MathProf - Zwei Ebenen im Raum (3D) - Schnittgerade

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Zwei Ebenen im Raum (3D)
(Schnittgerade)

 

Die Programmpunkte unter [Vektoralgebra] mit den Bezeichnungen Zwei Ebenen in ... ermöglichen die Durchführung von Untersuchungen mit zwei Ebenen verschiedener Definitionsformen.

 

MathProf - Ebenen - Raum   MathProf - Ebene - Darstellung

 

MathProf - Ebene - Schnitt   MathProf - Ebenen - Schnittgerade

 

MathProf - Ebene - Normalenform   MathProf - Ebene - Schnitt


Folgende Unterprogramme stehen zur Auswahl:

  • Schnitt zweier Ebenen in Normalenform
  • Schnitt zweier Ebenen in Koordinatenform
  • Schnitt zweier Ebenen in Punkt-Richtungs-Form
  • Schnitt einer Ebene in Normalenform und einer Ebene in Punkt-Richtungs-Form
  • Schnitt einer Ebene in Normalenform und einer Ebene in Koordinatenform
  • Schnitt einer Ebene in Punkt-Richtungsform und einer Ebene in Koordinatenform

Die Anwendungsmöglichkeiten dieser Programmpunkte sind:
 

  • Eigenschaftsanalyse einer Ebene
  • Ermittlung der Gleichung der Schnittgerade zweier Ebenen
  • Ermittlung des Schnittwinkels zweier, sich schneidender Ebenen
  • Ermittlung und Darstellung der Ebene, welche durch Spiegelung einer Ebene an einer zweiten Ebene entsteht

Definitionsformen von Ebenen

Mögliche Darstellungsformen zur Definition von Ebenen sind:

3-Punkte-Form:

Ebene - Gleichung - 1

Normalenform:

Ebene - Gleichung - 2

Punkt-Richtungs-Form:

Ebene - Gleichung - 3

Koordinatenform:

E: a·x + b·y + c·z = d

Zusammenhänge

Relevante Zusammenhänge zu diesem Fachthema sind nachfolgend aufgezeigt.

Schnittwinkel zweier Ebenen:

Ebene 1:

Ebene - Gleichung - 4

Ebene 2:

Ebene - Gleichung - 5

Schnittwinkel Ebene - Ebene:

Ebene - Gleichung - 6

Schnittgerade zweier Ebenen:

Die Gleichung der Schnittgeraden g zweier Ebenen in Normalenform lautet:

Ebene - Gleichung - 7

Der o.a. Richtungsvektor ist hierbei das Vektorprodukt der beiden Normalenvektoren der Ebenen:

Ebene - Gleichung - 8

Der Ortsvektor r0 eines auf Schnittgeraden liegenden Punktes P0 kann mit Hilfe des nachfolgend aufgeführten linearen Gleichungssystems ermittelt werden:

Ebene - Gleichung - 9

Ebene - Gleichung - 10

Beide Ebenen schneiden sich genau dann, wenn gilt:

Ebene - Gleichung - 11

Zur Verwendung o.a. Vektorgleichungen sind die Darstellungsformen der Ebene in Normalenform, und die der Gerade in Punkt-Richtungs-Form zu bringen.

Bedeutung der im Programm verwendeten Bezeichnungskürzel

Die Bedeutungen der im Programm verwendeten Bezeichungskürzel sind folgende:

E1,E2: Ebene in Punkt-Richtungs-, Normalen- sowie Koordinatenform
d: Abstand einer Ebene vom Koordinatenursprung
Sx,Sy,Sz: Spurpunkte einer Ebene
g: Gleichung der Schnittgeraden zweier Ebenen in Punkt-Richtungs-Form
n,n1,n2: Normalenvektor einer Ebene
r,r1,r2: Schnittwinkel zweier Ebenen, zweier Geraden, einer Geraden und einer Ebene
a,b,a1,b1,a2,b2: Richtungsvektoren einer Ebene bzw. der Schnittgerade

 

MathProf - Schnittwinkel - Ebenen

 

Eigenschaftsanalyse einer Ebene


MathProf - Ebene - Spurpunkte

Die numerische Untersuchung einer Ebene auf deren Eigenschaften können Sie durchführen, indem Sie wie nachfolgend beschrieben vorgehen:

  1. Wählen Sie den entsprechenden Untermenüeintrag für die Ebenen mit welchen Sie Untersuchungen durchführen möchten.
     
  2. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Ebene bzw. die Koordinaten der auf der Ebene liegenden Punkte in die dafür vorgesehenen Felder ein.
     
  3. Wählen Sie den Menüpunkt Details Ebene E1 bzw. Details Ebene E2.


Nachfolgend aufgeführte Details einer Ebene werden bei Durchführung einer Eigenschaftsanalyse errechnet:

  • Abstand d der Ebene vom Koordinatenursprung
  • Spurpunkte Sx,Sy,Sz (Durchstoßpunkte) der Ebene
  • Normalenvektor n der Ebene
  • Definition der Ebene in 3-Punkte-, Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie in Koordinatenform

Schnittgerade, Schnittwinkel und Spiegelung zweier Ebenen
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Ebene - Schnittgerade

 

Um die Schnittgerade und den Schnittwinkel zweier Ebenen ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Wählen Sie den entsprechenden Untermenüeintrag für die Ebenen, mit welchen Sie Untersuchungen durchführen möchten.
     
  2. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Ebene bzw. die Koordinaten der auf der Ebene liegenden Punkte in die hierfür vorgesehenen Felder ein.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  4. Möchten Sie sich die räumliche Lage der entsprechenden Ebenen veranschaulichen und die (evtl. vorhandene) Schnittgerade derer dargestellt bekommen, so aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch und bedienen hierauf die Schaltfläche Darstellen. Um sich zusätzlich die Ebene darstellen zu lassen, welche durch eine Spiegelung der Ebene E1 an Ebene E2 ensteht, aktivieren Sie zuvor das Kontrollkästchen Ebenenspiegelung.

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Darstellung - Optionen


Im Formularbereich Darstellung - Optionen können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • N-Vektor Ebene 1 : Darstellung des Normalenvektors n1 der Ebene E1 ein-/ausschalten
  • N-Vektor Ebene 2 : Darstellung des Normalenvektors n2 der Ebene E2 ein-/ausschalten
  • Beschriften: Beschriftung dargestellter Vektoren und Punkte ein-/ausschalten
  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D)

Gerade in 2-Punkte-Form (3D)

Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D)

Ebene in 3-Punkte-Form (3D)

Ebene in Normalen-Form (3D)

Ebene in Koordinaten-Form (3D)

Kugel - Ebene - Punkt (3D)

 

Beispiele


Beispiel 1 - Schnitt einer Ebene in Normalenform und einer Ebene in Punkt-Richtungs-Form:

Es gilt, den Schnitt einer Ebene in Normalenform und einer Ebene in Punkt-Richtungsform durchführen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Wahl des Untermenüpunkts Schnitt einer Ebene in N-Form und einer Ebene in P-R-Form, der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E1 in Normalen-Form

Ebene - Gleichung - 12

bzw.

Ebene - Gleichung - 13

sowie der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition einer Ebene E2 in Punkt-Richtungs-Form:

Ebene - Gleichung - 14

ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen:
 

Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E1 und E2 lautet:

Ebene - Gleichung - 15

Der Schnittwinkel der Ebenen E1 und E2 beträgt 95,522°.

Bei Ausgabe der grafischen Darstellung gibt das Programm bzgl. der Eigenschaften der Ebene E1 zusätzlich aus:

Drei auf Ebene E1 liegende Punkte sind:

P1 (9 / 0 / 0)

P2 (7 / 1 / 0)

P3 (8 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Ebene E1 in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 16
 

Die Spurpunkte der Ebene E1 sind:

Sx (9 / 0 / 0)

Sy (0 / 4,5 / 0)

Sz (0 / 0 / 9)

 

Der Normalenvektor der Ebene E1 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 17
 

Der Abstand der Ebene E1 zum Koordinatenursprung beträgt d = 3,674.

 

Für Ebene E2 wird bei Ausgabe der grafischen Darstellung zusätzlich ermittelt:

Drei auf Ebene E2 liegende Punkte sind:

P1 (1 / 2 /2)

P2 (3 / 4 / 3)

P3 (4 / 3 / 3)

 

Die Gleichung der Ebene E2 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 18
 

Die Spurpunkte der Ebene E2 sind:

Sx (-5 / 0 / 0)

Sy (0 / -5 / 0)

Sz (0 / 0 / 1,25)

 

Der Normalenvektor der Ebene E2 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 19

Der Abstand der Ebene E2 zum Koordinatenursprung beträgt d = 1,179.
 

Beispiel 2 - Schnitt einer Ebene in Normalenform und einer Ebene in Koordinaten-Form:

Es gilt, den Schnitt einer Ebene in Normalenform und einer Ebene in Koordinaten-Form durchführen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Wahl des Untermenüpunkts Schnitt einer Ebene in N-Form und einer Ebene in Koordinaten-Form, der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E1 in Normalen-Form

Ebene - Gleichung - 20

bzw.

Ebene - Gleichung - 21

und einer Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E2 in Koordinaten-Form:

E2: -2·X + 3·Y + 1·Z = -5

ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen:

Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E1 und E2 lautet:

Ebene - Gleichung - 22

Der Schnittwinkel der Ebenen E1 und E2 beträgt 139,107°.

 

Bei Ausgabe der grafischen Darstellung gibt das Programm bzgl. der Eigenschaften der Ebene E1 zusätzlich aus:

Drei auf Ebene E1 liegende Punkte sind:

P1 (1,25 / 0 / 0)

P2 (1,5 / 1 / 0)

P3 (1,5 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Ebene E1 in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 23
 

Die Spurpunkte der Ebene E1 sind:

Sx (1,25 / 0 / 0)

Sy (0 / -5 / 0)

Sz (0 / 0 / -5)

 

Der Normalenvektor der Ebene E1 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 24
 

Der Abstand der Ebene E1 zum Koordinatenursprung beträgt d = 1,179.

 

Für Ebene E2 wird bei Ausgabe der grafischen Darstellung zusätzlich ermittelt:

Drei auf Ebene E2 liegende Punkte sind:

P1 (2,5 / 0 / 0)

P2 (4 / 1 / 0)

P3 (3 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Ebene E1 in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 25

 

Die Gleichung der Ebene E2 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 26
 

Die Spurpunkte der Ebene E2 sind:

Sx (2,5 / 0 / 0)

Sy (0 / -1,667 / 0)

Sz (0 / 0 / -5)

 

Der Normalenvektor der Ebene E2 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 27
 

Der Abstand der Ebene E2 zum Koordinatenursprung beträgt d = 1,336.
 

Beispiel 3 - Schnitt zweier Ebenen in Punkt-Richtungs-Form:

Es gilt, den Schnitt zweier Ebenen in Punkt-Richtungsform durchführen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Wahl des Untermenüpunkts Schnitt zweier Ebenen in P-R-Form, der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E1 in Punkt-Richtungs-Form

Ebene - Gleichung - 28

und einer Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E2 in Punkt-Richtungs-Form:

Ebene - Gleichung - 29

ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen:

Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E1 und E2 lautet:

Ebene - Gleichung - 30

Der Schnittwinkel der Ebenen E1 und E2 beträgt 119,171°.

 

Bei Ausgabe der grafischen Darstellung gibt das Programm bzgl. der Eigenschaften der Ebene E1 zusätzlich aus:

Drei auf Ebene E1 liegende Punkte sind:

P1 (1 / 2 / 3)

P2 (3 / 3 / 4)

P3 (0 / 5 / 2)

 

Die Gleichung der Ebene E1 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 31
 

Die Spurpunkte der Ebene E1 sind:

Sx (-4,75 / 0 / 0)

Sy (0 / 19 / 0)

Sz (0 / 0 / 2,714)

 

Der Normalenvektor der Ebene E1 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 32
 

Der Abstand der Ebene E1 zum Koordinatenursprung beträgt d = 2,339.

 

Für Ebene E2 wird bei Ausgabe der grafischen Darstellung zusätzlich ermittelt:

Drei auf Ebene E2 liegende Punkte sind:

P1 (2 / 2 / 0)

P2 (3 / 1 / 3)

P3 (3 / -1 / -4)

 

Die Gleichung der Ebene E2 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 33
 

Die Spurpunkte der Ebene E2 sind:

Sx (3,077 / 0 / 0)

Sy (0 / 5,714 / 0)

Sz (0 / 0 / -20)

 

Der Normalenvektor der Ebene E2 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 34

Der Abstand der Ebene E2 zum Koordinatenursprung beträgt d = 2,685.
 

Beispiel 4 - Eigenschaften einer Ebene in Punkt-Richtungs-Form:

Es gilt, sich die Eigenschaften einer in Punkt-Richtungsform definierten Ebene

Ebene - Gleichung - 35

ausgeben zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Wahl des Untermenüpunkts Schnitt zweier Ebenen in P-R-Form und Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E1 in Punkt-Richtungs-Form, gibt das Programm nach Wahl des Menüpunkts Details Ebene 1 folgende Ergebnisse aus.

Die Gleichung der Ebene E1 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 36

Drei Punkte, die auf Ebene E1 liegen:

P1 (4 / 2 / -7)

P2 (5 / 5 / -1)

P3 (-1 / 3 / -8)

 

Die Gleichung der Ebene E1 in Koordinaten-Form lautet:

 

E: -9·X - 29·Y + 16·Z = -206

 

Der Abstand der Ebene E1 vom Koordinatenursprung beträgt d = 6,002
 

Die Spurpunkte der Ebene E1 sind:

Sx (22,889 / 0 / 0)

Sy (0 / 7,103 / 0)

Sz (0 / 0 / -12,875)

 

Der Normalenvektor der Ebene E1 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 37
 

Der Betrag des Normalenvektors der Ebene E1 besitzt den Wert 34,322.
 

Beispiel 5 - Spiegelung einer Ebene in Normalen-Form an einer Ebene in 3-Punkte-Form:

Eine in Normalenform deklarierte Ebene E1 ist an einer in Punkt-Richtungs-Form definierten Ebene E2 zu spiegeln. 

Nach der Wahl des Untermenüpunkts Schnitt einer Ebene in N-Form und einer Ebene in P-R-Form, der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E1 in Normalen-Form

Ebene - Gleichung - 38

bzw.

Ebene - Gleichung - 39

sowie der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der zu spiegelnden Ebene E2 in Punkt-Richtungs-Form:

Ebene - Gleichung - 40

ermittelt das Programm nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Ebenenspiegelung und einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen:

Für die gespiegelte Ebene E3 (rechtsseitig angezeigt):

Die Gleichung der Ebene E3 in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

Ebene - Gleichung - 41

Die Gleichung der Ebene E3 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 42
 

Drei Punkte, die auf der Ebene E3 liegen sind:

P1 (-9,875 / 3,695 / 1,928)

P2 (-6,864 / 1,446 / 0,233)

P3 (-10,972 / 3,377 / 2,762)

 

Die Gleichung der Ebene E3 in Koordinaten-Form lautet:

 

E: -2,416·X  - 0,651·Y - 3,427·Z = 14,842

 

Der Abstand der Ebene E3 vom Koordinatenursprung beträgt d = 3,498.
 

Die Spurpunkte der Ebene E3 sind:

Sx (-6,144 / 0 / 0)

Sy (0 / -22,8 / 0)

Sz (0 / 0 / -4,331)

 

Für die zu spiegelnde Ebene E1 (linksseitig angezeigt):

Die Gleichung der Ebene E1 in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

Ebene - Gleichung - 43

Drei Punkte, die auf der Ebene E1 liegen, sind:

P1 (-11 / 0 / 0)

P2 (-7 / 1 / 0)

P3 (-12 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Ebene E1 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 44

 

Der Abstand der Ebene E1 vom Koordinatenursprung beträgt d = 2,593.
 

Die Spurpunkte der Ebene E1 sind:

Sx (-11 / 0 / 0)

Sy (0 / 2,75 / 0)

Sz (0 / 0 / -11)

 

Der Normalenvektor der Ebene E1 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 45

 

Für die Spiegelebene E2 (linksseitig angezeigt):

Die Gleichung der Ebene E2 in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

Ebene - Gleichung - 46

Drei Punkte, die auf der Ebene E2 liegen, sind:

P1 (1 / 2 / -6)

P2 (3 / 4 / -11)

P3 (-4 / 3 / -5)

 

Die Gleichung der Ebene E2 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 47

 

Der Abstand der Ebene E2 vom Koordinatenursprung beträgt d = 0,707.
 

Die Spurpunkte der Ebene E2 sind:

Sx (-2,714 / 0 / 0)

Sy (0 / -0,826 / 0)

Sz (0 / 0 / -1,583)

 

Der Normalenvektor der Ebene E2 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 48
 

Für die Gleichung der Schnittgeraden der drei Ebenen wird ausgegeben:

Ebene - Gleichung - 49

Der Schnittwinkel der Ebenen E1 und E2 beträgt 129,818°.
 

Module zum Themenbereich Vektoralgebra


Gerade und Vektoren - Vektorielle Linearkombination - Vektorielles Teilverhältnis - Vektoraddition in der Ebene - Resultierende - Komponentendarstellung (3D) - Vektorprodukt (3D) - Skalarprodukt (3D) - Spatprodukt (3D) - Vektorprojektion (3D) - Tripelprodukt (3D) - Numerische Vektoraddition im Raum - Grafische Vektoraddition im Raum (3D) - Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Gerade in 2-Punkte-Form (3D) - Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Ebene in 3-Punkte-Form (3D) - Ebene in Normalen-Form (3D) - Ebene in Koordinaten-Form (3D) - Zwei Ebenen (3D) - Kugel - Gerade (3D) - Kugel - Ebene - Punkt (3D) - Kugel - Kugel (3D)


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