MathProf - Lineares Optimieren - Grafische Methode - Lineares Optimierungsproblem

MathProf - Mathematik-Software - Lineare Optimierung grafisch | Variablen | Bedingungen

Fachthema: Lineare Optimierung

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Lineare Optimierung grafisch | Variablen | Bedingungen

Online-Hilfe
für das Modul zur Anwendung der grafischen Methode
der linearen Optimierung einer Zielfunktion.

Bei der in diesem Unterprogramm implementierten Methode handelt sich um ein grafisches Lösungsverfahren zur Ermittlung vom Maximum und Minimum einer linearen Optimierungsaufgabe bei Festlegung einer Hauptbedingung sowie mehrerer Nebenbedingungen.
Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit.

Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach
Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Lineare Optimierung - Grafische Methode und grafische Analyse - Lineares Optimierungsproblem bei Festlegung einer Zielfunktion - Lineare Optimierung grafisch - Ermittlung von Minimum und Maximum bei einem linearen Optimierungsproblem - Minimierungsproblem - Maximierungsproblem - Lineares Optimieren - Methode - Minimierung - Maximierung - Minimieren - Maximieren - Optimierungsaufgaben - Simplex Algorithmus - Gewinnmaximierung - Minimum - Maximum - Lineare Optimierung und grafische Lösung - Nichtnegativitätsbedingung - Lineare Ungleichungssysteme - Lineares Optimierungsmodell - Restriktionen - Bedingungen - Lösen - Untersuchen - Untersuchung - Zielfunktion - Optimieren - Grafik - Graph - Grafisch - Bilder - Beispiel - Aufgaben - Plotter - Rechner - Darstellung - Berechnen - Zeichnen - Darstellen - Programm - Software - Präsentation - Zielfunktion - Ungleichungen - Optimierung - Optimale Lösung - Grafische Lösung - Hauptbedingung - Nebenbedingungen - Lineares Ungleichungssystem - Grafisches Lösungsverfahren - Zielfunktion bestimmen - Zielfunktion maximieren - Zielfunktion minimieren

 
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Lineare Optimierung

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Lineare Optimierung] - Lineare Optimierung - Grafische Methode ermöglicht die Anwendung der grafischen Methode der linearen Optimierung.

 

MathProf - Lineare Optimierung - Grafisch - Aufgaben - Beispiel - Funktionen - Lösungen - Lineares Optimieren - Zielfunktion - Lineares Optimierungsproblem - Grafisches Lösen - Grafische Lösung - Grafisches Lösungsverfahren - Hauptbedingung - Nebenbedingungen - Minimierungsproblem - Maximierungsproblem

 

Mit Hilfe dieser Methode können Extremwerte linearer Funktionen bestimmt werden, wobei es Nebenbedingungen zu beachten gibt. Diese Nebenbedingungen, welche oftmals Kapazitätsbedingungen ausdrücken, lassen sich in Form linearer Ungleichungen darstellen. Sind dabei nicht mehr als zwei Variablen zu beachten, so lässt sich dieses Problem grafisch lösen. Sind jedoch mehr als zwei Variablen zu berücksichtigen, muss ein analytisches Lösungsverfahren gewählt werden, zum Beispiel die Simplex-Methode.

 

Dieses Unterprogramm ermöglicht die Ermittlung von Lösungen mit Hilfe der grafischen Methode der linearen Optimierung wenn zwei Variablen zu berücksichtigen sind.
 

Allgemeine Vorgehensweise zur Auffindung von Lösungen mit Hilfe dieser Methode (lineares Optimieren):

  1. Einzeichnen aller Nebenbedingungen in ein Koordinatensystem
  2. Festlegung des zulässigen Bereichs
  3. Für einen beliebigen festgelegten Funktionswert Eintragung der Zielfunktion
  4. Bestimmung des Extremwertes durch Parallelverschiebung.
    Wenn ein Maximum gesucht ist, wird die Zielfunktion so lange nach oben verschoben,
    bis der zulässige Bereich gerade noch berührt wird. Bei der Bestimmung eines Minimums wird die Gerade möglichst nah an den Koordinatenursprung geschoben
  5. Berechnung des grafisch ermittelten Punktes
  6. Wenn zwei benachbarte Punkte und damit auch alle Punkte auf deren Verbindungsstrecke Lösungen sind, ist die Lösung mehrdeutig

Berechnung und Darstellung


Führen Sie Folgendes durch, um mit Hilfe der Anwendung der grafischen Methode der linearen Optimierung Analysen durchzuführen:

  1. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements mit der Bezeichnung Anz. NB fest, wie viele Nebenbedingungen zu erfüllen sind.
     
  2. Bedienen Sie die Schaltfläche Koeffizienten und geben Sie in die Felder im Formularbereich HB die Koeffizienten der Gleichung der zu erfüllenden Hauptbedingung der Form z = a·x + b·y ein.

    Geben Sie in den Formularbereichen NB 1, NB 2 und NB 3 die Koeffizienten a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2 und c3 der Gleichungen der zu erfüllenden (nachfolgend aufgeführten) Nebenbedingungen ein:

    a1·x + b1·y c1  bzw.  a1·x + b1·y c1

    a2·x + b2·y c2  bzw.  a2·x + b2·y c2

    a3·x + b3·y c3  bzw.  a3·x + b3·y c3

    Selektieren Sie aus der Auswahlbox das entsprechende Symbol <= bzw. >= um die Art der jeweils zu erfüllenden Nebenbedingung festzulegen und bestätigen Sie mit Ok.
     

  3. Durch eine Aktivierung des Kontrollkästchens Hauptbedingung blenden Sie die Zielfunktion ein. Die Aktivierung der Kontrollkästchen Gerade durch Max. und Gerade durch Min. bewirkt die Darstellung der Geraden durch das ermittelte Maximum bzw. Minimum.
 
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular


MathProf - Lineare Optimierung - Zielfunktion - Aufgaben - Programm - Lösungsverfahren


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte: Darstellung relevanter Punkte ein-/ausschalten
  • Punkte  beschriften: Beschriftung relevanter Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten relevanter Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Lineare Optimierung - Simplex-Methode

 

Beispiel - Aufgabe

 

Zwei verschiedene Kunststoffprodukte I und II werden aus demselben Rohgranulat erstellt. Drei Vorgänge bestimmen die Produktion: Warmpressen, Spritzguss, Verpackung. Produkt I entsteht durch Warmpressen, Produkt II durch Spritzguss. Beide werden verpackt. Die Warmpresse steht für maximal 10 h zur Verfügung. Pro Tonne des Produktes I wird 1 h gebraucht. Die Spritzguss-Maschine steht für maximal 6 h zur Verfügung. Pro Tonne des Produktes II wird 1 h gebraucht. Pro t von Produkt I werden 2h, pro t des Produktes II 4h von einer Person in der Verpackungsabteilung benötigt. Dort arbeiten 4 Personen à 8h. Der (gesicherte) Absatz der beiden Güter ergibt für Gut I einen Preis von 30GE/t, für Gut II 20 GE/t.


Wieviel von jedem Gut sollte das Unternehmen produzieren, um den Erlös zu maximieren?


Lösung des Problems:

Die Erlösfunktion (= Zielfunktion = Hauptbedingung) ist: z = 30·x +20·y

Gesucht ist zmax (maximaler Erlös)


Folgende Nebenbedingungen (Restriktionen) müssen erfüllt sein:

x
10
y
6
2x + 4y
32


sowie:

 

x 0 und
y
0 (Nichtnegativitätsbedingungen)

Durch jede Restriktion wird eine Ungleichungsrelation festgelegt. Die Schnittmenge (bei grafischer Darstellung die gefüllte Polygonfläche) aller dieser Ungleichungsrelationen ist der zulässige Bereich.

 

Es wird ein zweidimensionales Koordinatensystem betrachtet, in welchem der zulässige Bereich eingezeichnet wird. Dessen Grenzen sind die Geraden x = 10; y = 6; 2·x + 4·y = 32. Dieser Bereich wird markiert.

 

Es gilt nun, die Gerade zu finden, die den höchsten Ordinatenabschnitt hat und deren Schnittmenge mit der Menge, die die Restriktionen erfüllt, nicht leer ist. Dies bedeutet, die Gerade so weit nach oben rechts zu verschieben, bis sie nur noch einen Punkt der roten Fläche berührt. (Bei der Suche nach einem Minimum würde dies bedeuten, die Gerade so weit nach links unten zu verschieben, bis sie nur noch einen Punkt der roten Fläche berührt)

 

Wird dies durchgeführt, so ist zu erkennen:

 

Die gesuchte Gerade verläuft durch den Schnittpunkt der Geraden x = 10 und 2·x + 4·y = 32, also durch den Punkt (10 / 3). Diese Gerade besitzt den größten Ordinatenabschnitt und hat immer noch einen Punkt mit der roten Fläche gemeinsam. Der Erlös an diesem Punkt ist somit: y = 30·10 + 20·3 = 360 GE.
 

Werden nach einem Klick auf die Schaltfläche Koeffizienten die Eingaben und Einstellungen vorgenommen, wie auf nachfolgendem Bild gezeigt, so kann die oben aufgeführte Aufgabe mit diesem Unterprogramm gelöst werden.
 

 MathProf - Lineare Optimierung - Lösung - Koeffizienten - Beispiel - Grafische Analyse
 
Das Programm gibt für die Gleichung der Geraden durch das Maximum aus: y = 1,5·x+18. Für die Gleichung der Geraden durch das Minimum wird y = 1,5·x ermittelt. Geraden welche durch ein Minimum oder ein Maximum verlaufen sind grau, Grenzgeraden sind blau, die Gerade der Hauptbedingung ist braun markiert.

MathProf - Lineare Optimierung - Grafisch - Zielfunktion - Aufgabe - Grafische Analyse - Lineares Optimieren - Lineares Optimierungsproblem - Grafisches Lösen - Grafische Lösung - Grafisches Lösungsverfahren - Hauptbedingung - Nebenbedingungen - Minimierungsproblem - Maximierungsproblem
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Lineare Optimierung - Matrix - Grafisch - Rechner - Aufgaben - Algorithmus - Bedingungen - Fixkosten - Funktionen - Hauptbedingungen - Nebenbedingungen - Beispiel - Zielfunktion - Lineares Optimierungsproblem - Grafisches Lösen - Grafische Lösung - Grafisches Lösungsverfahren - Hauptbedingung - Nebenbedingungen - Minimierungsproblem - Maximierungsproblem
MathProf - Lineare Optimierung  - Lösen - Lösung - Methoden - Produktion - Problem - Rechner - Software - Solver - Zielfunktion - Zeichnen - Methode - Beispiel - Lineares Optimierungsproblem - Grafisches Lösen - Grafische Lösung - Grafisches Lösungsverfahren - Hauptbedingung - Nebenbedingungen - Minimierungsproblem - Maximierungsproblem
MathProf - Lineare Optimierung - Zeichnerisch - Grafische Lösung - Mathematik - Programm - Berechnen - Minimum - Maximum - Lineares Optimierungsproblem - Beispiel - Zielfunktion - Grafisches Lösen - Grafisches Lösungsverfahren - Hauptbedingung - Nebenbedingungen

   
Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Lineare Optimierung zu finden. 

 
Implementierte Module zum Themenbereich Algebra

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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