MathProf - Achsenabschnittsform einer Gerade - Lineare Funktionen - Berechnung

MathProf - Planimetrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen. Sie eignet sich sowohl für den Einsatz zur Prüfungsvorbereitung wie auch zur praktischen Anwendung im Alltag. Es handelt sich um ein einfach bedienbares Programm für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Praktizierung interaktiver Untersuchungen
mit Geraden, beschrieben duch Funktionsgleichungen in Achsenabschnittsform.

Dieses Teilprogramm eignet sich zur Durchführung von Analysen und Ausführung von Simulationen mit Geraden dieser Art. Es ermöglicht es, sich den Graph einer linearen Funktion dieser Art zeichnen zu lassen und entsprechende Operationen damit durchzuführen. Hierbei werden unter anderem deren x-Achsenabschnitt sowie deren y-Achsenabschnitt ermittelt und dargestellt.

Bei der Definition zweier Geraden dieses Typs erfolgt die Berechnung vom Schnittpunkt zweier Geraden, vom Winkel zwischen zwei Geraden sowie der Winkelhalbierenden zweier Geraden dieser Art. Neben der Bestimmung der Steigung einer derartig definierten Gerade ermöglicht die Benutzung dieses Programmpunkts auch die Ermittlung derer Funktionsgleichung in verschiedenen Varianten.

Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

Die Ausgabe der Werte einer Funktion dieser Art in einer Tabelle kann ebenfalls veranlasst werden.

 

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Themen und Stichworte: Lineare Funktionen - Geradengleichung in Achsenabschnittsform - Eigenschaften von Geraden - Schnittpunkt berechnen von zwei Geraden - Achsenabschnitte - Achsenschnittpunkte - Achsenabschnitt berechnen - Achsenabschnitt b - Proportionale Funktionen - Nullstellen berechnen von Geraden - Ermittlung der Nullstelle linearer Funktionen - Schnittwinkel zweier Geraden - Zeichnen linearer Funktionen - Schnittpunkte einer Gerade mit den Achsen - Bild - Grafik - Formeln - Grafische Darstellung - Schnittpunkte einer Gerade mit den Koordinatenachsen - Schnittpunkt einer Gerade mit der x-Achse - Schnittpunkt einer Gerade mit der y-Achse - Anstieg einer Gerade - X-Achsenabschnitt - Y-Achsenabschnitt - Vertikale Achse - Horizontale Achse - Eigenschaften linearer Funktionen

 

Mit Hilfe des Unterprogramms [Geometrie] - [Gerade] - Achsenabschnittsform können Geraden in Achsenabschnittsform untersucht werden.

Geraden (lineare Funktionen) in der Ebene können u.a. in einer der folgenden Formen definiert werden:

• Achsenabschnittsform

• Punkt-Richtungs-Form (Steigungsform)

• Zwei-Punkte-Form

• Hessesche Normalenform

• Allgemeine Form

In diesem Modul können Sie Geraden untersuchen, die in Achsenabschnittsform vorliegen. Sie werden durch die folgende Gleichung beschrieben:

Variable a gibt Auskunft über die Lage des Punkts A(a,0) auf der x-Achse und Variable b über die Lage des Punkts B(0,b) auf der y-Achse. Eine Beschreibung achsparalleler Geraden ist auf diese Art und Weise nicht möglich.

Das Programm ermittelt hierbei:

• Steigung der Geraden
• Gleichung der Geraden in Achsenabschnittsform sowie in Steigungsform
• X-Achsenabschnitt der Geraden (a)
• Y-Achsenabschnitt der Geraden (b)
• Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung
• Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden dieser Form
• Schnittpunkt zweier Geraden dieser Form

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit Geraden dieser Art durchzuführen:

1. Möchten Sie die Koordinatenwerte der Punkte einer Geraden exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
2. Um die Position eines Fangpunktes (Punkt A oder B) mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach oben oder unten, bzw. nach links oder nach rechts.
    
3. Sollen gleichzeitig zwei Geraden dieser Art dargestellt und der Schnittpunkt sowie die Winkelhalbierenden dieser ausgegeben werden, so aktivieren Sie die Kontrollkästchen 2 Geraden und die Kontrollkästchen SP sowie WH.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Schrittweite einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkte beschriften: Beschriftung relevanter Geradenpunkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten relevanter Geradenpunkte ein-/ausschalten
• Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien ein-/ausschalten

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

Gerade - Gerade

Gerade - Gerade - Interaktiv

Gerade - Punkt

Gerade – Punkt - Interaktiv

Geradensteigung

Nach Festlegung der Koordinatenwerte zweier Punkte A (2 / 0) und B (0 / 3) gibt das Programm bzgl. der Eigenschaften der Gerade Folgendes aus:

Gleichung der Geraden in Achsenabschnittsform: X/2 +Y/3 = 1

Gleichung der Geraden in Steigungsform: Y = -1,5·X+3

Steigung der Geraden: m = -1,5

X-Achsenabschnitt: a = 2

Y-Achsenabschnitt: b = 3

Abstand der Geraden vom Ursprung: d = 1,664

Werden die Kontrollkäschen 2 Geraden, WH sowie SP aktiviert und werden die Koordinatenwerte der Punkte, durch welche die zweite Gerade verlaufen soll mit C (10 / 0) und D (0 / -6) festgelegt, so gibt das Programm zusätzlich aus:

Für die zweite Gerade durch die Punkte C und D:

Gleichung der Geraden in Achsenabschnittsform: X/10 +Y/(-6) = 1

Gleichung der Geraden in Steigungsform: Y = 0,6·X-6

Steigung der Geraden: m = 0,6

X-Achsenabschnitt: a = 10

Y-Achsenabschnitt: b = -6

Abstand der Geraden vom Ursprung: d = 5,145

Für die Gleichungen der Winkelhalbierenden beider Geraden gibt das Programm aus:

Winkelhalbierende 1: Y = -0,225·X-2,465

Winkelhalbierende 2: Y = 4,447·X-22,488

Der Schnittpunkt beider Geraden wird ermittelt mit: S (4,286 / -3,429)
 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Achsenabschnittsform zu finden.

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