MathProf - Logarithmische Spirale

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Logarithmische Spirale

 

Im Unterprogramm [Analysis] - [Spirallinien] - Logarithmische Spirale können logarithmische Spiralen untersucht werden.

 

MathProf - Logarithmische Spirale

 

MathProf - Logarithmisch - Kurve

 

Eine logarithmische Spirale ist eine Spirale, die mit jeder Umdrehung den Abstand von ihrem Mittelpunkt um den gleichen Faktor vergrößert. Bei logarithmischen Spiralen ist der Winkel, den die (Tangente der) Spirale mit den Radialstrahlen einschließt, konstant. Wann immer man eine logarithmische Spirale um ihren Pol dreht und sie daraufhin mit einem geeigneten Faktor streckt, geht die Spirale in sich selbst über. In der Natur folgen beispielsweise Schnecken und Muscheln bei der Bildung ihrer Häuser den Gesetzmäßigkeiten die bei logarithmischen Spiralen zu finden sind.

 

Sie wird in Polarform beschrieben mit:

 

r = a·eφ

 

Sachverhalte zu diesem Thema können Sie in diesem Unterprogramm analysieren.
 

 

Mathematische Zusammenhänge

 

Fläche des Sektors P10P2:

 

A = (r2²-r1²)/(4b)

 

Länge des Bogens P1P2:

 

l =   1/b·√(b²+1)·(r2-r1)
 

Darstellung

Führen Sie Folgendes aus, um Untersuchungen zum Thema Logarithmische Spiralen durchzuführen:
 

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Standard oder Details, ob Sie mit dem vorgegebenen Winkelwertebereich von -3600°   φ  1800° durch die Positionierung des dafür vorgesehenen Rollbalkens Winkelpos. Analysen durchführen möchten, oder ob konkrete Untersuchungen mit frei festlegbaren Winkelwertebereichen vorzunehmen sind.
     

  2. Ist der Kontrollschalter Standard aktiviert, so stellen Sie die Werte für die Parameter a und b der Funktion mit Hilfe der Rollbalken Parameter a und Parameter b ein. Den zu durchlaufenden Wertebereich für Winkel φ legen Sie durch die Bedienung des Rollbalkens Winkelpos. fest. Winkelangaben werden im Gradmaß angezeigt.
     

  3. Wurde der Kontrollschalter Details aktiviert und möchten Sie den darzustellenden (zu untersuchenden) Winkelwertebereich im Gradmaß festlegen, so können Sie die Schaltfläche Winkel auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     

  4. Bei einer Aktivierung des Kontrollschalters Standard steht die Schaltfläche Simulation zur Verfügung. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.

Bedienformular

 

MathProf - Logaritmisch - Spirale - Winkel

 

MathProf - Logarithmische Spirale - Winkel


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkt(e): Beschriftung von Punkten ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte des Punkts P ein-/ausschalten
  • Position: Positionsmarkierung des Punktes P ein-/ausschalten
  • Füllen: Flächenfüllung unter Kurve ein-/ausschalten
  • Kreis: Darstellung des Kreises mit Radius OP ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Archimedische Spirale

Funktionen in Polarform

 

Beispiel

 

Beispiel 1:

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Standard, positionieren Sie Rollbalken Parameter a auf den Wert 4, Rollbalken Parameter b auf den Wert 0,3 sowie Rollbalken Winkelpos. auf den Wert 120, so stellt das Programm die Kurve dar, die durch die Gleichung in Polarform r = 4·e0,3·φ über einen Winkelbereich von -3600° φ 120° beschrieben wird.

 

Darüber hinaus wird Folgendes ausgegeben:

 

Die Länge des Bogens 0P beträgt 7,498.

Bei Winkelposition 120° lauten die Koordinatenwerte des Kurvenpunkts: P (-3,749 / 6,493)

 

Beispiel 2:

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalters Details, positionieren Sie Rollbalken Parameter a auf den Wert 3, Rollbalken Parameter b auf den Wert 0,2, bedienen Sie die Schaltfläche Punkt, geben Sie die Werte 60 und 300 ein und bestätigen Sie mit Ok.

 

Das Programm stellt die Kurve dar, die durch die Gleichung in Polarform r = 3·e0,2·φ über einen Winkelbereich von 60° φ 300° beschrieben wird.

 

Darüber hinaus wird Folgendes ausgegeben:

 

Die Länge des von der Kurve beschriebenen Bogens P1P2 beträgt: l = 24,73

 

Die Gesamtfläche unter der Kurve (Fläche des Sektors P10P2 mit φ1 = 60° und φ2 = 300°) beträgt: 74,253 FE

 

Für die Koordinaten der Punkte bei den Winkelpositionen 60° und 300° gibt das Programm aus:

 

P1 (1,849 / 3,203)

P2 (4,274 / -7,404)
 

Module zum Themenbereich Analysis


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