MathProf - Archimedische Körper (3D)

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Archimedische Körper (3D)

 

Im Unterprogramm [Geometrie] - Archimedische Körper können die 13, als Archimedische Körper bezeichneten, halbregulären Polyeder dargestellt werden.

 

MathProf - Archimedische Körper


Ein Polyeder ist ein dreidimensionaler Körper, der durch eine endliche Zahl ebener Flächen (Polygone) begrenzt ist. Diese sind über Kanten und Ecken miteinander verbunden. Je zwei Flächen besitzen eine gemeinsame Kante. Die Schnittpunkte der Kanten von drei oder mehr Polygonen bilden die Ecken des Polyeders. In ihnen berühren sich stets drei oder mehr Polyederflächen. Gilt für sämtliche Ecken eines Polyeders, dass die Summe der Flächenwinkel der Flächen, die diese Ecken bilden, kleiner als 360° ist, so bezeichnet man ihn als konvex.

Eine Gruppe konvexer Polyeder sind die halbregulären Polyeder. Zu dieser gehören Prismen, Antiprismen, sowie die vierzehn Archimedischen Körper. In einem halbregulären Polyeder sind ebenfalls alle Kanten und Ecken gleich. Im Unterschied zu regulären Polyedern können jedoch mehrere verschiedene reguläre Flächen auftreten. Die archimedischen Körper besitzen die gleichen Symmetrieelemente wie die Platonischen Körper. Bestimmte Archimedische Körper können aus den Platonischen Körpern durch Abschneiden ("Abstumpfen") der Ecken erzeugt werden. Werden einem Pentagondodekaeder beispielsweise an seinen Eckpunkten regelmäßige Tetraeder (dreiseitige Pyramiden) symmetrisch entfernt, so entsteht hieraus das Ikosidodekaeder. Platonische Körper weisen als Seitenflächen ausschließlich regelmäßige Dreiecke, Vierecke und Fünfecke auf. Bei Archimedischen Körpern treten zudem Sechsecke, Achtecke und Zehnecke auf.

Archimedische Körper werden bezeichnet mit:

  • Abgeschrägtes Hexaeder
  • Abgeschrägtes Dodekaeder
  • Abgestumpftes Hexaeder
  • Kuboktaeder
  • Abgestumpftes Tetraeder
  • Rhombenkuboktaeder
  • Abgestumpftes Oktaeder
  • Ikosidodekaeder
  • Abgestumpftes Kuboktaeder
  • Rhombenikosidodekaeder
  • Abgestumpftes Dodekaeder
  • Abgestumpftes Ikosaeder
  • Abgestumpftes Ikosidodekaeder

Unter allen Archimedischen Körpern ist das abgestumpfte Ikosaeder derjenige, welcher in seiner Form der Kugel am nächsten kommt.

Das Programm ermittelt bei der Durchführung von Berechnungen für den entsprechenden Körper, in Abhängigkeit von der eingegebenen Kantenlänge, u.a:

  • Volumen
  • Oberfläche
  • Inkugelradius
  • Kantenkugelradius
  • Umkugelradius
  • Anzahl der Ecken
  • Anzahl der Kanten
  • Anzahl und Art der Flächen
  • Flächenwinkel
  • Kantenwinkel
  • Flächenfolge
  • Koordinatenwerte der Eckpunkte
 

MathProf - Körper - 3D


Bei der Kantenkugel handelt es sich um eine Kugel, die alle Kanten des gegebenen Polyeders berührt. Die Inkugel eines Polyeders ist die Kugel, die alle Flächen des gegebenen Polyeders berührt. Die Kugel auf der alle Ecken des gegebenen Polyeders liegen, wird als Umkugel bezeichnet.

Berechnung und Darstellung

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Berechnungen mit Körpern dieser Art durchzuführen und sich diese darstellen zu lassen:
 

  1. Wählen Sie durch die Fokussierung des entsprechenden Eintrags in der linksseitig zur Verfügung stehenden Tabelle, unter Auswahl, den darzustellenden Körper.
     
  2. Um eine Berechnung in Abhängigkeit von der Kantenlänge eines Archimedischen Körpers durchzuführen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Berechnung (voreingestellt) und geben den Wert der Kantenlänge des Körpers in das dafür vorgesehene Feld ein. Möchten Sie sich die Koordinatenwerte der Eckpunkte des entsprechenden Polyeders ausgeben lassen, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Koordinatenwerte.
     
  3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse in der dafür zur Verfügung stehenden Listbox ausgegeben.
     
  4. Wählen Sie mit Hilfe der aufklappbaren Auswahlbox Auswahl die Art, wie Sie Körper dargestellt bekommen möchten. Hierzu stehen die unten aufgeführten Möglichkeiten zur Verfügung.
     
  5. Legen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Ohne Kugel, Inkugel, Kantenkugel oder Außenkugel fest, ob lediglich die Darstellung des Körpers erfolgen soll, oder ob dessen In-, Kanten- bzw. Außenkugel ebenfalls dargestellt werden soll.
     
  6. Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Möchten Sie eine transparente Darstellung der Polygonflächen, so bedienen Sie die Schaltfläche B auf dem Bedienformular, aktiveren den Kontrollschalter Transparent und bestätigen mit Ok. Um in das Innere eines Polygons zu sehen, bedienen Sie die Schaltfläche F auf dem Bedienformular und positionieren den auf dem erscheinenden Unterformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Flächenanzahl.

Hinweis:

Die Ausgabe der grafischen Darstellung kann auch durch Ausführung eines Doppelklicks auf einen entsprechenden Eintrag in der linksseitig angeordneten Tabelle eingeleitet werden.

 

Darstellung - Optionen

 

Im Formularbereich Darstellung können Sie durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:
 

  • Punkte: Darstellung der Eckpunkte des Körpers ein-/ausschalten

  • Punkte als Kugeln: Darstellung der Eckpunkte des Körpers als (kleine) Kugeln ein-/ausschalten

  • Punkte beschriften: Beschriftung der Eckpunkte des Körpers ein-/ausschalten

Durch die Bedienung der aufklappbaren Auswahlbox in diesem Formularbereich werden zusätzlich folgende Optionen zur Verfügung gestellt, das Layout eines dargestellten Körpers zu beeinflussen:
 

  • Gefüllt - Kanten als Rohre: Darstellung der Körperkanten als Rohre inkl. der Füllung von Flächen

  • Gefüllt - Kanten als Linien: Darstellung der Körperkanten als Linien inkl. der Füllung von Flächen

  • Gefüllt - Ohne Kantenmarkierung: Darstellung der Körperkante, ohne Begrenzungsmarkierung inkl. der Füllung von Flächen

  • Rohrgitterdarstellung: Darstellung eines Körpers in Form eines Rohrgittermodells, ohne die Füllung von Flächen

  • Liniengitterdarstellung:  Darstellung eines Körpers in Form eines Liniengittermodells, ohne die Füllung von Flächen

Darstellung - Bedienhinweise

 

MathProf - Dodekaeder

 

In diesem Unterprogramm besteht die Möglichkeit, sich Darstellungen auf folgende Art und Weise ausgeben zu lassen:
 

  • Standard: Statische Darstellung von Polyedern im Raumkoordinatensystem (voreingestellt)

  • Man.: Manuelle Drehung und Verschiebung von Polyedern im Raumkoordinatensystem, durch die Bedienung von Rollbalken

  • Autosim.: Drehung und Verschiebung von Polyedern im Raumkoordinatensystem, durch die Ausführung einer Autosimulation

Nach einer Aktivierung der Kontrollschalter Man. bzw. Autosim. werden Rollbalken mit nachfolgend aufgeführten Bezeichnungen zur Verfügung gestellt, bei deren Bedienung Folgendes durchgeführt wird:
 

  • α: Drehung des Polyeders, um den eingestellten Winkel, um die x-Achse

  • β: Drehung des Polyeders, um den eingestellten Winkel, um die y-Achse

  • γ: Drehung des Polyeders, um den eingestellten Winkel, um die z-Achse

  • x: Verschiebung des Polyeders, um den eingestellten Wert, entlang der x-Achse

  • y: Verschiebung des Polyeders, um den eingestellten Wert, entlang der y-Achse

  • z: Verschiebung des Polyeders, um den eingestellten Wert, entlang der z-Achse

Bzgl. der Funktionalität von Schaltflächen gilt es Folgendes zu berücksichtigen:

 

Schaltfläche Start Sim.:

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Start Sim. werden die Farben der Polyederflächen vom Programm mit Hilfe eines Zufallsgenerators erzeugt, ansonsten verwendet es die durch Konfiguration voreingestellten Flächenfüllfarben.

 

Schaltfläche Start Rot.:

 

Wurde der Kontrollschalter Autosim. aktiviert, so führt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Start Rot. eine Autosimulation durch und bewegt den entsprechenden Polyeder entlang der gewählten Achse(n), bzw. dreht ihn um diese. Alle gewählten Bewegungen werden gleichzeitig und gemeinsam ausgeführt. Für die Auswahl der auszuführenden Bewegungen wird ein Bedienformular zur Verfügung gestellt. Auf diesem wählen Sie, durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen, die Art der durchzuführenden Simulationen. Mit Hilfe des Rollbalkens Rotationsgeschwindigkeit legen Sie die bei Durchführung der Simulation zu verwendende Rotationsgeschwindigkeit fest. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Ok, so wird die Simulation ausgeführt. Beenden können Sie diese wieder, wenn Sie die Schaltfläche Stop Rot. bedienen.

 

Rollbalken Bereich:

 

Durch die Positionierung des Rollbalkens im Formularbereich Bereich-Auswahl legen Sie den zur grafischen Ausgabe zu verwendenden Darstellungsbereich fest.

 

Schaltfläche F:

 

Flächenfüllfarben können Sie festlegen, indem Sie die Schaltfläche F bedienen. Aktivieren Sie hierauf den entsprechenden Kontrollschalter zur Auswahl des Vielecks, dem die Farbwerte zugewiesen werden sollen und bewegen Sie die drei zur Verfügung stehenden Schieberegler zur Einstellung der RGB-Werte (Rot, Grün, Blau) bis die entsprechende Füllfarbe im gewünschten Farbton angezeigt wird. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Ok. Sollen diese Farbeinstellungen sitzungsübergreifend gespeichert werden, so aktivieren Sie zuvor das Kontrollkästchen Speichern. Diese Farbeinstellungen werden nur verwendet, wenn keine Farbsimulation aktiviert wurde.

 

Schaltfläche B:

 

Nach der Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche B kann durch die Aktivierung des Kontrollschalters Solide oder Transparent festgelegt werden, ob die Füllung der Polyederflächen solide oder transparent erfolgen werden soll.

 

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Platonische Körper

Spezielle Polyeder

 

Beispiel


Nach einer Selektion des Eintrags Rhombenkuboktaeder in der Auswahlliste, der Aktivierung des Kontrollschalters Berechnung und der Eingabe des Zahlenwerts 5 in das Feld Kantenlänge gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse für das Rhombenkuboktaeder mit der Kantenlänge 5 aus:

Kantenlänge: 5

 

Volumen V: 1089,256 VE

Oberfläche O: 536,603 FE

 

Inkugelradius ri= 6,101

Kantenkugelradius rk= 6,533

Umkugelradius ru= 6,995

 

Flächenwinkel zwischen zwei Quadraten: 135°

Flächenwinkel zwischen Quadrat und Trigon: 144,736°

Kantenwinkel: 135°

 

Anzahl der Dreiecke: 8

Anzahl der Quadrate: 18

 

Anzahl der Ecken: 24

Anzahl der Kanten: 48

 

Anzahl der Flächen: 26

 

Flächenfolge: (3,4,4,4)
 

Module zum Themenbereich Geometrie


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