MathProf - Obersumme - Untersumme - Interaktiv - Integralrechnen

MathProf - Mathematik-Software - Obersumme | Untersumme | Mittelwert | Fehlerintervall

Fachthema: Ober- und Untersumme

MathProf - Analysis - Ein Programm für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Präsentation relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D- Computeranimationen für die Schule, die Oberstufe, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Obersumme | Untersumme | Mittelwert | Fehlerintervall

Online-Hilfe
für das Modul zur interaktiven Bildung der Ober- und Untersumme von Streifenflächen zur Analyse der Herleitung der Integralrechnung.

In diesem Teilprogramm erfolgt die Durchführung der Aufleitung unter Anwendung der Streifenmethode sowie das Berechnen der Obersumme und das Berechnen der Untersumme zur näherungsweisen Ermittlung der zwischen einer definierten Kurve und der x-Achse eingeschlossenen Fläche.


Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben. 

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Integralrechnung - Summenbildung - Streifenmethode - Integral - Riemannsche Summe - Riemann-Summe - Obersumme berechnen - Streifenmethode des Archimedes - Untersumme berechnen

 
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Obersumme und Untersumme - Interaktiv

 

Das Unterprogramm [Analysis] - [Integrationsverfahren] - Ober- und Untersummen - Interaktiv ermöglicht es, sich das Prinzip der Integralrechnung interaktiv verständlich machen zu können.

 

MathProf - Integralrechnung - Obersumme und Untersumme - Stützstellen - Mittelwert - Obersummen - Untersummen - Streifenmethode

 

Bestimmte Integrale werden errechnet, indem man das zu berechnende Flächenstück zwischen den Grenzen x1 = a und x2 = b in eine festgelegte Anzahl von Streifen (bei der hier gezeigten klassischen Methode sind dies Rechtecke) zerlegt und eine Grenzwertbildung der Ober- und Untersummen der Streifenflächen durchführt. Bei einer zunehmenden Verfeinerung der Zerlegung nimmt die Untersumme zu, die Obersumme ab. Beim Grenzübergang der Anzahl der Schritte gegen unendlich, streben Ober- und Untersummen gegen einen gemeinsamen Grenzwert, wenn die Breite der Streifen gegen Null tendiert.

Dieser Grenzwert wird als das bestimmte Integral einer stetigen Funktion f(x) in den Grenzen von x1 = a bis x2 = b bezeichnet.

Dieses Modul ermöglicht die Untersuchung explizit definierter Funktionen bzgl. Ober- und Untersummen innerhalb eines frei wählbaren Intervallbereichs, in Abhängigkeit einer wählbaren Anzahl von Stützstellen.

Es werden die Berechnungsergebnisse folgender Werte ausgegeben:

  • Obersumme
  • Untersumme
  • Mittelwert (von Obersumme u. Untersumme)
  • Fehlerintervall (Differenz Obersumme / Untersumme)

Darstellung

MathProf - Obersumme - Untersumme - Integral - Summenbildung - Integralrechnung - Mittelwert - Fehler - Streifenmethode

Um sich Zusammenhänge bzgl. der Bildung von Ober- und Untersummen einer stetigen Funktion f(x,p) grafisch interaktiv zu veranschaulichen, gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Definieren Sie die mathematische Funktion, mit welcher Sie Untersuchungen durchführen möchten, gemäß den geltenden Syntaxregeln im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,p) =.
     
  2. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  3. Wählen Sie auf dem Bedienformular durch die Aktivierung des Kontrollschalters Obersumme, Untersumme bzw. Ober- und Untersumme, welche Art der Summenbildung durchgeführt werden soll.
     
  4. Verwenden Sie den sich auf dem Bedienformular befindenden Rollbalken Anzahl Stützstellen um die Anzahl zu verwendender Stützstellen festzulegen.
     
  5. Um den Bereich zu verändern, über welchen eine Bildung von Ober- und Untersummen durchgeführt wird, können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  6. Möchten Sie die Bereichsgrenzen zur Bildung von Ober- und Untersummen mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in einen der rechteckig umrahmten Mausfangbereiche und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  7. Um sich die Kurve vor den Balken ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Kurve vorne.
     
  8. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  9. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Stützstellen oder Parameter P die Art der Simulation die Sie ausführen lassen möchten.

    Um die Anzahl von Stützstellen simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation.

    Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Beachten Sie:

Führen Sie Analysen dieser Art nur mit Funktionen durch, die einen stetigen Verlauf vorweisen, bzw. legen Sie den Intervallbereich in einen Abschnitt in welchem die Funktion stetig ist, da es ansonsten zu verfälschten Ergebnissen, wie ggf. auch zu Darstellungsfehlern kommen kann.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformulare


Wurde zur Analyse der Zusammenhänge ein Funktionsterm erstellt, der kein Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

MathProf - Obersumme - Untersumme - Mittelwert


Enthält der erstellte Term das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.

MathProf - Obersumme und Untersumme - Beispiel


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Bereich beschriften: Darstellung der Mausfangpunkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Mausfangpunkte ein-/ausschalten
  • Bereichsmarkierung: Markierung des Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Ober- und Untersummen

Mathematische Funktionen I

Integrationsmethoden

Integration

 

Beispiel


Bei der Ermittlung der Ober- und Untersummen für die Funktion f(x) = 3·cos(x/2)²-1, innerhalb des mit Hilfe der Schaltfläche Punkte festgelegten Bereichsintervalls von x1 = 1 bis x2 = 3, ergeben sich nach einer Eingabe des Terms 3*COS(X/2)^2-1 unter aufeinanderfolgender Verwendung verschiedener Anzahlen von Stützstellen durch die Positionierung des Rollbalkens Anzahl Stützstellen nachfolgend gezeigte Ergebnisse:

 Anzahl Stützstellen: 5 10 50
 Obersumme: 0,422 0,182 -0,004
 Untersumme: -0,495 -0,276 -0,096
 Mittelwert: -0,036 0,047 0,050
 Fehlerintervall D: 0,9181 0,459 0,091


Es ist zu entnehmen, dass sich das Fehlerintervall D mit einer Erhöhung der Anzahl von Stützstellen reduziert und Ober- und Untersumme sich somit dem exakten Wert für den Flächeninhalt des Bereichs unter der Kurve nähern.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Obersumme - Untersumme - Integrale - Graph - Formel - Integralrechnung - Bilden - Aufgaben - Berechnen - Beispiel - Streifenmethode
MathProf - Obersumme - Untersumme - Integral - Bestimmen - Bilden - Formel - Integralrechnung - Intervall - Mathematik - Beispiel
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MathProf - Obersumme - Untersumme - Integral - Graph - Formel - Integralrechnung - Zeichnen - Darstellen - Beispiel - Streifenmethode

   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Riemannsches Integral zu finden.
 

Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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