MathProf - Differentialgleichung höherer Ordnung - Differentialgleichungen - DGL

MathProf - Mathematik-Software - Nichtlineare Differentialgleichungen | DGL lösen und darstellen

Fachthema: Differentialgleichungen zweiter Ordnung und höherer Ordnung

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium und die Wissenschaft. Zur Benutzung dessen wird ein bereits erlangtes grundlegendes Wissen zum entsprechenden Themengebiet vorausgesetzt.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Nichtlineare Differentialgleichungen | DGL lösen und darstellen

Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen und zur Darstellung der Lösungskurven von Differentialgleichungen zweiter, dritter und höherer Ordnung.

Bei der Benutzung dieses Unterprogramms gibt der Rechner nach einer Definition der zu lösenden DGL sowie einer Festlegung relevanter Anfangswerte nach Durchführung der entsprechenden Untersuchung die Werte der ermittelten Lösungen des gestellten Problems in Tabellen aus. Hierauf können Zusammenhänge dieser Art grafisch analysiert werden.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Differentialgleichung 2. Ordnung - Differentialgleichungen höherer Ordnung - DGL 2. Ordnung - DGL zweiter Ordnung lösen - Differentialgleichung 3. Ordnung - DGL 3. Ordnung - Lösen von Differentialgleichungen höherer Ordnung - Numerische Lösung von Differentialgleichungen - Anfangswert - Anfangswertproblem - Anfangswertbedingung - Differentialgleichung mehrerer Veränderlicher - Numerische Lösung einer DGL höherer Ordnung - Rechner zum Lösen von Differentialgleichungen - Koeffizienten - DGL lösen - Lineare DGL lösen - Nichlineare DGL lösen - DGL n-ter Ordnung - DGL höherer Ordnung - Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung - Lösen - Plotten - Rechner - Lösungen - Graph - Grafisch - Bilder - Plotter - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Tabelle - Werte - Tabelle der Lösungen von Differentialgleichungen 2. Ordnung

 
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DGL 2. Ordnung - DGL n-ter Ordnung - DGL höherer Ordnung

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Differentialgleichungen] - DGL n-ter (höherer) Ordnung ermöglicht es, Differentialgleichungen 2. Ordnung bis 8. Ordnung numerisch iterativ lösen zu lassen.

 

MathProf - DGL höherer Ordnung - Lösen - Homogene DGL - Beispiel - Rechner - DGL 2. Ordnung - DGL zweiter Ordnung - Differentialgleichung lösen


Eine Gleichung in der die n-te Ableitung einer unbekannten Funktion y = y(x) auftritt, wird als Differentialgleichung n-ter Ordnung bezeichnet. Eine Differentialgleichung kann als Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion aufgefasst werden. Dieses Unterprogramm ermittelt die Lösungskurve y = y(x) derartiger höherer Differentialgleichungen der:

 

DGL 2. Ordnung: y'' = f(x,y,y')

DGL 3. Ordnung: y(3) = f(x,y,y',y'')

DGL 4. Ordnung: y(4) = f(x,y,y',y'',y(3))

DGL 5. Ordnung: y(5) = f(x,y,y',y'',y(3),y(4))

DGL 6. Ordnung: y(6) = f(x,y,y',y'',y(3),y(4),y(5))

DGL 7. Ordnung: y(7) = f(x,y,y',y'',y(3),y(4),y(5),y(6))

DGL 8. Ordnung: y(8) = f(x,y,y',y'',y(3),y(4),y(5),y(6),y(7))

 

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - DGL höherer Ordnung - Differentialgleichung höherer Ordnung - Lösunkskurve - Rechner - DGL 2. Ordnung - DGL zweiter Ordnung - Differentialgleichung - Gewöhnliche Differentialgleichungen - Beispiel  - DGL n-ter Ordnung - Differentialgleichung lösen - Differentialgleichung 2. Ordnung - Nichtlineare DGL


Wenden Sie die nachfolgend geschilderte Vorgehensweise an, um Lösungskurven von DGL n-ter Ordnung ermitteln und grafisch ausgeben zu lassen:

  1. Legen Sie die Ordnung der Differentialgleichung durch eine Bedienung des Steuerelements Ordnung der DGL fest.
     
  2. Definieren Sie die zu analysierende Differentialgleichung, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im dafür vorgesehenen Eingabefeld.
     
  3. Tragen Sie in die Felder x0 =, y(x0) =, y'(x0) =, y''(x0) =  etc. die entsprechenden Startwerte (Anfangswerte) ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = einen Maximalwert für x1 fest, über welchen die Ergebnisse ausgegeben werden sollen.
     
  4. Legen Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken Anz. Schritte die Anzahl der bei Berechnungen durchzuführenden Schritte fest.
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  6. Möchten Sie sich die Lösungskurve grafisch darstellen lassen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen bzw. Vollständig darstellen, ob die Lösungskurve über den gesamten Darstellungsbereich ausgegeben werden soll, oder lediglich innerhalb des festgelegten Intervallbereichs x0 < x < x1.

    Wurde der Kontrollschalter mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen gewählt, so legen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Bereich markieren fest, ob bei der Darstellung der Lösungskurve eine Markierung des gewählten Intervallbereichs erfolgen soll.

Beachten Sie:

Für die Bezeichnungen der Ableitungen müssen Sie bei der Formulierung des Funktionsterms einer Differentialgleichung in diesem Unterprogramm folgende Zeichen verwenden:

 

1. Ableitung y': Y1

2. Ableitung y'': Y2

3. Ableitung y(3): Y3

4. Ableitung y(4): Y4

5. Ableitung y(5): Y5

6. Ableitung y(6): Y6

7. Ableitung y(7): Y7

 

Hinweis:

Die Auflösungsgenauigkeit bei Ausgabe der grafischen Darstellung hängt von der gewählten Schrittanzahl zur numerischen Ermittlung der Lösungen ab. Je höher diese gewählt wird, desto exakter wird der Funktionsverlauf dargestellt.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

DGL 1. Ordnung

DGL – Gleichungssystem

 

Beispiel

 

Wird die Differentialgleichung 2. Ordnung y'' = y'+2·y analytisch gelöst, so lautet die exakte Lösungsfunktion y = e2·x + 2·e-x.

 

Vorgehensweise:

 

Um die Lösungen dieser DGL im Intervall 0 < x < 1 numerisch ermitteln zu lassen, stellen Sie mit Hilfe des Steuerelements Ordnung der DGL den Wert 2 ein. Definieren Sie die Differentialgleichung y'' = y'+2·y, indem Sie in das Feld y'' = die Zeichenfolge Y1+2*Y (für die 1. Ableitung y' ist die Zeichenkombination Y1 zu verwenden) eingeben.

Legen Sie die Startwerte (Anfangswerte) x0 = 0, y(x0) = 3 und y'(x0) = 0 in den entsprechenden Eingabefeldern fest und geben Sie in das Feld Bereich von x0 bis x1 = den Wert 1 ein.

Positionieren Sie den Rollbalken Anz. Schritte auf 500, so erhalten Sie nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen für die gestellten Anfangswertbedingungen folgende Ergebnisse (Auszug).
 

X Y  Y'
0 3,00000 0
0,1 3,03108 0,63313
0,2 3,12929 1,34619
0,3 3,30376 2,16260
0,4 3,56618 3,11044
0,5 3,93134 4,22350
0,6 4,41774 5,54261
0,7 5,04837 7,11723
0,8 5,85169 9,00741
0,9 6,86279 11,28616
1,0 8,12481 14,04235


Wie zu erkennen ist, entsprechen diese numerisch ermittelten Werte denen, welche die analytisch ermittelte Funktion y = e2·x + 2·e-x in diesem Bereich besitzt, sehr gut.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - DGL n-ter Ordnung - Differentialgleichungen zweiter Ordnung - Lösungskurve - Lösungskurven - DGL - Homogen - Inhomogen - Lösung - Rechner - Berechnen - Gewöhliche Differentialgleichungen - Beispiel - DGL 2. Ordnung - Differentialgleichung lösen - Differentialgleichung 2. Ordnung - Differentialgleichung höherer Ordnung - DGL höherer Ordnung - Nichtlineare DGL
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Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen


Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Differentialgleichung zu finden.

  
Implementierte Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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