MathProf - Logarithmusfunktion - Logartithmus - Gesetze - Rechenregeln

 

Modul Parameter der Logarithmusfunktion

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Durch die Benutzung des kleinen Unterprogramms [Analysis] - [Parameteranalyse spez. Funktionen] - Parameter der Logarithmusfunktion kann der Einfluss von Parametern auf Logarithmusfunktionen (Logarithmuskurven) mit Hilfe der Zuordnung veränderbarer Größen untersucht werden.

 

 

Eine Logarithmusfunktion der Form y = log_ax ist die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion der Form y = a^x (mit a > 0 und a ≠ 1). Ihre Funktionsgraphen sind durch eine Spiegelung der entsprechenden Exponentialfunktion zu erhalten.
 
Mit den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken haben Sie die Möglichkeit die Parameter a, b und c einer Logarithmusfunktion der Form

Y = log_c(a·x)+b

zu ändern und somit deren Wirkung auf den Funktionsverlauf zu untersuchen. Der Parameter c ist hierbei die Basis der Logarithmusfunktion.

Eine Veränderung der Parameter beeinflusst/bewirkt:

a: Verschiebung der Funktion in x-Richtung

b: Streckung bzw. Stauchung der Funktion in y-Richtung

c: Veränderung der Steigung (Basis) der Logarithmusfunktion (bei der Basis 10 -> Dekadischer Logarithmus)

Die Koordinatenwerte eines Punktes einer dargestellten Funktion lassen sich durch ein Anfassen des dafür vorgesehenen Fangpunkts sowie die entsprechende Positionierung des Mauszeigers ablesen.
 

 
In der nachfolgend gezeigten Tabelle sind wesentliche Eigenschaften von Logarithmusfunktionen der Form f(x) = log_ax aufgeführt. Unter Wertemenge (Wertebereich) wird Menge aller möglichen Werte verstanden, welche die entsprechende Funktion innerhalb ihres Definitionsbereichs annehmen kann.

Eigenschaften von y = log_ax :
 

Definitionsbereich	x > 0
Wertebereich / Wertemenge	-∞ < y < ∞
Nullstellen	x1 = 1
Asymptote	x = 0
Monotonie	für a > 1 streng monoton wachsend für 0 < a < 1 streng monoton fallend

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit diesem Unterprogramm durchzuführen:

1. Durch die Positionierung der Schieberegler Basis, Parameter a und Parameter b können Sie die Basis, sowie die Parameter a und b der o.a. Funktion verändern und somit den Einfluss auf deren Kurvenverlauf analysieren. Zudem ermöglicht das Programm die Darstellung der 1. Ableitung der Kurve. Aktivieren Sie hierzu das Kontrollkästchen 1. Ableitung. Verfügt die Kurve über eine Nullstelle, so wird diese nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Nullstelle markiert.
    
2. Möchten Sie sich die Koordinatenwerte eines Punkts der Kurve (bzw. derer 1. Ableitung) ausgeben lassen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den hierfür benötigten Abszissenwert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Aktivieren Sie hierfür zuvor das Kontrollkästchen Punkt. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Soll die Position des Fangpunkts mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach rechts oder nach links.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Nullstelle: Darstellung der Nullstelle der Logarithmusfunktion (sofern vohanden) ein-/ausschalten
• 1. Ableitung: Darstellung der 1. Ableitung der Logarithmusfunktion ein-/ausschalten

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Mathematische Funktionen I

 

Wurden durch die Positionierung der Rollbalken folgende Werte eingestellt:

Basis: 0,8

Parameter a: 0,1

Parameter b: 0,1

 

so wird die Kurve der Funktion y = log_0,8(0,1·x)+0,1 ausgegeben.

 

Das Programm ermittelt die Nullstelle der Funktion mit N (10,226 / 0). Zusätzlich zeigt das Programm an, dass der Definitionsbereich dieser Funktion X > 0 ist. Für die Koordinatenwerte der Funktion bei der Stelle x = 2 wird der Punkt P (2 / 7,313) ausgegeben.

Eine Änderung des Parameters a auf den Wert a = 0,2 bewirkt eine Verschiebung der Kurve in negativer vertikaler Richtung und es wird die Kurve der Funktion y = log_0,8(0,2·x)+0,1 ausgegeben.

Bei einer Positionierung des Mausfangpunkts auf den Wert (1 / 0) kann festgestellt werden, dass der Ordinatenwert der Funktion an dieser Stelle y = 7,313 beträgt. Wird das Kontrollkästchen 1. Ableitung aktiviert, so kann zudem entnommen werden, dass die 1. Ableitung der Funktion an dieser Stelle den Wert y = -4,47 besitzt.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2
 

Nachfolgend aufgeführt finden Sie die geltenden Logarithmengesetze bzw. Rechengesetze für Logarithmen zu einer Basis sowie für den natürlichen Logarithmus und die entsprechenden Rechenregeln (Logarithmusregeln).

Logarithmengesetze:

1. Logarithmengesetz: Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren

2. Logarithmengesetz: Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz aus dem Logarithmus des Dividenden und dem des Divisors

3. Logarithmengesetz: Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem mit dem Potenzexponenten multiplizierten Logarithmus der Potenzbasis

4. Logarithmengesetz: Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem durch den Wurzelexponenten geteilten Logarithmus des Radikanden

Regeln:
 

	Natürlicher Logarithmus - Regel 1 (Produkt)
	Natürlicher Logarithmus - Regel 2
	Natürlicher Logarithmus - Regel 3 (Potenz)
	Natürlicher Logarithmus - Regel 4 (Wurzel)
	Logarithmus zur Basis a (Logarithmus numerus) - Regel 1
	Logarithmus zur Basis a (Logarithmus numerus) - Regel 2
	Logarithmus zur Basis a (Logarithmus numerus) - Regel 3
	Logarithmus zur Basis a (Logarithmus numerus) - Regel 4

       
Logarithmensysteme besitzen eine festgelegte ganze Zahl als Basis. Drei häufig verwendete Systeme dieser sind nachfolgend aufgeführt:

Der Logarithmus zu Basis 2 wird als Dualer (binärer) Logarithmus (Logarithmus dualis) bezeichnet. Log₂ = ld
Der Logarithmus zu Basis 10 wird als Dekadischer Logarithmus (Zehnerlogarithmus) bezeichnet. Log₁₀ = lg
Der Logarithmus zu Basis e wird als Natürlicher Logarithmus (Logarithmus naturalis) bezeichnet. Log_e = ln
Die Werte für die Logarithmen Log(0) und Ln(0) bzw. für alle Werte <= 0 sind nicht definiert.


Beziehungen:

Zwischen Logarithmen verrschiedener Basis besteht folgende Beziehung:



mit c ∈ R⁺ und a,b ∈ R⁺\{1}
 
Hiermit lassen sich Logarithmen positiver Zahlen zu jeder zulässigen Basis berechnen, wenn diese zu einer Basis bekannt sind.
 
 
Basiswechsel:

Beim Basiswechsel erfolgt die Umrechnung des Logarithmus von der Basis a in die Basis b. Allgemein gilt:

log_b r = log_a r / log_a b

mit:
r > 0
a > 0 ; a ≠ 1

Sonderfälle:

Der Basiswechsel von 10 auf die natürliche Zahl e erfolgt wie nachfolgend gezeigt:

ln r = lg r / lg e = lg r / 0,4343 = 2,03026 · lg r

Der Basiswechsel von der natürlichen Zahl e 10 auf die Basis 10 erfolgt wie nachfolgend gezeigt:

lg r = lg r / ln 10 = ln r / 2,03026 = 0,4343 · ln r
  

Eine spezielle Logarithmusfunktion stellt die natürliche Logarithmusfunktion (logarithmus naturalis) oder ln-Funktion f(x) = ln(x) dar. Sie ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = e^x (Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion). Sie ist eine logarithmische Funktion mit der Eulerschen Zahl als Basis. Es gilt: ln⁡(x) = log_⁡e(x). Zudem gilt folgendes Rechengesetz: x = ln(e^x) = e^ln⁡(x).
   

Kurvenverlauf der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = ln(x). Funktionen dieser Art können Sie sich durch die Verwendung geeigneter Variablen und Parameter bzw. Konstanten unter anderem im Unterprogramm Mathematische Funktionen I darstellen lassen und untersuchen.
 
Die Basis des natürlichen Logarithmus ist durch den nachfolgend gezeigten Grenzwert der Eulerschen Zahl e definiert.



Diese ist darstellbar durch die unendliche Reihe:



Logarithmen mit der Basis e heißen natürliche Logarithmen (logarithmus naturalis).



Zehnerlogarithmen können durch das Multiplizieren natürlicher Logarithmen mit der Konstanten 1/ln(10) (Modul des Logarithmensystems zur Basis 10) gebildet werden:



Der natürliche Logarithmus kann aus dem Zehnerlogarithmus durch das Multiplizieren mit der Konstanten 1/lg(e) gebildet werden:


   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Logarithmusfunktion zu finden.

 

 
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Parameter der Exponentialfunktion

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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