MathProf - Tangenten - Normalen - Funktion - Parameterform - Zeichnen

 

Modul Tangente - Normale mit Funktionen in Parameterform

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Das Modul [Analysis] - [Funktionen in Parameter- und Polarform] - Tangente - Normale mit Funktionen in Parameterform bietet die Möglichkeit, Analysen bzgl. der Tangenten und Normalen von Kurven, welche durch Funktionen in Parameterform definiert sind, durchzuführen.

 

Das Programm untersucht hierbei Kurven, welche durch Funktionen in Parameterform definiert sind, auf Folgendes:

• Gleichungen der Tangenten in Kurvenpunkten
• Gleichungen der Normalen in Kurvenpunkten
• Eigenschaften von Krümmungskreisen

Grafisch darstellen lassen sich u.a.:
 

• Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,p) und y = f(k,p)
• Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form r = f(k,p) und w = g(k,p) bzw. j =g(k,p)
   
• Kurven der 1. und 2. Ableitung der Funktionen
• Tangenten in Hoch-, Tief- und Wendepunkten, sowie Krümmungskreise der untersuchten Kurven
• Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)

Es wird sowohl die Möglichkeit geboten, Untersuchungen an bestimmten Stellen der Kurve durchzuführen, wie auch den gesamten Kurvenverlauf zu untersuchen. 
   
Das Unterprogramm ermöglicht die Verwendung von Funktionstermen in Parameterform der Arten:
 
Kartesisch: x = f(k) und y = g(k)
Polarform:  r = f(k) und w = g(k)
 
Bei der Darstellung von Funktionen in Parameterform werden die Koordinaten der Kurvenpunkte durch zwei Gleichungen ermittelt. Die Werte (Koordinaten) für x und y, bzw. r und j hängen von einem reellwertigen Parameter k ab, welcher einen definierbaren Wertebereich durchläuft. Das Symbol, welches diesen Parameter beschreibt, ist in diesem Programm auf K festgelegt. Funktionen dieser Art müssen (bei Verwendung dieses Parameters) bei deren Definition deshalb stets das Zeichen K enthalten.
Durch eine Selektion des Eintrags Kartesisch bzw. Polar aus der Auswahlbox legen Sie fest, mit welcher Definitionsform Kurven dargestellt, bzw. Untersuchungen durchgeführt werden sollen. Voreingestellt ist die Verwendung der am häufigsten benötigten Form Kartesisch.
 
Übersicht:
 

Definition	In Fachliteratur übliche Bezeichnung	Bezeichnung in MathProf
Kartesisch:	x = f(t)  y = g(t)	x = f(k)  y = g(k)
Polar:	r = f(t)   j = g(t)	r = f(k)  w = g(k)

 
Nachfolgend wird ausschließlich auf die Verwendung der kartesischen Definitionsform eingegangen.
 
Die Durchführung einer Analyse mit Kurven von Funktionen in Parameterform können Sie veranlassen, indem Sie Folgendes ausführen:
 

1. Definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = f(k,p) = sowie y = g(k,p) =, gemäß den geltenden Syntaxregeln.
    
2. Soll die Untersuchung nur an einem bestimmten Kurvenpunkt durchgeführt werden, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Statisch und legen den Wert für Parameter k im dafür vorgesehenen Eingabefeld fest. Um eine interaktive Analyse an beliebiger Position der Kurve durchzuführen, wählen Sie den Kontrollschalter Interaktiv.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Untersuchungsbereich für den Funktionsparameter K fest, innerhalb dessen die Analyse durchgeführt werden soll (Parameter von k1 = und bis k2 =) (voreingestellt: -π £ k £ π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
    
4. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die Berechnungen durchgeführt und deren Ergebnisse ausgegeben. Zur Ausführung von Berechnungen darf keiner der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P enthalten!
    
5. Bestimmen Sie durch die Wahl des entsprechenden Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein, Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel) und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
    
6. Um sich die Tangenten oder Normalen, welche durch den untersuchten Punkt verlaufen, zeigen zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Tangenten bzw. Normalen. Um Krümmungskreise, welche durch den untersuchten Punkt verlaufen, grafisch ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Krümmungskr.
    
7. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung und 2. Ableitung fest, ob eine Darstellung der 1. Ableitung bzw. 2. Ableitung der Kurve ausgegeben werden soll.
    
8. Wurde die Darstellungsart Interaktiv gewählt, so legen Sie mit Hilfe des Rollbalkens Parameter k den Wert für Parameter k fest, bei welchem die Untersuchung durchgeführt werden soll. Die einstellbare Untersuchungsbereichsweite richtet sich nach den auf dem Hauptformular, unter Parameter von k1 = und bis k2 = vorgegebenen Einstellungen.
    
9. Die Darstellung der Evolute der Kurve erreichen Sie durch eine Aktivierung des Kontrollkästchens Evolute.
    
10. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
    
    Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Um Krümmungskreise nicht oval (ellipsenförmig) dargestellt zu bekommen, wählen Sie bei Ausgabe der grafischen Darstellung den Menüpunkt Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Wurden zur Durchführung einer Untersuchung Funktionsterme erstellt, von welchen keiner das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.


 
Enthält einer der erstellten Terme das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.
 


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte beschriften: Beschriftung von Punkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte von Punkten sowie zugehöriger Werte für Funktionsparameter K ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Funktionen in Parameterform
Funktionen in Parameterform - Polar
Gemeinsame Darstellung von Kurven verschiedener Darstellungsformen
Funktionswertetabellen
Kurvenscharen
   
Beispiel 1 - Kartesisch:
 
Eine Kurve, welche durch die Funktionsterme x = 6·cos(k)+5·cos(3·k) und y = 6·sin(k)+6·sin(-3·k) über einen Parameterwertebereich -π £ k £ π beschrieben wird, ist bei Parameterwert k = 0,1 auf deren o.a. Eigenschaften untersuchen zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Legen Sie durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die Felder mit den Bezeichnungen Parameter k von k1 = und bis k2 = einen Funktionsparameterwertebereich von -π £ k £ π fest (rechte Maustaste bedienen, wenn Eingabefeld fokussiert ist). Nach der Selektion des Eintrags Kartesisch aus der Auswahlbox und der Eingabe der Terme
 
6*COS(K)+5*COS(3*K)
6*SIN(K)+6*SIN(-3*K)
 
in die dafür vorgesehenen Felder x = f(k,p) = und y = g(k,p) =, der Festlegung des Werts k = 0,1 im Feld Untersuchungsstelle, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm für die Eigenschaften der Kurve bei Parameterwert k = 0,1 aus:
 
Ortskoordinaten des Punkts an untersuchter Stelle: Punkt: P (10,747 / -1,174)
 
Tangente in P: Y = 2,231·X - 25,15
Normale in P: Y = -0,448·X + 3,643
Mittelpunkt des Krümmungskreises: M (8,037 / 0,041)
Radius des Krümmungskreises: r = 2,97
Krümmung in P: kr = -0,337
 
Beispiel 2 - Polarform:
 
Es gilt, die Kurve, welche durch die Terme
 
r = f(k) = 3·cos(k)
j  = g(k) = 3·sin(k)-k
 
über einen Werteberech -π £ k £ π definiert ist, bei Parameterwert k = 2 auf deren o.a. Eigenschaften untersuchen zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Legen Sie durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die Felder mit den Bezeichnungen Parameter k von k1 = und bis k2 = einen Funktionsparameterwertebereich von -π £ k £ π fest (rechte Maustaste bedienen, wenn Eingabefeld fokussiert ist). Nach der Selektion des Eintrags Polar aus der Auswahlbox und der Eingabe der Terme
 
3*COS(K)
3*SIN(K)-K
 
in die dafür vorgesehenen Felder r = f(k,p) = und w = g(k,p) =, der Festlegung des Werts k = 2 im Feld Untersuchungsstelle, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm für die Eigenschaften der Kurve bei Parameterwert k = 2 aus:
 
Ortskoordinaten des Punkts an untersuchter Stelle: Punkt: P (-0,932 / -0,831)
 
Tangente in P: Y = -0,072·X - 0,898
Normale in P: Y = 13,902·X + 12,127
Mittelpunkt des Krümmungskreises: M (-0,865 / 0,104)
Radius des Krümmungskreises: r = 0,937
Krümmung in P: kr = -1,067 

 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2
 

Grafische Darstellung - Beispiel 3
 

Grafische Darstellung - Beispiel 4
 

Grafische Darstellung - Beispiel 5
 

Grafische Darstellung - Beispiel 6
 

Grafische Darstellung - Beispiel 7
 

Grafische Darstellung - Beispiel 8

 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Parameterdarstellung sowie unter Wikipedia - Tangente und Wikipedia - Ableitung zu finden.

 

 

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Unterprogramm Tangente - Normale mit Funktionen in Parameterform
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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