PhysProf - Freier Fall - Luftwiderstand - Fallbeschleunigung
Fachthema: Freier Fall - Luftwiderstand - Gewichtskraft
PhysProf - Teilbereich Kinematik - Ein Programm zur Visualisierung physikalischer Sachverhalte mittels Simulationen und 2D-Animationen. Unter anderem dienlich zur Erlangung der Grundkenntnisse der Mechanik - für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure und alle die sich für Physik interessieren.
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zur Veranschaulichung der Gesetzmäßigkeiten, die beim freien Fall unter Einfluss der Gewichtskraft auf der Erde bei Berücksichtung des Luftwiderstands vorherrschen.
Dieses Teilprogramm ermöglicht die Durchführung interaktiver Analysen zu diesem Fachthema sowie eine Untersuchung der entsprechenden physikalischen Sachverhalte.
Es eignet sich auch als Begleitung zu Versuchen im Physikunterricht, unterstützt dabei ein tiefergehendes Verständnis zu diesem Themengebiet zu erlangen und kann zum Lösen vieler diesbezüglich relevanter Aufgaben eingesetzt werden.
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Freier Fall - Fallgeschwindigkeit - Fallbeschleunigung
Modul Freier Fall
Der Programmpunkt [Mechanik I] - [Freier Fall] behandelt die Gesetzmäßigkeiten, die beim Freien Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes vorherrschen.
Freier Fall - Abbildung 1
Freier Fall - Abbildung 2
Freier Fall - Abbildung 3
Freier Fall - Abbildung 4
Der freie Fall ist eine idealisierte Fallbewegung bei welcher angenommen wird, dass sie im Vakuum stattfindet. Ein freier Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Translation ohne Anfangsgeschwindigkeit. Zugrundegelegt wird bei diesem Sachverhalt, dass sich ein Körper aus einer bestimmten Höhe ohne Anfangsgeschwindigkeit auf die Erde (bzw. ein Gestirn) zubewegt.
Wird dieser ohne die Einwirkung einer Fremdkraft aus einer bestimmten Höhe losgelassen, so bewegt er sich aufgrund der wirkenden Schwerkraft (im Falle der Erde ist dies die Erdanziehungskraft) auf das Zentrum des Planeten zu. Als Schwerkraft wird die zwischen zwei Körpern wirkende Anziehungskraft bezeichnet. Das Fallgesetz (bzw. die Fallgesetze) besagt (besagen), dass alle Massen im Vakuum mit der gleichen Beschleunigung g fallen.
Es handelt sich hierbei um eine gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung, die eine ortsabhängige Beschleunigung besitzt. Es wird die Bewegung eines Körpers beschrieben, auf welchen ausschließlich die Schwerkraft der Erde wirkt. Die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche besitzt im Mittel, abhängig vom Ort auf der Erde, an dem sie wirkt, einen Wert von ca. 9,81 m/s².
Als Ortsfaktor wird die vom jeweiligen Ort auf der Erde abhängige Fallbeschleunigung bezeichnet. Der Ortsfaktor g beschreibt die Größe des Quotienten, welcher sich aus der Gewichtskraft des Körpers sowie seiner Massse am entsprechenden Ort bildet. Allgemein gilt hierfür der zuvor aufgeführte Wert von 9,81 N/kg.
Fallgeschwindigkeit - Luftwiderstand - Luftreibung
Einen wesentlichen Einfluss auf die Geschwindigkeit des fallenden Körpers besitzt auf der Erde der Luftwiderstand. Dieser verringert die maximal erreichbare Geschwindigkeit (bzw. Beschleunigung). Hierdurch wird eine während des Falls konstant wirkende Maximalgeschwindigkeit erreicht. Der Luftwiderstand (die Reibung bzw. Luftreibung) des fallenden Körpers wird unter anderem durch seine Gestalt beeinflusst. In einem Vakuum trifft dies nicht zu. Unter diesen Voraussetzungen bewegen sich alle fallenden Körper, unabhängig von ihrer Gestalt, Größe oder Masse mit gleicher Geschwindigkeit.
Die Wirksamkeit des Luftwiderstands auf die Fallgeschwindigkeit eines Körpers kann bei kleinen Fallhöhen meist vernachlässigt werden. Allgemein hat das Gewicht des fallenden Körpers in Relation zu dessen Querschnittsfläche jedoch wesentliche Bedeutung. Beispielsweise bewegen sich fallende Schneeflocken oder Staubpartikel wesentlich langsamer gegen den Erdmittelpunkt als fallende Metallkugeln.
Ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands (Vakuum) gilt für die Fallgeschwindigkeit v (für die Geschwindigkeit beim freien Fall) in Abhängigkeit von der Fallzeit (Falldauer) t:
v = g·t
Als Fallzeit oder Falldauer t wird die Zeitspanne bezeichnet, die zwischen dem Loslassen des Körpers und dessen Auftreffen am Boden vergeht.
Hierbei wirkt lediglich die Gewichtskraft FG des Körpers nach unten. Für sie gilt:
FG = m·g
Beim Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstands jedoch wirken zwei Kräfte. Zum einen die nach unten gerichtete Gewichtskraft FG und zum anderen, entgegengesetzt der Bewegungsrichtung (nach oben), der Luftwiderstand (die Luftwiderstandskraft). Diese Kraft FR kann wie folgt ermittelt werden:
Hierbei sind:
v: Fallgeschwindigkeit [m/s]
g: Fallbeschleunigung [m/s²]
t: Zeit (Fallzeit bzw. Falldauer) [s]
m: Masse [kg]
Fg: Nach unten gerichtete Gewichtskraft [N]
FR: Luftwiderstandskraft [N]
A: Querschnittsfläche des Körpers [m²]
ρ: Dichte der Luft (Luftdichte) [kg/m³]
cw: Luftwiderstandsbeiwert
Für die Endgeschwindigkeit beim freien Fall gilt:
vE = √2mg/(cwρA)
vE: Endgeschwindigkeit [m/s]
A: Querschnittsfläche des Körpers [m²]
m: Masse [kg]
g: Fallbeschleunigung [m/s²]
A: Querschnittsfläche des Körpers [m²]
ρ: Dichte der Luft (Luftdichte) [kg/m³]
cw: Luftwiderstandsbeiwert
Die Luftdichte ρ gibt Auskunft über die Masse an Luft, die sich innerhalb eines bestimmten Volumens befindet. Der cw-Wert (Luftwiderstandsbeiwert oder Strömungswiderstandskoeffizient) ist ein dimensionsloser Koeffizient für den Strömungswiderstand eines Körpers, der von einem Fluid (Flüssigkeit oder Gas) umströmt wird. Er trägt auch die Bezeichnung Widerstandsbeiwert. Für ihn gilt:
cw = Fw/(q·A)
cw: Strömungswiderstandskoeffizient
Fw: Widerstandskraft [N]
q: Staudruck der Anströmung [Pa]
A: Querschnittsfläche [m²]
Fallbeschleunigung - Anziehungskraft - Masse
Eine Masse m ist eine konstante Größe und eine festgelegte Stoffeigenschaft. Sie ist das Verhältnis der wirkenden Kraft zur erzielten Beschleunigung eines jeden Körpers. Sie ist ortsunabhängig, unveränderlich und besitzt zwei Eigenschaften. Dies sind ihre Trägheit und ihre Schwere. Als Trägheit wird das Bestreben physikalischer Körper bezeichnet, den Bewegungszustand beizubehalten in dem sie sich befinden, solange keine äußeren Kräfte auf sie einwirken. Jedem Objekt kann eine Masse zugeordnet werden. Sie ist stets konstant und dient in vielen Fällen zur Berechnung anderer physikalischer Größen. Es gilt:
Masse = Kraft / Beschleunigung
- Ein Körper verändert seinen Bewegungszustand ausschließlich durch äußere Krafteinwirkung
- Zwischen einem Körper und einem weiteren Körper wirken Gravitationskräfte
Als Gewichtskraft (früher Gewicht) eines Körpers wird die auf ihn im Schwerefeld eines Himmelkörpers wirkende Schwerkraft bezeichnet.
Als Fallbeschleunigung (Erdbeschleunigung oder Schwerebeschleunigung) g wird diejenige Beschleunigung bezeichnet, die ein frei fallender Körper auf einem Himmelskörper erfährt. Sie beschreibt die Zunahme der Geschwindigkeit, die ein Körper hierbei erfährt. Sie beträgt auf der Erde ca. 9,81 m/s², wenn der Luftwiderstand vernachlässigbar klein ist. Da die Fallbeschleunigung vom Ort abhängig ist, an welchem sie wirksam ist, wird sie auch Ortsfaktor genannt. Sie errechnet sich aus dem Quotienten der auf einen Körper wirkenden Kraft F und dessen Masse m. Sie wie kann folgt beschrieben werden:
g = F/m
Die Fallbeschleunigung entspricht der Gravitationskraft (Anziehungskraft) der Erde. Die Anziehungskraft zweier Massen m1 und m2 errechnet sich mit:
F: Gravitationskraft der Erde [N]
m1: Masse der Körpers 1 [kg]
m2: Masse der Körpers 2 [kg]
r: Abstand der Schwerpunkte der beiden Körper [m]
f: Gravitationskonstante = 6,673 ·10-11 Nm²/kg²
Die Fallbeschleunigung nimmt mit dem Quadrat des Abstandes vom Erdmittelpunkt ab und somit ist g ∼ 1/r². Es gilt:
g0: Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche [m/s²]
g: Fallbeschleunigung im Abstand zum Erdmittelpunkt [m/s²]
r: Abstand des Körpers vom Erdmittelpunkt [m]
R: Mittlerer Radius der Erde [m]
m: Masse des fallenden Körpers [kg]
f: Gravitationskonstante = 6,673 ·10-11 Nm²/kg²
M: Erdmasse [kg]
Aus dem oben aufgeführten Sachverhalt ergibt sich der nachfolgend aufgeführte Zusammenhang:
Bei der Gravitationskonstante handelt es sich um eine Naturkonstante die die zwischen zwei Massen m1 und m2 wirkende Kraft beschreibt die sich im Abstand r voneinander befinden. Sie besitzt den Wert G = (6,67259 ± 0,00085) ·10-11 Nm²/kg².
Resultierend aus diesen Gesetzmäßigkeiten und der Verwendung der oben aufgeführten Formeln kann die Fallbeschleunigung, die auf der Oberfläche eines beliebigen Himmelskörpers auftritt ermittelt werden. Nachfolgend aufgeführt sind einige Eigenschaften sowie die Fallbeschleunigungen (Schwerebeschleunigungen) der Himmelskörper (Gestirne bzw. Planeten) unseres Sonnensystems.
| Gestirn | Durchmesser [km] | Masse [kg] | Fallbeschleunigung [m/s²] |
| Erde | 12756 | 6·1024 | 9,81 |
| Mond | 3473 | 7,35·1022 | 1,62 |
| Merkur | 4878 | 3,3·1023 | 3,7 |
| Venus | 12103 | 4,9·1024 | 8,87 |
| Jupiter | 142984 | 1,9·1027 | 24,8 |
| Saturn | 120536 | 5,7·1026 | 10,4 |
| Uranus | 51118 | 8,7·1025 | 8,87 |
| Neptun | 49532 | 1,02·1026 | 10,15 |
| Pluto | 2390 | 1,3·1022 | 0,66 |
| Mars | 6794 | 6,4·1023 | 3,7 |
| Sonne | 1391000 | 2·1030 | 274 |
In nachfolgend gezeigter Tabelle sind die cw-Werte (Luftwiderstandsbeiwert) einiger Formen von Körpern angegeben.
| Form | cw-Wert |
| Fahrrad | 0,04 |
| Flugzeugtragfläche | 0,08 |
| Gleitschirm | 0,6 |
| Kugel (mit Re < 1,7·105) | 0,44 |
| Kugel (mit Re > 4,1·105) | 0,09 ... 0,18 |
| Langer Zylinder (mit Re > 6,7·105) | 0,35 |
| Langer Zylinder (mit Re < 1,9·105) | 1,2 |
| Lange rechteckige Platte | 2 |
| Stehender Mensch | 0,78 |
| Tropfenförmiger Körper | 0,04 |
Programmbedienung
Mit Hilfe dieses Unterprogramms kann das Verhalten der Fallgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Luftwiderstand untersucht werden, wenn Sie am dafür vorgesehenen Rollbalken die Luftwiderstandszahl cw einstellen, die zu verwendende Berechnungszeit t durch eine Werteingabe in das dafür vorgesehene Feld festlegen und die Schaltfläche Berechnen bedienen. Ausgegeben werden daraufhin die erreichbare Grenzgeschwindigkeit vmax, sowie die nach bestimmten Zeitintervallen erreichte Geschwindigkeit v und der bis dahin zurückgelegte Weg s.
Bedienen Sie die Schaltfläche Start, so wird eine grafische Animation gestartet, welche die Fallgeschwindigkeit v zu einem bestimmten Zeitpunkt t darstellt und in einem vt-Diagramm (v-t-Diagramm) ausgibt. Wie bereits aus der grafischen Darstellung ersichtlich ist, besitzt die erreichbare Geschwindigkeit einen von der Luftwiderstandszahl abhängigen Maximalwert (Grenzwert). In den Urzustand versetzen lassen können Sie die die Auswertung indem Sie die Schaltfläche Urzustand bedienen.
Als Grenzgeschwindigkeit (bzw. maximale Fallgeschwindigkeit) wird im vorliegenden Fall die maximale Geschwindigkeit bezeichnet, die ein fallender Körper unter Berücksichtigung des Luftwiderstands erreichen kann. Diese kann nach Ablauf der Simulation der hierfür zur Verfügung Tabelle entnommen werden.
Freier Fall - Abbildung 5
Freier Fall - Abbildung 6
Freier Fall - Abbildung 7
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.
Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im entsprechenden Leistungskurs (LK).
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.
Eine Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu nützlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.
Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Mechanik - Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Elektrotechnik - Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Optik - Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik sowie unter Kurzbeschreibungen von Modulen zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Freier Fall zu finden.
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Unterprogramm Freier Fall
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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven in Parameterform
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Physik interaktiv
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Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
Eine Übersicht aller in MathProf 5.0 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im MathProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
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Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
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