MathProf - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt

 

Im Unterprogramm [Geometrie] - [Kegelschnitte] - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt können Untersuchungen zur Ermittlung der Gleichungen externer Tangenten an Kegelschnitte in Mittelpunktlage interaktiv durchgeführt werden.

 

MathProf - Kegelschnitt - Mittelpunkt


Von Kegelschnitten dieser Art spricht man, wenn ein gerader Kreiskegel von einer Ebene geschnitten wird und der Mittelpunkt des Kegelschnitts im Koordinatenursprung liegt.

Dieses Modul ermöglicht die Ermittlung von Geradengleichungen, welche durch einen extern liegenden Punkt verlaufen und eine Kegelschnittkurve tangieren. Es können Untersuchungen mit folgenden Kegelschnittkurven durchgeführt werden:

  • Ellipse
  • Hyperbel
  • Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung

Das Programm ermittelt hierbei:

  • Berührpunkte der Kegelschnittkurve und der durch den externen Punkt verlaufenden Tangenten
  • Gleichungen von Tangenten an die entsprechende Kurve
  • Gleichung der Polare (durch die Berührpunkte verlaufende Gerade)
  • Gleichungen der Winkelhalbierenden der durch den externen Punkt verlaufenden Tangenten

Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:

  • Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)
  • Asymptoten (bei Hyperbeln)

Mathematische Zusammenhänge


Mittelpunktgleichungen der Kegelschnitte:

Hyperbel:

Kegelschnitt - Punkt - Gleichung  - 1

Ellipse:

Kegelschnitt - Punkt - Gleichung  - 2

Parabel (horizontale Öffnungsrichtung):

Kegelschnitt - Punkt - Gleichung  - 3
 

Berechnungsergebnisse


Das Programm ermittelt die Werte folgender Eigenschaften der Kegelschnitte in Mittelpunktlage:

Hyperbel:

  • Halbachse a
  • Halbachse b
  • Parameter 2p
  • Lin. Exzentrizität e
  • Numerische Exzentrizität ε
  • Scheitelpunkte
  • Mittelpunkt
  • Brennpunkte
  • Gleichungen der Asymptoten

Ellipse:

  • Halbachse a
  • Halbachse b
  • Parameter 2p
  • Lin. Exzentrizität e
  • Numerische Exzentrizität ε
  • Scheitelpunkte
  • Mittelpunkt
  • Brennpunkte

Parabel:

  • Parameter 2p
  • Lin. Exzentrizität e
  • Numerische Exzentrizität ε
  • Scheitelpunkt
  • Brennpunkt

Darstellung


Untersuchungen zu diesem Fachthema können Sie durchführen, wenn Sie folgende Schritte ausführen:

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters (Ellipse, Parabel,  Hyperbel) auf dem Bedienformular die Art des Kegelschnitts, mit dem Sie eine Analyse durchführen möchten.
     
  2. Möchten Sie die Koordinatenwerte eines zur Definition des Kegelschnitts erforderlichen Punkts, oder des extern liegenden Punkts exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  3. Soll die Position eines zur Definition des Kegelschnitts erforderlichen Punkts, oder des extern liegenden Punkts mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste (Bei einigen Punkten ist Bewegung nur nach links oder nur nach rechts, bzw. nur nach oben oder nur nach unten möglich).
     
  4. Um bei Darstellung einer Ellipse oder einer Hyperbel die Koeffizienten a und b der Kegelschnittgleichung, bzw. bei Darstellung einer Parabel den Wert für Parameter 2p sowie deren Öffnungsrichtung exakt festzulegen, bedienen Sie die Schaltfläche Param. Geben Sie die entsprechenden Zahlenwerte in die zur Verfügung stehenden Felder ein, bzw. aktivieren Sie den entsprechenden Kontrollschalter und bestätigen Sie hierauf mit Ok.
     
  5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bedienformular

 

MathProf - Kegelschnitt - Punkt

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

  • Punkte: Markierung von Punkten ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige von ein-/ausschalten
  • Kontur hervorheben: Linienstärke des Kegelschnitts normal/fett
  • Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)
  • Evolute: Darstellung der Evolute ein-/ausschalten
  • Polare: Darstellung der Polare ein-/ausschalten
  • Winkelhalb.: Darstellung der Winkelhalbierenden der durch den externen Punkt verlaufenden Tangenten ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kegelschnitte in Mittelpunktlage

Kegelschnitte in Mittelpunktlage – Interaktiv

Kegelschnitte in achsparalleler Lage

Kegelschnitte in achsparalleler Lage – Interaktiv

Kegelschnitte - Gerade

 

Beispiele


Beispiel 1 - Ellipse:

Eine Ellipse sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Kegelschnitt - Punkt - Gleichung  - 4

Es gilt, die Gleichungen der Tangenten an diese Ellipse ermitteln zu lassen, welche durch den Punkt P (-4 / 6) verlaufen. Zudem sind wesentliche Eigenschaften des Kegelschnitts auszugeben.

Vorgehensweise und Lösung:

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ellipse, bedienen Sie den Schalter Param. und geben Sie die Werte der Ellipse für Halbachse a = 7, sowie für Halbachse b = 3 ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus und geben Sie für den Punkt P die Koordinatenwerte (-4 / 6) ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Das Programm gibt nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Für die Eigenschaften des Kegelschnitts:

Halbachse a: 7
Halbachse b: 3
Parameter 2p: 2,571
Lin. Exzentrizität e: 6,325
Num. Exzentrizität eta: 0,904


Scheitelpunkt 1: A (-7 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (7 / 0)

Scheitelpunkt 3: C (0 / 3)
Scheitelpunkt 4: D (0 / -3)

Mittelpunkt: M (0 / 0)


Brennpunkt 1: F1 (0 / -6,325)
Brennpunkt 2: F2 (0 / 6,325)

 

Für die Gleichungen der Tangenten an die Ellipse, welche durch Punkt P verlaufen, wird ermittelt:

 

Tangente 1: Y = -0,433·X+4,266
Tangente 2: Y = 1,888·X+13,552

 

Die Koordinatenwerte der Berührpunkte der Tangenten durch Punkt P und des Kegelschnitts sind:

 

Berührpunkt 1: B1 (4,977 / 2,109)
Berührpunkt 2: B2 (-6,826 / 0,664)
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Polare gibt das Programm für die Gleichung dieser aus:

 

Polare: Y = 0,1221·X+1,5

 

Wird zudem das Kontrollkästchen Winkelhalbierende aktiviert, so ermittelt das Programm für die Winkelhalbierenden der Tangenten:
 

Winkelhalbierende 1: Y = 0,351·X+7,403
Winkelhalbierende 2: Y = -2,851·X-5,403

 

Beispiel 2 - Hyperbel:

Eine Hyperbel sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Kegelschnitt - Punkt - Gleichung  - 5

Es gilt, die Gleichungen der Tangenten an diese Hyperbel ermitteln zu lassen, welche durch den Punkt P2 (4 / 7) verlaufen. Zudem sind wesentliche Eigenschaften des Kegelschnitts auszugeben.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Hyperbel, bedienen Sie den Schalter Param. und geben Sie die Werte der Hyperbel für Halbachse a = 6 sowie für Halbachse b = 5 ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus und geben Sie für den Punkt P2 die Koordinatenwerte (4 / 7) ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Das Programm gibt nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Für die Eigenschaften des Kegelschnitts:

Halbachse a: 6
Halbachse b: 5
Parameter 2p: 8,333
Lin. Exzentrizität e: 7,81
Num. Exzentrizität eta: 1,302


Scheitelpunkt 1: A (-6 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (6 / 0)


Mittelpunkt: M (0 / 0)


Brennpunkt 1: F1 (-7,81 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (7,81 / 0)

 

Für die Gleichungen der Asymptoten der Hyperbel ermittelt das Programm nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Asymptoten:

 

Asymptote 1: Y = 0,833·X
Asymptote 2: Y = -0,833·X

 

Für die Gleichungen der Tangenten an die Hyperbel, welche durch Punkt P 2 verlaufen, wird ermittelt:

 

Tangente 1: Y = -3,779·X+22,116
Tangente 2: Y = 0,979·X+3,084

 

Die Koordinatenwerte der Berührpunkte der Tangenten durch Punkt P2 und des Kegelschnitts sind:

 

Berührpunkt 1: B1 (6,151 / -1,13)
Berührpunkt 2: B2 (-11,43 / -8,107)
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Polare gibt das Programm für die Gleichung dieser aus:

 

Polare: Y = 0,397·X-3,571

 

Wird zudem das Kontrollkästchen Winkelhalbierende aktiviert, so ermittelt das Programm für die Winkelhalbierenden der Tangenten:
 

Winkelhalbierende 1: Y = -0,275·X+8,101
Winkelhalbierende 2: Y = 3,632·X-7,53

 

Beispiel 3 - Parabel:

Eine horizontal liegende Parabel mit linksseitiger Öffnungsrichtung sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Y² = -5·X

Es gilt, die Gleichungen der Tangenten an diese Parabel ermitteln zu lassen, welche durch den Punkt P (7 / -4) verlaufen. Zudem sind wesentliche Eigenschaften des Kegelschnitts auszugeben.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Parabel, bedienen Sie den Schalter Param. und geben Sie für den Wert 2p die Zahl 5 ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus und geben Sie für den Punkt P2 die Koordinatenwerte (7 / -4) ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Das Programm gibt nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Für die Eigenschaften des Kegelschnitts:


Parameter 2p: 5
Scheitelpunkt: S (0 / 0)
Brennpunkt: F (-1,25 / 0)
 

Für die Gleichungen der Tangenten an die Parabel, welche durch Punkt P2 verlaufen, wird ermittelt:

 

Tangente 1: Y = -0,796·X+1,571
Tangente 2: Y = 0,224·X-5,571

 

Die Koordinatenwerte der Berührpunkte der Tangenten durch Punkt P2 und des Kegelschnitts sind:

 

Berührpunkt 1: B1 (-1,974 / 3,141)
Berührpunkt 2: B2 (-24,826 / -11,141)
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Polare gibt das Programm für die Gleichung dieser aus:

 

Polare: Y = 0,625·X+4,375

 

Wird zudem das Kontrollkästchen Winkelhalbierende aktiviert, so ermittelt das Programm für die Winkelhalbierenden der Tangenten:
 

Winkelhalbierende 1: Y = 0,23·X-2,393
Winkelhalbierende 2: Y = 4,355·X-24,482

 

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