MathProf - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichung)

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DGL (Differentialgleichung) n-ter (höherer) Ordnung

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Differenzialgleichungen] - DGL n-ter (höherer) Ordnung ermöglicht es, Differenzialgleichungen 2. bis 8. Ordnung numerisch iterativ lösen zu lassen.

 

MathProf - Differenzialgleichung - Ordnung

 

Eine Gleichung in der die n-te Ableitung einer unbekannten Funktion y = y(x) auftritt, wird als Differenzialgleichung n-ter Ordnung bezeichnet. Eine Differenzialgleichung kann als Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion aufgefasst werden. Dieses Unterprogramm ermittelt die Lösungskurve y = y(x) derartiger Differenzialgleichungen der:

 

2. Ordnung: y'' = f(x,y,y')

3. Ordnung: y(3) = f(x,y,y',y'')

4. Ordnung: y(4) = f(x,y,y',y'',y(3))

5. Ordnung: y(5) = f(x,y,y',y'',y(3),y(4))

6. Ordnung: y(6) = f(x,y,y',y'',y(3),y(4),y(5))

7. Ordnung: y(7) = f(x,y,y',y'',y(3),y(4),y(5),y(6))

8. Ordnung: y(8) = f(x,y,y',y'',y(3),y(4),y(5),y(6),y(7))

 

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Differenzialgleichung - höherer Ordnung


Wenden Sie die nachfolgend geschilderte Vorgehensweise an, um Lösungskurven von DGL n-ter Ordnung ermitteln und grafisch ausgeben zu lassen:

  1. Legen Sie die Ordnung der Differenzialgleichung durch eine Bedienung des Steuerelements Ordnung der DGL fest.
     
  2. Definieren Sie die zu analysierende Differenzialgleichung, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im dafür vorgesehenen Eingabefeld.
     
  3. Tragen Sie in die Felder x0 =, y(x0) =, y'(x0) =, y''(x0) =  etc. die entsprechenden Startwerte ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = einen Maximalwert für x1 fest, über welchen die Ergebnisse ausgegeben werden sollen.
     
  4. Legen Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken Anz. Schritte die Anzahl der bei Berechnungen durchzuführenden Schritte fest.
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  6. Möchten Sie sich die Lösungskurve grafisch darstellen lassen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen bzw. Vollständig darstellen, ob die Lösungskurve über den gesamten Darstellungsbereich ausgegeben werden soll, oder lediglich innerhalb des festgelegten Intervallbereichs x0 < x < x1.

    Wurde der Kontrollschalter mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen gewählt, so legen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Bereich markieren fest, ob bei der Darstellung der Lösungskurve eine Markierung des gewählten Intervallbereichs erfolgen soll.

Beachten Sie:

Für die Bezeichnungen der Ableitungen müssen Sie bei der Formulierung des Funktionsterms einer Differenzialgleichung in diesem Unterprogramm folgende Zeichen verwenden:

 

1. Ableitung y': Y1

2. Ableitung y'': Y2

3. Ableitung y(3): Y3

4. Ableitung y(4): Y4

5. Ableitung y(5): Y5

6. Ableitung y(6): Y6

7. Ableitung y(7): Y7

 

Hinweis:

Die Auflösungsgenauigkeit bei Ausgabe der grafischen Darstellung hängt von der gewählten Schrittanzahl zur numerischen Ermittlung der Lösungen ab. Je höher diese gewählt wird, desto exakter wird der Funktionsverlauf dargestellt.

 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

DGL 1. Ordnung

DGL – Gleichungssystem

 

Beispiel

 

Wird die Differenzialgleichung 2. Ordnung y'' = y'+2·y analytisch gelöst, so lautet die exakte Lösungsfunktion y = e2·x + 2·e-x.

 

Vorgehensweise:

 

Um die Lösungen dieser DGL im Intervall 0 < x < 1 numerisch ermitteln zu lassen, stellen Sie mit Hilfe des Steuerelements Ordnung der DGL den Wert 2 ein. Definieren Sie die Differenzialgleichung y'' = y'+2·y, indem Sie in das Feld y'' = die Zeichenfolge Y1+2*Y (für die 1. Ableitung y' ist die Zeichenkombination Y1 zu verwenden) eingeben.

Legen Sie die Startwerte x0 = 0, y(x0) = 3 und y'(x0) = 0 in den entsprechenden Eingabefeldern fest und geben Sie in das Feld Bereich von x0 bis x1 = den Wert 1 ein.

Positionieren Sie den Rollbalken Anz. Schritte auf 500, so erhalten Sie nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen für die gestellten Anfangswertbedingungen folgende Ergebnisse (Auszug).
 

X Y  Y'
0 3,00000 0
0,1 3,03108 0,63313
0,2 3,12929 1,34619
0,3 3,30376 2,16260
0,4 3,56618 3,11044
0,5 3,93134 4,22350
0,6 4,41774 5,54261
0,7 5,04837 7,11723
0,8 5,85169 9,00741
0,9 6,86279 11,28616
1,0 8,12481 14,04235


Wie zu erkennen ist, entsprechen diese numerisch ermittelten Werte denen, welche die analytisch ermittelte Funktion y = e2·x + 2·e-x in diesem Bereich besitzt, sehr gut.
 

Module zum Themenbereich Algebra


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