MathProf - Kombinatorik - Reihenfolge - Wiederholung - Kombinationen
Fachthemen: Kombination - Variation - Permutation
MathProf - Stochastik - Statistik - Software für diskrete Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen. Sie eignet sich sowohl für den Einsatz zur Abiturvorbereitung wie auch zur praktischen Anwendung im Alltag. Es handelt sich um ein einfach bedienbares Programm für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Untersuchungen zum Themengebiet Kombinatorik.
Die Anwendung der Kombinatorik erlaubt es unter anderem, bestimmte Objekte aus einer existenten Gesamtmenge dieser zu selektieren bzw. in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen. Dieses Teilprogramm ermöglicht das Berechnen von Permutationen, Variationen und Kombinationen sowie das Analysieren entsprechender Zusammenhänge.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.
Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Kombination - Kombinatorik - Permutation - Variation - Wiederholung - Ohne Wiederholung - Mit Wiederholung - Diskrete Mathematik - Bijektive Abbildung - Permutation ohne Wiederholung - Variation ohne Wiederholung - Kombination ohne Wiederholung - Permutation mit Wiederholung - Variation mit Wiederholung - Kombination mit Wiederholung - Permutation mit Fixpunkt - Variationsrechnung - Varianten berechnen - Wahrscheinlichkeit - Reihenfolge - Kombinationen - Möglichkeiten - Permutationen bestimmen - Kombinationsmöglichkeiten - Variationsmöglichkeiten - Variantenzahl - Zahlen - Varianten - Vierstellige Zahl - Fünfstellige Zahl - Sechsstellige Zahl - Modell - Generieren - Zahlpartitionen - Anzahl - Berechnen - Reihenfolge - Elemente - Lösung - Ordnung - Anordnung - Berechnung - Rechner - Formel - Tabelle - Abzählende Kombinatorik - Abzählen - Abzählung - Abzählverfahren - Abzählmethode - Zahlenkombination - Rechner für Kombination, Variation und Permutation - Kombinationen berechnen - Variationen berechnen - Variantenberechnung - Permutationen berechnen - Fixpunkte - Fixpunkt berechnen - Zahlenkombination - Kombinatorische Formeln - Mögliche Kombinationen berechnen - Anzahl möglicher Kombinationen - Anzahl möglicher Varianten - Rechner für Varianten - Rechner zur Ermittlung von Möglichkeiten - Berechnung der Anzahl von Möglichkeiten - Möglichkeiten berechnen |
Kombinatorik
Unter dem Menüpunkt [Stochastik] - Kombinatorik können Berechnungen zum mathematischen Fachthemengebiet Kombinatorik durchgeführt werden. Die Kombinatorik zählt die Anzahl der Möglichkeiten bei Versuchsausgängen.
Folgende Themenbereiche lassen sich behandeln:
- Permutation ohne Wiederholung
- Permutation mit Wiederholung
- Variation ohne Wiederholung
- Variation mit Wiederholung
- Kombination ohne Wiederholung
- Kombination mit Wiederholung
- Permutation mit Fixpunkt
Die in diesem Unterprogramm verwendeten Bezeichnungen lauten:
A: Anzahl der Möglichkeiten
n: Anzahl aller Elemente
k: Anzahl ausgewählter Elemente
Permutation
Permutationen von n Elementen sind die Anordnung aller n Elemente in jeder möglichen Reihenfolge.
Prinzipiell handelt es sich hierbei darum, alle Elemente einer Ausgangsmenge in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen.
Voraussetzung für Permutation ohne Wiederholung:
- alle n Elemente der Ausgangsmenge müssen sich unterscheiden
- alle n Elemente müssen ausgewählt werden
- ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden
Voraussetzung für Permutation mit Wiederholung:
- mindestens zwei Elemente einer Ausgangsmenge sind identisch, d.h. nicht alle Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
- alle n Elemente müssen ausgewählt werden
- ein Individualelement kann nicht mehrmals ausgewählt werden, ein Element mit gleicher Eigenschaft hingegen schon
k1...kn : Anzahl der Elemente mit gleichen Eigenschaften (Gruppen gleicher Elemente)
Fixpunkt einer Permutation:
Ein Element, dessen Position sich bei einer Permutation nicht ändert, nennt man Fixpunkt der Permutation. Bei der Permutation 1,2,3,4 -> 1,3,2,4 sind deshalb die Zahlen 1 und 4 Fixpunkte.
Variation
Variationen sind Anordnungen, welche aus n gegebenen Elementen nur eine bestimmte Anzahl k in allen möglichen Reihenfolgen enthalten. Prinzipiell geht es hierbei darum, einige Elemente aus einer Ausgangsmenge auszuwählen und diese zusätzlich in eine Reihenfolge zu bringen.
Voraussetzung für Variation ohne Wiederholung:
- alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
- es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
- ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden
Voraussetzung für Variation mit Wiederholung:
- alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
- es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
- ein Element kann mehrmals ausgewählt werden
Kombination
Werden jeweils k Elemente aus der Gesamtanzahl n ausgewählt in beliebiger, jedoch nur jeweils in einer Reihenfolge angeordnet, entstehen Kombinationen.
Voraussetzung für Kombination ohne Wiederholung:
- alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
- es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
- ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden
Voraussetzung für Kombination mit Wiederholung:
- alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
- es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
- ein Element kann mehrmals ausgewählt werden
Berechnung
Nach der Wahl des entsprechenden Registerblatts und der Eingabe der relevanten Werte für n (Gesamtanzahl Elemente) und k (Anzahl ausgewählter Elemente), sowie einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse oben beschriebener Operationen ausgegeben.
Um Berechnungen mit Permutationen mit Wiederholung durchzuführen, müssen Eingabewerte für Elemente mit gleichen Eigenschaften (Gruppen gleicher Elemente) durch Semikola voneinander getrennt werden.
Allgemein
Durch die Bedienung der Schaltfläche Löschen können alle Eingaben und Ergebnisse gelöscht werden.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Themenbereiche
Beispiele
Beispiel 1 - Permutation ohne Wiederholung:
Die 8 Teilnehmer eines 100-Meter-Endlaufs kommen in einer bestimmten Reihenfolge durch das Ziel. Auf einer Anzeigetafel werden die Teilnehmer, ihrem Rangplatz entsprechend, nacheinander aufgelistet.
Wieviele mögliche Reihenfolgen gab es vor deren Ankunft im Ziel?
Anzahl Teilnehmer: n = 8
A = n! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320
Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 8 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. In der Tabelle kann dieses Ergebnis unter dem Eintrag Permutation n! entnommen werden. Der eingetragene Wert im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) wird ignoriert.
Beispiel 2 - Permutation mit Wiederholung:
Wieviele Möglichkeiten gibt es alle Buchstaben des Wortes ANAGRAMM in einer unterschiedlichen Reihenfolge anzuordnen? Verschiedene Buchstaben dieses Wortes kommen mehrfach vor.
Anzahl aller Buchstaben: n = 8
k1 = 3 (Buchstabe A)
k2 = 1 (Buchstabe G)
k3 = 1 (Buchstabe N)
k4 = 2 (Buchstabe M)
k5 = 1 (Buchstabe R)
A = 8! / (3! * 1! * 1! * 2! * 1!) = 40320 / 12 = 3360
Es besteht die Möglichkeit 3360 verschiedene Buchstabenkombinationen (Wörter) aus den Buchstaben des Wortes ANAGRAMM zu bilden.
Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation mit Wiederholung, geben die Zahl 8 in das Feld Gesamtanzahl Elemente n ein, geben in das Feld Gruppen gleicher Elemente die Zeichenfolge 3;1;1;2;1 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen.
Beispiel 3 - Variation ohne Wiederholung:
Bei den Olympischen Spielen stehen 8 Athleten im Finale einer Sportart. Wieviele Möglichkeiten bestehen, dass diese 8 Teilnehmer die Medaillien Gold, Silber und Bronze unter sich aufteilen?
Anzahl der Teilnehmer: n = 8
Anzahl zu vergebender Medaillien: k = 3
A = n! / (n-k)! = 8! / (8 - 3)! = 336
Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 8 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein, geben im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) die Zahl 3 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. Aus der Tabelle kann dieses Ergebnis unter dem Eintrag Variation ohne Wiederholung entnommen werden.
Beispiel 4 - Variation mit Wiederholung:
Ein Zahlenschloss besteht aus 5 Vorrichtungen mit jeweils 10 Zahlen, welche jeweils eine Ziffernkombination verlangen. Bei jeder Zifferneinstellung können die Zahlen 0...9 gewählt werden.
Wieviele Möglichkeiten bestehen diesem Zahlenschloss eine Kombination zu vergeben?
Anzahl möglicher Ziffern: n = 10
Anzahl möglicher Zifferneinstellungen: k = 5
A = nk = 105 = 100000
Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 10 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein, geben im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) die Zahl 5 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. Aus der Tabelle kann dieses Ergebnis unter dem Eintrag Variation mit Wiederholung entnommen werden.
Beispiel 5 - Kombination ohne Wiederholung:
Bei der Ziehung der Lottozahlen werden von 49 nummerierten Kugeln nacheinander 6 Kugeln gezogen (ohne Zurücklegen).
Wieviele Möglichkeiten gibt es 6 Zahlen auszuwählen?
Anzahl Kugeln: n = 49
Anzahl Ziehungen: k = 6
A = n! / ( (n - k)! * k! ) = 49! / ( (49 - 6)! * 6! ) = 13983816
Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 49 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein, geben im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) die Zahl 6 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. Aus der Tabelle kann der errechnete Wert unter dem Eintrag Kombination mit Wiederholung entnommen werden.
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
Wikipedia - Kombinatorik
Wikipedia - Variation
Wikipedia - Permutation
Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
