberegler P zur Verfügung, mit welchem Sie den zu verwendenden Wert für Parameter P einstellen können. Wurde eine automatische Simulation gewählt, so können Sie diese starten, indem Sie die Schaltfläche Start Sim. bedienen. Sie trägt hierauf die Bezeichnung Stop Sim. Beendet werden kann die Simulation wieder, indem Sie diese Schaltfläche nochmals bedienen. Es wird stets der Parameterwertebereich durchlaufen, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.
   
Zudem wird die Durchführung numerischer Analysen von Ortskoordinaten, sowie die Ermittlung des Flächeninhalts der Oberfläche einer derart beschriebenen Fläche, innerhalb eines gewählten Bereichs ermöglicht.
 

 
Es besteht die Möglichkeit, sich die x-, y- und z-Koordinatenwerte von Punkten, die diese Fläche beschreiben, innerhalb frei wählbarer Wertebereiche für die Parameter u und v ausgeben zu lassen. Um dies durchzuführen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
 

1. Wählen Sie unter dem Menüpunkt Werte den Eintrag des Funktionsterms für welchen Sie sich die Koordinatenwerte ausgeben lassen möchten. Es stehen zur Verfügung: Funktionswerte x = f(u,v), Funktionswerte y = g(u,v), Funktionswerte z = h(u,v).
    
2. Definieren Sie den entsprechenden Funktionsterm im zur Verfügung stehenden Eingabefeld und beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Von u1 = und bis u2 =, sowie Von v1 = und bis v2 = die Parameterwertebereiche fest, über welche Koordinatenwerte ermittelt werden sollen.
    
4. Wählen Sie die Schrittweite, mit welcher die Berechnungen durchzuführen sind, über die aufklappbare Auswahlbox aus (voreingestellt: 0,1).
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

Möchten Sie den Inhalt der Oberfläche einer derart beschriebenen Fläche, innerhalb eines frei wählbaren Wertebereichs für die Parameter u und v näherungsweise ermitteln lassen, so sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Wählen Sie unter dem Menüpunkt Werte den Eintrag Flächeninhalt.
    
2. Definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern x = f(u,v) =, y = g(u,v) =, z = h(u,v) = und beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Von u1 = und bis u2 = sowie Von v1 = und bis v2 = die Parameterwertebereiche fest, über welche der Flächeninhalt ermittelt werden soll.
    
4. Wählen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Anz. Segmente, mit welcher Genauigkeit diese Berechnungen durchgeführt werden sollen (je mehr Segmente verwendet werden, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm das Ergebnis.

Es ist darauf zu achten, dass deklarierte Funktionsterme nicht das Einzelzeichen P enthalten, welches ausschließlich zur Definition eines Funktionsterms zur grafischen Darstellung Verwendung findet.
 
Hinweis:
Befindet sich in einem Eingabefeld bereits eine Funktionsdeklaration, so wird diese beim Aufruf des entsprechenden Befehls in das Eingabefeld des erscheinenden Unterformulars übernommen.
   
Bei der Darstellung derartiger Gebilde ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

• Automatisch
• Statisch

 

1. Automatisch:
   Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung der Fläche erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
    
2. Statisch:
   Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet die Fläche an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Koord. positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

   
Um die Anzeige der Funktionsbibliothek ein- bzw. auszublenden steht der Menüpunkt Option - Funktionsbibliothek ausblenden bzw. Option - Funktionsbibliothek einblenden zur Verfügung. Diese Einstellung wird sitzungsübergreifend gespeichert.
   
Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.
   
Flächen mit Funktionen in Parameterform (3D)
 

 
Beispiel 1 - Funktionen in kartesischen Koordinaten:
 
Es gilt, die Eigenschaften der Tangentialebene eines Torus ermitteln zu lassen, welche diese bei den Parameterwerten u = 2 und v = 1 des Torus besitzt. Der Torus werde durch folgende Terme in kartesischen Koordinaten beschrieben:
 
x = f(u,v) = (3+2·cos(v))·cos(u)
y = g(u,v) = (3+2·cos(v))·sin(u)
z = h(u,v) = sin(v)
 
Mit den Parameterwertebereichen: 0 £ u £ 2π, 0 £ v £ 2π
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Aktivieren Sie den Menüeintrag Optionen - Funktionen in kartesischen Koordinaten (voreingestellt) und geben Sie in die Felder x = f(u,v) =, y = g(u,v) =, z = h(u,v) = die Terme (3+2*COS(V))*COS(U), (3+2*COS(V))*SIN(U) und SIN(V) ein. 
 
Legen Sie in den Feldern Von u1 = und bis u2 = sowie Von v1 = und bis v2 = die Zahlenwerte der Parameterwertebereiche (0...6,28319) fest (nach einem Klick in Eingabefeld rechte Maustaste benutzen).
 
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Tangentialebene bei u = und geben Sie in die entsprechenden Felder die Werte 2 und 1 ein.
 
Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
 
Das Programm ermittelt:
 
Koordinaten des Tangentialpunkts: P (-1,698 / 3,71 / 0,841)
 
Für die Eigenschaften der Tangentialebene in Punkt P gibt das Programm aus:
 
Gleichung der Tangentialebene E in Punkt-Richtungs-Form:
 


Drei auf der Tangentialebene E liegende Punkte:

P1 (-16,104 / 0 / 0)
P2 (-13,919 / 1 / 0)
P3 (-8,619 / 0 / 1)
 
Gleichung der Tangentialebene E in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form:
 

 
Gleichung der Ebene E in Koordinaten-Form:
 
E: 1·X - 2,185·Y - 7,485·Z = -16,104
 
Abstand der Ebene E vom Koordinatenursprung: d = 2,049

Spurpunkte der Ebene E:

Sx (-16,104 / 0 / 0)
Sy (0 / 7,37 / 0)
Sz (0 / 0 / 2,152)
 
Normalenvektor der Ebene E:
 

 
Beispiel 2 - Funktionen in Zylinderkoordinaten:
 
Es gilt, die Eigenschaften der Tangentialebene einer Fläche in Parameterform ermitteln zu lassen, welche diese bei den Parameterwerten u = 0,5 und v = 0,5 besitzt. Die Fläche werde durch folgende Terme in Zylinderkoordinaten beschrieben:
 
r = f(u,v) = cos(u)·cos(v)
j = g(u,v) = cos(u)·sin(v)
z = h(u,v) = sin(u)·sin(u)·cos(u)
 
Die Parameterwertebereiche seien: 0 £ u £ π/2 und -π £ v £ π.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Aktivieren Sie den Menüeintrag Optionen - Funktionen in Zylinderkoordinaten und geben Sie in die Felder r = f(u,v) =, j = g(u,v) =, z = h(u,v) = die Terme COS(U)*COS(V), COS(U)*SIN(V) und SIN(U)*SIN(U)*COS(U) ein. 
 
Legen Sie durch die Eingabe der Zahlenwerte 0 und 1,57079 in die Felder Parameter u von u1 = und bis u2 = den Wertebereich für Parameter u fest und definieren Sie hierauf durch die Eingabe der Zahlenwerte -3,14159 und 3,14159 in die Felder Parameter v von v1 = und bis v2 = den Wertebereich für Parameter v (nach einem Klick in ein Eingabefeld rechte Maustaste benutzen). 
 
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Tangentialebene bei u = und geben Sie in das entsprechende Feld den Wert 0,5 ein.
 
Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
 
Das Programm ermittelt:
 
Koordinaten des Tangentialpunkts: P (0,703 / 0,315 / 0,202)
 
Für die Eigenschaften der Tangentialebene in Punkt P gibt das Programm aus:
 
Gleichung der Tangentialebene E in Punkt-Richtungs-Form:
 


Drei auf der Tangentialebene E liegende Punkte:

P1 (1,518 / 0 / 0)
P2 (-0,177 / 1 / 0)
P3 (0,122 / 0 / 1)
 
Gleichung der Tangentialebene E in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form:
 

 
Gleichung der Ebene E in Koordinaten-Form:
 
E: 1·X + 1,695·Y + 1,396·Z = 1,518
 
Abstand der Ebene E vom Koordinatenursprung: d = 0,629

Spurpunkte der Ebene E:

Sx (1,518 / 0 / 0)
Sy (0 / 0,895 / 0)
Sz (0 / 0 / 1,087)
 
Normalenvektor der Ebene E:
 

 
Beispiel 3 - Funktionen in Kugelkoordinaten:
 
Es gilt, die Eigenschaften der Tangentialebene einer Fläche in Parameterform ermitteln zu lassen, welche diese bei den Parameterwerten u = 0,2 und v = 2,5 besitzt. Die Fläche werde durch folgende Terme in Kugelkoordinaten beschrieben:
 
r = f(u,v) = (abs(u)-1)²·cos(v)
j = g(u,v) = (abs(u)-1)²·sin(v)
n = h(u,v) = u·v
 
Die Parameterwertebereiche seien: -1 £ u £ 1 und 0 £ v £ 2π.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Aktivieren Sie den Menüeintrag Optionen - Funktionen in Kugelkoordinaten und geben Sie in die Felder r = f(u,v), j = g(u,v) =,n = h(u,v) = die Terme (ABS(U)-1)^2*COS(V), (ABS(U)-1)^2*SIN(V) und U*V ein. 
 
Legen Sie durch die Eingabe der Zahlenwerte -1 und 1 in die Felder Parameter u von u1 = und bis u2 = den Wertebereich für Parameter u fest und definieren Sie hierauf durch die Eingabe der Zahlenwerte 0 und 6,28318 in die Felder Parameter v von v1 = und bis v2 = den Wertebereich für Parameter v (nach einem Klick in ein Eingabefeld rechte Maustaste benutzen).
 
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Tangentialebene bei u = und geben Sie in die entsprechenden Felder die Werte 0,2 und 2,5 ein.
 
Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
 
Das Programm ermittelt:
 
Koordinaten des Tangentialpunkts: P (-0,168 / 0,092 / 0,476)
 
Für die Eigenschaften der Tangentialebene in Punkt P gibt das Programm aus:
 
Gleichung der Tangentialebene E in Punkt-Richtungs-Form:
 


Drei auf der Tangentialebene E liegende Punkte:

P1 (2,017 / 0 / 0)
P2 (-19,402 / 1 / 0)
P3 (1,56 / 0 / 1)
 
Gleichung der Tangentialebene E in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form:
 

 
Gleichung der Ebene E in Koordinaten-Form:
 
E: 1·X + 21,419·Y + 0,456·Z = 2,017
 
Abstand der Ebene E vom Koordinatenursprung: d = 0,094

Spurpunkte der Ebene E:

Sx (2,017 / 0 / 0)
Sy (0 / 0,094 / 0)
Sz (0 / 0 / 4,419)
 
Normalenvektor der Ebene E:
 

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Tangentialebene zu finden. 

 

 

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Startfenster des Unterprogramms Tangentialebenen von Flächen mit Funktionen in Parameterform
 

MathProf 5.0 - Startfenster des Unterprogramms Analyse implizit definierter Funktionen im Raum

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MathProf 5.0 - Grafikfenster des Unterprogramms Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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