MathProf - Implizite Funktion - Implizite Kurve - Implizite Darstellung

MathProf - Mathematik-Software - Implizite Funktionen | Implizite Gleichung | Kurven

Fachthema: Implizite Funktionen

MathProf - Anaylsis - Ein Programm für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen zur Anwendung in Ingenieurwissenschaften.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Implizite Funktionen | Implizite Gleichung | Kurven

Online-Hilfe
für das Modul zur Ausgabe der Graphen für implizit definierte Funktionen mehrerer Veränderlicher der Form f(x,y) = 0 bzw. f(x,y) = g(x,y).

Dieser Teil des Programms ermöglicht das Plotten von Funktionen mit zwei Variablen bzw. die implizite Darstellung der Lösungen von impliziten Gleichungen mit 2 Unbekannten in der zweidimensionalen Ebene.

Es handelt sich um einen Funktionsplotter für Funktionen mit mehreren Variablen, welcher die zusätzliche Verwendung eines Funktionsparameters P erlaubt und somit die Simulation von Sachverhalten zu diesem Fachthema ermöglicht.
Zu untersuchende Gleichungen können mit, oder ohne einer zuvor praktizierten Äquivalenzumformung festgelegt werden. Der hierfür implementierte Rechner ermöglicht die implizite Kurvendarstellung derartiger Sachverhalte.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind
eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Implizite Funktion - Implizite Gleichungen - Implizite Darstellung von Funktionen - Darstellung der Lösung einer Gleichung mit 2 Unbekannten - Plotter für Gleichungen mit 2 Variablen - Plotter für f(x,y) - Modul zur Darstellung einer Funktion mit 2 Variablen - Implizite Darstellung von Kurven - Implizit definierte Funktionen plotten - Funktionen mehrerer Variablen plotten - Funktion mit 2 Variablen zeichnen - Grafik von Funktionen mit mehreren Variablen - Graphen impliziter Funktionen - Funktionen von zwei Veränderlichen - Funktionsplotter für implizite Funktionen - Plotter zur Darstellung der Lösungen für nichtlineare Gleichungen - Funktionsplotter zur Ausgabe der Graphen von Funktionen mit 2 Variablen - Plotter für Funktionen mit zwei Variablen - Implizite Kurven - Funktionen von zwei Veränderlichen - Graphen einer impliziten Funktion zeichnen - Implizite Form einer Gleichung - Darstellung der Graphen von Funktionen mehrerer Veränderlicher - Kurvengleichung in impliziter Form - Darstellung der Lösungen von Gleichungen mit zwei Variablen - Gleichung mit zwei Variablen lösen - Funktionsplotter für Gleichungen mit 2 Variablen - Gleichung - Implizit - Graph - Bild - Grafik - Untersuchen - Untersuchung - Bilder - Plotten - Rechner - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Grafische Darstellung - Implizite Funktionsgleichung - Implizite Funktionen plotten - Funktion mit zwei Variablen plotten - Plotter zum Zeichnen impliziter Funktionen - Funktionen mehrerer Veränderlicher

  
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Implizite Funktion - Implizite Gleichung - Implizite Kurven

 

Das Unterprogramm [Analysis] - Implizit definierte Funktionen ermöglicht die Darstellung von Kurven implizit definierter Funktionen (Funktionen mehrerer Veränderlicher).

 

MathProf - Implizite Funktionen - Implizite Kurven - Funktion mit 2 Variablen - Implizite Kurve - Implizite Kurvendarstellung - Implizite Gleichung - Funktionen mit mehreren Variablen - Implizit definierte Funktionen - Funktionen mehrerer Variablen - Funktionen mit 2 Variablen

 

Unter implizit definierten Funktionen werden Funktionen verstanden, welche nicht in der Zuordnungsvorschrift y = f(x) gegeben sind, sondern deren Funktionswerte implizit durch eine Gleichung der Form f(x,y) = 0 definiert sind.

 

Dieses Programmmodul ermöglicht die grafische Ausgabe einer oder zweier Kurven, welche in implizit definierter Form vorliegen. Die Deklaration einer impliziten Funktion (impliziten Gleichung) kann prinzipiell auf eine der nachfolgenden Arten und Weisen erfolgen:

 

f(x,y,p) = 0

 

oder

 

f(x,y,p) = g(x,y,p)

 

Bei Festlegung der Terme für Kurve K1 wird die linksseitig aufgeführte Gleichungsbedingung f1(x,y,p) im Eingabefeld mit der Bezeichnung f1(x,y,p) = definiert, die rechtsseitig aufgeführte Gleichungsbedingung 0, bzw. g(x,y,p) im Eingabefeld mit der Bezeichnung g1(x,y,p) =.

 

Für Kurve K2 wird die linksseitig aufgeführte Gleichungsbedingung f2(x,y,p) im Eingabefeld mit der Bezeichnung f2(x,y,p) = festgelegt, die rechtsseitig aufgeführte Gleichungsbedingung 0, bzw. g(x,y,p) im Eingabefeld mit der Bezeichnung g2(x,y,p) =.

 

Darstellung

 

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Die Darstellung implizit definierter Funktionen können Sie sich ausgeben lassen, indem Sie folgendermaßen verfahren:
 

  1. Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Funktionsterme Kurve K1 (voreingestellt). Definieren Sie die Terme einer implizit definierten Funktion in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f1(x,y,p) = sowie g1(x,y,p) =.

    Ist eine zweite Kurve auszugeben, so definieren Sie die entsprechenden Funktionsterme in den Feldern mit den Bezeichnungen f2(x,y,p) = sowie g2(x,y,p) = und aktivieren das Kontrollkästchen Funktionsterme Kurve K2. Beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Bestimmen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder Von x1 = und bis x2 =, sowie Von y1 = und bis y2 = den rechteckigen Flächenbereich über welchen die Darstellung ausgegeben werden soll.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  4. Legen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Auflösung die zu verwendende Auflösung fest. Je höher diese gewählt wird, desto langsamer erfolgt die Darstellungsaktualisierung.
     
  5. Um den Darstellungsbereich (Voreinstellung: -3 x 3, -3 y 3) zu verändern, bestehen folgende Möglichkeiten:

    Bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben Sie die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.

    Verändern Sie die Position eines Fangpunktes mit der Maus. Klicken Sie hierbei mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Fangbereich und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Taste.
     
  6. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.

    Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Implizit definierte Funktion - Darstellung

 

MathProf - Implizite Funktion - Parameter


Auf den Bedienformularen, welche durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte beschriften: Beschriftung von Punkten ein-/ausschalten

  • Koordinaten: Ausgabe der Koordinatenwerte von Punkten ein-/ausschalten

  • Bereichsmarkierung: Markierung der festgelegten Bereichsbegrenzung ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Beispiel

 

Um sich die Lösungen der implizit definierten Gleichung 2·x+sin(y²-x) = x²+y als Kurve darstellen zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Funktionsterme Kurve 1 (voreingestellt), definieren im oberen Eingabefeld f1(x,y,p) = den Term 2*X+SIN(Y^2-X) und im darunter angeordneten Feld g1(x,y,p) = den Term X^2+Y.

 

Belassen Sie die Werte zur Definition des bei Ausgabe der Grafik zu verwendenden Darstellungsbereichs auf den Werten -3 x 3, -3 y 3 und bedienen Sie den Schalter Darstellen.

 

Die dargestellten Kurven stellen die Lösungsmenge der zu untersuchenden Gleichung dar, welche diese innerhalb des vorgegebenen Bereichs besitzt.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Kurzinfos zum Themengebiet Analysis Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie Kurzinfos zum Themengebiet Algebra Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten.
  
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Implizite Funktionen zu finden.

  

Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen und wissenschaftlichen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozessabläufe zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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