MathProf - Ebene - Normalenform - Normalengleichung - Gerade

MathProf - Mathematik-Software - Ebene in Normalenform | Spurpunkt | Schnittwinkel

Fachthema: Ebene in Normalenform

MathProf - Vektoralgebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Computeranimationen sowie zur Ausgabe verschiedenster Grafiken für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Ebene in Normalenform | Spurpunkt | Schnittwinkel | Ebene im Raum

Online-Hilfe
für das Modul Analytische Geometrie (Vektorgeometrie)
zur Durchführung von Untersuchungen mit Ebenen im 3D-Koordinatensystem, beschrieben durch eine Ebenengleichung in Normalenform (Normalform) sowie mit Geraden und Punkten im Raum.

Ermöglicht wird in diesem Unterprogramm unter anderem die Durchführung einer Analyse der Lagebeziehung zwischen Ebene und Gerade. Auch die Berechnung des Durchstoßpunkts Gerade-Ebene sowie eines evtl. vorhandenen Schnittpunkts der Gerade und der Ebene kann vollzogen werden.

Neben dem Plotten einer Ebene in dieser Form erfolgt die Darstellung vom Normalenvektor, dem Ortsvektor und der Spannvektoren (Richtungsvektoren) dieser sowie das Berechnen der Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) der definierten Ebene.

Ebenso erlaubt der Rechner die Ermittlung des Abstands zwischen einem Punkt und einer Ebene, welche durch eine Normalengleichung beschrieben wird (Abstand Punkt-Ebene). Der ggf. vorhandene Schnittpunkt einer Ebene dieser Art und einer Gerade im Raum wird ebenfalls berechnet und der existierende Winkel zwischen Ebene und Gerade wird ausgegeben.

Ein frei bewegbares und drehbares, 3D-Koordinatensystem ermöglicht die Durchführung interaktiver Analysen bzgl. Sachverhalten und relevanter Zusammenhänge zu diesem Fachthema. Auch die Ausführung verschiedener 3D-Animationen mit Gebilden dieser Art kann veranlasst werden.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Normalenform - Normalform - Normalengleichung einer Ebene - Ebene in Normalform - Ebene - Gerade - Ebene in Normalenform - Normalenform einer Ebenengleichung - Schnittpunkt einer Gerade und einer Ebene - Ebene schneidet Gerade - Koordinatenebenen - Gemeinsame Punkte - Ebenengleichung in Normalenform - Durchstoßpunkt einer Gerade durch eine Ebene - Spurpunkte berechnen - Durchstoßpunkt berechnen - Vektorgleichung einer Ebene - Normalenvektor einer Ebene - Ebene zeichnen - Abstand zwischen Punkt und Ebene - Abstand einer Gerade und einer Ebene - Lagebeziehungen Gerade-Ebene - Lotgerade - Normalvektorform - Vektoren - Abstand zwischen Punkt und Ebene - Abstand zwischen Gerade und Ebene - Lotgerade einer Ebene durch einen Punkt - Distanz Punkt Ebene - Abstand einer Ebene vom Ursprung - Abstandsberechnung Punkt Ebene - Abstandsberechnung Gerade Ebene - Neigungswinkel - Lage einer Ebene - Ebene im Raum - Ebene zeichnen - Gleichung einer Ebene - Ebene berechnen - Lage Ebene Gerade - Ebene darstellen - Ursprungsebene - Ebene plotten - Umwandlung von Normalenform in Parameterform - Umwandlung von Normalenform in Koordinatenform - Normalenvektor - Vektoren - N-Vektor - Normalenform - Abstände berechnen - Abstände - Abstandsprobleme - Normalabstand Punkt Ebene - Winkel - Ebene - Ebene im Raum - Normale - Ursprung - Durchstoßpunkt - Beispiele - Aufgaben - Beispielaufgaben - Berechnen - Darstellung - Berechnung - Eigenschaften - Darstellen - Graph - Grafisch - Bild - Plotter - Gleichung - Raum - Räumlich - Dreidimensional - 3D - Formel - Grafik - Zeichnen - Rechner - Normalenvektor im Raum - Vektorielle Gleichung einer Ebene - Winkel zwischen Gerade und Ebene - Schnittpunktberechnung - Schnittwinkel Ebene Gerade - Normierter Normalenvektor einer Ebene - Normalabstand  Punkt Ebene - Vektorielle Gleichung einer Ebene

  
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Ebene in Normalenform - Gerade - Punkt

 

MathProf - Ebene - Normalenform - Gerade - Normalform - Normalengleichung einer Ebene - Ebene in Normalform - Ebene - Gerade - Normalenform einer Ebenengleichung - Schnittpunkt - Koordinatenebenen - Gemeinsame Punkte - Ebenengleichung in Normalenform - Distanz - Lotgerade - Abstandsberechnung - Abstand - Lage - Durchstoßpunkt  - Spurpunkte - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Modul Ebene in Normalenform


 
Das Unterprogramm
[Vektoralgebra] - Ebene in N-Form ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit Ebenengleichungen in Normalen-Form (Normalengleichung) sowie Geraden und Punkten im Raum.

 

MathProf - Ebene - Normalenform - Punkt - Gerade - Lagebeziehung - Abstand - Durchstoßpunk - Spurpunktet

 

Die Anwendungsmöglichkeiten dieses Unterprogramms sind:

  • Eigenschaftsanalyse einer Ebene in Normalenform (Normalengleichung)
  • Darstellung einer Ebene in Normalenform (sowie eines Punktes, oder einer Geraden)
  • Abstand Punkt - Ebene: Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene in Normalenform
  • Ermittlung des Schnittpunkts und des Schnittwinkels einer Ebene in Normalenform und einer Geraden
  • Ermittlung des Abstands einer Geraden zu einer Ebene in Normalenform
  • Darstellung der Lotgerade durch einen Punkt auf eine Ebene in Normalenform

Definitionsformen von Ebenen und Geraden (Ebenengleichung - Geradengleichung - Formel)

Mögliche Definitionsformen von Ebenen und Geraden in diesem Unterprogramm sind:

Ebene in Normalenform (Normalengleichung):

Ebene - Normalenform - Gleichung - 1

Parameterdarstellung einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 2

Parameterdarstellung einer Geraden in Zwei-Punkte-Form:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 3

Zusammenhänge und Formeln

Relevante Zusammenhänge zu diesem Fachthema sind nachfolgend aufgezeigt.

Abstand Punkt - Ebene:

Abstand eines Punktes Q von einer Ebene in Normalen-Form:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 4

rQ: Ortsvektor des Punktes Q

Abstand einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form von einer Ebene in Normalenform:

mit Gerade:

 Ebene - Normalenform - Gleichung - 5

und Ebene:

 

 Ebene - Normalenform - Gleichung - 6

Abstand Gerade - Ebene:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 7

Abstand zweier paralleler Ebenen:

Ebene 1:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 8

Ebene 2:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 9

Abstand Ebene1 - Ebene2:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 10

Schnittpunkt Ebene - Gerade:

Mit Gerade:

 Ebene - Normalenform - Gleichung - 11

und Ebene:

 

 Ebene - Normalenform - Gleichung - 12

Schnittpunkt Ebene - Gerade:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 13

Schnittwinkel Ebene - Gerade:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 14

Zur Verwendung o.a. Vektorgleichungen sind die Darstellungsformen der Ebene in Normalenform und die der Gerade in Punkt-Richtungs-Form zu bringen.

Bedeutung der im Programm verwendeten Bezeichnungskürzel

Die Bedeutungen der im Programm verwendeten Bezeichungskürzel sind folgende:

E,E1,E2: Ebene in 3-Punkte-, Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie Koordinatenform
d: Abstand einer Ebene vom Koordinatenursprung, Abstand einer Geraden vom Koordinatenursprung
n,n1,n2: Normalenvektor einer Ebene
Sx,Sy,Sz: Spurpunkte einer Ebene, bzw. Gerade
SP: Schnittpunkt einer Ebene und einer Gerade, Schnittpunkt zweier Geraden
SW: Schnittwinkel zweier Ebenen, zweier Geraden, einer Geraden und einer Ebene
g,g1,g2: Gerade in 2-Punkte- oder Punkt-Richtungs-Form
α,β,γ: Neigungswinkel einer Geraden bzgl. entspr. Achsen
r,r1,r2: Ortsvektor einer Geraden, oder einer Ebene
a,b: Richtungsvektor einer Geraden, oder einer Ebene
P,P1,P2,P3: Punkte
λ;μ: Parameterwerte für Richtungsvektoren einer Geraden, bzw. einer Ebene
g-E: Gerade - Ebene
g1-g2: Gerade 1 - Gerade 2
E1-E2: Ebene 1 - Ebene 2

 

Screenshots


MathProf - Ebene in Normalenform - Gerade - Normalenform - Normalform - Normalengleichung einer Ebene - Ebene in Normalform - Ebene - Gerade - Normalenform einer Ebenengleichung - Schnittpunkt einer Gerade und einer Ebene - Koordinatenebenen - Gemeinsame Punkte - Ebenengleichung in Normalenform - Durchstoßpunkt einer Gerade durch eine Ebene - Spurpunkte berechnen - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 1

MathProf - Ebene - Durchstoßpunkt berechnen - Vektorgleichung einer Ebene - Normalenvektor einer Ebene - Ebene zeichnen - Abstand zwischen Punkt und Ebene - Abstand einer Gerade und einer Ebene - Lagebeziehungen Gerade-Ebene - Lotgerade - Normalvektorform - Vektoren - Abstand zwischen Punkt und Ebene - Abstand zwischen Gerade und Ebene - Lotgerade einer Ebene durch einen Punkt - Distanz Punkt Ebene - Abstand einer Ebene vom Ursprung - Abstandsberechnung Punkt Ebene - Abstandsberechnung Gerade Ebene - Neigungswinkel - Lage einer Ebene - Ebene im Raum - Ebene zeichnen - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 2

MathProf - Ebene - Normalenform - Normalform - Normalengleichung - Gleichung einer Ebene - Ebene berechnen - Lage Ebene Gerade - Ebene darstellen - Ursprungsebene - Ebene plotten - Umwandlung von Normalenform in Parameterform - Umwandlung von Normalenform in Koordinatenform - Normalenvektor - Vektoren - N-Vektor - Normalenform - Abstände berechnen - Abstände - Abstandsprobleme - Normalabstand Punkt Ebene - Winkel - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 3

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Darstellung einer Ebene in Normalenform

 

Um eine Ebene, welche in Normalen-Form definiert ist, darstellen zu lassen, führen Sie Folgendes aus:

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene.
     
  3. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Ebene in die dafür vorgesehenen Felder n und r ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Eigenschaftsanalyse einer Ebene in Normalenform


MathProf - Vektor - Ebene - Punkt - Gerade - Spurpunkt - Winkel - Parallel

Die Untersuchung einer Ebene auf deren Eigenschaften können Sie durchführen, indem Sie wie nachfolgend beschrieben vorgehen:

  1. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene.
     
  2. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Ebene in die dafür vorgesehenen Felder n und r im Hauptformular ein.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.


Nachfolgend aufgeführte Details einer Ebene in Normalen-Form werden bei Durchführung einer Eigenschaftsanalyse errechnet:

  • Abstand d der Ebene vom Koordinatenursprung
  • Spurpunkte Sx,Sy,Sz (Durchstoßpunkte) der Ebene
  • Normalenvektor n der Ebene
  • Definition der Ebene in 3-Punkte-, Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie Koordinatenform

Abstand eines Punktes von einer Ebene in Normalenform
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Ebene - Punkt - Abstand - Lagebeziehung - Ebenengleichung - Normalenform

 

Um den Abstand eines Punktes von einer Ebene ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene und Punkt.
     
  3. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Ebene in die dafür vorgesehenen Felder n und r im Hauptformular ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen und legen Sie die Koordinatenwerte des Punktes P in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern (x,y,z) des Unterformulars fest.
     
  5. Bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Berechnen.
     
  6. Möchten Sie sich die Lage des Punktes und der Ebene grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Darstellen.

Soll bei Ausgabe der Darstellung eine Strecke eingezeichnet werden, die vertikal auf der Ebene steht und durch Punkt P verläuft, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Abstandslinie.

 

Schnittpunkt, Schnittwinkel und Abstand einer Ebene in Normalenform und einer Geraden
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Ebene - Schnittwinkel - Durchstoßpunkt - Punkt - Gerade - Lagebeziehung - Ebenengleichung

 

Um Schnittpunkt, sowie Schnittwinkel einer Geraden und einer Ebene ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Möchten Sie die Lagen einer Ebene in Normalen-Form und einer Geraden in 2-Punkte-Form analysieren, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene und Gerade in 2-P-Form. Um die Lagen einer Ebene in Normalen-Form und einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form zu untersuchen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene und Gerade in P-R-Form.
     
  3. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Ebene in die dafür vorgesehenen Felder n und r im Hauptformular ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Geben Sie die Koeffizientenwerte, bzw. Punktkoordinaten der Vektoren der Geraden in die dafür vorgesehenen Felder im Unterformular ein.
     
  6. Bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Berechnen.
     
  7. Möchten Sie sich die Lagen der Gerade sowie der Ebene grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Darstellen.

Liegen Gerade und Ebene parallel, so ermittelt das Programm deren Abstand.

Hinweis:

Benötigen Sie Detailinformationen bezüglich der Eigenschaften einer Geraden mit welcher Berechnungen durchzuführen sind, so wählen Sie auf dem Eingabeformular zur Definition

der Geraden den Menüpunkt Details.

 

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Darstellung - Optionen


Im Formularbereich Darstellung - Optionen können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • Geradenvektoren: Darstellung des Orts- und des Richtungsvektors der Geraden ein-/ausschalten
  • N-Vektor d. Ebene: Darstellung des Normalenvektors der Ebene ein-/ausschalten
  • Ebenenvektoren: Darstellung des Ortsvektors und der Richtungsvektoren der Ebene ein-/ausschalten
  • Beschriftung: Beschriftung dargestellter Vektoren und Punkte ein-/ausschalten
  • Abstandslinie: Darstellung der vertikalen Abstandslinie zwischen Ebene und Gerade ein-/ausschalten
  • Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien der Gerade ein-/ausschalten
  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D)

Gerade in 2-Punkte-Form (3D)

Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D)

Ebene in 3-Punkte-Form (3D)

Ebene in Koordinaten-Form (3D)

Ebene - Ebene (3D)

Kugel - Ebene - Punkt (3D)

 

Beispiele - Aufgaben


Beispiel 1 - Eigenschaften der Ebene in Normalenform (Normalengleichnung):

Es gilt, sich die Eigenschaften einer Ebene ausgeben zu lassen, welche durch nachfolgend gezeigte Gleichung beschrieben wird:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 15

bzw.

Ebene - Normalenform - Gleichung - 16

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Ebene und einer Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E in Normalen-Form, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Die Gleichung der Ebene in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

Ebene - Normalenform - Gleichung - 17
 

Drei Punkte, die auf der Ebene liegen, sind:

P1 (5,714 / 0 / 0)

P2 (5,571 / 1 / 0)

P3 (6,428 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Ebene in Koordinaten-Form lautet:

 

E: -7·X - 1·Y + 5·Z = -40

 

Der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung beträgt d = 4,619.

Die Spurpunkte der Ebene sind:

Sx (5,714 / 0 / 0)

Sy (0 / 40 / 0)

Sz (0 / 0 / -8)

 

Der Normalenvektor der Ebene lautet:

 

Ebene - Normalenform - Gleichung - 18
 

Der Betrag des Normalenvektors der Ebene besitzt den Wert 8,66.
 

Beispiel 2 - Abstand eines Punkts von einer Ebene in Normalenform:

Es gilt, den Abstand des Punktes P (7 / 1 / 2) von einer Ebene E in Normalen-Form ermitteln zu lassen, welche durch nachfolgend gezeigte Gleichung beschrieben wird:

Ebene - Normalenform - Gleichung - 19

bzw.

Ebene - Normalenform - Gleichung - 20

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Ebene und Punkt, der Eingabe der Koeffizientenwerte der Ebene und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, sowie der Eingabe der Koordinatenwerte des Punkts P im Unterformular, ermittelt das Programm nach einem Klick auf die dortige Schaltfläche Berechnen:

Der Abstand des Punktes P von der Ebene beträgt d = 9,923.
 

Beispiel 3 - Ebene in Normalenform - Gerade in 2-Punkte-Form:

Es ist eine Analyse bzgl. der Lagen einer Ebene E in Normalen-Form

Ebene - Normalenform - Gleichung - 21

bzw.

Ebene - Normalenform - Gleichung - 22

und einer Geraden, welche durch die beiden Punkte P1 (-2 / 3 / -1) und P2 (1 / -2 / 6) verläuft, durchzuführen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Ebene und Gerade in 2-P-Form, der Eingabe der Koeffizientenwerte der Ebene E in Normalen-Form, einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, sowie der Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte P1 und P2 im Unterformular zur Definition der Gerade g, gibt das Programm nach einem Klick auf die dortige Schaltfläche Berechnen aus:

Ebene und Gerade schneiden sich in Punkt SP (-4,765 / 7,608 / -7,451).
Der Schnittwinkel von Ebene und Gerade beträgt 53,103°.


Nach einer Wahl des Menüpunkts Details im Unterformular zur Definition der Geraden erhalten Sie zudem folgende Informationen bzgl. der Eigenschaften, der durch die beiden Punkte P1 und P2 definierten Gerade.

 

Die Gleichung der Geraden g in vektorieller Schreibweise (Punkt-Richtungs-Form) lautet:

 

Ebene - Normalenform - Gleichung - 23
 

Die Richtungswinkel der Gerade g lauten:

α = 70,774°

β = 123,286°

γ = 39,794°

 

Der Abstand der Gerade g vom Koordinatenursprung beträgt d = 2,134.
 

Die Spurpunkte der Gerade g sind:

Sx (0 / -0,333 / 3,667)

Sy (-0,2 / 0 / 3,2)

Sz (-1,571 / 2,286 / 0)
 

Die Länge der Strecke zwischen den Geradenpunkten P1 und P2 beträgt 9,11.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Ebene - Ebenen - Gerade - Geraden - Punkt - Lagebeziehung - Spurpunkte - Vektorielle Gleichung - Vektorrechnung - Gleichung - Punkte - Normalform - Beispiel - Normalenvektor - Richtungsvektor - Ebenengleichung - Schnittpunkt von Gerade und Ebene - Stützvektor - Ortsvektor - Ebenen im Raum - Normalengleichung - Durchstoßpunkt - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 4

MathProf - Ebene - Ebenen - Gerade - Geraden - Punkt - Lineare Algebra - Mathematik - Normalenform - Normalenvektor - Neigungswinkel - Durchstoßpunkt - Normalform - Beispiel - Normalenvektor - Richtungsvektor - Ebenengleichung - Schnittpunkt von Gerade und Ebene - Stützvektor - Ortsvektor - Ebenen im Raum - Normalengleichung - Ebenengleichung - Spurpunkte - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 5

MathProf - Ebene - Ebenen - Gerade - Geraden - Punkt - Schnittpunkt - Schnittwinkel - Ortsvektor - Richtungsvektor - Windschief - Eigenschaften - Gleichung - Normalform -  Beispiel - Normalenvektor - Richtungsvektor - Ebenengleichung - Schnittpunkt von Gerade und Ebene - Stützvektor - Ebenen im Raum - Normalengleichung - Durchstoßpunkt - Spurpunkte - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 6

MathProf - Ebene - Ebene im Raum - Normalenform - Normalform - Normale - Ursprung - Durchstoßpunkt - Beispiele - Aufgaben - Berechnen - Darstellung - Berechnung - Eigenschaften - Darstellen - Graph - Grafisch - Bild - Plotter - Gleichung - Raum - Räumlich - Dreidimensional - 3D - Formel - Grafik - Zeichnen - Rechner - Plotten - Normalenvektor im Raum - Vektorielle Gleichung einer Ebene - Winkel zwischen Gerade und Ebene - Schnittpunktberechnung - Schnittwinkel Ebene Gerade - Normierter Normalenvektor einer Ebene - Normalabstand  Punkt Ebene - Vektorielle Gleichung einer Ebene - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 7

   
Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Ebenengleichung

Wikipedia - Normalenform
Wikipedia - Normalenvektor  
Wikipedia - Schnittpunkt einer Gerade und einer Ebene
 
Weitere implementierte Module zum Themenbereich Vektoralgebra


Gerade und Vektoren - Vektorielle Linearkombination - Vektorielles Teilverhältnis - Vektoraddition in der Ebene - Resultierende - Komponentendarstellung (3D) - Vektorprodukt (3D) - Skalarprodukt (3D) - Spatprodukt (3D) - Vektorprojektion (3D) - Tripelprodukt (3D) - Numerische Vektoraddition im Raum - Grafische Vektoraddition im Raum (3D) - Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Gerade in 2-Punkte-Form (3D) - Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Ebene in 3-Punkte-Form (3D) - Ebene in Koordinaten-Form (3D) - Zwei Ebenen (3D) - Kugel - Gerade (3D) - Kugel - Ebene - Punkt (3D) - Kugel - Kugel (3D)
 

Screenshot des Startfensters dieses Moduls
 

MathProf - Ebene - Normalenform - Normalform - Normalengleichung - Gerade - Schnittpunkt - Durchstoßpunkt - Normalenvektor - Formel - Grafik - Zeichnen - Rechner  - Normale - Berechnen - Darstellung - Berechnung - Eigenschaften - Darstellen - Graph - Grafisch - Bild - Plotter
Startfenster des Unterprogramms Ebene in Normalenform
 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Ebenen - Darstellen - Zwei Ebenen - Ebenen im Raum - Zeichnen - Lage - Lagebeziehung - Ebenengleichungen - Schnitt - Schnittgerade - 3D - Schnittwinkel - Gleichung - Spurpunkte - Schneiden - Spiegeln - Berechnen - Vektoren - Winkel - Darstellung - Berechnung - Rechner - Darstellen - Plotter - Formeln - Umwandlung - Umwandeln - Umrechnung - Umrechnen - Umformen
MathProf 5.0 - Startfenster des Unterprogramms Ebene - Ebene



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Grafikfenster des Unterprogramms Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0