MathProf - Sekantensteigung - Sekantendreieck - Rechner - Berechnen

 

Modul Tangente - Sekante - Interaktiv

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Das Modul [Analysis] - [Tangente - Normale - Sekante] - Tangente - Sekante - Interaktiv stellt eine Ergänzung zum Unterprogramm Kurvendiskussion dar und ermöglicht die interaktive Analyse der Herleitung der Differenzialrechnung anhand des 'Sekantenproblems'.

 

 
Die Steigung m_s einer Sekante ist der Grenzwert einer Tangentensteigung m_t. Sind zwei Punkte P(x₀;y₀) und Q(x₀;+Δx),f(x₀+Δx) die auf der Funktionskurve f(x) liegen gegeben, so errechnet sich die Sekantensteigung aus dem Differenzialquotienten



Wandert der Punkt Q auf der Kurve auf den Punkt P zu, so besitzt die Tangente in Punkt P den Steigungswert



Dieser Grenzwert wird als 1. Ableitung f'(x) der Funktion f(x) an der Stelle x₀, oder als Differenzialquotient bezeichnet. In diesem Programmteil wird diese Stelle x₀ mit Px bzw. Qx bezeichnet.
 

Um Sekanten bzw. Tangenten an eine oder zwei verschiedene Stellen einer explizit definierten Funktion legen und untersuchen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Definieren Sie die zu untersuchende Funktion im dafür vorgesehenen Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,p) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
    
2. Um den Sekantenverlauf bei bestimmten Stellen einer Funktion grafisch zu analysieren, sollten Sie folgendermaßen verfahren:
   
   Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
   
   Beim Aufruf der Darstellung benutzt das Programm in diesem Fall stets die beiden in den Eingabefeldern definierten Abszissenwerte für Px und Qx. Möchten Sie die Position (Abszissenwerte) von Punkt P oder Punkt Q verändern, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die entsprechenden Zahlenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Um eine prinzipielle grafische Analyse des Sekantenproblems durchführen zu lassen, gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor:
   
   Deaktivieren Sie das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
   
   Beim Aufruf der Darstellung benutzt das Programm als Startwerte die in Eingabefeldern definierten Abszissenwerte. Möchten Sie die Abszissenwerte des Punkts Q innerhalb des vorgegebenen Wertebereichs -10 £ x £ 10 verändern, so positionieren Sie die zur Verfügung stehenden Rollbalken. Um die Position des Punktes P mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    
4. Durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Tangente können Sie die Einblendung der durch Punkt P an der Stelle Px verlaufenden Kurventangente veranlassen. Eine Aktivierung des Kontrollkästchens 1. Ableitung bewirkt die Darstellung der 1. Ableitung der zu untersuchenden Funktion. Das ermittelte Sekantendreieck kann durch die Benutzung des Kontrollkästchens Sekantendreieck ein- bzw. ausgeblendet werden. Eine Darstellung von Hilfslinien kann durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Hilfslinien bewirkt werden.
    
5. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
    
6. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Tangente oder Parameter P die Art der Simulation die Sie ausführen lassen möchten.
   
   Um die Untersuchungsposition simulativ zu verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung der Simulation zur Änderung der Untersuchungsposition wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 
Wurde im Eingabefeld des Hauptformulars dieses Unterprogramms ein Funktionsterm ohne Parameter P erstellt, so wird eines der nachfolgend gezeigten Bedienformulare zur Verfügung gestellt.


 


Enthält ein erstellter Funktionsterm das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung eines der nachfolgend abgebildeten Formulare eingeblendet.




   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Tangente - Sekante
Tangente – Normale
Tangente und Normale von externem Punkt
Kurvendiskussion
   
Es gilt Untersuchungen mit der Funktion f(x) = 6·cos(x-4) bei verschiedenen Abszissenpositionen durchführen zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Wurde der Term 6*COS(X-4) definiert, das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verwenden aktiviert und wurden als Abszissenkoordinaten für die zu untersuchenden Stellen die Werte Px = 1 und Qx = 4 festgelegt, so werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen folgende Ergebnisse ausgegeben:
 
Für die durch die Punkte P und Q verlaufende Sekante:
 
Steigung der Sekante: ms = 3,98
Steigungswinkel der Sekante: 75,896°
Gleichung der Sekante: Y = 3,979·X - 9,199
 
Für die durch Punkt P verlaufende Tangente:
 
Steigung der Tangente: m_t = 0,847
Steigungswinkel der Tangente: 40,255°
Gleichung der Tangente: Y = 0,8467·X - 7,866
 
Wird Punkt P durch eine Bewegung des Mausfangpunkts in Richtung des Punkts Q bewegt, so kann festgestellt werden, dass die Sekante bei P_x = Qx = 4 in eine Tangente übergeht.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2
 

Grafische Darstellung - Beispiel 3
 

Grafische Darstellung - Beispiel 4
 

Grafische Darstellung - Beispiel 5
 

Grafische Darstellung - Beispiel 6
 

Grafische Darstellung - Beispiel 7
 

Grafische Darstellung - Beispiel 8

    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Tangente und unter Wikipedia - Sekante zu finden.

 

 

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Unterprogramm Tangente - Sekante - Interaktiv
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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