MathProf - Nullstellen - Verfahren - Intervallhalbierung - Bisektionsmethode

 

Modul Nullstellen-Iterationsverfahren - Interaktiv

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Unter dem Programmpunkt [Analysis] - [Nullstellen] - Nullstellen-Iterationsverfahren - Interaktiv können Methoden interaktiv analysiert werden, die bei der Nullstellenbestimmung mathematischer Funktionen Anwendung finden.

 

Es können folgende Verfahren untersucht werden:

• Regula falsi 1. Art
• Regula falsi 2. Art
• Allgemeines Iterationsverfahren
• Newton-Verfahren
• Vereinfachtes Newton-Verfahren
• Intervallhalbierungsverfahren

Iterationsverfahren dieser Art werden insbesondere dann verwendet, wenn eine analytische Bestimmung der Nullstellen mathematischer Funktionen nicht möglich ist.

Regula falsi 1. und 2. Art (Sekanten-Verfahren):
 
Das Verfahren Regula falsi verwendet die Vorschrift:
 
x₂ = x₀ – f(x₀) · (x₁ – x₀) / (f(x₁) – f(x₀))
 
Hierbei wird der Schnittpunkt einer Sekante, die durch die beiden Punkte x₀ und x₁ verläuft, mit der Abszisse errechnet. Bei jeder Schrittfolge wird entweder x₀ oder x₁ durch den neu errechneten Abszissenwert ersetzt.
 
Bei Methode 1 (Regula falsi 1. Art) wird stets der zu Anfang verwendete Wert x₀ für alle nachfolgenden Iterationen verwendet, bei Methode 2 (Regula falsi 2. Art) hingegen werden die beiden zuletzt ermittelten Näherungswerte eingesetzt, wodurch eine bessere Konvergenzgeschwindigkeit erreicht wird.
 
Allgemeines Iterationsverfahren:
 
Dieses Verfahren benötigt einen Startpunkt an der Stelle x₀. Zur Bestimmung von Nullstellen wird die Iterationsvorschrift x_n+1 = x_n - c·f(x_n) verwendet. Der hierbei zu verwendende Wert für Parameter c kann durch die Bedienung des Rollbalkens Parameter c festgelegt werden. Die Wahl des Parameterwerts entscheidet über Konvergenz oder Divergenz der ermittelten Werte bei der entsprechenden Nullstelle.
 
Newton-Verfahren:
 
Das Newton-Verfahren verwendet die Vorschrift:
 
x₁ = x₀ – f(x₀) / f'(x₀)
 
Bei diesem Verfahren wird die Kurventangente am Iterationspunkt x₀ ermittelt und es wird vorausgesetzt, dass die Funktion in der Umgebung dieser Stelle differenzierbar ist.
 
Vereinfachtes Newton-Verfahren:
 
Bei Anwendung des vereinfachten Newton-Verfahrens wird der Ableitungswert f'(x₀) lediglich für den Startwert ermittelt und danach konstant gehalten.
 
Intervallhalbierungsverfahren (Bisektions-Verfahren):
 
Die Bisektionsmethode nach der Vorschrift x_m = (x₁ + x₂)/2 beruht auf der Halbierung eines Ausgangsintervalls, innerhalb dessen die gesuchte Nullstelle liegt. Hierbei wird die Länge des Intervalls kontinuierlich verringert. Dies wird wiederholt, bis nach m Schritten die gewünschte Genauigkeit erreicht wurde.
 
Voraussetzung für die Anwendbarkeit dieser Methode ist, dass die Funktion innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs eine Nullstelle besitzt. Die Bisektionsmethode weist nur langsame Konvergenz auf.
 
Handeln Sie wie nachfolgend beschrieben, um die Iterationsmethodik einzelner Verfahren zu analysieren:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters (Regula falsi 1. Art, Regula falsi 1. Art, Allgemeines Verf., Newton, Newton vereinf., Intervallhalbierung) welche der aufgeführten Methoden Sie untersuchen möchten.
    
2. Funktionen bei welchen das entsprechende Verfahren angewandt werden soll, können Sie in diesem Unterprogramm definieren bzw. aufrufen, indem Sie den Schalter fx bedienen. Geben Sie den entsprechenden Funktionsterm in das Feld mit der Bezeichnung f(x) = ein und bedienen Sie die Schaltfläche OK. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln. Befinden sich bereits gespeicherte Funktionen in der Bibliothek, so können diese durch einen Doppelklick auf den entsprechenden Eintrag in der Tabelle in das Eingabefeld übernommen werden.
    
3. Verändern Sie die Anzahl durchzuführender Iterationsschritte durch die Positionierung des zur Verfügung stehenden Rollbalkens Iterationen. Bei Verwendung des allgemeinen Iterationsverfahrens muss durch die Positionierung des Rollbalkens Parameter c zudem noch ein Vorgabewert für den Konstantenwert c festgelegt werden.
    
4. Möchten Sie die Abszissenwerte gewählter Startpositionen exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
5. Um die Abszissenwerte gewählter Startpositionen mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
    
6. Starten Sie bei Bedarf eine Autosimulation mit dem Schalter Simulation, um die Einflüsse der Positionierung von Startwerten zu untersuchen und beenden Sie diese wieder durch einen erneuten Klick auf diese Schaltfläche. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters eine Auswahl bzgl. der simulativ zu verändernden Größe treffen können. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Schrittweite einstellen. Ändern Sie diese bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK.

Stellt das Programm eine starke Divergenz berechneter Werte fest, so wird die Iteration abgebrochen, wenn sich Iterationswerte außerhalb eines programmintern vorgegebenen Intervalls befinden.

Beachten Sie:
Um eine Analyse durchführen zu können, muss die Funktion innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs eine Nullstelle besitzen!
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• P beschriften: Beschriftung von Startpositionen zur Auffindung von Nullstellen ein-/ausschalten
• Koordinaten: Darstellung der Koordinatenwertangaben von Startpositionen ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
 

 
Nullstellen - Iterationsverfahren
Horner - Schema
Kurvendiskussion
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2

  
Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4

 
Grafische Darstellung - Beispiel 5
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Nullstelle
Wikipedia - Newton-Verfahren
Wikipedia - Gauß-Newton-Verfahren
Wikipedia - Regula falsi
Wikipedia - Bisektion
 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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