MathProf - Obersummen und Untersummen - Interaktiv (Integralrechnung)

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Obersummen und Untersummen - Interaktiv
(Integralrechnung)

 

Das Unterprogramm [Analysis] - [Integrationsverfahren] - Ober- und Untersummen - Interaktiv ermöglicht es, sich das Prinzip der Integralrechnung interaktiv verständlich machen zu können.

 

MathProf - Integration - Methode


Bestimmte Integrale werden errechnet, indem man das zu berechnende Flächenstück zwischen den Grenzen x1 = a und x2 = b in eine festgelegte Anzahl von Streifen (bei der hier gezeigten klassischen Methode sind dies Rechtecke) zerlegt und eine Grenzwertbildung der Ober- und Untersummen der Streifenflächen durchführt. Bei einer zunehmenden Verfeinerung der Zerlegung nimmt die Untersumme zu, die Obersumme ab. Beim Grenzübergang der Anzahl der Schritte gegen unendlich, streben Ober- und Untersummen gegen einen gemeinsamen Grenzwert, wenn die Breite der Streifen gegen Null tendiert.

Dieser Grenzwert wird als das bestimmte Integral einer stetigen Funktion f(x) in den Grenzen von x1 = a bis x2 = b bezeichnet.

Dieses Modul ermöglicht die Untersuchung explizit definierter Funktionen bzgl. Ober- und Untersummen innerhalb eines frei wählbaren Intervallbereichs, in Abhängigkeit einer wählbaren Anzahl von Stützstellen.

Es werden die Berechnungsergebnisse folgender Werte ausgegeben:

  • Obersumme
  • Untersumme
  • Mittelwert (von Ober- u. Untersumme)
  • Fehlerintervall (Differenz Ober- / Untersumme)

Darstellung

MathProf - Obersumme - Untersumme

Um sich Zusammenhänge bzgl. der Bildung von Ober- und Untersummen einer stetigen Funktion f(x,p) grafisch interaktiv zu veranschaulichen, gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Definieren Sie die mathematische Funktion, mit welcher Sie Untersuchungen durchführen möchten, gemäß den geltenden Syntaxregeln im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,p) =.
     
  2. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  3. Wählen Sie auf dem Bedienformular durch die Aktivierung des Kontrollschalters Obersumme, Untersumme bzw. Ober- und Untersumme, welche Art der Summenbildung durchgeführt werden soll.
     
  4. Verwenden Sie den sich auf dem Bedienformular befindenden Rollbalken Anzahl Stützstellen um die Anzahl zu verwendender Stützstellen festzulegen.
     
  5. Um den Bereich zu verändern, über welchen eine Bildung von Ober- und Untersummen durchgeführt wird, können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  6. Möchten Sie die Bereichsgrenzen zur Bildung von Ober- und Untersummen mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in einen der rechteckig umrahmten Mausfangbereiche und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  7. Um sich die Kurve vor den Balken ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Kurve vorne.
     
  8. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  9. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Stützstellen oder Parameter P die Art der Simulation die Sie ausführen lassen möchten.

    Um die Anzahl von Stützstellen simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation.

    Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Beachten Sie:

Führen Sie Analysen dieser Art nur mit Funktionen durch, die einen stetigen Verlauf vorweisen, bzw. legen Sie den Intervallbereich in einen Abschnitt in welchem die Funktion stetig ist, da es ansonsten zu verfälschten Ergebnissen, wie ggf. auch zu Darstellungsfehlern kommen kann.

 

Bedienformulare


Wurde zur Analyse der Zusammenhänge ein Funktionsterm erstellt, der kein Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

MathProf - Obersumme - Integral


Enthält der erstellte Term das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.

MathProf - Untersumme - Beispiel


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Bereich beschriften: Darstellung der Mausfangpunkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Mausfangpunkte ein-/ausschalten
  • Bereichsmarkierung: Markierung des Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Ober- und Untersummen

Mathematische Funktionen I

Integrationsmethoden

Integration

 

Beispiel


Bei der Ermittlung der Ober- und Untersummen für die Funktion f(x) = 3·cos(x/2)²-1, innerhalb des mit Hilfe der Schaltfläche Punkte festgelegten Bereichsintervalls von x1 = 1 bis x2 = 3, ergeben sich nach einer Eingabe des Terms 3*COS(X/2)^2-1 unter aufeinanderfolgender Verwendung verschiedener Anzahlen von Stützstellen durch die Positionierung des Rollbalkens Anzahl Stützstellen nachfolgend gezeigte Ergebnisse:

 Anzahl Stützstellen: 5 10 50 100
 Obersumme O: 0,42261 0,18252 -0,00448 -0,02753
 Untersumme U: -0,49557 -0,27656 -0,09629 -0,73446
 Mittelwert M: -0,03648 0,04702 0,05038 0,05049
 Fehlerintervall D: 0,91817 0,45909 0,09182 0,04591


Es ist zu entnehmen, dass sich das Fehlerintervall D mit einer Erhöhung der Anzahl von Stützstellen reduziert und Ober- und Untersumme sich somit dem exakten Wert für den Flächeninhalt des Bereichs unter der Kurve nähern.
 

Module zum Themenbereich Analysis


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