MathProf - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

  Kegelschnitte in Mittelpunktlage – Gerade

 

Mit dem Unterprogramm [Geometrie] - [Kegelschnitte] - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade können Untersuchungen mit mathematischen Kurven, die als Kegelschnitte in Mittelpunktlage bezeichnet werden, und Geraden durchgeführt werden.

 

MathProf - Kegelschnitt - Gerade


Von Kegelschnitten dieser Art spricht man, wenn ein gerader Kreiskegel von einer Ebene geschnitten wird und der Mittelpunkt des Kegelschnitts im Koordinatenursprung liegt.

In diesem Modul können Untersuchungen mit Kegelschnitten in Mittelpunktlage und Geraden durchgeführt werden. An Kegelschnitten stehen zur Auswahl:

  • Ellipse
  • Ellipse (Parameterform)
  • Hyperbel
  • Hyperbel (Parameterform)
  • Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung
  • Parabel mit vertikaler Öffnungsrichtung
  • Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung (Parameterform)
  • Parabel mit vertikaler Öffnungsrichtung (Parameterform)

Geraden können in einer der folgenden Formen definiert werden:

  • Zwei-Punkte-Form
  • Steigungsform y = m·x+b

Für die entsprechende Kegelschnittkurve und die Gerade werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:

  • Schnittpunkte des Kegelschnitts und der Gerade
  • Tangenten und Normalen des Kegelschnitts in Schnittpunkten

Für Kegelschnitte werden zudem berechnet und dargestellt:

  • Brennpunkte und Brennstrahlen des Kegelschnitts
  • Asymptoten des Kegelschnitts (bei Hyperbeln)

Mathematische Zusammenhänge


Mittelpunktgleichungen der Kegelschnitte:

Hyperbel:

Kegelschnitt - Gerade - Gleichung  - 1

Ellipse:

Kegelschnitt - Gerade - Gleichung  - 2

Parabel (horizontale Öffnungsrichtung):

Kegelschnitt - Gerade - Gleichung  - 3

Parabel (vertikale Öffnungsrichtung):

Kegelschnitt - Gerade - Gleichung  - 4

Mittelpunktgleichungen der Kegelschnitte in Parameterform:

Hyperbel:

Kegelschnitt - Gerade - Gleichung  - 5

Kegelschnitt - Gerade - Gleichung  - 6

 

Ellipse:

 

Kegelschnitt - Gerade - Gleichung  - 7

Kegelschnitt - Gerade - Gleichung  - 8

 

Parabel (horizontale Öffnungsrichtung):

 

Kegelschnitt - Gerade - Gleichung  - 9

Kegelschnitt - Gerade - Gleichung  - 10

 

Parabel (vertikale Öffnungsrichtung):

 

Kegelschnitt - Gerade - Gleichung  - 11

Kegelschnitt - Gerade - Gleichung  - 12

 

Berechnungsergebnisse


Sofern existent, werden die Koordinatenwerte der Schnittpunkte (eines Berührpunkts) der Gerade und des entsprechenden Kegelschnitts ausgegeben. Außerdem ermittelt das Programm die Gleichungen der Tangenten und Normalen in den Schnittpunkten.

Folgende Eigenschaften des entsprechenden Kegelschnitts werden ebenfalls ausgegeben:

Hyperbel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Halbachse a
  • Halbachse b
  • Parameter 2p
  • Lin. Exzentrizität e
  • Numerische Exzentrizität ε
  • Scheitelpunkte
  • Mittelpunkt
  • Brennpunkte
  • Abstand der Brennpunkte
  • Gleichungen der Asymptoten
  • Eigenschaften des Hauptkreises

Ellipse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Halbachse a
  • Halbachse b
  • Parameter 2p
  • Lin. Exzentrizität e
  • Numerische Exzentrizität ε
  • Scheitelpunkte
  • Mittelpunkt
  • Brennpunkte
  • Abstand der Brennpunkte
  • Fläche und Umfang der Ellipse
  • Eigenschaften des Haupt- und Nebenkreises

Parabel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Parameter 2p
  • Scheitelpunkt
  • Brennpunkt
  • Öffnungsrichtung

Berechnung und grafische Darstellung

MathProf - Hyperbel - Gerade - Schnittpunkt

Um Untersuchungen mit Geraden und Kegelschnitten dieser Art durchzuführen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:

  1. Wählen Sie das entsprechende Registerblatt, auf welchem sich die Eingabefelder zur Definition des zu untersuchenden Kegelschnitts befinden.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe relevanter Werte die Parameter des Kegelschnitts fest.
     
  3. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters die Form der Gerade (Gerade der Form y = m·x+b, Gerade - 2-P-Form), mit welcher Sie die Untersuchungen durchführen möchten und geben Sie die dafür erforderlichen Koeffizienten in die entsprechenden Felder ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Möchten Sie sich den Kegelschnitt sowie die Lage der Gerade grafisch veranschaulichen, so klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Darstellen.

Hinweis:

Bei der grafischen Darstellung werden die Kegelschnitte stets nur über einen begrenzten Parameterwertebereich ausgegeben. Dies kann dazu führen, dass sich errechnete Schnittpunkte außerhalb des dargestellten Bereichs des Kegelschnitts befinden. Auf die numerisch ermittelten Berechnungsergebnisse hat dies jedoch keinen Einfluss.

 

Bedienformular


MathProf - Ellipse - Tangente

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Evolute: Darstellung der Evolute ein-/ausschalten
  • Brennstrahlen: Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)
  • Hauptkreis: Darstellung des Hauptkreises (bei Hyperbeln) ein-/ausschalten
  • Haupt- / Nebenkreis: Darstellung des Haupt- und Nebenkreises (bei Ellipsen) ein-/ausschalten
  • Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kegelschnitts in Schnittpunkten ein-/ausschalten
  • Normalen: Darstellung der Normalen des Kegelschnitts in Schnittpunkten ein-/ausschalten
  • Punkte: Markierung der Punkte des Kegelschnitts in Schnittpunkten, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige der Punkte des Kegelschnitts in Schnittpunkten, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kegelschnitte in Mittelpunktlage

Kegelschnitte in Mittelpunktlage – Interaktiv

Kegelschnitte in achsparalleler Lage

Kegelschnitte in achsparalleler Lage – Interaktiv

Kegelschnitte - Punkt

 

Beispiele


Beispiel 1 - Hyperbel in Mittelpunktlage und Gerade:

Eine Hyperbel sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Kegelschnitt - Gerade - Gleichung  - 13

Es gilt u.a, die Schnittpunkte der Hyperbel mit einer Geraden ermitteln zu lassen, welche durch die Gleichung

Y = -0,5·X-3

beschrieben wird.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Wahl des Registerblatts Hyperbel I, der Aktivierung des Kontrollschalters Gerade der Form y = m·x+b und einer Eingabe der Werte der erforderlichen Koeffizienten in die entsprechenden Felder, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

Halbachse a: 3,464
Halbachse b: 3,742
Parameter 2p: 8,083
Lin. Exzentrizität e: 5,099
Num. Exzentrizität eta: 1,472


Scheitelpunkt 1: A (-3,464 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (3,464 / 0)
Mittelpunkt: M (0 / 0)


Brennpunkt 1: F1 (-5,099 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (5,099 / 0)
Brennpunktabstand: 10,198


Asymptote 1: Y = 1,08·X
Asymptote 2: Y = -1,08·X


Hauptkreis: Mittelpunkt Mh (0 / 0) Radius r = 3,464

 

Für die Schnittpunkte von Gerade und Kegelschnitt:

 

Schnittpunkt 1: SP1 (6,906 / -6,453)
Schnittpunkt 2: SP2 (-3,633 / -1,183)

Tangente des KS in Schnittpunkt 1: Y = -1,249·X + 2,17
Normale des KS in Schnittpunkt 1: Y = 0,801·X - 11,984

Tangente des KS in Schnittpunkt 2: Y = 3,582·X + 11,83
Normale des KS in Schnittpunkt 2: Y =  0,279·X - 2,198

 

Beispiel 2 - Ellipse in Parameterform in Mittelpunktlage und Gerade:

Eine Ellipse sei durch nachfolgende Gleichungen in Parameterform definiert:

 

x = 5·cos(k)

y = 9·sin(k)

 

mit 0 k 2π

 

Es gilt u.a., die Schnittpunkte mit einer Geraden ermittel zu lassen, welche durch die Punkte P1 (4 / 4) und P2 (-1 / 2) verläuft.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Wahl des Registerblatts Ellipse II, der Aktivierung des Kontrollschalters Gerade in 2-P-Form und einer Eingabe der Werte der erforderlichen Koeffizienten in die entsprechenden Felder, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

 

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:


Halbachse a: 5
Halbachse b: 9
Parameter 2p: 32,4
Lin. Exzentrizität e: 7,483
Num. Exzentrizität eta: 0,831


Scheitelpunkt 1: A (-5 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (5 / 0)
Scheitelpunkt 3: C (0 / 9)
Scheitelpunkt 4: D (0 / -9)

Mittelpunkt: M (0 / 0)


Brennpunkt 1: F1 (0 / -7,483)
Brennpunkt 2: F2 (0 / 7,483)
Brennpunktabstand: 14,966


Fläche A: 141,372
Umfang u: 44,862


Hauptkreis: Mittelpunkt: Mh (0 / 0) Radius r = 5
Nebenkreis: Mittelpunkt: Mn (0 / 0) Radius r = 9
 

Für die Schnittpunkte von Gerade und Kegelschnitt:

 

Schnittpunkt 1: SP1 (4,43 / 4,172)
Schnittpunkt 2: SP2 (-4,995 / 0,402)

Tangente des KS in SP1: Y = -3,441·X + 19,415
Normale des KS in SP1: Y = 0,291·X + 2,884

Tangente des KS in SP2: Y = 40,259·X + 201,495
Normale des KS in SP2: Y = -0,025·X + 0,278

 

Beispiel 3 - Parabel in Parameterform in Mittelpunktlage und Gerade:
 

Eine horizontal liegende Parabel sei durch folgende Parametergleichungen definiert:

x = -k²

y = 3·k

 

mit 0 k <
 

Es gilt u.a., die Schnittpunkte der Parabel mit einer Geraden ermitteln zu lassen, deren Gleichung lautet:

Y = 2·X+4

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Wahl des Registerblatts Parabel II, der Aktivierung der Kontrollschalter X = -K²; Y = t·k und Gerade der Form y = m·x+b, sowie einer Eingabe der Werte der erforderlichen Koeffizienten in die entsprechenden Felder, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

 

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

 

Parameter 2p: 9
Scheitelpunkt: S (0 / 0)
Brennpunkt: F (-2,25 / 0)
Öffnungsrichtung: nach links

 

Für die Schnittpunkte von Gerade und Kegelschnitt:

 

Schnittpunkt 1: SP1 (-0,724 / 2,552)
Schnittpunkt 2: SP2 (-5,526 / -7,052)

Tangente des KS in SP1: Y = -1,763·X + 1,276
Normale des KS in SP1: Y = 0,567·X + 2,963

Tangente des KS in SP2: Y = 0,638·X - 3,526
Normale des KS in SP2: Y = -1,567·X - 15,713

 

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