MathProf - Differentialgleichung höherer Ordnung - Differentialgleichungen - DGL

MathProf - Mathematik-Software - Nichtlineare Differentialgleichungen | DGL lösen und darstellen

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium und die Wissenschaft. Zur Benutzung dessen wird ein bereits erlangtes grundlegendes Wissen zum entsprechenden Themengebiet vorausgesetzt.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Nichtlineare Differentialgleichungen | DGL lösen und darstellen

Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen und zur Darstellung der Lösungskurven von Differentialgleichungen zweiter, dritter und höherer Ordnung.

Bei der Benutzung dieses Unterprogramms gibt der Rechner nach einer Definition der zu lösenden DGL sowie einer Festlegung relevanter Anfangswerte nach Durchführung der entsprechenden Untersuchung die Werte der ermittelten Lösungen des gestellten Problems in Tabellen aus. Hierauf können Zusammenhänge dieser Art grafisch analysiert werden.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Startseite dieser Homepage.
 
Zur Startseite dieser Homepage
 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Videoauswahl zu MathProf 5.0.
 
Zu den Videos zu MathProf 5.0
 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche können Sie eine kostenlose Demoversion des Programms MathProf 5.0 herunterladen.

Zum Download der Demoversion von MathProf 5.0
 

Themen und Stichworte:

Differentialgleichung 2. Ordnung - DGL 2. Ordnung - DGL zweiter Ordnung lösen - Differentialgleichung 3. Ordnung - DGL 3. Ordnung - Lösen von Differentialgleichungen höherer Ordnung - Numerische Lösung von Differentialgleichungen - Anfangswert - Anfangswertproblem - Anfangswertbedingung - Differentialgleichung mehrerer Veränderlicher - Numerische Lösung einer DGL höherer Ordnung - Rechner zum Lösen von Differentialgleichungen - Koeffizienten - Lineare DGL lösen - Nichlineare DGL lösen - Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung - Graph - Grafisch - Tabelle - Werte - Tabelle der Lösungen von Differentialgleichungen 2. Ordnung

 

DGL n-ter Ordnung - DGL höherer Ordnung

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Differentialgleichungen] - DGL n-ter (höherer) Ordnung ermöglicht es, Differentialgleichungen 2. Ordnung bis 8. Ordnung numerisch iterativ lösen zu lassen.

 

MathProf - DGL höherer Ordnung - Lösen - Homogene DGL - Beispiel - Rechner - DGL 2. Ordnung - DGL zweiter Ordnung - Differentialgleichung lösen


Eine Gleichung in der die n-te Ableitung einer unbekannten Funktion y = y(x) auftritt, wird als Differentialgleichung n-ter Ordnung bezeichnet. Eine Differentialgleichung kann als Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion aufgefasst werden. Dieses Unterprogramm ermittelt die Lösungskurve y = y(x) derartiger höherer Differentialgleichungen der:

 

DGL 2. Ordnung: y'' = f(x,y,y')

DGL 3. Ordnung: y(3) = f(x,y,y',y'')

DGL 4. Ordnung: y(4) = f(x,y,y',y'',y(3))

DGL 5. Ordnung: y(5) = f(x,y,y',y'',y(3),y(4))

DGL 6. Ordnung: y(6) = f(x,y,y',y'',y(3),y(4),y(5))

DGL 7. Ordnung: y(7) = f(x,y,y',y'',y(3),y(4),y(5),y(6))

DGL 8. Ordnung: y(8) = f(x,y,y',y'',y(3),y(4),y(5),y(6),y(7))

 

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - DGL höherer Ordnung - Differentialgleichung höherer Ordnung - Lösunkskurve - Rechner - DGL 2. Ordnung - DGL zweiter Ordnung - Differentialgleichung - Gewöhnliche Differentialgleichungen - Beispiel  - DGL n-ter Ordnung - Differentialgleichung lösen - Differentialgleichung 2. Ordnung - Nichtlineare DGL


Wenden Sie die nachfolgend geschilderte Vorgehensweise an, um Lösungskurven von DGL n-ter Ordnung ermitteln und grafisch ausgeben zu lassen:

  1. Legen Sie die Ordnung der Differentialgleichung durch eine Bedienung des Steuerelements Ordnung der DGL fest.
     
  2. Definieren Sie die zu analysierende Differentialgleichung, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im dafür vorgesehenen Eingabefeld.
     
  3. Tragen Sie in die Felder x0 =, y(x0) =, y'(x0) =, y''(x0) =  etc. die entsprechenden Startwerte (Anfangswerte) ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = einen Maximalwert für x1 fest, über welchen die Ergebnisse ausgegeben werden sollen.
     
  4. Legen Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken Anz. Schritte die Anzahl der bei Berechnungen durchzuführenden Schritte fest.
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  6. Möchten Sie sich die Lösungskurve grafisch darstellen lassen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen bzw. Vollständig darstellen, ob die Lösungskurve über den gesamten Darstellungsbereich ausgegeben werden soll, oder lediglich innerhalb des festgelegten Intervallbereichs x0 < x < x1.

    Wurde der Kontrollschalter mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen gewählt, so legen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Bereich markieren fest, ob bei der Darstellung der Lösungskurve eine Markierung des gewählten Intervallbereichs erfolgen soll.

Beachten Sie:

Für die Bezeichnungen der Ableitungen müssen Sie bei der Formulierung des Funktionsterms einer Differentialgleichung in diesem Unterprogramm folgende Zeichen verwenden:

 

1. Ableitung y': Y1

2. Ableitung y'': Y2

3. Ableitung y(3): Y3

4. Ableitung y(4): Y4

5. Ableitung y(5): Y5

6. Ableitung y(6): Y6

7. Ableitung y(7): Y7

 

Hinweis:

Die Auflösungsgenauigkeit bei Ausgabe der grafischen Darstellung hängt von der gewählten Schrittanzahl zur numerischen Ermittlung der Lösungen ab. Je höher diese gewählt wird, desto exakter wird der Funktionsverlauf dargestellt.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

DGL 1. Ordnung

DGL – Gleichungssystem

 

Beispiel

 

Wird die Differentialgleichung 2. Ordnung y'' = y'+2·y analytisch gelöst, so lautet die exakte Lösungsfunktion y = e2·x + 2·e-x.

 

Vorgehensweise:

 

Um die Lösungen dieser DGL im Intervall 0 < x < 1 numerisch ermitteln zu lassen, stellen Sie mit Hilfe des Steuerelements Ordnung der DGL den Wert 2 ein. Definieren Sie die Differentialgleichung y'' = y'+2·y, indem Sie in das Feld y'' = die Zeichenfolge Y1+2*Y (für die 1. Ableitung y' ist die Zeichenkombination Y1 zu verwenden) eingeben.

Legen Sie die Startwerte (Anfangswerte) x0 = 0, y(x0) = 3 und y'(x0) = 0 in den entsprechenden Eingabefeldern fest und geben Sie in das Feld Bereich von x0 bis x1 = den Wert 1 ein.

Positionieren Sie den Rollbalken Anz. Schritte auf 500, so erhalten Sie nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen für die gestellten Anfangswertbedingungen folgende Ergebnisse (Auszug).
 

X Y  Y'
0 3,00000 0
0,1 3,03108 0,63313
0,2 3,12929 1,34619
0,3 3,30376 2,16260
0,4 3,56618 3,11044
0,5 3,93134 4,22350
0,6 4,41774 5,54261
0,7 5,04837 7,11723
0,8 5,85169 9,00741
0,9 6,86279 11,28616
1,0 8,12481 14,04235


Wie zu erkennen ist, entsprechen diese numerisch ermittelten Werte denen, welche die analytisch ermittelte Funktion y = e2·x + 2·e-x in diesem Bereich besitzt, sehr gut.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - DGL n-ter Ordnung - Differentialgleichungen zweiter Ordnung - Lösungskurve - Lösungskurven - DGL - Homogen - Inhomogen - Lösung - Rechner - Berechnen - Gewöhliche Differentialgleichungen - Beispiel - DGL 2. Ordnung - Differentialgleichung lösen - Differentialgleichung 2. Ordnung - Differentialgleichung höherer Ordnung - DGL höherer Ordnung - Nichtlineare DGL
MathProf - DGL höherer  Ordnung - Differentialgleichungen zweiter Ordnung - DGL 2. Ordnung - Lösen - Differentialgleichung - Graphisch - Plotten - Graph - Zeichnen - Gewöhliche Differentialgleichungen - Beispiel - DGL n-ter Ordnung - Differentialgleichung lösen - Differentialgleichung 2. Ordnung - Differentialgleichung lösen - Differentialgleichung höherer Ordnung - DGL höherer Ordnung - Nichtlineare DGL
MathProf - DGL höherer  Ordnung - Differentialgleichungen - Anfangsbedingungen - Numerisch - Ordnung - Startwert - Anfangswert - Rechner - Runge-Kutta - Lösen - Gewöhliche Differentialgleichungen - Beispiel - DGL n-ter Ordnung - Differentialgleichung lösen - DGL 2. Ordnung - DGL zweiter Ordnung - DGL - Differentialgleichung 2. Ordnung - Differentialgleichung höherer Ordnung - DGL höherer Ordnung - Nichtlineare DGL

 
Kurzbeschreibungen einiger Module zum Themenbereich Algebra

 

Eine kleine Übersicht in Form kurzer Beschreibungen und Bilder über einige zu diesem Fachthemengebiet implementierte Unterprogramme kann unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Algebra aufgerufen werden.
 

Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Differentialgleichung zu finden.

  
Implementierte Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte


Zur Inhaltsseite