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MathProf - Stetige Verteilung (Normalverteilung - F-Verteilung - Quantile)

MathProf - Mathematik-Software - Stetige Verteilung | Normalverteilung | Grafik | Statistik

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Stetige Verteilung | Normalverteilung | Grafik | Statistik

Online-Hilfe für das Modul
zur Durchführung von Analysen
mit stetig verteilten Zufallsgrößen und der Ausgabe
von Ergebnissen in Tabellen. Wahrscheinlichkeitsrechung mit Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion (Verteilungsfunktion) und der Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte). Ausgabe der Quantile der entsprechenden Verteilungsart wie der Normalverteilung, der F-Verteilung, der Weibull-Verteilung, der Chi² -Verteilung und der Gamma-Verteilung.

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Stetige Verteilung

Im Unterprogramm [Stochastik] - [Stetige Verteilungen] - Stetige Verteilungen lassen sich statistische Berechnungen mit stetigen Verteilungen durchführen. Ermittelte Werte (Dichte, Verteilung und Quantile) werden in Tabellen ausgegeben und Zusammenhänge zu diesem Fachthema können grafisch veranschaulicht werden.

Stetige Verteilungen beschreiben Wahrscheinlichkeitsverteilungen, bei welchen die Zufallsgröße innerhalb eines Bereichs reelle Zahlenwerte annehmen kann. Bei diskreten Verteilungen hingegen sind dies nur ganzzahlige Werte.

Mit Hilfe dieses Moduls können Werte für die Dichte und Verteilung folgender stetiger Verteilungsfunktionen errechnet werden:

Beta - Verteilung
Cauchy - Verteilung
Chi ² - Verteilung (mit Freiheitsgrad)
Exponential - Verteilung
F - Verteilung (mit Freiheitsgrad)
Gamma - Verteilung
Laplace - Verteilung
Logistische Verteilung
Logarithmische Normalverteilung
Gauß'sche Normalverteilung
Standard-Normalverteilung
Pareto - Verteilung
Student-t - Verteilung (mit Freiheitsgrad)
Dreiecksverteilung (Simpson-Verteilung)
Uniform - Verteilung
Weibull - Verteilung
Neg. Binomialverteilung
Maxwell - Verteilung

Darüber hinaus ist es möglich, die Quantile für Irrtumswahrscheinlichkeiten der entsprechenden Verteilungsarten ermitteln zu lassen.

Berechnung und Darstellung

MathProf - Wahrscheinlichkeitsfunktion - Dichtefunktion - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Quantile - Laplace-Verteilung - Freiheitsgrade - Verteilungsfunktion

Um Wahrscheinlichkeitsberechnungen durchführen zu lassen und sich Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:

Wählen Sie durch einen Klick auf das entsprechende Registerblatt Dichte und Verteilung aus, ob Dichte oder Verteilung einer Verteilungsart ermittelt werden sollen.
Selektieren Sie durch die zur Verfügung stehende Auswahlbox Verteilungsart, mit welcher Verteilungsart Berechnungen durchzuführen sind.
Legen Sie die benötigten Parameterwerte bzw. Freiheitsgrade durch die Eingabe der entsprechenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Felder im Formularbereich Parameter fest.

Bei den Verteilungsarten sind die Werte folgender Parameter bzw. Freiheitsgrade festzulegen:

Beta-Verteilung: Parameter α und β
Cauchy-Verteilung: Parameter x₀ und γ
Chi²-Verteilung: Freiheitsgrad F
Exponential-Verteilung: Parameter λ
F-Verteilung: Freiheitsgrad F1 und Freiheitsgrad F2
Gamma-Verteilung: Parameter k und φ
Laplace-Verteilung: Parameter μ und b
Logistische Verteilung: Parameter μ und s
Logarithmische Normalverteilung: Parameter μ und s²
Gauß'sche Normalverteilung: Parameter μ und σ²
Standard-Normalverteilung: -----
Pareto-Verteilung: Parameter k und x_m
Student-t-Verteilung: Freiheitsgrad F
Dreiecksverteilung: Parameter a, b und c
Uniform-Verteilung: Parameter a und b
Weibull-Verteilung: Parameter λ und k
Neg. Binomialverteilung: Parameter k und r
Maxwell-Verteilung: Parameter a
Definieren Sie den Wertebereich (von x1...bis x2) und die zur Berechnung erforderliche Schrittweite durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die dafür vorgesehenen Felder.
Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die Ergebnisse in den zur Verfügung stehenden Tabellen ausgegeben.
Dichte- und Verteilungsskurven können Sie sich anzeigen lassen, indem Sie die Schaltfläche Darstellen bedienen.

Möchten Sie die Ergebnisse der zuletzt durchgeführten Berechnung löschen, so bedienen Sie hierfür die Schaltfläche Löschen.

Video

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

MathProf - Maxwell-Verteilung - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Wahrscheinlichkeitsdichte - Quantile - Freiheitsgrad

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

Dichtekurve: Darstellung der Dichtekurve der Verteilung ein-/ausschalten
Verteilungskurve: Darstellung der Verteilungskurve der Verteilung ein-/ausschalten

Allgemein

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Mathematische Zusammenhänge

Beta-Verteilung:

Dichte:

f(x,a,b) = x^a-1(1-x)^b-1/B(a,b)

Verteilung:

F(x,a,b) = I_x(a,b)

mit:

a,b: Parameter (a > 0, b > 0)

B(a,b): Beta-Funktion

I_x(a,b): regularisierte unvollständige Betafunktion

x: Zufallsgröße

Cauchy-Verteilung:

Dichte:

Verteilung:

x₀,γ: Parameter (γ > 0)

x: Zufallsgröße

Chi²-Verteilung:

Dichte:

Verteilung:

n: Freiheitsgrad (n ≤ 0)

x: Zufallsgröße

Exponential-Verteilung:

Dichte:

Verteilung:

λ: Parameter (λ > 0)

x: Zufallsgröße

F-Verteilung:

Dichte:

Verteilung:

mit:

m,n: Freiheitsgrade (m > 0, n > 0)

x: Zufallsgröße

Gamma-Verteilung:

Dichte:

Verteilung:

k,f: Parameter (k > 0, φ > 0)

x: Zufallsgröße

Laplace-Verteilung:

Dichte:

Verteilung:

μ,b: Parameter (b > 0)

x: Zufallsgröße

Logistische-Verteilung:

Dichte:

Verteilung:

μ,s: Parameter (s > 0)

x: Zufallsgröße

Logarithmische-Normalverteilung:

Dichte:

Verteilung:

mit:

Logarithmiache Normalverteilung - Gleichung - 3

μ,σ: Parameter (σ > 0)

x: Zufallsgröße

Gauß'sche-Normalverteilung:

Dichte:

Verteilung:

mit:

μ,s: Parameter (σ² > 0)

x: Zufallsgröße

Standard-Normalverteilung:

Dichte:

Verteilung:

mit:

Standard-Normalverteilung- Gleichung - 3

x: Zufallsgröße

Pareto-Verteilung:

Dichte:

Verteilung:

k,x_m: Parameter (k > 0, x_m > 0)

x: Zufallsgröße

Student-t-Verteilung:

Dichte:

Verteilung:

mit:

n: Freiheitsgrade (n > 0)

x: Zufallsgröße

Dreiecksverteilung:

Dichte:

Verteilung:

a,b,c: Parameter (a < b, a < c < b)

x: Zufallsgröße

Uniform-Verteilung:

Dichte:

Verteilung:

a,b: Parameter

x: Zufallsgröße

Weibull-Verteilung:

Dichte:

Verteilung:

λ,k: Parameter (λ > 0, k > 0)

x: Zufallsgröße

Negative Binomialverteilung:

Dichte:

Verteilung:

mit:

Negative Binomialverteilung - Gleichung - 4

Negative Binomialverteilung - Gleichung - 5

k,r: Parameter (k ∈ {0,1,3...}, r > 0)

x: Zufallsgröße

Maxwell Verteilung:

Dichte:

Verteilung:

mit:

a: Parameter (a > 0)

x: Zufallsgröße

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