MathProf - Isogonal konjugierte Punkte

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Isogonal konjugierte Punkte

 

Das Unterprogramm [Trigonometrie] - Isogonal konjugierte Punkte ermöglicht die Darstellung von Kurven, welche durch isogonal konjugierte Punkte eines Dreiecks beschrieben werden.

 

MathProf - Dreieck - isogonal

 

Gegeben seien ein Dreieck ABC, sowie ein Punkt P der nicht auf einer Dreiecksseite liegt. Werden die Geraden (Ecktransversalen) durch die Punkte A und P, B und P sowie C und P an den Winkelhalbierenden der Dreiecksinnenwinkel α, β und γ gespiegelt, so schneiden sich die Spiegelbilder derer in einem Punkt P'. Punkt P' wird als der zu P isogonal konjugierte Punkt bezüglich des Dreiecks ABC bezeichnet.

 

Wird diese Definition nicht nur auf Punkt P, sondern auf die Menge aller Punkte einer Geraden durch die Punkte P und Q angewandt und werden für alle Punkte dieser Geraden isogonal konjugierte Punkte ermittelt, so werden hierdurch Kurven beschrieben, die Kegelschnitte darstellen.

 

Verläuft die Gerade durch die Punkte P und Q den Umkreismittelpunkt des Dreiecks, sowie dessen Lemoine-Punkt, so bildet sich eine gleichseitige Hyperbel, die durch die Eckpunkte des Dreiecks, dessen Schwerpunkt, dessen Höhenschnittpunkt, dessen Spieker-Punkt, dessen Fermat-Punkte und dessen Napoleon-Punkte verläuft.

 

Dieses Unterprogramm nutzt die oben beschriebene Methode, unter Verwendung der Menge aller Punkte einer Strecke PQ.

 

Wird das Kontrollkästchen Ecktransversalen aktiviert, so werden die Ecktransversalen an Punkt P eingeblendet. Wird das Kontrollkästchen gespieg. Ecktransv. aktiviert, so werden die an den Winkelhalbierenden der Dreiecksinnenwinkel gespiegelten Ecktransversalen an Punkt P eingeblendet. Möchten Sie außerdem die Winkelhalbierenden des Dreiecks darstellen lassen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Winkelhalbierende. Das Kontrollkästchen Inkreis ermöglicht die Darstellung des Inkreises des Dreiecks.

 

Darstellung

 

Führen Sie Folgendes aus, um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen:
 

  1. Zur exakten Positionierung der Eckpunkte des Dreiecks klicken Sie auf die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     

  2. Möchten Sie die Positionen von Anfasspunkten des Dreiecks mit der Maus verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     

  3. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

 

Bedienformular

 

MathProf - Dreieck - Transversalen
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Kurve hervorheben: Linienstärke der Kurve normal/fett

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln

Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte

Allgemeines Dreieck – Interaktiv

 

Beispiel

 

Lassen Sie sich ein Dreieck darstellen, welches durch die Eckpunkte A (-2 / 5), B (-5 / -3) und C (2 / -7) beschrieben wird und positionieren Sie die Punkte P auf (0 / -9) und Q auf (-4 / 8), so gibt das Programm (nach Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen) folgende Werte aus:

 

Isogonal konjugierte Punkte:

 

Koordinaten des zu P isogonal konjugierten Punkts: P' (-5,016 / -11,677)

Koordinaten des zu Q isogonal konjugierten Punkts: Q' (-6,615 / -1,38)

 

Inkreis des Dreiecks:

 

Mittelpunkt: MP (-2,129 / -1,964)

Radius: r = 2,324

 

Innenwinkel des Dreiecks:

 

Winkel BAC: 38,991°

Winkel ABC: 99,189°

Winkel ACB: 41,82°
 

Module zum Themenbereich Trigonometrie


Rechtwinkliges Dreieck - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln - Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Satz des Pythagoras - Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras - Satz des Thales - Höhensatz - Kathetensatz - Winkel am Dreieck - Innenwinkel des Dreiecks - Winkel am Kreis - Winkel an Parallelen - Sinus und Cosinus am Einheitskreis - Tangens und Cotangens am Einheitskreis - Tangentendreieck - Höhenfußpunktdreieck - Lamoen-Kreis - Taylor-Kreis - Euler-Gerade - Simson-Gerade - Satz von Ceva - Isodynamische Punkte des Dreiecks - Isogonal konjugierte Punkte - Spieker-Punkt - Apollonius-Punkt


Zur Inhaltsseite