MathProf - Mandelbrotmengen und Juliamengen

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Mandelbrotmengen und Juliamengen

 

Das Unterprogramm [Sonstiges] - [Fraktale] - Mandelbrot- und Juliamengen ermöglicht die grafische Darstellung verschiedener Varianten von Julia- und Mandelbrotmengen

 

MathProf - Mandelbrotmengen


Fraktale sind mathematische Objekte, die selbstähnlich und chaotisch sind. Die meisten Fraktale, unter denen das sogenannte Apfelmännchen wahrscheinlich eines der bekanntesten ist, werden durch mathematische Gleichungen erzeugt. Die faszinierenden Bilder entstehen, indem Lösungen iterativer Prozesse unter Verwendung von Farbzuordnungen in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Es sind sich selbst ähnliche Strukturen, die sich auf verschiedenen Abbildungsebenen immer wiederholen.

Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Fraktalen und dem physikalischen Begriff des sogenannten determinierten Chaos. Heute eröffnen Simulationsmethoden auf der Grundlage der Chaos-Theorie völlig neue Einblicke in das Weltbild der Wissenschaft und führen zu veränderten Denk- und Arbeitsmöglichkeiten. 

In diesem Unterprogramm können mehr als 100 verschiedene Varianten von Fraktalen grafisch ausgegeben und analysiert werden. Zu den bekanntesten gehören die Julia- und Mandelbrotmengen, auf welche nachfolgend kurz eingegangen wird.

Zusammenhänge

Die sogenannte Mandelbrot-Menge (benannt nach ihrem Entdecker Benoit Mandelbrot) ist eine Teilmenge der komplexen Ebene. Wird ein Bildschirm als Ausschnitt aus einer Ebene aufgefasst und wird ein Punkt dieser Ebene mit den Koordinaten (x ,y) als komplexe Zahl z = x + iy behandelt, so können komplexe Zahlen als Punkte auf dem Bildschirm dargestellt werden. Eine Mandelbrot-Menge entsteht, wenn die durch Iteration definierte Folge zn+1 = zn2 + c für komplexe c mit z0 = c untersucht wird und danach gefragt wird, ob sie konvergiert oder divergiert.

Der Zusammenhang lässt sich im komplexen Zahlenbereich beschreiben mit:

f(zn) = xn-1² - yn-1² +cr + i· (2xn-1· yn-1 + ci)

 

mit den komplexen Zahlen:

 

z = x + iy

c = cr + ci
 

Die Iteration wird mit den Startwerten x = 0 und y = 0 begonnen. Wird diese entweder nach dem Erreichen einer festgelegten Anzahl durchzuführender Iterationen oder dem Überschreiten eines festgelegten Werts abgebrochen, so erhält man die Mandelbrotmenge (Apfelmännchen).

Der Abbruch erfolgt, wenn der Betrag von z größer ist als der festgelegte Grenzwert (|z| > Grenzwert).

Da es möglich ist einen Grenzwert dafür zu bilden, durch welchen bestimmt wird, ob die Iteration bei einem vorgegebenen Wert c konvergiert oder divergiert, wird sowohl ein Grenzwert, wie auch eine Zahl festgelegt, welche die Anzahl durchzuführender Iterationen bestimmt. Das Vorliegen einer Divergenz wird angenommen, wenn der iterativ ermittelte Betrag der Größe z diesen Grenzwert einmalig überschreitet. Wird der Grenzwert hingegen während der Iteration nicht überschritten, so wird Konvergenz angenommen. Die eigentliche Mandelbrotmenge wird durch den mehrfarbig gefärbten Bereich dargestellt, für dessen Punkte die Iteration nicht divergiert. 

Der französische Mathematiker Gaston Julia untersuchte bereits zu Anfang des 20. Jahrhunderts den oben aufgeführten Zusammenhang. Bei Mandelbrotmengen ist die komplexe Konstante c veränderlich und die entsprechenden Punktkoordinaten (Pixelfärbung) werden hierdurch ermittelt. Bei Julia-Mengen hingegen werden der reelle, wie auch der imaginäre Teil dieses Wertes konstant gehalten.

Julia-Mengen sind die Punkte der Koordinatenebene, für welche die Iteration den bestimmten Abbruchwert nicht überschreiten (konvergieren).

Darstellung

Um sich Mandelbrot- und Juliamengen darstellen zu lassen, sollten Sie Folgendes durchführen:
 

  1. Ist keine Auswahlliste eingeblendet, so wählen Sie den Menüpunkt Datei / Fraktalauswahl einblenden.
     
  2. Führen Sie einen Doppelklick auf einen Eintrag in der links zur Verfügung stehenden Auswahlliste aus. Erscheint daraufhin ein Fenster zur Eingabe formelspezifischer Parameter, so können Sie diese ggf. ändern. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Übernehmen wird das Fraktal dargestellt.

Durch die Benutzung der Symbolschaltflächen - bzw. + können Sie die Anzahl durchzuführender Iterationen reduzieren bzw. erhöhen (deren Anzahl wird in der Statusleiste am unteren linken Bildschirmrand angezeigt).

Mit Hilfe der in der Symbolleiste zur Verfügung stehenden Lupensymbole kann der Darstellungsbereich vergrößert, verkleinert bzw. in den Urzustand zurückversetzt werden.

Möchten Sie den Ausgabebereich der Darstellung durch Mausbedienung vergrößern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den Darstellungsbereich des Fensters und ziehen unter Festhalten dieser Taste ein Rechteck auf (von links nach rechts und von oben nach unten). Nach dem Loslassen der Maustaste wird der umrandete Bereich auf den Gesamtdarstellungsbereich vergrößert. Um die Darstellung zu verkleinern, positionieren Sie den Mauszeiger innerhalb des Darstellungsbereichs und bedienen die rechte Maustaste. Der Koordinatenwertebereich der Darstellung wird um den Faktor 1:2 verkleinert.

Durch die Verwendung des Menübefehls Berechnung - Berechnung / Starten bzw. Berechnung - Berechnung / Stoppen können Sie die Durchführung der Berechnung und somit die Aktualisierung der grafischen Darstellung veranlassen bzw. abbrechen.

Animation und Farbeinstellungen

MathProf - Juliamengen

Unter dem Menüpunkt Farbpalette kann eine Farbrotation initialisiert werden. Hierbei werden die 256 zur Darstellung des Fraktals verwendeten Farben bei einer Animation in kurzen Zeitabständen zyklisch vertauscht.

Durch eine Bedienung der Schaltfläche Mischen können Sie die zu verwendende Farbtauschfolge verändern. Bei einer Benutzung der Schaltflächen Nach links und Nach rechts können die beim Ablauf einer Animation zu durchlaufenen Farbtauschfolgen manuell ausgewählt werden. Diese Farbeinstellungen bleiben nach dem Schließen des Formulars erhalten.

Eine Benutzung der Schaltfläche Animation starten veranlasst das Programm, die gewählte Farbtauschfolge während der Darstellung unter Durchführung einer Simulation auszuführen.

Durch das Anklicken der Schaltfläche Ausblenden kann das Farbpalettenfenster während einer laufenden Simulation ausgeblendet werden. Eine Schaltfläche, die ein erneutes Einblenden des Farbpalettenfensters ermöglicht, erscheint daraufhin in der Symbolleiste.

Eine Animation können Sie wieder beenden, wenn Sie die auf dem Farbpalettenfenster zur Verfügung stehende Schaltfläche Beenden bedienen, oder im Menü des Hauptformulars den Eintrag Animation beenden wählen.

Hinweise

Die Berechnungszeit zur Darstellung von Fraktalen kann u.U. sehr zeitaufwendig sein. Möchten Sie die Aktualisierung einer Darstellung abbrechen, so können Sie hierfür den Menübefehl Berechnung / Berechnung stoppen wählen bzw. die Taste F3 oder die Taste ESC bedienen.

Einige Fraktale benötigen sog. formelspezifische Parameter. Hierbei handelt es sich um Real- bzw. Imaginärstartwerte für Konstanten. Diese können nach Aufruf eines Eintrags für die entsprechende Variante definiert werden. Zudem können zur Berechnung der Grenzwerte verschiedene Rundungsmethoden vorgegeben werden, welche Einfluss auf die Konvergenz bzw. Divergenz haben.

Benötigte Zahlenwerte können in den, nach getroffener Auswahl, erscheinenden Eingabefeldern festgelegt werden. Die bei der Berechnung zu verwendenden Rundungsmethoden können durch die Wahl eines Eintrags der zur Verfügung stehenden Auswahlboxen bestimmt werden.

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Übernehmen werden die Berechnungen mit den vorgegebenen Parameterwerten durchgeführt und die Darstellung wird aktualisiert.

Allgemein

Möchten Sie die aktuelle Darstellung in die Zwischenablage kopieren, so können Sie den Befehl Datei / Darstellung in Zwischenablage kopieren verwenden. Das Bild steht somit zur Bearbeitung mit weiteren Anwendungen zur Verfügung.

Um ein Bild im Bitmap-Format abzuspeichern, verwenden Sie den Befehl Datei / Darstellung speichern.

Über den Menübefehl Datei / Beenden kehren Sie wieder zum Hauptformular des Programms zurück. Werden vom Programm keine Berechnungen durchgeführt, so bewirkt eine Benutzung der Taste ESC dasselbe.

Weitere Themenbereiche

Zusammenhänge Mandelbrot-Juliamengen
 

Module zum Themenbereich Sonstiges


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