MathProf - Allgemeine Kegelschnitte

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Allgemeine Kegelschnitte

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - [Allgemeine Kegelschnitte] - Allgemeine Kegelschnitte ermöglicht die Durchführung von Analysen und die Darstellung von Kegelschnitten, die in Form der allgemeinen Gleichung 2. Ordnung gegeben sind.

 

MathProf - Allgemeine Kegelschnitte

 

Die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts besitzt die Form:

 

ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0

 

a, b, c, d, e und f sind beliebige reelle Koeffizienten. Ein Kegelschnitt entsteht beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit dem Neigungswinkel α der Mantellinie durch eine Ebene, welche den Neigungswinkel β besitzt.

 

Ellipse: 0   b < α

Parabel: α = β

Hyperbel: π/2 ≥ b  > α

 

Beim Schnitt durch die Kegelspitze entstehen Punkt, Geradenpaar und Gerade.

                                                              

Durch eine Drehung des Koordinatensystems mit der Koordinatentransformation

 

 x = x' cos(α) - y' sin(α)                      

 y = y' sin(α) + y' cos(α)

 

lässt sich für eine geeignete Winkelgröße a stets erreichen, dass das gemischt-quadratische Glied x'·y' entfällt. Für a = c muss α = 45° gewählt werden. Ist a ≠ c muss a so gewählt werden, dass 2a = 2b / (a - c). Hierdurch entsteht für den Kegelschnitt die transformierte allgemeine Form:

 

ax² + cy² + 2dx + 2ey + f = 0

 

Geometrisch gedeutet bedeutet dies, dass die Achsen dieses Kegelschnitts parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Für die Diskussion dieser Kegelschnittgleichung gilt:

                     

bei a ≠ 0 und c ≠ 0 mit n = d²/a + e²/c - f:

 

 n > 0  a > 0, c > 0  Ellipse
 n > 0  a < 0, c < 0  imaginär
 n > 0  a · c < 0  Hyperbel
 n = 0  a · c > 0  Punkt
 n = 0  a · c < 0  Paar sich schneidender Geraden
 n < 0  a > 0, c > 0  imaginär
 n < 0  a < 0, c < 0  Ellipse
 n < 0  a · c < 0  Hyperbel

 

bei a = 0 oder c = 0:

 

 a = 0, c ≠ 0  d ≠ 0  Parabel
 a = 0, c ≠ 0  d = 0  Paar zusammenfallender paralleler Geraden wenn e² - fc = 0
 a ≠ 0, c = 0  e ≠ 0  Parabel
 a ≠ 0, c = 0  e = 0  Paar zusammenfallender paralleler Geraden wenn d² - fa = 0
 a = 0, c = 0  d ≠ 0, e ≠ 0  Gerade
 a = 0, c = 0  d = 0, e ≠ 0  Parallele zur x-Achse
 a = 0, c = 0  d ≠ 0, e = 0  Parallele zur y-Achse
 a = 0, c = 0  d = 0, e = 0  imaginär

 

In diesem Unterprogramm können derartige Kegelschnitte untersucht werden. Aus den eingegebenen Werten für die Koeffizienten a, b, c, d, e und f ermittelt das Programm u.a.:
 

  • Art des Kegelschnitts (entartet, nichtentartet)

  • Koeffizienten der transformierten Gleichung des Typs
    ax² + cy² + 2dx + 2ey + f = 0

  • Eigenschaften des Kegelschnitts

  • Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.

Berechnungsergebnisse


Das Modul gibt die Werte folgender Eigenschaften allgemeiner Kegelschnitte aus:

Hyperbel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Kegelwinkel
  • Ortskoordinaten des Mittelpunkts M
  • Halbachsen a und b
  • Lineare Exzentrizität e und numerische Exzentrizität e
  • Parameter 2p
  • Ortskoordinaten der Brennpunkte B1 und B2
  • Gleichungen der Asymptoten

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle (nur bei graf. Darstellung):

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Gleichungen der Normalen
  • Länge der Brennstrahlen

Ellipse (Kreis):

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Kegelwinkel
  • Ortskoordinaten des Mittelpunkts M
  • Halbachsen a und b
  • Lineare Exzentrizität e und numerische Exzentrizität e
  • Parameter 2p
  • Ortskoordinaten der Brennpunkte B1 und B2

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle (nur bei graf. Darstellung):

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Gleichungen der Normalen
  • Länge der Brennstrahlen

Parabel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts (nur bei graf. Darstellung):

  • Kegelwinkel
  • Ortskoordinaten des Scheitelpunkts S
  • Ortskoordinaten des Brennpunkts B
  • Numerische Exzentrizität e
  • Parameter 2p
  • Brennpunkt B

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Gleichungen der Normalen
  • Länge der Brennstrahlen

 

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Kegelschnitt - Gleichung


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Berechnungen mit Kegelschnitten dieser Art durchzuführen und sich Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen:

  1. Geben Sie die Werte der Koeffizienten a, b, c, d, e bzw. f der Gleichung ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0 in die dafür vorgesehenen Felder ein. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
     
  2. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
     
  3. Soll bei der Ausgabe der grafischen Darstellung eine Untersuchung der Kurve an einer bestimmten Abszissenposition durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse und legen durch die Eingabe des entsprechenden Werts im Formularbereich Analyse bei X = den entsprechenden Abszissenwert fest, bei welchem diese durchgeführt werden soll.
     
  4. Nach einer Benutzung der Schaltfläche Darstellen wird der entsprechende Kegelschnitt grafisch dargestellt.

Bei der Ausgabe der grafischen Darstellung werden folgende Bezeichnungskürzel verwendet:

B,B1,B2: Brennpunkt

M: Mittelpunkt

S: Scheitelpunkt

 

Bedienformular

 

MathProf - Kegelschnitt - Tangente


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte des Kegelschnitts ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte des Kegelschnitts ein-/ausschalten
  • Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)

Soll eine Untersuchung durchgeführt werden und wurde das Kontrollkästchen Analyse auf dem Hauptformular des Unterprogramms aktiviert, so stehen zudem folgende Kontrollkästchen zur Verfügung:

  • Tangente(n): Darstellung der Tangente(n) des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Normale(n): Darstellung der Normale(n) des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Brennstrahl(en): Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kegelschnitte durch 5 Punkte

 

Beispiele

 

Beispiel 1 - Hyperbel:

 

Für einen Kegelschnitt, der durch die allgemeine Gleichung 3x² - 5xy - 4y² + 4x + 3y + 20 = 0 beschrieben wird, ermittelt das Programm nach Eingabe der entsprechenden Koeffizientenwerte und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Gleichung des Kegelschnitts in transformierter, allgemeiner Form:

 

3,801x² - 4,801y² + 2,894x + 4,078y + 20 = 0

 

Für die Eigenschaften dieses Kegelschnitts gibt das Programm aus:

 

Typ: Hyperbel

Kegelwinkel: -17,769°

Mittelpunkt des Kegelschnitts: M (-0,233 / 0,521)

Halbachse a: 2,057

Halbachse b: 2,312

Lineare Exzentrizität e: 3,094

Numerische Exzentrizität ε: 1,504

Parameter 2p: 5,196

Brennpunkt: B1 (-1,177 / -2,426)

Brennpunkt: B2 (0,711 / 3,467)

 

Es sind die Eigenschaften des Kegelschnitts an Stelle x = 2 zu untersuchen.

 

Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse bei x = und geben Sie diesen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein. Werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen die Kontrollkästchen Normale, Tangente sowie Brennstrahlen auf dem daraufhin zur Verfügung stehenden Bedienformular aktiviert, so gibt das Programm zusätzlich aus:

 

Koordinatenwerte der Kurve an untersuchter Stelle:

 

Punkt 1: TP1 (2 / 2,406)
Punkt 2: TP2 (2 / -4,156)


Tangente durch TP1: Y = -0,151·X+2,104
Tangente durch TP2: Y = -1,401·X-1,354


Normale durch TP1: Y = -6,613·X+15,631
Normale durch TP2: Y = 0,714·X-5,583
Länge Brennstrahl TP1-B1: 5,783
Länge Brennstrahl TP1-B2: 1,669

Länge Brennstrahl TP2-B1: 3,618
Länge Brennstrahl TP2-B2: 7,732

 

Beispiel 2 - Ellipse:

 

Für einen Kegelschnitt, der durch die allgemeine Gleichung -4x² - 0,6y² - 8x = 0 beschrieben wird, ermittelt das Programm nach Eingabe der entsprechenden Koeffizientenwerte und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Gleichung des Kegelschnitts in transformierter, allgemeiner Form:

 

-4x² - 0,6y² - 8x = 0

 

Für die Eigenschaften dieses Kegelschnitts gibt das Programm aus:

 

Typ: Ellipse

Kegelwinkel: 0°

Mittelpunkt des Kegelschnitts: M (-1 / 0)

Halbachse a: 1

Halbachse b: 2,582

Lineare Exzentrizität e: 2,38

Numerische Exzentrizität ε: 0,922

Parameter 2p: 13,333

Brennpunkt: B1 (-1 / -2,38)

Brennpunkt: B2 (-1 / 2,38)

 

Es sind die Eigenschaften dieses Kegelschnitts an Stelle x = -1,5 zu untersuchen.

 

Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse bei x = und geben Sie diesen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein. Werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen die Kontrollkästchen Normale, Tangente sowie Brennstrahlen auf dem daraufhin zur Verfügung stehenden Bedienformular aktiviert, so gibt das Programm zusätzlich aus:

 

Punkt 1: TP1 (-1,5 / 2,236)
Punkt 2: TP2 (-1,5 / -2,236)


Tangente durch TP1: Y = 1,491·X+4,472
Tangente durch TP2: Y = -1,491·X-4,472


Normale durch TP1: Y = -0,671·X+1,23
Normale durch TP2: Y = 0,671·X-1,23

Länge Brennstrahl TP1-B1: 4,644
Länge Brennstrahl TP1-B2: 0,52

Länge Brennstrahl TP2-B1: 0,52
Länge Brennstrahl TP2-B2: 4,644

 

Beispiel 3 - Parabel:

 

Für einen Kegelschnitt, der durch die allgemeine Gleichung 9x² - 24xy + 16y² + 2x + 7y + 4 = 0 beschrieben wird, ermittelt das Programm nach Eingabe der entsprechenden Koeffizientenwerte und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Gleichung des Kegelschnitts in transformierter, allgemeiner Form:

 

25y² + 5,8x + 4,4y + 4 = 0

 

Für die Eigenschaften dieses Kegelschnitts gibt das Programm aus:

 

Typ: Parabel

Kegelwinkel: 36,87°

Scheitelpunkt: S (-0,472 / -0,464)

Lineare Exzentrizität e: 1

Parameter 2p: 0,232

Brennpunkt: B (-0,658 / -0,603)

 

Es sind die Eigenschaften dieses Kegelschnitts an Stelle x = -4 zu untersuchen.

 

Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse bei x = und geben Sie diesen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein. Werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen die Kontrollkästchen Normale, Tangente sowie Brennstrahlen auf dem daraufhin zur Verfügung stehenden Bedienformular aktiviert, so gibt das Programm zusätzlich aus:

 

Koordinatenwerte der Kurve an untersuchter Stelle:

 

Punkt 1: TP1 (-4 / -1,95)
Punkt 2: TP2 (-4 / -4,488)


Tangente durch TP1: Y = 0,571·X+0,336
Tangente durch TP2: Y = 0,929·X-0,774


Normale durch TP1: Y = -1,75·X-8,949
Normale durch TP2: Y = -1,077·X-8,796

Länge Brennstrahl TP1-B: 3,603
Länge Brennstrahl TP2-B: 5,124

 

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