PhysProf - Pendel - Schwingung - Mathematisch - Physisch
Fachthema: Pendel - Simulation
PhysProf - Kinematik - Ein Programm zur Visualisierung physikalischer Sachverhalte mittels Simulationen und 2D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure und alle die sich für Physik interessieren.
Online-Hilfe für das Modul
zur Animation der Abläufe, welche bei der Ausführung von Fadenpendel-Schwingungen entstehen (Elongationen).
Dieses Teilprogramm ermöglicht die Durchführung interaktiver Analysen zu diesem Fachthema sowie eine Untersuchung der entsprechenden Sachverhalte. Es unterstützt dabei ein tiefergehendes Verständnis zu diesem Themengebiet zu erlangen und kann zum Lösen vieler diesbezüglich relevanter Aufgaben eingesetzt werden.
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Mathematisches Pendel (Fadenpendel) - Physisches Pendel
Modul Pendel
Im Unterprogramm [Mechanik I] - [Pendel] lassen sich die Abläufe einer mechanischen Schwingung beim Fadenpendel verfolgen.
Pendelbewegung - Abbildung 1
Pendelbewegung - Abbildung 2
Als Pendel wird ein Körper bezeichnet, der an einer Achse oder einem Punkt aufgehängt ist, der sich außerhalb seines Massenmittelpunkts befindet, drehbar gelagert ist und um seine Ruhelage schwingen kann.
Als mechanische Schwingungen werden zeitlich periodische Änderungen einer physikalischer Größe bezeichnet. In der Mechanik werden Schwingungen als Ausführungen derartiger Bewegungen eines Körpers um seine Gleichgewichtslage beschrieben.
Schwingungen dieser Art werden hervorgerufen, wenn ein Körper aus einer Ruhelage ausgelenkt wird und eine rückwirkende Kraft zugegen ist. Eine derartige Schwingung wird als freie Schwingung bezeichnet. Seine Geschwindigkeit erreicht ein Maximum, wenn er seine Ruhelage passiert. Aufgrund der Massenträgheit verharrt der Körper nicht in dieser Position, sondern erfährt eine Elonagtion in die entgegengesetzte Richtung.
Mathematisches Pendel - Fadenpendel
Als mathematisches Pendel (oder Fadenpendel) wird ein Pendel bezeichnet, welches eine punktförmige Masse besitzt, die an einer masselosen Pendelstange befestigt ist. Diese Stange ist an einem Punkt aufgehängt und die daran befestigte Masse führt wechselseitige Schwingungen in der Ebene aus. Reibungseinflüsse werden hierbei vernachlässigt.
Die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels (welches in der Praxis nicht existiert) lässt sich ermitteln durch:
Wie hieraus zu entnehmen ist, hängt die Schwingungsdauer lediglich von der Länge l des Fadenpendels und der auftretenden Fallbeschleunigung g ab, jedoch nicht von der Masse des an das Pendel angehängten Körpers. Theoretisch lässt sich somit mit der Gleichung
und dem Zusammenhang
der Schwingungsvorgang eines Pendels dieser Art beschreiben.
Hierbei sind:
T: Schwingungsdauer [s]
ω: Schwingungsfrequenz [1/s]
l: Pendellänge [m]
g: Fallbeschleunigung [m/s²]
y: Elongation [m]
ŷ: Anfangswert der Amplitudenhüllkurve [m]
Herleitung der Zusammenhänge zum mathematischen Pendel:
Bei einer linearen Federschwingung errechnet sich die Schwingungsdauer mit
Die rücktreibende Kraft (Rückstellkraft) FR einer Pendelschwingung kann ermittelt werden, indem die Gewichtskraft FG des angehängten Körpers (Pendelkörpers) in seine Teilkräfte FS und FR zerlegt werden. Sie ist proportional zur Auslenkung des Pendels. Die Teilkraft FS bewirkt, dass der Faden gespannt bleibt, die Teilkraft FR ist die rücktreibende Kraft. Unter der Voraussetzung, dass der Auslenkungswinkel des Pendels klein ist, kann für die Länge des Kreisbogens s* näherungsweise die Strecke s angenommen werden. Bei einem kleinen Winkel gilt FR/FG = s/l, da in diesem Fall die Bogenlänge s* der Strecke s gleichgesetzt werden kann.
Hieraus folgt: FR/y = FG/l = mg/l. Somit besitzt der Term mg/l beim Fadenpendel die gleiche Bedeutung wie die Federkonstante k beim Federpendel. Resultierend aus diesen Tatsachen ergibt sich für die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels
oder
T: Schwingungsdauer [s]
m: Masse des Pendelkörpers [kg]
l: Pendellänge [m]
g: Fallbeschleunigung [m/s²]
Oben aufgeführte Herleitung gilt nur für Schwingungen mit kleinen Auslenkungswinkeln. In der Praxis wird bei einem schwingenden System Energie durch bremsende Kräfte, wie z.B. Reibung und Luftwiderstand allmählich aufgezehrt.
Die Schwingungsfrequenz f eines Pendels gibt die Anzahl der Schwingungsvorgänge an, die dieses innerhalb des Zeitraums von 1 Sekunde ausführt. Die Zeit für die Ausführung eines Schwingungsvorgangs wird Schwingungsdauer T genannt. Es gilt: f = 1/T.
Als rücktreibende Kraft (Rückstellkraft) wird diejenige Kraft bezeichnet, die versucht den am Pendel angehängten Körper wieder in dessen Ausgangslage (Gleichgewichtslage) zurück zu bringen.
Als Auslenkung (Elongation) wird bei einer Schwingung die augenblickliche Distanz eines Punktes von seiner Ruhelage angegeben.
Als Abklingkonstante (Dämpfungskonstante oder Abklingkoeffizient) δ wird bei linearen Schwingungssystemen das Produkt aus ungedämpfter Eigenkreisfrequenz und Lehrscher Dämpfung bezeichnet.
Programmbedienung
Dieses Unterprogramm simuliert den in der Praxis auftretenden Fall eines physischen Pendels und stellt in einer Grafik ein Elongations-Zeit-Diagramm und in einem anderen ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm dar, wodurch das Verhalten des physikalischen Vorgangs in Abhängigkeit von den einstellbaren Größen analysiert werden kann.
Legen Sie hierfür zunächst die Werte für Startwinkel α, die Pendellänge l, die Fallbeschleunigung g, sowie die Dämpfung δ (Abklingkoeffizient) durch die Positionierung der entsprechenden Rollbalken fest und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Start. Durch die Ausführung eines erneuten Klicks auf diese Schaltfläche, welche hierauf die Bezeichnung Stop besitzt, beenden Sie die ablaufende Simulation wieder.
Hinweis: Besäße die Dämpfungskonstante den Wert 0, so würde das System keine Dämpfung erfahren und somit ein perpetuum mobile darstellen.
Physisches Pendel
Als physisches Pendel (unkorrekte Bezeichung: physikalisches Pendel) wird ein Pendel benannt, bei welchem die Voraussetzungen des mathematischen Pendels nicht erfüllt sind.
Bei diesem gilt.
T: Schwingungsdauer [s]
m: Masse des Pendelkörpers [kg]
JA: Massenträgheitsmoment des Pendelkörpers [kg·m²]
s: Abstand des Drehpunkts vom Massenschwerpunkt des Pendelkörpers [m]
Die obige Formel hat nur Gültigkeit für Amplituden, die kleiner als ca. 8° sind. Mit dem Begriff reduzierte Pendellänge (eines physischen Pendels) wird die Länge eines mathematischen Pendels bezeichnet, welches dieselbe Schwingungsdauer besitzt. Sie entspricht der Länge l in der Schwingungsgleichung des mathematischen Pendels.
Doppelpendel - Gekoppelte Schwingungen
Werden zwei oder mehrere Pendel durch eine Feder miteinander verbunden, so wird diese Anordnung als gekoppeltes Pendel bezeichnet. Eine derartige Anordnung zweier Pendel wird Doppelpendel genannt. Schwinger dieser Art sind nicht mehr voneinander unabhängig, da sie durch ihre Kopplung gegenseitig Energie austauschen. Dieser Austausch kann über Reibung, Elastizität oder Trägheit erfolgen. Die von einem Doppelpendel ausgeführten Schwingungen werden als gekoppelte Schwingungen bezeichnet.
Wird eines dieser Pendel durch Auslenkung zum Schwingen gebracht, so erfolgt die Übertragung seiner Energie allmählich an das zweite Pendel. Dies erfolgt so lange, bis sich das erste Pendel in Ruhelage befindet (im Nulldurchgang oder Umkehrpunkt) und die gesamte (im System noch vorhandene) Energie an das zweite Pendel übertagen wurde.
Hierauf erfolgt die gegenseitige Vertauschung der Aufgaben, wobei das nun ruhende Pendel durch das noch schwingende Pendel angeregt wird und dessen Schwingungsenergie diesem übertagen wird. Durch die im System vorhandene Schwingungsenergie werden somit wechselnde Zustände der Ruhelage und der Maximalauslenkung der einzelnen Pendel zustande kommen, bis die im System vorhandene mechanische Energie u.a. durch Reibungsverluste aufgezehrt wurde.
Es existieren zwei Fälle dieses Systems, bei denen es zu keinem Energieaustausch zwischen den beiden Pendeln kommt. Dies sind:
- Gleichsinnige Schwingung: Beide Pendel schwingen mit gleicher Amplitude und gleicher Phase mit ihrer normalen Eigenfrequenz.
- Gegensinnige Schwingung: Beide Pendel schwingen mit gleicher Amplitude, jedoch gegenphasig und mit höherer Frequenz.
Voraussetzung dafür, dass dieses gekoppelte System wie oben beschrieben ausgeführt wird, ist dass die beiden Pendel exakt aufeinander abgestimmt sind, denn ansonsten führt es unter Umständen chaotische Bewegungen aus.
Schwingung im U Rohr - Wasserpendel
Ein Wasserpendel, weches als U-Rohr geformt ist und in dem eine zuvor ausgelenkte Wassersäule schwingt, führt solange eine harmonische Schwingung aus bis sich diese im wieder Gleichgewichtszustand befindet.
Für die Schwingungsdauer eines derartigen Systems gilt:
T: Schwingungsdauer [s]
l: Länge der Flüssigkeitssäule [m]
g: Fallbeschleunigung [m/s²]
Die Schwingungsdauer eines Wasserpendels ist unabhängig von der Fläche, der Dichte der Flüssigkeit und der Höhe der Flüssigkeitssäule. Sie hängt lediglich von der Länge dieser ab. Sie ist identisch mit der eines mathematischen Pendels, welches die Länge eines Säulenschenkels besitzt.
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Mechanik - Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Elektrotechnik - Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Optik - Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik sowie unter Kurzbeschreibungen von Modulen zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Pendel sowie Wikipedia - Mathematisches Pendel unter zu finden.
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4-Takt-Ottomotor - Impulssatz - Gleichförmige und gleichförmig beschleunigte Bewegung - Bewegung und Geschwindigkeit - Geschwindigkeit und Beschleunigung - Wellen - Druck in Flüssigkeiten - Ideale Strömung - Kinetische und potentielle Energie - Brownsche Bewegung - Molekularbewegung - Harmonische Schwingungen - Kreisbahnbewegung - Auftrieb - Geneigte Ebene - Freier Fall - Waagerechter und schiefer Wurf - Chaos-Doppelpendel - Gedämpfte mechanische Schwingung - Rolle und Flaschenzug - Balkenwaage - Hebelgesetz - Zweites Newtonsches Gesetz - Drittes Newtonsches Gesetz - Mechanische Arbeit - Hookesches Gesetz
Unterprogramm Pendel
PhysProf 1.1 - Unterprogramm RLC-Kreis
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven in Parameterform
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Physik interaktiv
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Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
Eine Übersicht aller in MathProf 5.0 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im MathProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
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- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
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Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
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