MathProf - Ebenen im Raum - Schnittgerade und Schnittwinkel von zwei Ebenen

MathProf - Mathematik-Software - Ebenen im Raum | Schnittgerade | Gleichung | Lage | Schnitt

Fachthema: Ebenen im Raum

MathProf - Sphärische Geometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D-Animationen und 3D-Grafik für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Ebenen im Raum | Schnittgerade | Gleichung | Lage | Schnitt

Online-Hilfe
für das Modul Analytische Geometrie zur Durchführung von Untersuchungen mit zwei Ebenen im Raum.

In diesem Unterprogramm erfolgt die Ermittlung der Lagebeziehung zweier Ebenen sowie das Berechnen und Zeichnen der Schnittgerade zweier Ebenen und die Ausgabe vom Winkel zwischen zwei Ebenen im dreidimensionalen Raum.

Der Abstand zweier Ebenen (Abstand zwischen zwei Ebenen), welche auf unterschiedliche Weise definiert werden können, kann ebenfalls ermittelt werden.
Zudem erfolgt die Darstellung relevanter Vektoren der Ebenen. Dies sind die Ortsvektoren, Richtungsvektoren und Normalenvektoren der Ebenen. Daneben erlaubt der implementierte Rechner auch die Berechnung der Spurpunkte definierter Ebenen. Des Weiteren kann das Umformen einer Ebenengleichung in andere Darstellungsformen vollzogen werden.

Es handelt sich um ein Teilprogramm, welches neben vielem anderem die Darstellung des Schnitts zweier Ebenen sowie die Analyse der Lage von Ebenen ermöglicht. Außerdem wird die Möglichkeit geboten, eine Ebenenspiegelung an einem Punkt durchführen zu lassen.

Die Definition der Ebenengleichungen kann in Form einer der nachfolgend aufgeführten Darstellungsformen erfolgen: Normalenform (Normalform einer Ebene), Koordinatenform, Punkt-Richtungs-Form (Parameterform) oder Drei-Punkte-Form.


Ein frei bewegbares und drehbares 3D-Koordinatensystem erlaubt die Durchführung interaktiver Analysen bzgl. Sachverhalten und relevanter Zusammenhänge zu diesem Fachthema. Auch die Ausführung verschiedener 3D-Animationen mit Gebilden dieser Art kann veranlasst werden.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Ebenen - Ebenen darstellen - Zwei Ebenen - Ebenengleichungen in verschiedenen Formen - Schnitt - Schnittgerade - Schnittwinkel - Gleichung - Schnittgerade zweier Ebenen - Normalenvektor einer Ebene bestimmen - Schnittwinkel zweier Ebenen - Winkel zwischen Ebene und Ebene - Ebenen zeichnen - Ebenen 3D - Ebenen berechnen - Abstand Ebene Ebene - Lage zweier Ebenen - Analyse der Lage von Ebenen - Spiegelung einer Ebene - Allgemeine Normalengleichung - Abstandsberechung Ebene Ebene - Vektoren von Ebenen - Schnittgerade von 2 Ebenen - Ebenen plotten - Parallele Ebenen - Schnittwinkel Ebene Ebene - Schnittgerade Ebene-Ebene - Gegenseitige Lage von Ebenen - Schnitt zweier Ebenen - Schnitt Ebene Ebene - Lagebeziehung Ebene-Ebene - Lagebeziehung Ebene Punkt - Lagebeziehung Ebene Gerade - Schnittgerade Ebene-Ebene - Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen - Normalengleichung einer Ebene bestimmen - Ortsvektor einer Ebene bestimmen - Richtungsvektor einer Ebene bestimmen - Parametergleichung einer Ebene - Parameterdarstellung einer Ebene - Koordinatengleichung einer Ebene - Hessesche Normalenfom (HNF) einer Ebene - Lage zweier Ebenen - Darstellung und Analyse der Lage Ebene-Ebene - Orthogonale Ebenen - Spurpunkte einer Ebene - Spurgerade - Gleichung einer Ebene - Winkel zwischen zwei Ebenen - Lage zweier Ebenen - Lage Ebene Ebene - Vektorielle Darstellung von Ebenen - Abstand zweier Ebenen - Umwandlung Normalenform in Koordinatenform - Umwandlung Punktrichtungsform in Koordinatenform - Umwandlung Koordinatenform in Normalenform-  Umwandlung Normalenform in Parameterform - Umwandlung Koordinatenform in Parameterform - Orthogonale Ebenen - Ebenen schneiden - Ebene bestimmen - Orthogonal - Parallel - Untersuchung - Untersuchen - Schneiden - Spiegeln - Berechnen - Bestimmen - Bilder - Raum - Winkel - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Präsentation - Vektoriell - Vektoren - Rechner - Beispiele - Aufgaben - Graph - Gleichung - Plotter - Formeln - Umwandlung - Umrechnung - Ebene plotten - Ebenen umformen - Ebenen umwandeln - Ebenengleichung umformen - Darstellungsformen von Ebenen - Darstellungsarten von Ebenen - Ebenengleichung umwandeln

 
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Zwei Ebenen im Raum

 

Die Programmpunkte unter [Vektoralgebra] mit den Bezeichnungen Zwei Ebenen in ... ermöglichen die Durchführung von Untersuchungen mit zwei Ebenen verschiedener Definitionsformen.

 

MathProf - Ebenen - Raum - Schnittgerade - Schnittwinkel - Winkel - Normalenvektor - Richtungsvektor - Spurpunkte   MathProf - Ebene - Darstellung - Koordinatenform - Normalenform - Spielgung - Spurpunkte

 

MathProf - Ebene - Schnitt - Spiegelebene - Spiegelung von Ebenen - Schnittgerade   MathProf - Ebenen - Schnittgerade - Ebene Parameterform - Ebene - Punkt-Richtungs-Form

 

MathProf - Ebene - Normalenform - Spiegelebene - Ebenenspiegelung - Schnittgerade - Lagebeziehung   MathProf  Schnittgerade - Schnittwinkel - Spiegelung Ebene - Ebene - Koordinatengleichung - Lagebeziehung
 

Folgende Unterprogramme stehen zur Auswahl:

  • Schnitt zweier Ebenen in Normalenform
  • Schnitt zweier Ebenen in Koordinatenform
  • Schnitt zweier Ebenen in Punkt-Richtungs-Form
  • Schnitt einer Ebene in Normalenform und einer Ebene in Punkt-Richtungs-Form
  • Schnitt einer Ebene in Normalenform und einer Ebene in Koordinatenform
  • Schnitt einer Ebene in Punkt-Richtungsform und einer Ebene in Koordinatenform

Die Anwendungsmöglichkeiten dieser Programmpunkte sind:
 

  • Eigenschaftsanalyse einer Ebene
  • Ermittlung der Gleichung der Schnittgerade zweier Ebenen
  • Ermittlung des Schnittwinkels zweier, sich schneidender Ebenen (Lagebeziehung zweier Ebenen)
  • Ermittlung und Darstellung der Ebene, welche durch Spiegelung einer Ebene an einer zweiten Ebene entsteht (Spiegelung Ebene - Ebene)

Definitionsformen von Ebenen - Ebenengleichungen - Formeln

Mögliche Darstellungsformen zur Definition von Ebenen (Ebenengleichungen) sind:

3-Punkte-Form:

Ebene - Gleichung - 1

Normalenform:

Ebene - Gleichung - 2

Punkt-Richtungs-Form:

Ebene - Gleichung - 3

Koordinatenform:

E: a·x + b·y + c·z = d

Zusammenhänge und Formeln

Relevante Zusammenhänge zu diesem Fachthema sind nachfolgend aufgezeigt.

Schnittwinkel zweier Ebenen:

Ebene 1:

Ebene - Gleichung - 4

Ebene 2:

Ebene - Gleichung - 5

Schnittwinkel Ebene - Ebene:

Ebene - Gleichung - 6

Schnittgerade zweier Ebenen:

Die Gleichung der Schnittgeraden g zweier Ebenen in Normalenform lautet:

Ebene - Gleichung - 7

Der o.a. Richtungsvektor Ebene - Gleichung - 71 ist hierbei das Vektorprodukt der beiden Normalenvektoren der Ebenen:

Ebene - Gleichung - 8

Der Ortsvektor r0 eines auf Schnittgeraden liegenden Punktes P0 kann mit Hilfe des nachfolgend aufgeführten linearen Gleichungssystems ermittelt werden:

Ebene - Gleichung - 9

Ebene - Gleichung - 10

Beide Ebenen schneiden sich genau dann, wenn gilt:

Ebene - Gleichung - 11

Zur Verwendung o.a. Vektorgleichungen sind die Darstellungsformen der Ebene in Normalenform, und die der Gerade in Punkt-Richtungs-Form zu bringen.

Bedeutung der im Programm verwendeten Bezeichnungskürzel

Die Bedeutungen der im Programm verwendeten Bezeichungskürzel sind folgende:

E1,E2: Ebene in Punkt-Richtungs-, Normalen- sowie Koordinatenform
d: Abstand einer Ebene vom Koordinatenursprung
Sx,Sy,Sz: Spurpunkte einer Ebene
g: Gleichung der Schnittgeraden zweier Ebenen in Punkt-Richtungs-Form
n,n1,n2: Normalenvektor einer Ebene
r,r1,r2: Schnittwinkel zweier Ebenen, zweier Geraden, einer Geraden und einer Ebene
a,b,a1,b1,a2,b2: Richtungsvektoren einer Ebene bzw. der Schnittgerade

 

Screenshots


MathProf - Ebenen im Raum - Schittgerade - Schnittwinkel - Spielgelung - Lagebeziehung zweier Ebenen - Spurpunkte - Ortsvektoren - Richtungsvektoren - Schnittwinkel zweier Ebenen - Ebene - Lagebeziehung Ebene-Ebene - Schnittgerade zweier Ebenen - Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen - Ebenengleichung - 1
MathProf - Ebenen im Raum - Schittgerade - Schnittwinkel - Spielgelung - Lagebeziehung zweier Ebenen - Spurpunkte - Ortsvektoren - Richtungsvektoren - Schnittwinkel zweier Ebenen - Ebene - Lagebeziehung Ebene-Ebene - Schnittgerade zweier Ebenen - Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen - Ebenengleichung - 2
MathProf - Ebenen im Raum - Schittgerade - Schnittwinkel - Spielgelung - Lagebeziehung zweier Ebenen - Spurpunkte - Ortsvektoren - Richtungsvektoren - Schnittwinkel zweier Ebenen - Ebene - Lagebeziehung Ebene-Ebene - Schnittgerade zweier Ebenen - Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen - Ebenengleichung - 3

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Eigenschaftsanalyse einer Ebene


MathProf - Ebenen im Raum - Spurpunkte - Schnittgerade - Schnittwinkel - Spurpunkte

Die numerische Untersuchung einer Ebene auf deren Eigenschaften können Sie durchführen, indem Sie wie nachfolgend beschrieben vorgehen:

  1. Wählen Sie den entsprechenden Untermenüeintrag für die Ebenen mit welchen Sie Untersuchungen durchführen möchten.
     
  2. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Ebene bzw. die Koordinaten der auf der Ebene liegenden Punkte in die dafür vorgesehenen Felder ein.
     
  3. Wählen Sie den Menüpunkt Details Ebene E1 bzw. Details Ebene E2.


Nachfolgend aufgeführte Details einer Ebene werden bei Durchführung einer Eigenschaftsanalyse errechnet:

  • Abstand d der Ebene vom Koordinatenursprung
  • Spurpunkte Sx,Sy,Sz (Durchstoßpunkte) der Ebene
  • Normalenvektor n der Ebene
  • Definition der Ebene in 3-Punkte-, Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie in Koordinatenform

Schnittgerade, Schnittwinkel und Spiegelung zweier Ebenen
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Ebenen im Raum - Schnittgerade - Ebenenspiegelung - Schnittwinkel - Spiegelung

 

Um die Schnittgerade und den Schnittwinkel zweier Ebenen ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Wählen Sie den entsprechenden Untermenüeintrag für die Ebenen, mit welchen Sie Untersuchungen durchführen möchten.
     
  2. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Ebene bzw. die Koordinaten der auf der Ebene liegenden Punkte in die hierfür vorgesehenen Felder ein.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  4. Möchten Sie sich die räumliche Lage der entsprechenden Ebenen veranschaulichen und die (evtl. vorhandene) Schnittgerade derer dargestellt bekommen, so aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch und bedienen hierauf die Schaltfläche Darstellen. Um sich zusätzlich die Ebene darstellen zu lassen, welche durch eine Spiegelung der Ebene E1 an Ebene E2 ensteht, aktivieren Sie zuvor das Kontrollkästchen Ebenenspiegelung.

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Darstellung - Optionen


Im Formularbereich Darstellung - Optionen können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • N-Vektor Ebene 1 : Darstellung des Normalenvektors n1 der Ebene E1 ein-/ausschalten
  • N-Vektor Ebene 2 : Darstellung des Normalenvektors n2 der Ebene E2 ein-/ausschalten
  • Beschriften: Beschriftung dargestellter Vektoren und Punkte ein-/ausschalten
  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D)

Gerade in 2-Punkte-Form (3D)

Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D)

Ebene in 3-Punkte-Form (3D)

Ebene in Normalen-Form (3D)

Ebene in Koordinaten-Form (3D)

Kugel - Ebene - Punkt (3D)

 

Beispiele - Aufgaben


Beispiel 1 - Schnitt einer Ebene in Normalenform und einer Ebene in Punkt-Richtungs-Form:

Es gilt, den Schnitt einer Ebene in Normalenform und einer Ebene in Punkt-Richtungsform durchführen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Wahl des Untermenüpunkts Schnitt einer Ebene in N-Form und einer Ebene in P-R-Form, der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E1 in Normalen-Form

Ebene - Gleichung - 12

bzw.

Ebene - Gleichung - 13

sowie der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition einer Ebene E2 in Punkt-Richtungs-Form:

Ebene - Gleichung - 14

ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen:
 

Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E1 und E2 lautet:

Ebene - Gleichung - 15

Der Schnittwinkel der Ebenen E1 und E2 beträgt 95,522°.

Bei Ausgabe der grafischen Darstellung gibt das Programm bzgl. der Eigenschaften der Ebene E1 zusätzlich aus:

Drei auf Ebene E1 liegende Punkte sind:

P1 (9 / 0 / 0)

P2 (7 / 1 / 0)

P3 (8 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Ebene E1 in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 16
 

Die Spurpunkte der Ebene E1 sind:

Sx (9 / 0 / 0)

Sy (0 / 4,5 / 0)

Sz (0 / 0 / 9)

 

Der Normalenvektor der Ebene E1 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 17
 

Der Abstand der Ebene E1 zum Koordinatenursprung beträgt d = 3,674.

 

Für Ebene E2 wird bei Ausgabe der grafischen Darstellung zusätzlich ermittelt:

Drei auf Ebene E2 liegende Punkte sind:

P1 (1 / 2 /2)

P2 (3 / 4 / 3)

P3 (4 / 3 / 3)

 

Die Gleichung der Ebene E2 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 18
 

Die Spurpunkte der Ebene E2 sind:

Sx (-5 / 0 / 0)

Sy (0 / -5 / 0)

Sz (0 / 0 / 1,25)

 

Der Normalenvektor der Ebene E2 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 19

Der Abstand der Ebene E2 zum Koordinatenursprung beträgt d = 1,179.
 

Beispiel 2 - Schnitt einer Ebene in Normalenform und einer Ebene in Koordinaten-Form:

Es gilt, den Schnitt einer Ebene in Normalenform und einer Ebene in Koordinaten-Form durchführen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Wahl des Untermenüpunkts Schnitt einer Ebene in N-Form und einer Ebene in Koordinaten-Form, der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E1 in Normalen-Form

Ebene - Gleichung - 20

bzw.

Ebene - Gleichung - 21

und einer Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E2 in Koordinaten-Form:

E2: -2·X + 3·Y + 1·Z = -5

ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen:

Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E1 und E2 lautet:

Ebene - Gleichung - 22

Der Schnittwinkel der Ebenen E1 und E2 beträgt 139,107°.

 

Bei Ausgabe der grafischen Darstellung gibt das Programm bzgl. der Eigenschaften der Ebene E1 zusätzlich aus:

Drei auf Ebene E1 liegende Punkte sind:

P1 (1,25 / 0 / 0)

P2 (1,5 / 1 / 0)

P3 (1,5 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Ebene E1 in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 23
 

Die Spurpunkte der Ebene E1 sind:

Sx (1,25 / 0 / 0)

Sy (0 / -5 / 0)

Sz (0 / 0 / -5)

 

Der Normalenvektor der Ebene E1 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 24
 

Der Abstand der Ebene E1 zum Koordinatenursprung beträgt d = 1,179.

 

Für Ebene E2 wird bei Ausgabe der grafischen Darstellung zusätzlich ermittelt:

Drei auf Ebene E2 liegende Punkte sind:

P1 (2,5 / 0 / 0)

P2 (4 / 1 / 0)

P3 (3 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Ebene E1 in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 25

 

Die Gleichung der Ebene E2 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 26
 

Die Spurpunkte der Ebene E2 sind:

Sx (2,5 / 0 / 0)

Sy (0 / -1,667 / 0)

Sz (0 / 0 / -5)

 

Der Normalenvektor der Ebene E2 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 27
 

Der Abstand der Ebene E2 zum Koordinatenursprung beträgt d = 1,336.
 

Beispiel 3 - Schnitt zweier Ebenen in Punkt-Richtungs-Form:

Es gilt, den Schnitt zweier Ebenen in Punkt-Richtungsform durchführen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Wahl des Untermenüpunkts Schnitt zweier Ebenen in P-R-Form, der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E1 in Punkt-Richtungs-Form

Ebene - Gleichung - 28

und einer Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E2 in Punkt-Richtungs-Form:

Ebene - Gleichung - 29

ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen:

Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E1 und E2 lautet:

Ebene - Gleichung - 30

Der Schnittwinkel der Ebenen E1 und E2 beträgt 119,171°.

 

Bei Ausgabe der grafischen Darstellung gibt das Programm bzgl. der Eigenschaften der Ebene E1 zusätzlich aus:

Drei auf Ebene E1 liegende Punkte sind:

P1 (1 / 2 / 3)

P2 (3 / 3 / 4)

P3 (0 / 5 / 2)

 

Die Gleichung der Ebene E1 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 31
 

Die Spurpunkte der Ebene E1 sind:

Sx (-4,75 / 0 / 0)

Sy (0 / 19 / 0)

Sz (0 / 0 / 2,714)

 

Der Normalenvektor der Ebene E1 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 32
 

Der Abstand der Ebene E1 zum Koordinatenursprung beträgt d = 2,339.

 

Für Ebene E2 wird bei Ausgabe der grafischen Darstellung zusätzlich ermittelt:

Drei auf Ebene E2 liegende Punkte sind:

P1 (2 / 2 / 0)

P2 (3 / 1 / 3)

P3 (3 / -1 / -4)

 

Die Gleichung der Ebene E2 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 33
 

Die Spurpunkte der Ebene E2 sind:

Sx (3,077 / 0 / 0)

Sy (0 / 5,714 / 0)

Sz (0 / 0 / -20)

 

Der Normalenvektor der Ebene E2 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 34

Der Abstand der Ebene E2 zum Koordinatenursprung beträgt d = 2,685.
 

Beispiel 4 - Eigenschaften einer Ebene in Punkt-Richtungs-Form:

Es gilt, sich die Eigenschaften einer in Punkt-Richtungsform definierten Ebene

Ebene - Gleichung - 35

ausgeben zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Wahl des Untermenüpunkts Schnitt zweier Ebenen in P-R-Form und Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E1 in Punkt-Richtungs-Form, gibt das Programm nach Wahl des Menüpunkts Details Ebene 1 folgende Ergebnisse aus.

Die Gleichung der Ebene E1 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 36

Drei Punkte, die auf Ebene E1 liegen:

P1 (4 / 2 / -7)

P2 (5 / 5 / -1)

P3 (-1 / 3 / -8)

 

Die Gleichung der Ebene E1 in Koordinaten-Form lautet:

 

E: -9·X - 29·Y + 16·Z = -206

 

Der Abstand der Ebene E1 vom Koordinatenursprung beträgt d = 6,002
 

Die Spurpunkte der Ebene E1 sind:

Sx (22,889 / 0 / 0)

Sy (0 / 7,103 / 0)

Sz (0 / 0 / -12,875)

 

Der Normalenvektor der Ebene E1 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 37
 

Der Betrag des Normalenvektors der Ebene E1 besitzt den Wert 34,322.
 

Beispiel 5 - Spiegelung einer Ebene in Normalen-Form an einer Ebene in 3-Punkte-Form:

Eine in Normalenform deklarierte Ebene E1 ist an einer in Punkt-Richtungs-Form definierten Ebene E2 zu spiegeln. 

Nach der Wahl des Untermenüpunkts Schnitt einer Ebene in N-Form und einer Ebene in P-R-Form, der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E1 in Normalen-Form

Ebene - Gleichung - 38

bzw.

Ebene - Gleichung - 39

sowie der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der zu spiegelnden Ebene E2 in Punkt-Richtungs-Form:

Ebene - Gleichung - 40

ermittelt das Programm nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Ebenenspiegelung und einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen:

Für die gespiegelte Ebene E3 (rechtsseitig angezeigt):

Die Gleichung der Ebene E3 in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

Ebene - Gleichung - 41

Die Gleichung der Ebene E3 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 42
 

Drei Punkte, die auf der Ebene E3 liegen sind:

P1 (-9,875 / 3,695 / 1,928)

P2 (-6,864 / 1,446 / 0,233)

P3 (-10,972 / 3,377 / 2,762)

 

Die Gleichung der Ebene E3 in Koordinaten-Form lautet:

 

E: -2,416·X  - 0,651·Y - 3,427·Z = 14,842

 

Der Abstand der Ebene E3 vom Koordinatenursprung beträgt d = 3,498.
 

Die Spurpunkte der Ebene E3 sind:

Sx (-6,144 / 0 / 0)

Sy (0 / -22,8 / 0)

Sz (0 / 0 / -4,331)

 

Für die zu spiegelnde Ebene E1 (linksseitig angezeigt):

Die Gleichung der Ebene E1 in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

Ebene - Gleichung - 43

Drei Punkte, die auf der Ebene E1 liegen, sind:

P1 (-11 / 0 / 0)

P2 (-7 / 1 / 0)

P3 (-12 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Ebene E1 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 44

 

Der Abstand der Ebene E1 vom Koordinatenursprung beträgt d = 2,593.
 

Die Spurpunkte der Ebene E1 sind:

Sx (-11 / 0 / 0)

Sy (0 / 2,75 / 0)

Sz (0 / 0 / -11)

 

Der Normalenvektor der Ebene E1 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 45

 

Für die Spiegelebene E2 (linksseitig angezeigt):

Die Gleichung der Ebene E2 in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

Ebene - Gleichung - 46

Drei Punkte, die auf der Ebene E2 liegen, sind:

P1 (1 / 2 / -6)

P2 (3 / 4 / -11)

P3 (-4 / 3 / -5)

 

Die Gleichung der Ebene E2 in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Gleichung - 47

 

Der Abstand der Ebene E2 vom Koordinatenursprung beträgt d = 0,707.
 

Die Spurpunkte der Ebene E2 sind:

Sx (-2,714 / 0 / 0)

Sy (0 / -0,826 / 0)

Sz (0 / 0 / -1,583)

 

Der Normalenvektor der Ebene E2 lautet:

 

Ebene - Gleichung - 48
 

Für die Gleichung der Schnittgeraden der drei Ebenen wird ausgegeben:

Ebene - Gleichung - 49

Der Schnittwinkel der Ebenen E1 und E2 beträgt 129,818°.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Ebene - Ebenen - Punkt - Lagebeziehung - Spurpunkte - Vektorielle Gleichung - Vektorrechnung - Darstellen - Gleichung - Punkte - Beispiel - Ortsvektor - Richtungsvektor - Schnittgerade zweier Ebenen - Schnittgerade - Ebenengleichung - Ebenen im Raum - Lagebeziehung Ebene-Ebene - Schnittgerade zweier Ebenen - Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen - Abstand zweier Ebenen - Ebenengleichungen  - Ebenengleichung
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Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen


Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
    

Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Ebenengleichung
Wikipedia - Koordinatenform
Wikipedia - Parameterform

Wikipedia - Dreipunkteform
Wikipedia - Normalenform
Wikipedia - Normalenvektor
Wikipedia - Schnittgerade
 
Implementierte Module zum Themenbereich Vektoralgebra


Gerade und Vektoren - Vektorielle Linearkombination - Vektorielles Teilverhältnis - Vektoraddition in der Ebene - Resultierende - Komponentendarstellung (3D) - Vektorprodukt (3D) - Skalarprodukt (3D) - Spatprodukt (3D) - Vektorprojektion (3D) - Tripelprodukt (3D) - Numerische Vektoraddition im Raum - Grafische Vektoraddition im Raum (3D) - Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Gerade in 2-Punkte-Form (3D) - Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Ebene in 3-Punkte-Form (3D) - Ebene in Normalen-Form (3D) - Ebene in Koordinaten-Form (3D) - Zwei Ebenen (3D) - Kugel - Gerade (3D) - Kugel - Ebene - Punkt (3D) - Kugel - Kugel (3D)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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