MathProf - Flächen zweiter Ordnung - Kegelschnitte - Quadrik - Ellipsoid

 

Im Unterprogramm [3D-Mathematik] - Flächen 2. Ordnung können Flächen 2. Ordnung (Kegelschnitte bzw. Quadriken), welche in erster oder zweiter Normalform definiert sind, grafisch dargestellt werden und Zusammenhänge zu diesem Fachthema untersucht werden.

 

 

Das Modul ermöglicht:
 

• Analyse der Art von Flächen 2. Ordnung (Kegelschnitte - Quadriken), welche in 1. oder 2. Normalform definiert sind

• Darstellung von Flächen 2. Ordnung (Kegelschnitte - Quadriken), welche in 1. oder 2. Normalform definiert sind (u.a. Rotationsparaboloid, Rotationshyperboloid und Rotationsellipsoid)

 

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Die allgemeine Funktionsgleichung

 

Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+Fyz
+2Gx+2Hy+2Iz+K = 0

 

stellt eine algebraische Gleichung 2. Ordnung dar, wobei A, B, C, D, E, F, G, H, I  und K beliebige reelle Koeffizienten sind.

 

Durch eine Hauptachsentransformation und weitere Koordinatentransformationen, mit welcher die Ausrichtung der Achsen der Flächen parallel zu den Koordinatenachsen erlangt wird, erreicht man die Darstellung einer Fläche 2. Ordnung in Normalform, die sich in zwei Arten gliedert:

 

1. Normalform:

 

 

2. Normalform:

 

 

Die Normalformen dieser Flächen 2. Ordnung zur Beschreibung der Kegelschnitte in allgemeiner achsparalleler Lage im Raum lauten:

 

1. Normalform:

 

 

2. Normalform:

 

 

Dieses Modul ermöglicht die Analyse der Zusammenhänge und die Darstellung der Flächen, welche durch derartige Gleichungen beschrieben werden. Hierbei sind die Werte für die Koeffizienten a, b, c, die Verschiebungsparameter x₀, y₀, z₀ sowie der reelle Zahlenwert des Absolutglieds m frei wählbar.

 

Echte und entartete Flächen 2. Ordnung könnnen wie folgt eingeteilt werden:

• Reelles Ellipsoid

• Einschaliges Hyperboloid

• Zweischaliges Hyperboloid

• Elliptischer Doppelkegel

• Elliptischer Zylinder

• Hyperbolischer Zylinder

• Elliptisches Paraboloid

• Hyperbolisches Paraboloid

• Parabolischer Zylinder

• Zwei sich schneidende Ebenen

• Zwei parallele Ebenen

• Eine Ebene (y-z-Ebene)

• Punkt (entartetes Ellipsoid)

• Imaginärer elliptischer Zylinder

• Zwei sich imaginär schneidende Ebenen

• Imaginäres Ellipsoid

• Fläche 2. Ordnung, nullteilig
   

 

 

Um Untersuchungen mit Kegelschnitten durchzuführen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters 1. Normalform bzw. 2. Normalform, ob Untersuchungen mit Kegelschnittgleichungen 1. Normalform, oder mit Kegelschnittgleichungen 2. Normalform durchgeführt werden sollen.
    

2. Geben Sie die entsprechenden Koeffizientenwerte der Gleichung in die dafür vorgesehenen Felder ein.
    

3. Bedienen Sie ggf. die Schaltfläche Berechnen.
    

4. Möchten Sie sich den entsprechenden Kegelschnitt grafisch ausgeben lassen, so klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen.

Das Programm gibt nach einer erfolgreich durchgeführten Berechnung aus, welche Art eines Kegelschnitts durch die entsprechend definierte Gleichung beschrieben wird. Bei Darstellung einiger Arten von Kegelschnitten (z.B. elliptischer Zylinder, einschaliges Hyperbolid) ermöglicht es das Programm, den Darstellungsbereich zu verändern (anzupassen). Benutzen Sie hierfür die auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken mit den Bezeichnungen Ber.1 und Ber.2.

 

Beachten Sie:

Wird der Eingabewert für einen der Koeffizienten (Nenner) a², b² oder c² auf 0 belassen, so wird der entsprechende Funktionsterm ignoriert, da ansonsten eine Division durch 0 vorliegen würde. Möchten Sie beispielsweise einen elliptischen Zylinder darstellen lassen, der durch die Gleichung

 

 

1. Normalform beschrieben wird, so setzen Sie den Eingabewert für b² (obig, mittig angeordnetes Feld unterhalb des Bruchstriches) auf 0. Hierdurch wird der zweite Funktionsterm (y²/b²) ignoriert.

 

Wird der Menüpunkt Funktionswerte gewählt, so ermittelt das Programm die entsprechenden Koordinatenwerte der Fläche 2. Ordnung, innerhalb eines frei wählbaren Areals. Um sich diese ausgeben zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Bestimmen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters 1. Normalform bzw. 2. Normalform, ob dies für Kegelschnittgleichungen 1. Normalform, oder für Kegelschnittgleichungen 2. Normalform durchgeführt werden soll.
    
2. Selektieren Sie den Menüeintrag Funktionswerte.
    
3. Geben Sie die entsprechenden Koeffizientenwerte der Gleichung in die dafür vorgesehenen Felder ein.
    
4. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Bereich 1 von, Bereich 1 bis, Bereich 2 von und Bereich 2 bis den Flächenbereich fest, über welchen Koordinatenwerte ermittelt werden sollen.
    
5. Wählen Sie mit der aufklappbaren Auswahlbox aus, mit welcher Schrittweite die Berechnungen durchzuführen sind (voreingestellt: 0,1).
    
6. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

Hinweis:

Koeffizientenwerte in den Eingabefeldern des Hauptformulars des Unterprogramms werden bei Aufruf dieses Befehls in die Eingabefelder des erscheinenden Unterformulars übernommen.

 

 

 

Das Programm ermöglicht die Abtastung der Kontur einer dargestellten Fläche und somit die Analyse von Koordinatenwerten. Hierfür stehen die Rollbalken mit den Bezeichnungen Pos. 1 und Pos. 2 zur Verfügung, mit welchen Sie die Abtastposition auf der Kontur der Fläche, je nach Lage des Objekts, in zwei Richtungen steuern können. Die Koordinatenwerte werden an der entsprechenden Position ausgegeben. Ist an der untersuchten Stelle kein Kegelschnitt definiert, oder liegt der zu analysierende Bereich außerhalb des eingestellten Darstellungsbereichs, so wird dies angezeigt.

 

Um eine Wertebereichsanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Koordinatenwertanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.

 

 

Bei der Darstellung derartiger Gebilde ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

• Automatisch

• Statisch

1. Automatisch:
   Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
    

2. Statisch:
   Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet das Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Koord. positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

 

Beispiel 1 - 1. Normalform:

 

Es ist zu analysieren welche Art einer Fläche 2. Ordnung durch nachfolgende Gleichung in 1. Normalform beschrieben wird.

 

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters 1. Normalform und der Eingabe der Koeffizienten in die entsprechenden Felder nach folgendem Schema:

 

0	0	0
			5
2	-2	-4

 

gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen aus, dass hierdurch ein zweischaliges Hyperboloid (Rotationshyperbolid) beschrieben wird.

 

Beispiel 2 - 2. Normalform:

 

Es gilt ermitteln zu lassen, welche Art einer Fläche 2. Ordnung durch nachfolgende Gleichung in 2. Normalform beschrieben wird.

 

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters 2. Normalform und der Eingabe der Koeffizienten in die entsprechenden Felder nach folgendem Schema:

 

1	3
			3
2	3	1

 

gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen aus, dass hierdurch ein elliptisches Paraboloid (Rotationsellipoid) beschrieben wird.
 

 

 

 

Eine kleine Übersicht in Form kurzer Beschreibungen und Bilder über einige zu diesem Fachthemengebiet implementierte Unterprogramme kann unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet 3D-Mathematik aufgerufen werden.

 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Quadrik sowie unter Wikipedia - Kegelschnitt zu finden.

 

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