MathProf - Poissonverteilung - Approximation - Rechner - Tabelle

MathProf - Mathematik-Software - Poisson-Verteilung | Dichte | Diagramm | Zufallsvariable

Fachthema: Poisson-Verteilung

MathProf - Stochastik - Statistik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, zwei- und dreidimensionaler Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Poisson-Verteilung | Dichte | Diagramm | Zufallsvariable

Online-Hilfe
für das Modul zur Praktizierung von Analysen und Auswertungen mit Poisson-verteilten Zufallsgrößen.

Der in diesem Unterprogramm implementierte Rechner ermöglicht die Durchführung der
Wahrscheinlichkeitsrechnung unter Anwendung der Poisson-Verteilung bei einer Ermittlung der Werte derer Dichte sowie derer Verteilung (kumulierte Wahrscheinlichkeiten). Die Ausgabe dieser erfolgt in einer Tabelle für Einzelwahrscheinlichkeiten und kumulierte Wahrscheinlichkeiten.

Dieses Teilprogramm erlaubt zudem die grafische Darstellung der Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsfunktion) und der Verteilungsfunktion (Wahrscheinlichkeitsverteilung) der entsprechenden Poisson-Verteilung (Poisson-Approximation) in einem Histogramm in Abhängigkeit von einem frei festlegbaren Parameter.

Beispiele, welche Aufschluss zur Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Poisson-Verteilung - Poisson-Approximation - Poissonsche Verteilung - Tabelle und Diagramm für Dichte und Verteilung - Histogramm - Parameter - Dichtefunktion - Verteilungsfunktion - Erwartungswert - Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeitsdichte - Wahrscheinlichkeitsverteilung - Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses - Diskrete Verteilung - Poisson - Dichte - Dichtefunktion - Rechner - Bild - Tabelle - Approximation - Kumuliert - Parameter - Beispiel - Formel - Funktion - Werte - Graph - Plotten - Darstellung - Berechnen - Darstellen - Kumulierte Wahrscheinlichkeit - Poissonverteilte Zufallsgröße - Poissonverteilte Zufallsvariable - Gleichung - Diskrete Zufallsvariable - Zufallsexperimente - Poissonverteilung PDF - Poissonverteilung CDF

 
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  Poisson-Verteilung

 

Unter dem Menüpunkt [Stochastik] - [Poisson-Verteilung] - Poisson-Verteilung lassen sich Berechnungen mit Poisson-verteilten Größen durchführen. Ermittelte Werte werden in Tabellen ausgegeben und Zusammenhänge zu diesem Fachthema können grafisch veranschaulicht werden.
 

 

MathProf - Poisson - Verteilung - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Tabelle - Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeitsfunktion - Wahrscheinlichkeitsverteilung - Wahrscheinlichkeitstabelle - Erwartungswert - Zufallsgröße - Dichte - Dichtefunktion
 

Poisson-Verteilung erlaubt die Berechnungen der Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Merkmal insgesamt k-mal in einer Einheit auftritt, wenn das Merkmal zufällig verteilt ist und im Mittel μ-mal in einer Einheit auftritt (z.B. die Anzahl der sich pro h auf einer bestimmten Straße befindenden Fahrzeuge). Es ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche bei der mehrmaligen Ausführung eines Bernoulli-Experiments entsteht.

Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion


Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses wird in diesem Fall wie folgt beschrieben:

Poisson-Verteilung - Gleichung - 1

Oftmals gilt es Fragen zu beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis mindestens oder höchstens zu erwarten ist (kumulierte Wahrscheinlichkeit), z.B. P(X k), oder P(X k). Hierfür wird die Verteilungsfunktion verwendet. Diese Verteilung wird hierbei beschrieben mit:

Poisson-Verteilung - Gleichung - 2

Per Voreinstellung (ohne die Aktivierung des Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten) gibt das Programm nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen die Wahrscheinlichkeit P(X=k) mit der dieses Ereignis genau k-mal eintritt, aus. Zudem werden die Wahrscheinlichkeiten ausgegeben, mit welchen das Auftreten dieses Ereignisses bis zu k-mal, oder höchstens k-mal eintritt F(X k).

Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten


MathProf - Poisson-Verteilung - Ereigniswahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit - Zufallsvariable - Erwartungswert - Zufallsgröße - Wahrscheinlichkeitsfunktion - Wahrscheinlichkeitsverteilung - Wahrscheinlichkeitstabelle - Tabelle - Histogramm - Erwartungswert - Parameter - Dichte - Verteilung - Verteilungsfunktion - Dichtefunktion

Interessieren weitere Ereigniswahrscheinlichkeiten, wie

  • Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis genau k-mal eintritt
  • Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis mindestens k-mal eintritt
  • Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis mehr als k-mal eintritt
  • Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis weniger als k-mal eintritt

so können Sie sich auch diese ausgeben lassen, nachdem vor der Ausführung eines Klicks auf díe Schaltfläche Berechnen das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten aktiviert wurde. Hierbei gelten folgende Zusammenhänge:

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis genau k-mal eintritt:

F(0) für k = 0

F(k) - F(k-1) für k 1
 

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis mindestens k-mal eintritt:

1 für k = 0

1 - F(k-1) für k 1
 

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis mehr als k-mal eintritt:

1 - F(k)

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis weniger als k-mal eintritt:

F(k-1)

Berechnung und Darstellung


MathProf - Poisson-Verteilung - Wahrscheinlichkeitsdichte - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Zufallsvariable - Erwartungswert - Zufallsgröße - Wahrscheinlichkeitsfunktion - Wahrscheinlichkeitsverteilung - Dichtefunktion - Histogramm - Parameter - Dichte - Verteilung

MathProf - Poisson-Verteilung - Diagramm - Wahrscheinlichkeit - Zufallsgröße - Zufallsvariable - Wahrscheinlichkeitsfunktion - Wahrscheinlichkeitsverteilung - Verteilungsfunktion - Parameter - Dichte - Verteilung - Erwartungswert
 

Um Berechnungen durchführen zu lassen und derartige Zusammenhänge grafisch zu analysieren, gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor:

  1. Legen Sie im Eingabefeld Parameter μ den Wert für den Verteilungsparameter μ fest und geben Sie in das Eingabefeld Anzahl Ereignisse x die Anzahl aufgetretener Ereignisse ein.
     

  2. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen und ist das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten deaktiviert, so werden die entsprechenden Ergebnisse für die Ereigniswahrscheinlichkeiten P(X=k), sowie für die Verteilung F(X k) für k = 1...x in den Tabellen ausgegeben.

    Möchten Sie sich alle Arten berechenbarer Ereigniswahrscheinlichkeiten ausgeben lassen, so aktivieren Sie vor Durchführung der Berechnung das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten. Die in Tabelle p2 aufgelisteten Ereigniswahrscheinlichkeiten entsprechen den, auf dem Hauptformular des Unterprogramms in Tabelle Ereigniswahrscheinlichkeiten p(X=k), angezeigten Wahrscheinlichkeitswerten.
     
  3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen stellt das Programm das Diagramm für die Dichtefunktion (Wahscheinlichkeitsdichte) dieser Verteilung dar (Kontollschalter Dichte ist aktiviert). Um das entsprechende Verteilungsdiagramm angezeigt zu bekommen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Verteilung.

Bedienformular


MathProf - Poisson-Verteilung - Werte - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Wahrscheinlichkeitsfunktion - Wahrscheinlichkeitsverteilung

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Benutzung der entsprechenden Steuerelemente folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

  • Diagramm und Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken und Linien
  • Nur Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Linien
  • Nur Diagramm: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken
  • Balkenbreite: Einstellung der Balkenbreite des entsprechenden Diagramms
  • Beschriftung: Anzeige der Verteilungs- bzw. Dichtewerte ein-/ausschalten
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Poisson-Verteilung - Interaktiv

 

Beispiele

 

Beispiel 1 - Poisson-Verteilung:

 

An einer Kreuzung finden pro Woche 2 Verkehrsunfälle statt.

Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung mit μ = 4 beschrieben.

 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als vier Verkehrsunfälle in zwei Wochen stattfinden?

 

Vorgehensweise und Lösung:
 

Nach Eingabe der Werte 2 und 4 in die entsprechenden Felder, einer Aktivierung des Kontrollkästchens Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, kann aus der Tabelle mit der Bezeichnung p1 entnommen werden:

F(3) = F(0) + F(1) + F(2) + F(3) = 0,4335
 

Beispiel 2- Poisson-Verteilung:

Bei einer Endprüfung an einem Montageband werden im Mittel 2 Fehler pro Gerät festgestellt.

Wie groß ist der Anteil der Geräte, welche genau 2 Fehler aufweisen?

Wie groß ist der Anteil der Geräte, welche weniger als 2 Fehler aufweisen?

Wie groß ist der Anteil der Geräte, welche mehr als 2 Fehler aufweisen?

 

Vorgehensweise und Lösung:
 

Nach Eingabe des Werts 2 für Parameter μ sowie der Festlegung der Anzahl der Ereignisse auf 10, einer Aktivierung des Kontrollkästchens Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, kann aus den Tabellen entnommen werden:

Aus der Tabelle mit der Bezeichnung p2 (Ereignis tritt genau 2-mal ein):

F(2) - F(1) = 0,27067057
 

Aus der Tabelle mit der Bezeichnung p5 (Ereignis tritt weniger als 2-mal ein):

F(1) = 0,40600585
 

Aus der Tabelle mit der Bezeichnung p4 (Ereignis tritt mehr als 2-mal ein):

1 - F(2) = 0,32332
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Poisson-Verteilung - Poissonverteilung - Tabelle - Erwartungswert - Berechnen - Diagramm - Dichte - Verteilung - Darstellen - Eigenschaften - Graph - Grafik - Beispiel - Histogramm - Parameter - Dichte - Dichtefunktion - Wahrscheinlichkeitsdichte
MathProf - Poisson-Verteilung - Poissonverteilung - Histogramm - Plotter - Statistik - Stichprobe - Wahrscheinlichkeit - Zeichnen - Ereignisse - Verteilungsfunktion - Histogramm - Beispiel - Parameter - Verteilung - Wahrscheinlichkeitsverteilung - Verteilungsfunktion - Erwartungswert
MathProf - Poisson-Verteilung - Poissonverteilung - Dichtefunktion - Animation - Berechnen - Verteilung - Stochastik - Erwartungswert - Parameter - Beispiel - Histogramm - Dichte - Wahrscheinlichkeitsdichte

     
Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Poisson-Verteilung zu finden.

 
Implementierte Module zum Themenbereich Stochastik


Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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