MathProf - Negative Binomialverteilung - Logistische Verteilung - Gamma-Verteilung - Weibull-Verteilung - Chi-Quadrat-Verteilung - F-Verteilung - Betaverteilung - Exponentialverteilung - Quantile - Freiheitsgrad - Rechner - Perzentile
MathProf - Stochastik - Statistik - Software für interaktive und numerische Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D-Animationen und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Analysen
mit stetig verteilten Zufallsgrößen sowie zur Ausgabe
der Werte für Dichte und Verteilung einer Wahrscheinlichkeit in Tabellen und Diagrammen.
Der in diesem Teilprogramm implementierte Rechner ermöglicht die Durchführung der Wahrscheinlichkeitsrechung mit häufig verwendeten stetigen Verteilungen sowie die grafische Darstellung derer Wahrscheinlichkeitsfunktion (Verteilungsfunktion) und Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte). Die vom Programm ermittelten Lösungen werden in einer Tabelle ausgegeben und lassen sich ausdrucken.
Nach einer Festlegung der Werte der entsprechenden Parameter erfolgt das Berechnen der Quantile (Perzentile) der gewählten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Zur Verfügung stehen die Standardnormalverteilung, die F-Verteilung, die Beta-Verteilung (Betaverteilung), die Exponentialverteilung, die Laplace-Verteilung, die Gaußsche Normalverteilung, die Standard-Normalverteilung, die Pareto-Verteilung, die logarithmische Normalverteilung, die t-Verteilung, die Dreiecksverteilung (Triangularverteilung), die Weibull-Verteilung, die Maxwell-Verteilung, die negative Binomialverteilung, die Chi-Quadrat-Verteilung sowie die Gamma-Verteilung.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind eingebunden.
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Themen und Stichworte:Stochastik - Stetige Verteilung - Statistische Verteilungen - Freiheitsgrade einer Verteilung - Verteilungsfunktion - Dichtefunktion - Erwartungswert - Tabelle - Stetige Zufallsgröße - Stetige Zufallsvariable - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Standardnormalverteilung - Quantile berechnen - Quantiltabelle - Tabelle für Dichte und Verteilung stetiger Verteilungen - Φ (z)-Tabelle - Quantile der Normalverteilung - Quantile der t-Verteilung - t-Verteilungstabelle - Normalverteilungstabelle - Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung - Quantile stetiger Verteilungen - Verteilungsdichte - Verteilungstabellen - Quantiltabelle - Freiheitsgrade - Dichte - Quantile - Formel der Normalverteilung - Normalverteilungskurve - Normalverteilungstabelle - Tabelle der Standardnormalverteilung - Phi-Tabelle - Sigma-Tabelle - Perzentile - Wahrscheinlichkeit - Parameter - Varianz |
Stetige Verteilungen
Im Unterprogramm [Stochastik] - [Stetige Verteilungen] - Stetige Verteilungen lassen sich statistische Berechnungen mit stetigen Verteilungen durchführen. Ermittelte Werte (Dichte, Verteilung und Quantile) werden in Tabellen ausgegeben und Zusammenhänge zu diesem Fachthema können grafisch veranschaulicht werden.
Stetige Verteilungen beschreiben Wahrscheinlichkeitsverteilungen, bei welchen die Zufallsgröße innerhalb eines Bereichs reelle Zahlenwerte annehmen kann. Bei diskreten Verteilungen hingegen sind dies nur ganzzahlige Werte.
Mit Hilfe dieses Moduls können Werte für die Dichte und Verteilung folgender stetiger Verteilungsfunktionen errechnet werden:
- Beta-Verteilung (Betaverteilung)
- Cauchy-Verteilung
- Chi ²-Verteilung (Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgrad)
- Exponential-Verteilung
- F-Verteilung (mit Freiheitsgrad)
- Gamma-Verteilung
- Laplace-Verteilung
- Logistische Verteilung
- Logarithmische Normalverteilung
- Gaußsche Normalverteilung
- Standard-Normalverteilung
- Pareto-Verteilung
- Student-t-Verteilung (mit Freiheitsgrad)
- Dreiecksverteilung (Triangularverteilung)
- Uniform-Verteilung
- Weibull-Verteilung
- Negative Binomialverteilung
- Maxwell-Verteilung
Darüber hinaus ist es möglich, die Quantile für Irrtumswahrscheinlichkeiten der entsprechenden Verteilungsarten ermitteln zu lassen.
Berechnung und Darstellung
Um Wahrscheinlichkeitsberechnungen durchführen zu lassen und sich Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
- Wählen Sie durch einen Klick auf das entsprechende Registerblatt Dichte und Verteilung aus, ob Dichte oder Verteilung einer Verteilungsart ermittelt werden sollen.
- Selektieren Sie durch die zur Verfügung stehende Auswahlbox Verteilungsart, mit welcher Verteilungsart Berechnungen durchzuführen sind.
- Legen Sie die benötigten Parameterwerte bzw. Freiheitsgrade durch die Eingabe der entsprechenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Felder im Formularbereich Parameter fest.
Bei den Verteilungsarten sind die Werte folgender Parameter bzw. Freiheitsgrade festzulegen:
Beta-Verteilung: Parameter α und β
Cauchy-Verteilung: Parameter x0 und γ
Chi²-Verteilung: Freiheitsgrad F
Exponential-Verteilung: Parameter λ
F-Verteilung: Freiheitsgrad F1 und Freiheitsgrad F2
Gamma-Verteilung: Parameter k und φ
Laplace-Verteilung: Parameter μ und b
Logistische Verteilung: Parameter μ und s
Logarithmische Normalverteilung: Parameter μ und s2
Gauß'sche Normalverteilung: Parameter μ und σ2
Standard-Normalverteilung: -----
Pareto-Verteilung: Parameter k und xm
Student-t-Verteilung: Freiheitsgrad F
Dreiecksverteilung: Parameter a, b und c
Uniform-Verteilung: Parameter a und b
Weibull-Verteilung: Parameter λ und k
Neg. Binomialverteilung: Parameter k und r
Maxwell-Verteilung: Parameter a
- Definieren Sie den Wertebereich (von x1...bis x2) und die zur Berechnung erforderliche Schrittweite durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die dafür vorgesehenen Felder.
- Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die Ergebnisse in den zur Verfügung stehenden Tabellen ausgegeben.
- Dichte- und Verteilungsskurven können Sie sich anzeigen lassen, indem Sie die Schaltfläche Darstellen bedienen.
Möchten Sie die Ergebnisse der zuletzt durchgeführten Berechnung löschen, so bedienen Sie hierfür die Schaltfläche Löschen.
Video
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Bedienformular
- Dichtekurve: Darstellung der Dichtekurve der Verteilung ein-/ausschalten
- Verteilungskurve: Darstellung der Verteilungskurve der Verteilung ein-/ausschalten
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Mathematische Zusammenhänge
Beta-Verteilung:
Dichte:
f(x,a,b) = xa-1(1-x)b-1/B(a,b)
Verteilung:
F(x,a,b) = Ix(a,b)
mit:
a,b: Parameter (a > 0, b > 0)
B(a,b): Beta-Funktion
Ix(a,b): regularisierte unvollständige Betafunktion
x: Zufallsgröße
Cauchy-Verteilung:
Dichte:
Verteilung:
x0,γ: Parameter (γ > 0)
x: Zufallsgröße
Chi²-Verteilung:
Dichte:
Verteilung:
n: Freiheitsgrad (n ≤ 0)
x: Zufallsgröße
Exponential-Verteilung:
Dichte:
Verteilung:
λ: Parameter (λ > 0)
x: Zufallsgröße
F-Verteilung:
Dichte:
Verteilung:
mit:
m,n: Freiheitsgrade (m > 0, n > 0)
x: Zufallsgröße
Gamma-Verteilung:
Dichte:
Verteilung:
k,f: Parameter (k > 0, φ > 0)
x: Zufallsgröße
Laplace-Verteilung:
Dichte:
Verteilung:
μ,b: Parameter (b > 0)
x: Zufallsgröße
Logistische-Verteilung:
Dichte:
Verteilung:
μ,s: Parameter (s > 0)
x: Zufallsgröße
Logarithmische-Normalverteilung:
Dichte:
Verteilung:
mit:
μ,σ: Parameter (σ > 0)
x: Zufallsgröße
Gauß'sche-Normalverteilung:
Dichte:
Verteilung:
mit:
μ,s: Parameter (σ² > 0)
x: Zufallsgröße
Standard-Normalverteilung:
Dichte:
Verteilung:
mit:
x: Zufallsgröße
Pareto-Verteilung:
Dichte:
Verteilung:
k,xm: Parameter (k > 0, xm > 0)
x: Zufallsgröße
Student-t-Verteilung:
Dichte:
Verteilung:
mit:
n: Freiheitsgrade (n > 0)
x: Zufallsgröße
Dreiecksverteilung:
Dichte:
Verteilung:
a,b,c: Parameter (a < b, a < c < b)
x: Zufallsgröße
Uniform-Verteilung:
Dichte:
Verteilung:
a,b: Parameter
x: Zufallsgröße
Weibull-Verteilung:
Dichte:
Verteilung:
λ,k: Parameter (λ > 0, k > 0)
x: Zufallsgröße
Negative Binomialverteilung:
Dichte:
Verteilung:
mit:
k,r: Parameter (k ∈ {0,1,3...}, r > 0)
x: Zufallsgröße
Maxwell Verteilung:
Dichte:
Verteilung:
mit:
a: Parameter (a > 0)
x: Zufallsgröße
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