MathProf - Kurvendiskussion - Differentialrechnung - Extremstellen

 

Im Programmteil [Analysis] - [Kurvendiskussion] - Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung und Differentialrechnung) wird die Durchführung von Analysen zum Berechnen von Nullstellen, Extrempunkten, Wendepunkten (Wendestellen) und weiterer Eigenschaften mathematischer Funktionen in expliziter Form ermöglicht. Zudem wird das Ableiten (Differenzieren) definierter Funktionen ermöglicht.

 

Das Programm führt eine numersiche Differentiation (Differentialrechnung) durch und untersucht hierbei Funktionen der Form y = f(x) auf folgende Punkte und mathematische Eigenschaften:

• Nullstellen
• Pole (Polstellen)
• Lokale Extrema / Lokale Extrempunkte (Hochpunkte und Tiefpunkte, Maxima und Minima)
• Wendepunkte (Wendestellen)

Zudem werden ausgegeben:

• Eigenschaften der mathematischen Funktion
• Koordinaten des Schnittpunkts der Kurve mit der Y-Achse
• Steigung der Tangenten in ermittelten Kurvenpunkten
• Gleichungen der Tangenten und Normalen in ermittelten Kurvenpunkten
• Art der Krümmung an ermittelten Kurvenpunkten
• Eigenschaften der durch Extremstellen (Extrempunkte) und Nullstellen verlaufenden Krümmungkreise

Grafisch darstellen lassen sich:

• Die zu untersuchende Funktion f(x,p)
• 1. Ableitung (erste Ableitung) f'(x,p) (Ableitungsfunktion, Steigungsfunktion) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
• 2. Ableitung (zweite Ableitung) f''(x,p) (Ableitungsfunktion) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
• 3. Ableitung (dritte Ableitung) f'''(x,p) (Ableitungsfunktion) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
• Polstellen (Pole) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
• Tangenten in Nullstellen, Extremstellen (Extremwerte, Extrempunkte) und Wendepunkten (Wendestellen) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
• Normalen in Nullstellen, Extremstellen (Extremwerte, Extrempunkte) und Wendepunkten (Wendestellen) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
• Krümmungskreise durch Nullstellen und Extremstellen (Extremwerte, Extrempunkte) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)

Nullstellen sind Punkte, in welchen eine Funktion die x-Achse schneidet bzw. berührt. Extrema (Hochpunkte und Tiefpunkte) sind Punkte einer Kurve, bei welchen eine Funktion lokale Maxima bzw. Minima besitzt. In Wendepunkten liegt eine Änderung der Art der Kurvenkrümmung vor, d.h. eine Kurve geht von einer Links- in eine Rechtskurve, oder umgekehrt, über. Pole sind Definitionslücken besonderer Art. Nähert man sich einer Stelle dieser Art, so strebt der Funktionswert an dieser Stelle gegen plus unendlich oder gegen minus unendlich.

 

 

Die Durchführung einer Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung und Differentialrechnung) mit einer explizit definierten Funktion der Form f(x,p) können Sie veranlassen, indem Sie Folgendes ausführen:

1. Definieren Sie die Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,p) =.
    
2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Untersuchungsbereich fest, innerhalb dessen die Analyse durchgeführt werden soll (Untersuchungsbereich von x1 = und bis x2 =).
    
3. Durch die Wahl des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein legen Sie die zu verwendende Untersuchungsgenauigkeit zur Ermittlung von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten fest.
    
4. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die Untersuchungen durchgeführt und deren Ergebnisse ausgegeben.
   
   Hierauf werden, durch die Fokussierung der entsprechenden Tabelleneinträge, die weiteren, dem entsprechenden Punkt zugehörigen Eigenschaften u. dgl. (z.B. Steigung, Tangente usw.) in der darunter angeordneten Liste ausgegeben.
    
5. Möchten Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie danach die Schaltfläche Darstellen.
    
6. Bestimmen Sie den zu analysierenden Bereich, indem Sie in die entsprechenden, rechteckig umrahmten Mausfangbereiche klicken und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
    
7. Wählen Sie auf dem Bedienformular durch Aktivierung des Kontrollkästchens Nullstellen, Extrema, Wendepunkte bzw. Pole, ob ermittelte Nullstellen, Extrema, Wendepunkte bzw. Pole der Funktion angezeigt werden sollen.
    
8. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung, 2. Ableitung, 3. Ableitung fest, ob die Darstellung der 1. Ableitung, 2. Ableitung oder 3. Ableitung der Funktion ausgegeben werden soll.
    
9. Möchten Sie sich ggf. die Tangenten oder Normalen, die durch Hoch-, Tief- und Wendepunkte der Funktion verlaufen, zeigen lassen, so aktivieren Sie hierfür das entsprechende Kontrollkästchen Tangenten bzw. Normalen. Um sich Krümmungskreise darstellen zu lassen, die durch Nullstellen oder Extrema (Extrempunkte) verlaufen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Krümmungskreise.
    
10. Sollen die Bereichsgrenzen zur Untersuchung der Funktion mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
11. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
12. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Bereich oder Parameter P die Art der Simulation die Sie ausführen lassen möchten.
    
    Um Untersuchungspositionen simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation.
    
    Vor Ausführung einer Simulation des Untersuchungsbereichs wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit OK.
    
    Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweise:

Die Genauigkeit der Berechnungsergebnisse hängt u.a. davon ab, innerhalb welchem Untersuchungsbereich die Analyse durchgeführt wird, wie auch davon welche Genauigkeit zur Durchführung der Berechnungen festgelegt wurde. Diese kann durch die Fokussierung eines Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein vorgegeben werden.

Nicht in jedem Fall ist eine eindeutige Bestimmung aller evtl. vorhandener Punkte innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs einer Kurve möglich. Voraussetzung ist zudem die Differenzierbarkeit einer definierten Funktion. Somit kann es vorkommen, dass insbesondere Nullstellen und Wendepunkte nicht ermittelt werden können. Dies kann u.a. bei der Analyse von Kurven auftreten, bei welchen sich viele eng beieinander liegende Stellen dieser Art befinden. Auch kann dies bei der Analyse von Kurven auftreten, bei welchen an einer Nullstelle kein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Um Krümmungskreise nicht oval (ellipsenförmig) dargestellt zu bekommen, wählen Sie bei Ausgabe der grafischen Darstellung den Menüpunkt Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear.

Bei der Ausgabe ermittelter Punkte auf dem Formular werden folgende Bezeichnungskürzel verwendet:

N	Nullstelle
HP	Hochpunkt (Maximum)
TP	Tiefpunkt (Minimum)
W	Wendepunkt (Wendestelle)
M	Mittelpunkt des Krümmungskreises

Bei grafischen Darstellungen haben diese folgende Bedeutungen:

N	Nullstelle
H	Hochpunkt (Maximum)
T	Tiefpunkt (Minimum)
W	Wendepunkt (Wendestelle)
KM	Mittelpunkt des Krümmungskreises

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Wurde zur Durchführung einer Kurvendiskussion ein Funktionsterm erstellt, der kein Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
 

Enthält der erstellte Term das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollschalter / Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Bereichsmark.: Markierung des Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten
• Punkte beschriften: Beschriftung ermittelter Nullstellen, Extrema (Extrempunkte), Wendepunkte und Krümmungskreis-Mittelpunkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige ermittelter Nullstellen, Extrema (Extrempunkte), Wendepunkte und Krümmungskreis-Mittelpunkte ein-/ausschalten

Analytische Ermittlung von Ableitungen

Unter dem Menüpunkt Ableitungen analytisch können Sie sich die 1. und 2. Ableitung der definierten Funktion f(x) symbolisch differenziert ausgeben lassen. Es erscheint ein Formular.

1. Definieren Sie die Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung Y = f(x) =. Der definierte Funktionsterm darf nicht das Einzelzeichen P enthalten!
    
2. Nach der korrekten Deklaration der Funktion im Eingabefeld und der Bedienung des Schalters Berechnen wird die 1. und 2. Ableitung der eingegebenen Funktion ermittelt und in den entsprechenden Ausgabefeldern angezeigt.

Ist die Funktionsdeklaration zu komplex um eine Ableitung symbolisch differenzieren zu können, so erscheint der Eintrag 'Funktion zu komplex - nicht differenzierbar' in den Ausgabefeldern.

Durch die Bedienung der dortigen Schaltfläche Schließen, kehren Sie wieder zum Hauptformular des Unterprogramms zurück.

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Kurvendiskussion - Interaktiv

Mathematische Funktionen II

Tangente – Normale

Tangente – Sekante

 

 
Es gilt, die Funktion f(x) = sin(x-2)+0,5 innerhalb eines Bereichs -2 ≤ x ≤ 2 auf Nullstellen, Extremwerte (Maxima und Minima) und Wendepunkte (Wendestellen) untersuchen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Definition des Funktionsterms SIN(X-2)+0,5 im Eingabefeld f(x) =, der Festlegung eines Untersuchungsbereichs von -2 ≤ x ≤ 2 durch die Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte in die dafür zur Verfügung stehenden Felder, ermittelt das Programm bei einer eingestellten Genauigkeit vom Grad Mittel nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen Folgendes:

Die Funktion besitzt innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs:

Nullstellen:	N (-0,61799 / 0)	N (1,4764 / 0)
Extrema (Extrempunkte):	TP (0,4292 / -0,5)
Wendepunkte (Wendestellen):	W (-1,14159 / 0,5)	W (2 / 0,5)

Zudem werden bei einer Fokussierung des obersten Eintrags der Tabelle Nullstellen bzgl. der Eigenschaften der Funktion und der entsprechenden Nullstelle N (-0,61799 / 0) folgende Resultate in der darunter angeordneten Tabelle ausgegeben:

Steigung in Punkt N:	m = -0,86602
Gleichung der Tangente in Punkt N:	Y = -0,86602·X - 0,5352
Gleichung der Normale in Punkt N:	Y = 1,1547·X + 0,7136
Mittelpunkt des Krümmungkreises durch Punkt N:	M (2,401303 / 3,49993)
Radius des Krümmungkreises durch Punkt N:	r = 4,62997
Krümmung in Punkt N:	kr = 0,216 (konkav)
Funktionseigenschaft:	unsymmetrisch
Schnittpunkt der Funktion mit y-Achse:	Y = -0,4093

Bei der Fokussierung des obersten Eintrags der Tabelle Extrema werden bzgl. der mathematischen Eigenschaften der Funktion und des entsprechenden Tiefpunkts T (0,4292 / -0,5) folgende Resultate in der darunter angeordneten Tabelle ausgegeben:

Steigung in Punkt T:	m = 0
Gleichung der Tangente in Punkt T:	Y = -0,5
Gleichung der Normale in Punkt T:	X = 0,4292
Mittelpunkt des Krümmungkreises durch Punkt T:	M (0,4292 / 0,5)
Radius des Krümmungkreises durch Punkt T:	r = 1
Krümmung in Punkt T:	kr = 1 (konkav)
Funktionseigenschaft:	unsymmetrisch
Schnittpunkt der Funktion mit y-Achse:	Y = -0,4093

 

In der nachfolgend aufgeführten Tabelle finden Sie eine Übersicht der ersten Ableitungen elementarer Funktionen (Gesetze und Regeln algebraisch), welche bei der Durchführung der symbolischen Differentiation Anwendung finden:

Elementare Funktionen und deren erste Ableitungen:
 

Funktion f(x)	Ableitung f'(x)

  

Im Weiteren erfolgt die Ausgabe der Ableitungsregeln, welche bei der Durchführung der symbolischen Differentiation gelten:

1. Ableitung einer Konstante:



Beispiele:




2. Ableitung von x:



Beispiele:



 

3. Potenzregel:



Beispiele:




4. Faktorregel:



Beispiele:




5. Summenregel:



Beispiele:




6. Differenzregel:



Beispiele:




7. Produktregel:



Beispiel:










8. Quotientenregel (Brüche ableiten - Bruch ableiten):



Beispiel:









  

Nachfolgend sind die hinreichenden Bedingungen für Extremwerte sowie für das Krümmungsverhalten aufgeführt:

Bedingung für einen Hochpunkt:

f′(x₀) = 0 und f′′(x₀) < 0

Bedingung für einen Tiefpunkt:

f′(x₀) = 0 und f′′(x₀) > 0

Bedingungen für einen Wendepunkt:

f′′(x₀) = 0
f′′′(x₀) ≠ 0

Bedingungen für einen Sattelpunkt:

f′′(x₀) = 0
f′′′(x₀) ≠ 0
f′(x₀) = 0 

Krümmungsverhalten:

Für f′′(x) < 0 gilt: Rechtsgekrümmt bzw. konkav

Für f′′(x) > 0 gilt: Linksgekrümmt bzw. konvex
 

Definition höherer Ableitungen:

Funktion:



1. Ableitung:



2. Ableitung:



3. Ableitung:


 

Partielle Ableitungen werden von Funktionen gebildet, welche von mehreren Variablen abhängen. Hierbei gelten die üblichen Ableitungsregeln. Als Beispiel wird hierbei eine Funktion der Form f(x,y) verwendet. Nachfolgend Geschildertes bezieht sich auf Funktionen dieser Form.

Partielle Ableitungen 1. Ordnung

1. partielle Ableitung nach x:



1. partielle Ableitung nach y:



Partielle Ableitungen 2. Ordnung









Beispiel:



1. partielle Ableitung nach x:



1. partielle Ableitung nach y:



2. partielle Ableitungen:

 

 

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Kurvendiskussion
Wikipedia - Differentialrechnung
Wikipedia - Tangente
Wikipedia - Ableitung
Wikipedia - Nullstelle
Wikipedia - Extremwert
Wikipedia - Krümmung
  

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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