MathProf - Poisson-Verteilung

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

  Poisson-Verteilung

 

Unter dem Menüpunkt [Stochastik] - [Poisson-Verteilung] - Poisson-Verteilung lassen sich Berechnungen mit Poisson-verteilten Größen durchführen.

 

MathProf - Poisson - Verteilung


Poisson-Verteilung erlaubt die Berechnungen der Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Merkmal insgesamt k-mal in einer Einheit auftritt, wenn das Merkmal zufällig verteilt ist und im Mittel μ-mal in einer Einheit auftritt (z.B. die Anzahl der sich pro h auf einer bestimmten Straße befindenden Fahrzeuge).

Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion


Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses wird in diesem Fall wie folgt beschrieben:

Poisson-Verteilung - Gleichung - 1

Oftmals gilt es Fragen zu beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis mindestens oder höchstens zu erwarten ist, z.B. P(X k), oder P(X k). Hierfür wird die Verteilungsfunktion verwendet. Diese Verteilung wird hierbei beschrieben mit:

Poisson-Verteilung - Gleichung - 2

Per Voreinstellung (ohne die Aktivierung des Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten) gibt das Programm nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen die Wahrscheinlichkeit P(X=k) mit der dieses Ereignis genau k-mal eintritt, aus. Zudem werden die Wahrscheinlichkeiten ausgegeben, mit welchen das Auftreten dieses Ereignisses bis zu k-mal, oder höchstens k-mal eintritt F(X k).

Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten


MathProf - Poissonverteilung - Wahrscheinlichkeit

Interessieren weitere Ereigniswahrscheinlichkeiten, wie

  • Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis genau k-mal eintritt
  • Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis mindestens k-mal eintritt
  • Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis mehr als k-mal eintritt
  • Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis weniger als k-mal eintritt

so können Sie sich auch diese ausgeben lassen, nachdem vor der Ausführung eines Klicks auf díe Schaltfläche Berechnen das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten aktiviert wurde. Hierbei gelten folgende Zusammenhänge:

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis genau k-mal eintritt:

F(0) für k = 0

F(k) - F(k-1) für k 1
 

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis mindestens k-mal eintritt:

1 für k = 0

1 - F(k-1) für k 1
 

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis mehr als k-mal eintritt:

1 - F(k)

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis weniger als k-mal eintritt:

F(k-1)

Berechnung und Darstellung


MathProf - Poisson-Verteilung - Dichte

MathProf - Poisson - Verteilung - Diagramm

Um Berechnungen durchführen zu lassen und derartige Zusammenhänge grafisch zu analysieren, gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor:

  1. Legen Sie im Eingabefeld Parameter μ den Wert für den Verteilungsparameter μ fest und geben Sie in das Eingabefeld Anzahl Ereignisse x die Anzahl aufgetretener Ereignisse ein.
     

  2. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen und ist das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten deaktiviert, so werden die entsprechenden Ergebnisse für die Ereigniswahrscheinlichkeiten P(X=k), sowie für die Verteilung F(X k) für k = 1...x in den Tabellen ausgegeben.

    Möchten Sie sich alle Arten berechenbarer Ereigniswahrscheinlichkeiten ausgeben lassen, so aktivieren Sie vor Durchführung der Berechnung das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten. Die in Tabelle p2 aufgelisteten Ereigniswahrscheinlichkeiten entsprechen den, auf dem Hauptformular des Unterprogramms in Tabelle Ereigniswahrscheinlichkeiten p(X=k), angezeigten Wahrscheinlichkeitswerten.
     
  3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen stellt das Programm das Diagramm für die Dichtefunktion dieser Verteilung dar (Kontollschalter Dichte ist aktiviert). Um das entsprechende Verteilungsdiagramm angezeigt zu bekommen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Verteilung.

Bedienformular


MathProf - Poisson - Verteilung - Werte

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Benutzung der entsprechenden Steuerelemente folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

  • Diagramm und Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken und Linien
  • Nur Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Linien
  • Nur Diagramm: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken
  • Balkenbreite: Einstellung der Balkenbreite des entsprechenden Diagramms
  • Beschriftung: Anzeige der Verteilungs- bzw. Dichtewerte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Poisson-Verteilung - Interaktiv

 

Beispiele

 

Beispiel 1:

 

An einer Kreuzung finden pro Woche 2 Verkehrsunfälle statt.

Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung mit μ = 4 beschrieben.

 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als vier Verkehrsunfälle in zwei Wochen stattfinden?

 

Vorgehensweise und Lösung:
 

Nach Eingabe der Werte 2 und 4 in die entsprechenden Felder, einer Aktivierung des Kontrollkästchens Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, kann aus der Tabelle mit der Bezeichnung p1 entnommen werden:

F(3) = F(0) + F(1) + F(2) + F(3) = 0,4335
 

Beispiel 2:

Bei einer Endprüfung an einem Montageband werden im Mittel 2 Fehler pro Gerät festgestellt.

Wie groß ist der Anteil der Geräte, welche genau 2 Fehler aufweisen?

Wie groß ist der Anteil der Geräte, welche weniger als 2 Fehler aufweisen?

Wie groß ist der Anteil der Geräte, welche mehr als 2 Fehler aufweisen?

 

Vorgehensweise und Lösung:
 

Nach Eingabe des Werts 2 für Parameter μ sowie der Festlegung der Anzahl der Ereignisse auf 10, einer Aktivierung des Kontrollkästchens Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, kann aus den Tabellen entnommen werden:

Aus der Tabelle mit der Bezeichnung p2 (Ereignis tritt genau 2-mal ein):

F(2) - F(1) = 0,27067057

Aus der Tabelle mit der Bezeichnung p5 (Ereignis tritt weniger als 2-mal ein):

F(1) = 0,40600585

Aus der Tabelle mit der Bezeichnung p4 (Ereignis tritt mehr als 2-mal ein):

1 - F(2) = 0,32332
 

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