MathProf - Kombinatorik - Reihenfolge - Wiederholung - Kombinationen - Variation

MathProf - Mathematik-Software - Kombinatorik | Permutation | Variation | Kombination

Fachthemen: Kombination - Variation - Permutation

MathProf - Stochastik - Statistik - Software für diskrete Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen. Sie eignet sich sowohl für den Einsatz zur Abiturvorbereitung wie auch zur praktischen Anwendung im Alltag. Es handelt sich um ein einfach bedienbares Programm für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Kombinatorik | Permutation | Variation | Kombination

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Untersuchungen zum Themengebiet Kombinatorik.

Die Anwendung der Kombinatorik erlaubt es unter anderem, bestimmte Objekte aus einer existenten Gesamtmenge dieser zu selektieren bzw. in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen. Dieses Teilprogramm ermöglicht das Berechnen von Permutationen, Variationen und Kombinationen sowie das Analysieren entsprechender Zusammenhänge.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Kombination - Kombinatorik - Permutation - Variation - Wiederholung - Ohne Wiederholung - Mit Wiederholung - Diskrete Mathematik - Bijektive Abbildung - Permutation ohne Wiederholung - Variation ohne Wiederholung - Kombination ohne Wiederholung - Permutation mit Wiederholung - Variation mit Wiederholung - Kombination mit Wiederholung - Permutation mit Fixpunkt - Variationsrechnung - Varianten berechnen - Wahrscheinlichkeit - Reihenfolge - Kombinationen - Möglichkeiten - Permutationen bestimmen - Kombinationsmöglichkeiten - Variationsmöglichkeiten - Variantenzahl - Zahlen - Varianten - Vierstellige Zahl - Fünfstellige Zahl - Sechsstellige Zahl - Modell - Generieren - Anzahl - Berechnen - Reihenfolge - Elemente - Lösung - Ordnung - Anordnung - Berechnung - Rechner - Formel - Tabelle - Abzählende Kombinatorik - Abzählen - Abzählung - Abzählverfahren - Abzählmethode - Zahlenkombination - Rechner für Kombination, Variation und Permutation - Kombinationen berechnen - Variationen berechnen - Permutationen berechnen - Fixpunkte - Fixpunkt berechnen - Zahlenkombination - Kombinatorische Formeln - Varianten berechnen - Mögliche Kombinationen berechnen - Anzahl möglicher Kombinationen - Anzahl möglicher Varianten - Rechner für Varianten - Rechner zur Ermittlung von Möglichkeiten - Berechnung der Anzahl von Möglichkeiten - Möglichkeiten berechnen

 
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  Kombinatorik


Unter dem Menüpunkt [Stochastik] - Kombinatorik können Berechnungen zum mathematischen Fachthemengebiet Kombinatorik durchgeführt werden. Die Kombinatorik zählt die Anzahl der Möglichkeiten bei Versuchsausgängen.

 

MathProf - Permutation - Variation - Kombination - Wiederholung - Elemente - Reihenfolge - Ohne Wiedeholung - Mit Wiederholung


Folgende Themenbereiche lassen sich behandeln:

  • Permutation ohne Wiederholung
  • Permutation mit Wiederholung
  • Variation ohne Wiederholung
  • Variation mit Wiederholung
  • Kombination ohne Wiederholung
  • Kombination mit Wiederholung
  • Permutation mit Fixpunkt

Die in diesem Unterprogramm verwendeten Bezeichnungen lauten:

A: Anzahl der Möglichkeiten

n: Anzahl aller Elemente

k: Anzahl ausgewählter Elemente

 

Permutation


Permutationen von n Elementen sind die Anordnung aller n Elemente in jeder möglichen Reihenfolge.

Prinzipiell handelt es sich hierbei darum, alle Elemente einer Ausgangsmenge in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen.

Voraussetzung für Permutation ohne Wiederholung:

  • alle n Elemente der Ausgangsmenge müssen sich unterscheiden
  • alle n Elemente müssen ausgewählt werden
  • ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden

Kombinatorik - Gleichung - 1
 

Voraussetzung für Permutation mit Wiederholung:

  • mindestens zwei Elemente einer Ausgangsmenge sind identisch, d.h. nicht alle Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
  • alle n Elemente müssen ausgewählt werden
  • ein Individualelement kann nicht mehrmals ausgewählt werden, ein Element mit gleicher Eigenschaft hingegen schon

Kombinatorik - Gleichung - 2
 

k1...kn : Anzahl der Elemente mit gleichen Eigenschaften (Gruppen gleicher Elemente)

Fixpunkt einer Permutation:

Ein Element, dessen Position sich bei einer Permutation nicht ändert, nennt man Fixpunkt der Permutation. Bei der Permutation 1,2,3,4 -> 1,3,2,4 sind deshalb die Zahlen 1 und 4 Fixpunkte.

Variation


Variationen sind Anordnungen, welche aus n gegebenen Elementen nur eine bestimmte Anzahl k in allen möglichen Reihenfolgen enthalten. Prinzipiell geht es hierbei darum, einige Elemente aus einer Ausgangsmenge auszuwählen und diese zusätzlich in eine Reihenfolge zu bringen.

Voraussetzung für Variation ohne Wiederholung:

  • alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
  • es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
  • ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden

Kombinatorik - Gleichung - 3
 

Voraussetzung für Variation mit Wiederholung:

  • alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
  • es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
  • ein Element kann mehrmals ausgewählt werden

Kombinatorik - Gleichung - 4

 

Kombination


Werden jeweils k Elemente aus der Gesamtanzahl n ausgewählt in beliebiger, jedoch nur jeweils in einer Reihenfolge angeordnet, entstehen Kombinationen.

Voraussetzung für Kombination ohne Wiederholung:

  • alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
  • es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
  • ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden

Kombinatorik - Gleichung - 5
 

Voraussetzung für Kombination mit Wiederholung:

  • alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
  • es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
  • ein Element kann mehrmals ausgewählt werden

Kombinatorik - Gleichung - 6

 

Berechnung


Nach der Wahl des entsprechenden Registerblatts und der Eingabe der relevanten Werte für n (Gesamtanzahl Elemente) und k (Anzahl ausgewählter Elemente), sowie einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse oben beschriebener Operationen ausgegeben.

Um Berechnungen mit Permutationen mit Wiederholung durchzuführen, müssen Eingabewerte für Elemente mit gleichen Eigenschaften (Gruppen gleicher Elemente) durch Semikola voneinander getrennt werden.

Allgemein

Durch die Bedienung der Schaltfläche Löschen können alle Eingaben und Ergebnisse gelöscht werden.

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Themenbereiche

 

Urnenmodell

Pfadregel

 

Beispiele


Beispiel 1 - Permutation ohne Wiederholung:

Die 8 Teilnehmer eines 100-Meter-Endlaufs kommen in einer bestimmten Reihenfolge durch das Ziel. Auf einer Anzeigetafel werden die Teilnehmer, ihrem Rangplatz entsprechend, nacheinander aufgelistet.

Wieviele mögliche Reihenfolgen gab es vor deren Ankunft im Ziel?

Anzahl Teilnehmer: n = 8

A = n! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 8 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. In der Tabelle kann dieses Ergebnis unter dem Eintrag Permutation n! entnommen werden. Der eingetragene Wert im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) wird ignoriert.

Beispiel 2 - Permutation mit Wiederholung:

Wieviele Möglichkeiten gibt es alle Buchstaben des Wortes ANAGRAMM in einer unterschiedlichen Reihenfolge anzuordnen? Verschiedene Buchstaben dieses Wortes kommen mehrfach vor.

Anzahl aller Buchstaben: n = 8

k1 = 3 (Buchstabe A)

k2 = 1 (Buchstabe G)

k3 = 1 (Buchstabe N)

k4 = 2 (Buchstabe M)

k5 = 1 (Buchstabe R)

A = 8! / (3! * 1! * 1! * 2! * 1!) = 40320 / 12 = 3360

Es besteht die Möglichkeit 3360 verschiedene Buchstabenkombinationen (Wörter) aus den Buchstaben des Wortes ANAGRAMM zu bilden.

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation mit Wiederholung, geben die Zahl 8 in das Feld Gesamtanzahl Elemente n ein, geben in das Feld Gruppen gleicher Elemente die Zeichenfolge 3;1;1;2;1 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen.

Beispiel 3 - Variation ohne Wiederholung:

Bei den Olympischen Spielen stehen 8 Athleten im Finale einer Sportart. Wieviele Möglichkeiten bestehen, dass diese 8 Teilnehmer die Medaillien Gold, Silber und Bronze unter sich aufteilen?

Anzahl der Teilnehmer: n = 8

Anzahl zu vergebender Medaillien: k = 3

A = n! / (n-k)! = 8! / (8 - 3)! = 336

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 8 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein, geben im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) die Zahl 3 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. Aus der Tabelle kann dieses Ergebnis unter dem Eintrag Variation ohne Wiederholung entnommen werden.

Beispiel 4 - Variation mit Wiederholung:

Ein Zahlenschloss besteht aus 5 Vorrichtungen mit jeweils 10 Zahlen, welche jeweils eine Ziffernkombination verlangen. Bei jeder Zifferneinstellung können die Zahlen 0...9 gewählt werden.

Wieviele Möglichkeiten bestehen diesem Zahlenschloss eine Kombination zu vergeben?

Anzahl möglicher Ziffern: n = 10

Anzahl möglicher Zifferneinstellungen: k = 5

A = nk = 105 = 100000

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 10 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein, geben im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) die Zahl 5 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. Aus der Tabelle kann dieses Ergebnis unter dem Eintrag Variation mit Wiederholung entnommen werden.

Beispiel 5 - Kombination ohne Wiederholung:

Bei der Ziehung der Lottozahlen werden von 49 nummerierten Kugeln nacheinander 6 Kugeln gezogen (ohne Zurücklegen).

Wieviele Möglichkeiten gibt es 6 Zahlen auszuwählen?

Anzahl Kugeln: n = 49

Anzahl Ziehungen: k = 6

A = n! / ( (n - k)! * k! ) = 49! / ( (49 - 6)! * 6! ) = 13983816

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 49 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein, geben im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) die Zahl 6 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. Aus der Tabelle kann der errechnete Wert unter dem Eintrag Kombination mit Wiederholung entnommen werden.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Permutation mit Fixpunkt - Reihenfolgen - Kombinatorik - Permutationen - Kombinationen - Variationen - Berechnen - Variation mit Wiederholung - Beispiel - Ohne Wiedeholung - Mit Wiederholung

MathProf - Permutation mit Wiederholung - Kombination mit Wiederholung - Element - Elemente - Möglichkeiten - Fixpunkte - Variation ohne Wiederholung - Beispiel - Ohne Wiedeholung - Mit Wiederholung

MathProf - Permutation ohne Wiederholung - Kombination ohne Wiederholung - Wiederholung - Menge - Berechnen - Permutation mit Fixpunkt - Zahlenreihe - Reihenfolge - Beispiel

  

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Kombinatorik
Wikipedia - Variation

Wikipedia - Kombination
Wikipedia - Permutation
 
Implementierte Module zum Themenbereich Stochastik


Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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