MathProf - Tangens am Einheitskreis - Cotangens am Einheitskreis

Modul Tangens und Cotangens am Einheitskreis

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Unter dem Menüpunkt [Trigonometrie] - [Trigonometrische Funktionen] - Tangens und Cotangens am Einheitskreis werden die Zusammenhänge der trigonometrischen Funktionen Tangens und Cotangens mit Hilfe eines Zeigerdiagramms am Einheitskreis aufgezeigt.

 

Am Einheitskreis finden sich die Tangenswerte als Schnittpunkte von einer, durch den Punkt P(1;0) verlaufenden, Parallele zur y-Achse und der Parallelen zur x-Achse durch diesen Punkt. Der Ordinatenwert dieses Schnittpunktes gibt den Wert des Tangens des Drehwinkels α einer Geraden durch den Punkt P und den Kreismittelpunkt an. Der Tangens ist der Quotient aus Sinus und Cosinus, der Cotangens der Kehrwert dessen.

 

Diese Sachverhalte können in diesem Unterprogramm untersucht werden.

 

 

Durch die Bedienung des Rollbalkens Winkel wird der Drehwinkel des Punktes (Pfeilspitze) auf dem Einheitskreis verändert und auf seine Position in den Funktionsgrafen für Tangens und Cotangens transferiert.

 

Die entsprechenden Werte für die Funktionen Tangens und Cotangens werden, abhängig von der Lage des Punktes auf dem Einheitskreis ausgegeben. Außerdem wird der Drehwinkel einer Gerade (bzgl. der Abszisse) durch den Punkt auf dem Einheitskreis, sowohl im Grad- wie auch im Bogenmaß angezeigt.

 

Durch die Aktivierung des Kontrollschalters Gradmaß bzw. Bogenmaß kann gewählt werden, ob Abszissenwerte im Grad- oder im Bogenmaß ausgegeben werden sollen.

 

Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:
 

• Cotangens: Darstellung der Cotangens-Funktion ein-/ausschalten

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Sinus und Cosinus am Einheitskreis

 

Wird Rollbalken Winkel auf den Wert 130° eingestellt und wird Kontrollschalter Gradmaß aktiviert, so werden folgende Ergebnisse ausgegeben:

Tangens (130°) = -1,192

Cotangens (130°) = -0,839
 

Nachfolgend aufgeführt finden Sie u.a. die geltenden Additionstheoreme für Tangens und Cotangens bzw. deren Rechengesetze und die entsprechenden Rechenregeln.

Additionstheoreme für Tangens:
 

Additionstheoreme für Cotangens:
 

   
Doppelwinkelfunktion für Tangens und Cotangens:
 

   
 

 

In den aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Tangens und Cotangens aufgeführt.

 

	tan x	cot x
sin x	± tan(x)/√1 - tan²x	± 1/√1 + cot²x
cos x	± 1/√1 + tan²x	± cot(x)/√1 + cot²x
tan x	-	1/cot(x)
cot x	1/tan(x)	-

 
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
 

 

Additionstheoreme für Tangens und Cotangens:

tan(x₁ ± x₂) = (tan x₁ ± tan x₂₎ / (1 ± tan x₁ · tan x₂)
cot(x₁ ± x₂) = (cot x₁ · cot x₂ ± 1) / (cot x₂ ± cot x₁₎

 

Formel für doppelten Winkel von Tangens:

tan(2x) = 2 · tan(x) / (1 - tan²(x))

Formel für Summe und Differenz von Tangens:

tan(x₁) ± tan(x₂) = sin(x₁ ± x₂) / cos(x₁ · x₂)

Formel für Produkte von Tangens:

tan(x₁) · tan(x₂) = (tan(x₁) + tan(x₂)) / (cot(x₁) + cot(x₂))
 

 

 

Wesentliche Eigenschaften von Tangens- und Cotangensfunktionen sind in nachfolgender Tabelle aufgeführt.
 

	y = tan(x)	y = cot(x)
Definitionsbereich	x ∈ R mit Ausnahme der Stellen xk = π/2 + k·π	x ∈ R mit Ausnahme der Stellen xk = k·π
Wertebereich	-∞ < x < ∞	-∞ < x < ∞
Periode	π	π
Symmetrie	ungerade	ungerade
Nullstellen	xk = k·π	xk = π/2 + k·π
Pole	xk = π/2 + k·π	xk = k·π
Vertikale Asymptoten	x = π/2 + k·π	x = k·π

 
 

 

 

Die Einteilung der Quadranten im Koordinatensystem erfolgt gemäß der nachfolgend gezeigten Darstellung.
 


Die hierbei geltende Quadrantenregel (Vorzeichenregel) für die trigonometrischen Funktionen Tangens und Cotangens wird in nachfolgender Tabelle gezeigt.
 

Quadrant	I	II	III	IV
Tangens	+	-	+	-
Cotangens	+	-	+	-

 
Quadrantenbeziehungen:
 

Quadrant	Winkel	Tangens	Cotangens
I	α	+ tan α	+ cot α
II	180° - α	- tan α	- cot α
III	180 + α	+ tan α	+ cot α
IV	360° - α	- tan α	- cot α
I	90° - α	+ cot α	+ tan α
II	90° + α	- cot α	- tan α
III	270° - α	+ cot α	+ tan α
IV	270° + α	- cot α	- tan α

 

Nachfolgend aufgeführt ist eine Umrechnungstabelle einiger häufig benötigter Tangens- und Cotangenswerte.
 

 
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Einheitskreis
Wikipedia - Tangens und Kotangens
 

Rechtwinkliges Dreieck - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln - Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Satz des Pythagoras - Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras - Satz des Thales - Höhensatz - Kathetensatz - Winkel am Dreieck - Innenwinkel des Dreiecks - Winkel am Kreis - Winkel an Parallelen - Sinus und Cosinus am Einheitskreis - Tangentendreieck - Höhenfußpunktdreieck - Lamoen-Kreis - Taylor-Kreis - Euler-Gerade - Simson-Gerade - Satz von Ceva - Isodynamische Punkte des Dreiecks - Isogonal konjugierte Punkte - Spieker-Punkt - Apollonius-Punkt

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Sinus und Cosinus am Einheitskreis

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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