MathProf - Ebene in Normalenform im Raum (3D)

MathProf - Mathematik-Software - Ebene in Normalenform | Spurpunkt | Schnittwinkel
 
MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Ebene in Normalenform | Spurpunkt | Schnittwinkel | Ebene im Raum

Online-Hilfe für das Modul Analytische Geometrie
zur Durchführung von Untersuchungen
mit Ebenen im Raum
im 3D-Koordinatensystem, beschrieben durch Vektorgleichungen (Ebenengleichungen) in Normalenform. Vektorrechnung - Analyse der Lagebeziehung zwischen Ebene und Gerade und Ermittlung des evtl. vorhandenen Durchstoßpunkts bzw. Schnittpunkts. Zudem erfolgt die Darstellung von Ortsvektor, Richtungsvektor und Normalenvektor (nach dessen Normierung) einer definierten Ebene sowie die Ermittlung derer Spurpunkte.

 Ebenengleichung - Ebene im Raum in Normalen-Form
- Normalengleichung (3D)

 

Das Unterprogramm [Vektoralgebra] - Ebene in N-Form ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit Ebenengleichungen in Normalen-Form (Normalengleichung).

 

MathProf - Ebene - Normalenform - Punkt - Gerade - Lagebeziehung - Abstand - Durchstoßpunkt


Die Anwendungsmöglichkeiten dieses Unterprogramms sind:

  • Eigenschaftsanalyse einer Ebene in Normalenform (Normalengleichung)
  • Darstellung einer Ebene in Normalenform (sowie eines Punktes, oder einer Geraden)
  • Abstand Punkt - Ebene: Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene in Normalenform
  • Ermittlung des Schnittpunkts und des Schnittwinkels einer Ebene in Normalenform und einer Geraden
  • Ermittlung des Abstands einer Geraden zu einer Ebene in Normalenform
  • Darstellung der Lotgerade durch einen Punkt auf eine Ebene in Normalenform

Definitionsformen von Ebenen und Geraden (Ebenengleichung und Geradengleichung)

Mögliche Definitionsformen von Ebenen und Geraden in diesem Unterprogramm sind:

Ebene in Normalenform (Normalengleichung):

Ebene - Normalenform - Gleichung - 1

Parameterdarstellung einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 2

Parameterdarstellung einer Geraden in Zwei-Punkte-Form:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 3

Zusammenhänge

Relevante Zusammenhänge zu diesem Fachthema sind nachfolgend aufgezeigt.

Abstand Punkt - Ebene:

Abstand eines Punktes Q von einer Ebene in Normalen-Form:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 4

rQ: Ortsvektor des Punktes Q

Abstand einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form von einer Ebene in Normalenform:

mit Gerade:

 Ebene - Normalenform - Gleichung - 5

und Ebene:

 

 Ebene - Normalenform - Gleichung - 6

Abstand Gerade - Ebene:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 7

Abstand zweier paralleler Ebenen:

Ebene 1:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 8

Ebene 2:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 9

Abstand Ebene1 - Ebene2:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 10

Schnittpunkt Ebene - Gerade:

Mit Gerade:

 Ebene - Normalenform - Gleichung - 11

und Ebene:

 

 Ebene - Normalenform - Gleichung - 12

Schnittpunkt Ebene - Gerade:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 13

Schnittwinkel Ebene - Gerade:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 14

Zur Verwendung o.a. Vektorgleichungen sind die Darstellungsformen der Ebene in Normalenform und die der Gerade in Punkt-Richtungs-Form zu bringen.

Bedeutung der im Programm verwendeten Bezeichnungskürzel

Die Bedeutungen der im Programm verwendeten Bezeichungskürzel sind folgende:

E,E1,E2: Ebene in 3-Punkte-, Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie Koordinatenform
d: Abstand einer Ebene vom Koordinatenursprung, Abstand einer Geraden vom Koordinatenursprung
n,n1,n2: Normalenvektor einer Ebene
Sx,Sy,Sz: Spurpunkte einer Ebene, bzw. Gerade
SP: Schnittpunkt einer Ebene und einer Gerade, Schnittpunkt zweier Geraden
SW: Schnittwinkel zweier Ebenen, zweier Geraden, einer Geraden und einer Ebene
g,g1,g2: Gerade in 2-Punkte- oder Punkt-Richtungs-Form
α,β,γ: Neigungswinkel einer Geraden bzgl. entspr. Achsen
r,r1,r2: Ortsvektor einer Geraden, oder einer Ebene
a,b: Richtungsvektor einer Geraden, oder einer Ebene
P,P1,P2,P3: Punkte
λ;μ: Parameterwerte für Richtungsvektoren einer Geraden, bzw. einer Ebene
g-E: Gerade - Ebene
g1-g2: Gerade 1 - Gerade 2
E1-E2: Ebene 1 - Ebene 2

 

Screenshots


MathProf - Ebene in Normalenform - Gerade - Schnittpunkt - 1
MathProf - Ebene in Normalenform - Gerade - Schnittpunkt - 2
MathProf - Ebene in Normalenform - Gerade - Schnittpunkt - 3

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Darstellung einer Ebene in Normalenform

 

Um eine Ebene, welche in Normalen-Form definiert ist, darstellen zu lassen, führen Sie Folgendes aus:

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene.
     
  3. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Ebene in die dafür vorgesehenen Felder n und r ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Eigenschaftsanalyse einer Ebene in Normalenform


MathProf - Vektor - Ebene - Punkt - Gerade - Spurpunkt - Winkel - Parallel

Die Untersuchung einer Ebene auf deren Eigenschaften können Sie durchführen, indem Sie wie nachfolgend beschrieben vorgehen:

  1. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene.
     
  2. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Ebene in die dafür vorgesehenen Felder n und r im Hauptformular ein.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.


Nachfolgend aufgeführte Details einer Ebene in Normalen-Form werden bei Durchführung einer Eigenschaftsanalyse errechnet:

  • Abstand d der Ebene vom Koordinatenursprung
  • Spurpunkte Sx,Sy,Sz (Durchstoßpunkte) der Ebene
  • Normalenvektor n der Ebene
  • Definition der Ebene in 3-Punkte-, Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie Koordinatenform

Abstand eines Punktes von einer Ebene in Normalenform
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Ebene - Punkt - Abstand - Lagebeziehung - Ebenengleichung - Normalenform

 

Um den Abstand eines Punktes von einer Ebene ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene und Punkt.
     
  3. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Ebene in die dafür vorgesehenen Felder n und r im Hauptformular ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen und legen Sie die Koordinatenwerte des Punktes P in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern (x,y,z) des Unterformulars fest.
     
  5. Bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Berechnen.
     
  6. Möchten Sie sich die Lage des Punktes und der Ebene grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Darstellen.

Soll bei Ausgabe der Darstellung eine Strecke eingezeichnet werden, die vertikal auf der Ebene steht und durch Punkt P verläuft, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Abstandslinie.

 

Schnittpunkt, Schnittwinkel und Abstand einer Ebene in Normalenform und einer Geraden
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Ebene - Schnittwinkel - Durchstoßpunkt - Punkt - Gerade - Lagebeziehung - Ebenengleichung

 

Um Schnittpunkt, sowie Schnittwinkel einer Geraden und einer Ebene ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Möchten Sie die Lagen einer Ebene in Normalen-Form und einer Geraden in 2-Punkte-Form analysieren, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene und Gerade in 2-P-Form. Um die Lagen einer Ebene in Normalen-Form und einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form zu untersuchen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene und Gerade in P-R-Form.
     
  3. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Ebene in die dafür vorgesehenen Felder n und r im Hauptformular ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Geben Sie die Koeffizientenwerte, bzw. Punktkoordinaten der Vektoren der Geraden in die dafür vorgesehenen Felder im Unterformular ein.
     
  6. Bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Berechnen.
     
  7. Möchten Sie sich die Lagen der Gerade sowie der Ebene grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Darstellen.

Liegen Gerade und Ebene parallel, so ermittelt das Programm deren Abstand.

Hinweis:

Benötigen Sie Detailinformationen bezüglich der Eigenschaften einer Geraden mit welcher Berechnungen durchzuführen sind, so wählen Sie auf dem Eingabeformular zur Definition

der Geraden den Menüpunkt Details.

 

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Darstellung - Optionen


Im Formularbereich Darstellung - Optionen können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • Geradenvektoren: Darstellung des Orts- und des Richtungsvektors der Geraden ein-/ausschalten
  • N-Vektor d. Ebene: Darstellung des Normalenvektors der Ebene ein-/ausschalten
  • Ebenenvektoren: Darstellung des Ortsvektors und der Richtungsvektoren der Ebene ein-/ausschalten
  • Beschriftung: Beschriftung dargestellter Vektoren und Punkte ein-/ausschalten
  • Abstandslinie: Darstellung der vertikalen Abstandslinie zwischen Ebene und Gerade ein-/ausschalten
  • Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien der Gerade ein-/ausschalten
  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D)

Gerade in 2-Punkte-Form (3D)

Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D)

Ebene in 3-Punkte-Form (3D)

Ebene in Koordinaten-Form (3D)

Ebene - Ebene (3D)

Kugel - Ebene - Punkt (3D)

 

Beispiele


Beispiel 1 - Eigenschaften der Ebene in Normalenform (Normalengleichnung):

Es gilt, sich die Eigenschaften einer Ebene ausgeben zu lassen, welche durch nachfolgend gezeigte Gleichung beschrieben wird:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 15

bzw.

Ebene - Normalenform - Gleichung - 16

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Ebene und einer Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E in Normalen-Form, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Die Gleichung der Ebene in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

Ebene - Normalenform - Gleichung - 17
 

Drei Punkte, die auf der Ebene liegen, sind:

P1 (5,714 / 0 / 0)

P2 (5,571 / 1 / 0)

P3 (6,428 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Ebene in Koordinaten-Form lautet:

 

E: -7·X - 1·Y + 5·Z = -40

 

Der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung beträgt d = 4,619.

Die Spurpunkte der Ebene sind:

Sx (5,714 / 0 / 0)

Sy (0 / 40 / 0)

Sz (0 / 0 / -8)

 

Der Normalenvektor der Ebene lautet:

 

Ebene - Normalenform - Gleichung - 18
 

Der Betrag des Normalenvektors der Ebene besitzt den Wert 8,66.
 

Beispiel 2 - Abstand eines Punkts von einer Ebene in Normalenform:

Es gilt, den Abstand des Punktes P (7 / 1 / 2) von einer Ebene E in Normalen-Form ermitteln zu lassen, welche durch nachfolgend gezeigte Gleichung beschrieben wird:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 19

bzw.

Ebene - Normalenform - Gleichung - 20

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Ebene und Punkt, der Eingabe der Koeffizientenwerte der Ebene und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, sowie der Eingabe der Koordinatenwerte des Punkts P im Unterformular, ermittelt das Programm nach einem Klick auf die dortige Schaltfläche Berechnen:

Der Abstand des Punktes P von der Ebene beträgt d = 9,923.
 

Beispiel 3 - Ebene in Normalenform - Gerade in 2-Punkte-Form:

Es ist eine Analyse bzgl. der Lagen einer Ebene E in Normalen-Form

Ebene - Normalenform - Gleichung - 21

bzw.

Ebene - Normalenform - Gleichung - 22

und einer Geraden, welche durch die beiden Punkte P1 (-2 / 3 / -1) und P2 (1 / -2 / 6) verläuft, durchzuführen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Ebene und Gerade in 2-P-Form, der Eingabe der Koeffizientenwerte der Ebene E in Normalen-Form, einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, sowie der Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte P1 und P2 im Unterformular zur Definition der Gerade g, gibt das Programm nach einem Klick auf die dortige Schaltfläche Berechnen aus:

Ebene und Gerade schneiden sich in Punkt SP (-4,765 / 7,608 / -7,451).
Der Schnittwinkel von Ebene und Gerade beträgt 53,103°.


Nach einer Wahl des Menüpunkts Details im Unterformular zur Definition der Geraden erhalten Sie zudem folgende Informationen bzgl. der Eigenschaften, der durch die beiden Punkte P1 und P2 definierten Gerade.

 

Die Gleichung der Geraden g in vektorieller Schreibweise (Punkt-Richtungs-Form) lautet:

 

Ebene - Normalenform - Gleichung - 23
 

Die Richtungswinkel der Gerade g lauten:

α = 70,774°

β = 123,286°

γ = 39,794°

 

Der Abstand der Gerade g vom Koordinatenursprung beträgt d = 2,134.
 

Die Spurpunkte der Gerade g sind:

Sx (0 / -0,333 / 3,667)

Sy (-0,2 / 0 / 3,2)

Sz (-1,571 / 2,286 / 0)
 

Die Länge der Strecke zwischen den Geradenpunkten P1 und P2 beträgt 9,11.
 

Module zum Themenbereich Vektoralgebra


Gerade und Vektoren - Vektorielle Linearkombination - Vektorielles Teilverhältnis - Vektoraddition in der Ebene - Resultierende - Komponentendarstellung (3D) - Vektorprodukt (3D) - Skalarprodukt (3D) - Spatprodukt (3D) - Vektorprojektion (3D) - Tripelprodukt (3D) - Numerische Vektoraddition im Raum - Grafische Vektoraddition im Raum (3D) - Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Gerade in 2-Punkte-Form (3D) - Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Ebene in 3-Punkte-Form (3D) - Ebene in Normalen-Form (3D) - Ebene in Koordinaten-Form (3D) - Zwei Ebenen (3D) - Kugel - Gerade (3D) - Kugel - Ebene - Punkt (3D) - Kugel - Kugel (3D)


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