MathProf - Kombinatorik

 

Unter dem Menüpunkt [Stochastik] - Kombinatorik können Berechnungen zum mathematischen Fachthemengebiet Kombinatorik durchgeführt werden.

 

Folgende Themenbereiche lassen sich behandeln:

• Permutation ohne Wiederholung
• Permutation mit Wiederholung
• Variation ohne Wiederholung
• Variation mit Wiederholung
• Kombination ohne Wiederholung
• Kombination mit Wiederholung
• Permutation mit Fixpunkt

Die in diesem Unterprogramm verwendeten Bezeichnungen lauten:

A: Anzahl der Möglichkeiten

n: Anzahl aller Elemente

k: Anzahl ausgewählter Elemente

 

Permutationen von n Elementen sind die Anordnung aller n Elemente in jeder möglichen Reihenfolge.

Prinzipiell handelt es sich hierbei darum, alle Elemente einer Ausgangsmenge in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen.

Voraussetzung für Permutation ohne Wiederholung:

• alle n Elemente der Ausgangsmenge müssen sich unterscheiden
• alle n Elemente müssen ausgewählt werden
• ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden

 

Voraussetzung für Permutation mit Wiederholung:

• mindestens zwei Elemente einer Ausgangsmenge sind identisch, d.h. nicht alle Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
• alle n Elemente müssen ausgewählt werden
• ein Individualelement kann nicht mehrmals ausgewählt werden, ein Element mit gleicher Eigenschaft hingegen schon

 

k1...kn : Anzahl der Elemente mit gleichen Eigenschaften (Gruppen gleicher Elemente)

Fixpunkt einer Permutation:

Ein Element, dessen Position sich bei einer Permutation nicht ändert, nennt man Fixpunkt der Permutation. Bei der Permutation 1,2,3,4 -> 1,3,2,4 sind deshalb die Zahlen 1 und 4 Fixpunkte.

Variationen sind Anordnungen, welche aus n gegebenen Elementen nur eine bestimmte Anzahl k in allen möglichen Reihenfolgen enthalten. Prinzipiell geht es hierbei darum, einige Elemente aus einer Ausgangsmenge auszuwählen und diese zusätzlich in eine Reihenfolge zu bringen.

Voraussetzung für Variation ohne Wiederholung:

• alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
• es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
• ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden

 

Voraussetzung für Variation mit Wiederholung:

• alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
• es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
• ein Element kann mehrmals ausgewählt werden

 

Werden jeweils k Elemente aus der Gesamtanzahl n ausgewählt in beliebiger, jedoch nur jeweils in einer Reihenfolge angeordnet, entstehen Kombinationen.

Voraussetzung für Kombination ohne Wiederholung:

• alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
• es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
• ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden

 

Voraussetzung für Kombination mit Wiederholung:

• alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
• es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
• ein Element kann mehrmals ausgewählt werden

 

Nach der Wahl des entsprechenden Registerblatts und der Eingabe der relevanten Werte für n (Gesamtanzahl Elemente) und k (Anzahl ausgewählter Elemente), sowie einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse oben beschriebener Operationen ausgegeben.

Um Berechnungen mit Permutationen mit Wiederholung durchzuführen, müssen Eingabewerte für Elemente mit gleichen Eigenschaften (Gruppen gleicher Elemente) durch Semikola voneinander getrennt werden.

Allgemein

Durch die Bedienung der Schaltfläche Löschen können alle Eingaben und Ergebnisse gelöscht werden.

 

Urnenmodell

Pfadregel

 

Beispiel 1 - Permutation ohne Wiederholung:

Die 8 Teilnehmer eines 100-Meter-Endlaufs kommen in einer bestimmten Reihenfolge durch das Ziel. Auf einer Anzeigetafel werden die Teilnehmer, ihrem Rangplatz entsprechend, nacheinander aufgelistet.

Wieviele mögliche Reihenfolgen gab es vor deren Ankunft im Ziel?

Anzahl Teilnehmer: n = 8

A = n! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 8 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. In der Tabelle kann dieses Ergebnis unter dem Eintrag Permutation n! entnommen werden. Der eingetragene Wert im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) wird ignoriert.

Beispiel 2 - Permutation mit Wiederholung:

Wieviele Möglichkeiten gibt es alle Buchstaben des Wortes ANAGRAMM in einer unterschiedlichen Reihenfolge anzuordnen? Verschiedene Buchstaben dieses Wortes kommen mehrfach vor.

Anzahl aller Buchstaben: n = 8

k1 = 3 (Buchstabe A)

k2 = 1 (Buchstabe G)

k3 = 1 (Buchstabe N)

k4 = 2 (Buchstabe M)

k5 = 1 (Buchstabe R)

A = 8! / (3! * 1! * 1! * 2! * 1!) = 40320 / 12 = 3360

Es besteht die Möglichkeit 3360 verschiedene Buchstabenkombinationen (Wörter) aus den Buchstaben des Wortes ANAGRAMM zu bilden.

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation mit Wiederholung, geben die Zahl 8 in das Feld Gesamtanzahl Elemente n ein, geben in das Feld Gruppen gleicher Elemente die Zeichenfolge 3;1;1;2;1 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen.

Beispiel 3 - Variation ohne Wiederholung:

Bei den Olympischen Spielen stehen 8 Athleten im Finale einer Sportart. Wieviele Möglichkeiten bestehen, dass diese 8 Teilnehmer die Medaillien Gold, Silber und Bronze unter sich aufteilen?

Anzahl der Teilnehmer: n = 8

Anzahl zu vergebender Medaillien: k = 3

A = n! / (n-k)! = 8! / (8 - 3)! = 336

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 8 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein, geben im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) die Zahl 3 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. Aus der Tabelle kann dieses Ergebnis unter dem Eintrag Variation ohne Wiederholung entnommen werden.

Beispiel 4 - Variation mit Wiederholung:

Ein Zahlenschloss besteht aus 5 Vorrichtungen mit jeweils 10 Zahlen, welche jeweils eine Ziffernkombination verlangen. Bei jeder Zifferneinstellung können die Zahlen 0...9 gewählt werden.

Wieviele Möglichkeiten bestehen diesem Zahlenschloss eine Kombination zu vergeben?

Anzahl möglicher Ziffern: n = 10

Anzahl möglicher Zifferneinstellungen: k = 5

A = n^k = 10⁵ = 100000

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 10 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein, geben im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) die Zahl 5 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. Aus der Tabelle kann dieses Ergebnis unter dem Eintrag Variation mit Wiederholung entnommen werden.

Beispiel 5 - Kombination ohne Wiederholung:

Bei der Ziehung der Lottozahlen werden von 49 nummerierten Kugeln nacheinander 6 Kugeln gezogen (ohne Zurücklegen).

Wieviele Möglichkeiten gibt es 6 Zahlen auszuwählen?

Anzahl Kugeln: n = 49

Anzahl Ziehungen: k = 6

A = n! / ( (n - k)! * k! ) = 49! / ( (49 - 6)! * 6! ) = 13983816

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 49 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein, geben im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) die Zahl 6 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. Aus der Tabelle kann der errechnete Wert unter dem Eintrag Kombination mit Wiederholung entnommen werden.
 

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