MathProf - Viereck - Eigenschaften - Allgemeine Vierecke - Diagonalen

Modul Allgemeines Viereck - Interaktiv

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Im Unterprogramm [Geometrie] - [Viereck] - Allgemeines Viereck - Interaktiv kann ein allgemeines Viereck interaktiv analysiert werden.

 

Ein Viereck ist eine von vier Seiten begrenzte ebene Figur. Ein allgemeines Viereck wird bestimmt durch vier Punkte A, B, C und D, von denen keine drei auf einer Geraden liegen. Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°. Die Linien, die die gegenüberliegenden Ecken eines Vierecks verbinden, werden als Diagonalen bezeichnet. Ein Viereck besitzt zwei Diagonalen.

Unregelmäßiges Viereck - Konkaves Viereck - Konvexes Viereck:
Erfüllen die Winkel oder Seiten eines Vierecks besondere Bedingungen, so besitzen diese bestimmte Namen. Es existieren Trapeze, Parallelogramme, Rauten, Drachenvierecke, Rechtecke oder Quadrate (siehe Vierecke). Erfüllen die Seiten oder Winkel eines Vierecks keine besondere Bedingungen, so wird von einem unregelmäßigen Viereck gesprochen.
 
Ein Viereck wird als konvex bezeichnet, wenn seine beide Diagonalen innerhalb dessen verlaufen. Ein allgemeines konvexes Viereck wird als Trapezoid bezeichnet. Liegt wenigstens eine seiner Diagonalen außerhalb dessen, so heißt es konkav.

Als beliebiges Viereck wird ein Polygon mit vier Seiten bezeichnet, die beliebige Längen besitzen, die miteinander über beliebige Winkel verbunden sind. Überschlagen sich die Seiten eines Vierecks, so handelt es sich um ein überschlagenes Viereck.
 

 
Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen eines allgemeinen Vierecks ABCD (Trapezoids) relevant sind.
 
Diagonalenlänge: e = √ a² + b² - 2ab · cos(β)
Diagonalenlänge: f = √ b² + c² - 2bc · cos(γ)
 
Innenwinkel:

α = arccos( (a² + d² - f²) / 2ad )
β = arccos( (a² + b² - e²) / 2ab )
γ = arccos( (b² + c² - f²) / 2bc )
δ = arccos( (c² + d² - e²) / 2cd )

Die Summe der Innenwinkel α, β, γ und δ eines Vierecks beträgt 360°. Schneiden sich die Diagonalen eines Viereck innerhalb dessen (konvexes Viereck), so sind alle seine Innenwinkel < 180°.
 
Umfang: U = a + b + c + d

Flächeninhalt: A = √ 4e²f² - (b² + d² - a² - c²)² / 4

Mit:
a,b,c,d: Seiten des Vierecks
 

Eigenschaften des allgemeinen Vierecks:

• Es besitzt 4 Eckpunkte (Ecken)
• Es besitzt 4 unterschiedlich lange Seiten
• Es besitzt 4 unterschiedlich große Innenwwinkel
• Es besitzt 2 Diagonalen, die als Segmente zwei gegenüberliegende Eckpunkte verbinden

Der Eckenschwerpunkt eines Vierecks ist der Schnittpunkt der Geraden, welche durch die Mittelpunkte der Seiten a, b, c und d des Vierecks verlaufen und somit der Strecken, die je zwei einander gegenüberliegende Seitenmitten verbinden.
 
Die Beschriftung der Punkte eines (allgemeinen) Vierecks erfolgt entgegen dem Uhrzeigersinn mit den Buchstaben A, B, C und D. Seine Seiten werden wie folgt beschriftet: a = AB, b = BC, c = CD, d = DA.  Die Beschriftung der Diagonalen erfolgt mit den Kleinbuchstaben e und f. Die Diagonale e verbindet die Eckpunkte A und C. Die Diagonale f verbindet die Eckpunkte B und D.
 

 
Nach der Wahl dieses Menüpunkts wird ein vordefiniertes Viereck grafisch dargestellt, dessen Eckpunktkoordinaten Sie verändern können. Hierzu haben Sie zwei Möglichkeiten:
 

• Anklicken eines Eckpunktes des Vierecks mit der linken Maustaste und Bewegen der Maus bei gedrückt gehaltener Maustaste.
   
• Bedienung der Schaltfläche Punkte und Eingabe der gewünschten Koordinaten in dem daraufhin erscheinenden Formular. Nach der Bedienung der Schaltfläche Ok wird das Viereck mit den vorgegebenen Koordinatenwerten dargestellt.

 
Hierbei werden nachfolgend aufgeführte Eigenschaften des dargestellten Vierecks ausgegeben und bei jeder Änderung der Koordinatenwerte der Eckpunkte aktualisiert:

• Punktkoordinaten (Punkte bzw. Eckpunkte A, B, C, D) des Vierecks
• Seitenlängen a, b, c, d des Vierecks
• Innenwinkel (Winkel BAD, ABC, BCD, DCA) des Vierecks
• Innenwinkelsumme des Vierecks
• Diagonalenlängen AC und BD des Vierecks
• Diagonalenschnittwinkel des Vierecks (falls vorhanden bzw. wenn der Schnittpunkt der Diagonalen innerhalb des Flächenbereichs des Vierecks liegt)
• Flächeninhalt des Vierecks

Zudem lassen sich durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen einblenden:

• Diagonalen des Vierecks
• Seitenhalbierende des Vierecks
• Mittelsenkrechten des Vierecks
• Winkelhalbierende des Vierecks

 

 
Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die Werte für Schrittweite, Verzögerung bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Mathe-Anwendungsaufgaben genutzt werden.

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen.

• Punkte: Beschriftung der Eckpunkte des Vierecks ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Eckpunkte des Vierecks ein-/ausschalten
• Bezeichnungen: Anzeige der Seitenbezeichnung des Vierecks ein-/ausschalten
• Füllen: Farbfüllung des Vierecks ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Viereck

Satz des Ptolemäus

 

 

Lassen Sie sich ein Viereck darstellen, welches durch die Eckpunkte A (4 / -5), B (-5 / 2), C (-4 / 6) und D (1 / 4) beschrieben wird, so gibt das Programm folgende Werte aus:

 

Länge der Seite a: 4,123

Länge der Seite b: 5,385

Länge der Seite c: 9,487

Länge der Seite d: 11,402

 

Innenwinkel BAD: 33,69°

Innenwinkel ABC: 113,839°

Innenwinkel BCD: 82,235°

Innenwinkel ADC: 130,236°

 

Die Innenwinkelsumme beträgt: 360°

 

Fläche des Vierecks: A = 41 FE

 

Länge der Diagonale e: 13,601   

Länge der Diagonale f: 6,325
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5
 
     
Grafische Darstellung - Beispiel 6

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter der Adresse Wikipedia - Viereck zu finden. 
 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Rechteck-Parallelogramm-Trapez-Raute-Drachenviereck

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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