MathProf - Kurvendiskussion - Differentialrechnung - Extremstellen berechnen

MathProf - Mathematik-Software - Kurvendiskussion | Nullstelle | Extremstelle | Hochpunkte

Fachthema: Kurvendiskussion

MathProf - Analysis - Software für höhere Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Kurvendiskussion | Nullstelle | Extremstelle | Hochpunkte

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Kurvendiskussionen.

Dieses Teilprogramm ermöglicht die Anwendung der Funktionsuntersuchung (Funktionsanalyse) expliziter Funktionen hinsichtlich vieler hierfür relevanter Eigenschaften sowie das Zeichnen derer Graphen und Ableitungsfunktionen. Hierbei erfolgt neben der Ausführung der numerischen Differentiation und der grafischen Ausgabe derer Resultate die Darstellung der zugehörigen Steigungsfunktion sowie höherer Ableitungen.

Der implementierte Nullstellenrechner erlaubt das Ermitteln der Nullstellen einer definierten Funktion. Auch vollzieht dieses Programmmodul das Berechnen der Extrema, der Wendepunkte und der Polstellen dieser. Es erlaubt es zudem, Funktionen auf deren wesentliche Eigenschaften hin zu untersuchen.

Darüber hinaus erfolgt die Bestimmung der vorliegenden Art der Krümmung in relevanten Kurvenpunkten und die Ausgabe des Krümmungsmittelpunkts und des Krümmungsradius des Krümmungskreises an diesen Stellen. Auch wird vom Rechner die Untersuchung durchgeführt, ob es sich bei der ausgegebenen Kurve um eine konkave Funktion, oder eine konvexe Funktion handelt und es kann das Steigungsverhalten sowie das Krümmungsverhalten (Linkskrümmung oder Rechtskrümmung) dieser analysiert werden.

Des Weiteren werden wesentliche Eigenschaften einer definierten Funktion ausgegeben, welche diese bei den ermittelten charakteristischen Kurvenpunkten besitzt. Die vom Programm berechneten Lösungen werden in einer Tabelle ausgegeben.

Dieses Unterprogramm eignet sich zum Lösen vieler Aufgaben aus dem Bereich der Kurvenuntersuchung und es sind Beispiele hierzu
eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Startseite dieser Homepage.
 
Zur Startseite dieser Homepage
 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Videoauswahl zu MathProf 5.0.
 
Zu den Videos zu MathProf 5.0
 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche können Sie eine kostenlose Demoversion des Programms MathProf 5.0 herunterladen.

Zum Download der Demoversion von MathProf 5.0
 

Themen und Stichworte I zu diesem Modul:

Kurvendiskussion - Funktionsuntersuchung - Kurvenuntersuchung - Differenzieren - Ermittlung der Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte, Wendestellen und Pole (Polstellen) von Funktionen - Extrempunkte berechnen - Komplette Kurvendiskussion - Berechnen der Nullstellen einer Funktion - Ableitungsgraph - Graphen zeichnen von Funktionen und deren Ableitungen - Anwendung der Differentialrechnung - Extremalprobleme lösen - Krümmungskreis berechnen - Krümmung berechnen - Lokale Extrema berechnen - Lokale Extremstellen berechnen - Lokale Extremwerte berechnen - Extremum berechnen - Analyse von Funktionseigenschaften - Funktionsanalyse - Analyse der Symmetrie einer Funktion - Krümmung einer Kurve - Kurvendiskussion mit e-Funktionen - Kurvendiskussion mit ln-Funktionen - Lokale Extrema bestimmen - Lokale Extremwerte bestimmen - Lokale Extrempunkte berechnen - Extremstellen bestimmen - Nullstellen bestimmen - Randextrema berechnen - Funktionen ableiten - Ableitung berechnen - Ableitung bestimmen - Funktion ableiten - Polstellen berechnen - Extrempunkte bestimmen - Eigenschaften von Funktionen - Funktionsdiskussion - Schnittpunkt einer Funktion mit y-Achse - Darstellung der Tangente in einem Punkt - e-Funktionen ableiten - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Dritte Ableitung - Vollständige Kurvendiskussion - e-Funktion - ln-Funktion - Analysis - Intervall - Formeln - Steigung - Wertebereich - Formelsammlung - Zeichnen - Definition - Funktion untersuchen - Kurvenkrümmung - Nullstellenrechner zur Ermittlung der Nullstellen von trigonometrischen Funktionen und anderen - Ermittlung der Hochpunkte und Tiefpunkte von Funktionen

    

Themen und Stichworte II zu diesem Modul:

1. Ableitung - 2. Ableitung - 3. Ableitung - Kritische Punkte - Berechnen der Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion - Berechnung der Extrempunkte einer Funktion - Anwendung der Differentialrechnung - Anwendung der Kurvendiskussion - Ableitungsfunktion bestimmen - Ableitungsfunktion zeichnen - Ableitungsfunktion berechnen - Funktionsrechner zur Extremwertbestimmung - Funktionsrechner für Nullstellen und Ableitungen - Durchführung der numerischen Differentiation - dy/dx - Differential - Polstellen bestimmen - Extremwertberechnung - Nullstellensuche - Krümmungsverhalten bestimmen - Koordinaten von Nullstellen - Eigenschaften von Funktionen analysieren - Untersuchen - Untersuchung - Nullstellen grafisch darstellen - Bild - Grafik - Grafische Darstellung - Extrema berechnen - Extremwerte berechnen - Extremstellen berechnen - Lokales Extremum - Wendetangente berechnen - Wendenormale berechnen - Wendepunkt berechnen - Wendestelle berechnen - Absolute Extrema - Maxima bestimmen - Wendepunkt bestimmen - Charakteristische Kurvenpunkte - Punkte - Steigungsverhalten - Ableitungsfunktion - Kurvenpunkte - Konvexe Funktion - Konkave Funktion - Krümmung - Linkskrümmung - Rechtskrümmung - Krümmungsmittelpunkt - Krümmungsradius - Absolutes Maximum - Absolutes Minimum - Relative Extremwerte - Relativer Extrempunkt - Relativer Hochpunkt - Relativer Tiefpunkt - Relatives Extremum - Relatives Maximum - Relatives Minimum - Hochpunkte - Tiefpunkte - Extrema - Extrempunkte - Extremstellen - Wendepunkte - Tabelle - Berechnen - Bestimmen - Bestimmung - Rechner - Plotter - Graph - Funktion - Ableitung - Polstellen - Minimalstelle - Maximalstelle - Ableiten - Analyse - Gesetze - Regeln - Ableitungen - Ableitungstabelle - Ermittlung - Extremalproblem - Werte - Differenzieren - Differenzierbakeit - Grafisches Differenzieren - Analysieren - Differenzierbare Funktion - Plotten - Regeln - Extremwerte - Pole - Polstellen - Normale - Tangente - Ableitungsregeln - Potenzregel - Faktorregel - Summenregel - Differenzregel - Produktregel - Konstantenregel - Quotientenregel - Kettenregel - Übersicht - Bilder - Beispiel - Aufgabe - Darstellung - Extremum - Berechnung - Darstellen - Nullstellenbestimmung - Hochpunkt berechnen - Nullstellenberechung - Tiefpunkt berechnen - Hoch- und Tiefpunkte berechnen

 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zum Inhaltsverzeichnis der in MathProf 5.0 implementierten Module bzw. zur Bestellseite für das Programm.
 
Zum Inhaltsverzeichnis von MathProf 5.0 MathProf 5.0 bestellen
  

Kurvendiskussion

 

Im Programmteil [Analysis] - [Kurvendiskussion] - Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung und Differentialrechnung) wird die Durchführung von Analysen zum Berechnen von Nullstellen, Extrempunkten, Wendepunkten (Wendestellen) und weiterer Eigenschaften mathematischer Funktionen in expliziter Form ermöglicht. Zudem wird das Ableiten (Differenzieren) definierter Funktionen ermöglicht.

 

MathProf - Kurvendiskussion - Ableitung - Extremwertaufgabe - Hochpunkte - Tiefpunkte - Wendepunkte - Wendestellen - Numerische Differentiation - Differentialrechnung  - 1. Ableitung - 2. Ableitung - Extrema - Funktionseigenschaften - Krümmungsverhalten


Das Programm führt eine numersiche Differentiation (Differentialrechnung) durch und untersucht hierbei Funktionen der Form y = f(x) auf folgende Punkte und mathematische Eigenschaften:

  • Nullstellen
  • Pole (Polstellen)
  • Lokale Extrema / Lokale Extrempunkte (Hochpunkte und Tiefpunkte, Maxima und Minima)
  • Wendepunkte (Wendestellen)

Zudem werden ausgegeben:

  • Eigenschaften der mathematischen Funktion
  • Koordinaten des Schnittpunkts der Kurve mit der Y-Achse
  • Steigung der Tangenten in ermittelten Kurvenpunkten
  • Gleichungen der Tangenten und Normalen in ermittelten Kurvenpunkten
  • Art der Krümmung an ermittelten Kurvenpunkten
  • Eigenschaften der durch Extremstellen (Extrempunkte) und Nullstellen verlaufenden Krümmungkreise

Grafisch darstellen lassen sich:

  • Die zu untersuchende Funktion f(x,p)
  • 1. Ableitung (erste Ableitung) f'(x,p) (Ableitungsfunktion, Steigungsfunktion) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
  • 2. Ableitung (zweite Ableitung) f''(x,p) (Ableitungsfunktion) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
  • 3. Ableitung (dritte Ableitung) f'''(x,p) (Ableitungsfunktion) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
  • Polstellen (Pole) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
  • Tangenten in Nullstellen, Extremstellen (Extremwerte,Extrempunkte) und Wendepunkten (Wendestellen) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
  • Normalen in Nullstellen, Extremstellen (Extremwerte,Extrempunkte) und Wendepunkten (Wendestellen) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
  • Krümmungskreise durch Nullstellen und Extremstellen (Extremwerte, Extrempunkte) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)

Nullstellen sind Punkte, in welchen eine Funktion die x-Achse schneidet bzw. berührt. Extrema (Hochpunkte und Tiefpunkte) sind Punkte einer Kurve, bei welchen eine Funktion lokale Maxima bzw. Minima besitzt. In Wendepunkten liegt eine Änderung der Art der Kurvenkrümmung vor, d.h. eine Kurve geht von einer Links- in eine Rechtskurve, oder umgekehrt, über. Pole sind Definitionslücken besonderer Art. Nähert man sich einer Stelle dieser Art, so strebt der Funktionswert an dieser Stelle gegen plus unendlich oder gegen minus unendlich.

 
Berechnung (Numerische Differentiation) und Darstellung der Kurven und derer Ableitungsfunktionen (Steigungsfunktionen)

 

MathProf - Extrema - Nullstellen - Steigung - Ableitungsfunktion - Ableiten - Differentialrechnung - Extrempunkte - Beispiel - Lokale Extrema - Nullstellen berechnen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Wendepunkte - Extrempunkte - Extremwerte - Extremstellen - Graphen zeichnen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Dritte Ableitung - Wendestellen - Extremstellen - Differentialrechnung - Ableitung - Nullstellen berechnen - 1. Ableitung - 2. Ableitung

 

MathProf - Kurvendiskussion - Tangente - Krümmung - Steigungsfunktion - Ableiten - Differenzieren - Wendestellen - Beispiel - Lokale Extrema - Krümmungsradius - Nullstellen berechnen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Wendepunkte - Extrempunkte - Nullstellen - Extrema - Extremwerte - Extremstellen - Graphen zeichnen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Dritte Ableitung - Wendestellen - Extremstellen - Differentialrechnung - Ableitung - Krümmungskreis - Krümmungsradius - Krümmung berechnen - Nullstellen berechnen  - 1. Ableitung - 2. Ableitung - Funktionseigenschaften


Die Durchführung einer Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung und Differentialrechnung) mit einer explizit definierten Funktion der Form f(x,p) können Sie veranlassen, indem Sie Folgendes ausführen:

  1. Definieren Sie die Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,p) =.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Untersuchungsbereich fest, innerhalb dessen die Analyse durchgeführt werden soll (Untersuchungsbereich von x1 = und bis x2 =).
     
  3. Durch die Wahl des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein legen Sie die zu verwendende Untersuchungsgenauigkeit zur Ermittlung von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten fest.
     
  4. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die Untersuchungen durchgeführt und deren Ergebnisse ausgegeben.

    Hierauf werden, durch die Fokussierung der entsprechenden Tabelleneinträge, die weiteren, dem entsprechenden Punkt zugehörigen Eigenschaften u. dgl. (z.B. Steigung, Tangente usw.) in der darunter angeordneten Liste ausgegeben.
     
  5. Möchten Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie danach die Schaltfläche Darstellen.
     
  6. Bestimmen Sie den zu analysierenden Bereich, indem Sie in die entsprechenden, rechteckig umrahmten Mausfangbereiche klicken und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
     
  7. Wählen Sie auf dem Bedienformular durch Aktivierung des Kontrollkästchens Nullstellen, Extrema, Wendepunkte bzw. Pole, ob ermittelte Nullstellen, Extrema, Wendepunkte bzw. Pole der Funktion angezeigt werden sollen.
     
  8. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung, 2. Ableitung, 3. Ableitung fest, ob die Darstellung der 1. Ableitung, 2. Ableitung oder 3. Ableitung der Funktion ausgegeben werden soll.
     
  9. Möchten Sie sich ggf. die Tangenten oder Normalen, die durch Hoch-, Tief- und Wendepunkte der Funktion verlaufen, zeigen lassen, so aktivieren Sie hierfür das entsprechende Kontrollkästchen Tangenten bzw. Normalen. Um sich Krümmungskreise darstellen zu lassen, die durch Nullstellen oder Extrema (Extrempunkte) verlaufen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Krümmungskreise.
     
  10. Sollen die Bereichsgrenzen zur Untersuchung der Funktion mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  11. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  12. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Bereich oder Parameter P die Art der Simulation die Sie ausführen lassen möchten.

    Um Untersuchungspositionen simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation.

    Vor Ausführung einer Simulation des Untersuchungsbereichs wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt
    auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit OK.

    Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweise:

Die Genauigkeit der Berechnungsergebnisse hängt u.a. davon ab, innerhalb welchem Untersuchungsbereich die Analyse durchgeführt wird, wie auch davon welche Genauigkeit zur Durchführung der Berechnungen festgelegt wurde. Diese kann durch die Fokussierung eines Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein vorgegeben werden.

Nicht in jedem Fall ist eine eindeutige Bestimmung aller evtl. vorhandener Punkte innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs einer Kurve möglich. Voraussetzung ist zudem die Differenzierbarkeit einer definierten Funktion. Somit kann es vorkommen, dass insbesondere Nullstellen und Wendepunkte nicht ermittelt werden können. Dies kann u.a. bei der Analyse von Kurven auftreten, bei welchen sich viele eng beieinander liegende Stellen dieser Art befinden. Auch kann dies bei der Analyse von Kurven auftreten, bei welchen an einer Nullstelle kein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Um Krümmungskreise nicht oval (ellipsenförmig) dargestellt zu bekommen, wählen Sie bei Ausgabe der grafischen Darstellung den Menüpunkt Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear.

Bei der Ausgabe ermittelter Punkte auf dem Formular werden folgende Bezeichnungskürzel verwendet:

N Nullstelle
HP Hochpunkt (Maximum)
TP Tiefpunkt (Minimum)
W Wendepunkt (Wendestelle)
M Mittelpunkt des Krümmungskreises


Bei grafischen Darstellungen haben diese folgende Bedeutungen:

N Nullstelle
H Hochpunkt (Maximum)
T Tiefpunkt (Minimum)
W Wendepunkt (Wendestelle)
KM Mittelpunkt des Krümmungskreises

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformulare

 

Wurde zur Durchführung einer Kurvendiskussion ein Funktionsterm erstellt, der kein Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
 

MathProf - Kurvendiskussion - Ableitung - Steigungsfunktion - Differentiation - Differential - Extrempunkte

Enthält der erstellte Term das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.

 

MathProf - Wendepunkt - Nullstelle - Tangente - Normale - Wendestellen - Krümmung


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollschalter / Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Bereichsmark.: Markierung des Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten
  • Punkte beschriften: Beschriftung ermittelter Nullstellen, Extrema (Extrempunkte), Wendepunkte und Krümmungskreis-Mittelpunkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige ermittelter Nullstellen, Extrema (Extrempunkte), Wendepunkte und Krümmungskreis-Mittelpunkte ein-/ausschalten

Analytische Ermittlung von Ableitungen

Unter dem Menüpunkt Ableitungen analytisch können Sie sich die 1. und 2. Ableitung der definierten Funktion f(x) symbolisch differenziert ausgeben lassen. Es erscheint ein Formular.

  1. Definieren Sie die Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung Y = f(x) =. Der definierte Funktionsterm darf nicht das Einzelzeichen P enthalten!
     
  2. Nach der korrekten Deklaration der Funktion im Eingabefeld und der Bedienung des Schalters Berechnen wird die 1. und 2. Ableitung der eingegebenen Funktion ermittelt und in den entsprechenden Ausgabefeldern angezeigt.

Ist die Funktionsdeklaration zu komplex um eine Ableitung symbolisch differenzieren zu können, so erscheint der Eintrag 'Funktion zu komplex - nicht differenzierbar' in den Ausgabefeldern.

Durch die Bedienung der dortigen Schaltfläche Schließen, kehren Sie wieder zum Hauptformular des Unterprogramms zurück.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kurvendiskussion - Interaktiv

Mathematische Funktionen II

Tangente – Normale

Tangente – Sekante

 

Beispiel - Aufgabe

 
Es gilt, die Funktion f(x) = sin(x-2)+0,5 innerhalb eines Bereichs -2 x 2 auf Nullstellen, Extremwerte (Maxima und Minima) und Wendepunkte (Wendestellen) untersuchen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Definition des Funktionsterms SIN(X-2)+0,5 im Eingabefeld f(x) =, der Festlegung eines Untersuchungsbereichs von -2 x 2 durch die Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte in die dafür zur Verfügung stehenden Felder, ermittelt das Programm bei einer eingestellten Genauigkeit vom Grad Mittel nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen Folgendes:

Die Funktion besitzt innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs:

Nullstellen: N (-0,61799 / 0) N (1,4764 / 0)
Extrema (Extrempunkte): TP (0,4292 / -0,5)  
Wendepunkte (Wendestellen): W (-1,14159 / 0,5) W (2 / 0,5)

Zudem werden bei einer Fokussierung des obersten Eintrags der Tabelle Nullstellen bzgl. der Eigenschaften der Funktion und der entsprechenden Nullstelle N (-0,61799 / 0) folgende Resultate in der darunter angeordneten Tabelle ausgegeben:

Steigung in Punkt N: m = -0,86602
Gleichung der Tangente in Punkt N: Y = -0,86602·X - 0,5352
Gleichung der Normale in Punkt N: Y = 1,1547·X + 0,7136
Mittelpunkt des Krümmungkreises durch Punkt N: M (2,401303 / 3,49993)
Radius des Krümmungkreises durch Punkt N: r = 4,62997
Krümmung in Punkt N: kr = 0,216 (konkav)
Funktionseigenschaft: unsymmetrisch
Schnittpunkt der Funktion mit y-Achse: Y = -0,4093


Bei der Fokussierung des obersten Eintrags der Tabelle Extrema werden bzgl. der mathematischen Eigenschaften der Funktion und des entsprechenden Tiefpunkts T (0,4292 / -0,5) folgende Resultate in der darunter angeordneten Tabelle ausgegeben:

Steigung in Punkt T: m = 0
Gleichung der Tangente in Punkt T: Y = -0,5
Gleichung der Normale in Punkt T: X = 0,4292
Mittelpunkt des Krümmungkreises durch Punkt T: M (0,4292 / 0,5)
Radius des Krümmungkreises durch Punkt T: r = 1
Krümmung in Punkt T: kr = 1 (konkav)
Funktionseigenschaft: unsymmetrisch
Schnittpunkt der Funktion mit y-Achse: Y = -0,4093

 

Ableitungen - Formeln - Ableitungstabelle - Übersicht - Formelsammlung

 

In der nachfolgend aufgeführten Tabelle finden Sie eine Übersicht der ersten Ableitungen elementarer Funktionen (Gesetze und Regeln algebraisch), welche bei der Durchführung der symbolischen Differentiation Anwendung finden:

Elementare Funktionen und deren erste Ableitungen:
 

  Funktion f(x)   Ableitung f'(x)
  Funktion x^n   1. Ableitung von x^n
  Funktion sin(x)   1. Ableitung von sin(x)
  Funktion cos(x)   1. Ableitung von cos(x)
  Funktion tan(x)   1. Ableitung von tan(x)
  Funktion cot(x)   1. Ableitung von cot(x)
  Funktion arcsin(x)   1. Ableitung von arcsin(x)
  Funktion arccos(x)   1. Ableitung von arccos(x)
  Funktion arctan(x)   1. Ableitung von arctan(x)
  Funktion arccot(x)   1. Ableitung von arccot(x)
  Funktion e^x   1. Ableitung von e^x
  Funktion a^x  
  Funktion ln(x)   1. Ableitung von ln(x)
  Funktion log(x)   1. Ableitung von log(x)
  Funktion sinh(x)   1. Ableitung von sinh(x)
  Funktion cosh(x)   1. Ableitung von cosh(x)
  Funktion tanh(x)   1. Ableitung von tanh(x)
  Funktion coth(x)   1. Ableitung von coth(x)
  Funktion arsinh(x)   1. Ableitung von arsinh(x)
  Funktion arcosh(x)   1. Ableitung von arcosh(x)
  Funktion artanh(x)   1. Ableitung von artanh(x)
  Funktion arcoth(x)   1. Ableitung von arcoth(x)

  

Ableitungsregeln - Potenzregel - Faktorregel - Summenregel - Differenzregel - Produktregel - Konstantenregel - Quotientenregel - Kettenregel

 

Im Weiteren erfolgt die Ausgabe der Ableitungsregeln, welche bei der Durchführung der symbolischen Differentiation gelten:

1. Ableitung einer Konstante:

Ableitung Konstante

Beispiele:

Ableitung Konstante Beispiel 1
Ableitung Konstante Beispiel 2

2. Ableitung von x:

Ableitung nach x

Beispiele:

Ableitung nach x Beispiel 1
Ableitung nach x Beispiel 2
 

3. Potenzregel:

Ableitung Potenzregel

Beispiele:

Ableitung Potenzregel Beispiel 1
Ableitung Potenzregel Beispiel 2

4. Faktorregel:

Ableitung Faktorregel

Beispiele:

Ableitung Faktorregel Beispiel 1
Ableitung Faktorregel Beispiel 2

5. Summenregel:

Ableitung Summenregel

Beispiele:

Ableitung Summenregel Beispiel 1
Ableitung Summenregel Beispiel 2

6. Differenzregel:

Ableitung Differenzregel

Beispiele:

Ableitung Differenzregel Beispiel 1
Ableitung Differenzregel Beispiel 2

7. Produktregel:

Ableitung Produktregel

Beispiel:

Ableitung Produktregel Beispiel 1

Ableitung Produktregel Beispiel 2
Ableitung Produktregel Beispiel 3

Ableitung Produktregel Beispiel 4

Ableitung Produktregel Beispiel 5

8. Quotientenregel:

Ableitung Quotientenregel

Beispiel:

Ableitung Quotientenregel Beispiel 1

Ableitung Quotientenregel Beispiel 2
Ableitung Quotientenregel Beispiel 3

Ableitung Quotientenregel Beispiel 4

Ableitung Quotientenregel Beispiel 5
  

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Kurvendiskussion - Funktionsuntersuchung - Differentialrechnung - Ableitungsfunktion - Steigungsfunktion - Differenzieren - Beispiel - Wendepunkt - Hochpunkt - Extremstellen - Nullstellen - Tiefpunkt - Wendepunkte - Extrempunkte - Extrema - Extremwerte - Extremstellen - Wendestellen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Dritte Ableitung - Ableitung - Nullstellen berechnen - 1. Ableitung - 2. Ableitung - Funktionseigenschaften
MathProf - Kurvendiskussion - Extremwertaufgaben - Nullstellen - Extremstellen - Wendepunkte - Pole - Differenzieren - Extremstellen - Beispiel - Wendepunkt - Hochpunkt - Extremstellen - Nullstellen - Tiefpunkt - Wendepunkte - Extrempunkte - Extrema - Extremwerte - Extremstellen - Wendestellen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Dritte Ableitung - Differentialrechnung - Ableitung - Nullstellen berechnen - 1. Ableitung - 2. Ableitung - Funktionseigenschaften
MathProf - Kurvendiskussion - Extrempunkte - Ableitungsfunktion - Polstellen - Wendestellen - Hochpunkt - Beispiel - Lokale Extrema - Nullstellen berechnen - Wendepunkt - Hochpunkt - Extremstellen - Nullstellen - Tiefpunkt - Extrema - Wendepunkte - Extremwerte - Extremstellen - Wendestellen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Dritte Ableitung - Differentialrechnung - Ableitung - Nullstellen berechnen - 1. Ableitung - 2. Ableitung - Wendepunkte - Funktionseigenschaften
MathProf - Kurvendiskussion - Wendepunkt - Ableitung - Berechnen - Extrempunkte - Extrema - Extremstellen - Differenzieren - Beispiel - Lokale Extrema - Krümmungsradius - Krümmingsmittelpunkt - Hochpunkt - Extremstellen - Nullstellen - Tiefpunkt - Extrema - Extremwerte - Extremstellen - Wendestellen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Dritte Ableitung - Differentialrechnung - Krümmungskreis - Krümmungsradius - Krümmung berechnen - Nullstellen berechnen - 1. Ableitung - 2. Ableitung - Hochpunkte - Tiefpunkte - Funktionseigenschaften
MathProf - Kurvendiskussion - Funktion - Graph - Graphen zeichnen - Lösungen - Steigung - Tangente - Tiefpunkt - Beispiel - Lokale Extrema - Krümmungsradius - Wendepunkt - Hochpunkt - Extremstellen - Nullstellen - Wendepunkte - Extrempunkte - Extrema - Extremwerte - Extremstellen - Wendestellen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Dritte Ableitung - Differentialrechnung - Ableitung - Krümmungskreis - Krümmungsradius - Krümmung berechnen - Nullstellen berechnen - 1. Ableitung - 2. Ableitung
MathProf - Kurvendiskussion - Funktion - Graph - Graphen zeichnen - Lösungen - Steigung - Tangente - Tiefpunkt - Beispiel - Lokale Extrema - Nullstellen berechnen - Wendepunkt - Hochpunkt - Extremstellen - Nullstelle - Extrema - Extremwerte - Extremstellen - Wendestellen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Dritte Ableitung - Differentialrechnung - Ableitung - Nullstellen berechnen - 1. Ableitung - 2. Ableitung

MathProf - Kurvendiskussion - Funktion - Graph - Graphen zeichnen - Lösungen - Steigung - Tangente - Tiefpunkt - Beispiel - Lokale Extrema - Wendepunkt - Hochpunkt - Extremstellen - Nullstellen - Extremwerte - Wendestellen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Dritte Ableitung - Differentialrechnung - Ableitung - Nullstellen berechnen - 1. Ableitung - 2. AbleitungMathProf - Kurvendiskussion - Funktion - Graph - Graphen zeichnen - Lösungen - Steigung - Tangente - Tiefpunkt - Beispiel - Lokale Extrema - Wendepunkt - Hochpunkt - Extremstellen - Nullstellen - Extremwerte - Wendestellen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Dritte Ableitung - Differentialrechnung - Ableitung - Nullstellen berechnen - 1. Ableitung - 2. Ableitung - Funktionseigenschaften

   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Kurvendiskussion
Wikipedia - Differentialrechnung
Wikipedia - Tangente
Wikipedia - Ableitung
Wikipedia - Nullstelle
Wikipedia - Extremwert
Wikipedia - Krümmung
  

Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

Zur Inhaltsseite