MathProf - Lineare Optimierung - Grafische Methode

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Lineare Optimierung - Grafische Methode

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Lineare Optimierung] - Lineare Optimierung - Grafische Methode ermöglicht die Anwendung der grafischen Methode der Linearen Optimierung.

 

MathProf - Lineare Optimierung

 

Mit Hilfe dieser Methode können Extremwerte linearer Funktionen bestimmt werden, wobei es Nebenbedingungen zu beachten gibt. Diese Nebenbedingungen, welche oftmals Kapazitätsbedingungen ausdrücken, lassen sich in Form linearer Ungleichungen darstellen. Sind dabei nicht mehr als zwei Variablen zu beachten, so lässt sich dieses Problem grafisch lösen. Sind jedoch mehr als zwei Variablen zu berücksichtigen, muss ein analytisches Lösungsverfahren gewählt werden, zum Beispiel die Simplex-Methode.

 

Dieses Unterprogramm ermöglicht die Ermittlung von Lösungen mit Hilfe der grafischen Methode der linearen Optimierung wenn zwei Variablen zu berücksichtigen sind.
 

Allgemeine Vorgehensweise zur Auffindung von Lösungen mit Hilfe dieser Methode:

  1. Einzeichnen aller Nebenbedingungen in ein Koordinatensystem
  2. Festlegung des zulässigen Bereichs
  3. Für einen beliebigen festgelegten Funktionswert Eintragung der Zielfunktion
  4. Bestimmung des Extremwertes durch Parallelverschiebung.
    Wenn ein Maximum gesucht ist, wird die Zielfunktion so lange nach oben verschoben,
    bis der zulässige Bereich gerade noch berührt wird. Bei der Bestimmung eines Minimums wird die Gerade möglichst nah an den Koordinatenursprung geschoben
  5. Berechnung des grafisch ermittelten Punktes
  6. Wenn zwei benachbarte Punkte und damit auch alle Punkte auf deren Verbindungsstrecke Lösungen sind, ist die Lösung mehrdeutig

Berechnung und Darstellung


Führen Sie Folgendes durch, um mit Hilfe der Anwendung der grafischen Methode der linearen Optimierung Analysen durchzuführen:

  1. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements mit der Bezeichnung Anz. NB fest, wie viele Nebenbedingungen zu erfüllen sind.
     
  2. Bedienen Sie die Schaltfläche Koeffizienten und geben Sie in die Felder im Formularbereich HB die Koeffizienten der Gleichung der zu erfüllenden Hauptbedingung der Form z = a·x + b·y ein.

    Geben Sie in den Formularbereichen NB 1, NB 2 und NB 3 die Koeffizienten a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2 und c3 der Gleichungen der zu erfüllenden (nachfolgend aufgeführten) Nebenbedingungen ein:

    a1·x + b1·y c1  bzw.  a1·x + b1·y ³ c1

    a2·x + b2·y c2  bzw.  a2·x + b2·y ³ c2

    a3·x + b3·y c3  bzw.  a3·x + b3·y ³ c3

    Selektieren Sie aus der Auswahlbox das entsprechende Symbol <= bzw. >= um die Art der jeweils zu erfüllenden Nebenbedingung festzulegen und bestätigen Sie mit Ok.
     

  3. Durch eine Aktivierung des Kontrollkästchens Hauptbedingung blenden Sie die Zielfunktion ein. Die Aktivierung der Kontrollkästchen Gerade durch Max. und Gerade durch Min. bewirkt die Darstellung der Geraden durch das ermittelte Maximum bzw. Minimum.

Bedienformular

 

MathProf - Lineare Optimierung - Grafisch


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte: Darstellung relevanter Punkte ein-/ausschalten
  • Punkte  beschriften: Beschriftung relevanter Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten relevanter Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Lineare Optimierung - Simplex-Methode

 

Beispiel

 

Zwei verschiedene Kunststoffprodukte I und II werden aus demselben Rohgranulat erstellt. Drei Vorgänge bestimmen die Produktion: Warmpressen, Spritzguss, Verpackung. Produkt I entsteht durch Warmpressen, Produkt II durch Spritzguss. Beide werden verpackt. Die Warmpresse steht für maximal 10 h zur Verfügung. Pro Tonne des Produktes I wird 1 h gebraucht. Die Spritzguss-Maschine steht für maximal 6 h zur Verfügung. Pro Tonne des Produktes II wird 1 h gebraucht. Pro t von Produkt I werden 2h, pro t des Produktes II 4h von einer Person in der Verpackungsabteilung benötigt. Dort arbeiten 4 Personen à 8h. Der (gesicherte) Absatz der beiden Güter ergibt für Gut I einen Preis von 30GE/t, für Gut II 20 GE/t.


Wieviel von jedem Gut sollte das Unternehmen produzieren, um den Erlös zu maximieren?


Lösung des Problems:

Die Erlösfunktion (= Zielfunktion = Hauptbedingung) ist: z = 30·x +20·y

Gesucht ist zmax (maximaler Erlös)


Folgende Nebenbedingungen (Restriktionen) müssen erfüllt sein:

x
10
y
6
2x + 4y
32


sowie:

 

x 0 und
y
0 (Nichtnegativitätsbedingungen)

Durch jede Restriktion wird eine Ungleichungsrelation festgelegt. Die Schnittmenge (bei grafischer Darstellung die gefüllte Polygonfläche) aller dieser Ungleichungsrelationen ist der zulässige Bereich.

 

Es wird ein zweidimensionales Koordinatensystem betrachtet, in welchem der zulässige Bereich eingezeichnet wird. Dessen Grenzen sind die Geraden x = 10; y = 6; 2·x + 4·y = 32. Dieser Bereich wird markiert.

 

Es gilt nun, die Gerade zu finden, die den höchsten Ordinatenabschnitt hat und deren Schnittmenge mit der Menge, die die Restriktionen erfüllt, nicht leer ist. Dies bedeutet, die Gerade so weit nach oben rechts zu verschieben, bis sie nur noch einen Punkt der roten Fläche berührt. (Bei der Suche nach einem Minimum würde dies bedeuten, die Gerade so weit nach links unten zu verschieben, bis sie nur noch einen Punkt der roten Fläche berührt)

 

Wird dies durchgeführt, so ist zu erkennen:

 

Die gesuchte Gerade verläuft durch den Schnittpunkt der Geraden x = 10
und 2·x + 4·y = 32, also durch den Punkt (10 / 3). Diese Gerade besitzt den grössten Ordinatenabschnitt und hat immer noch einen Punkt mit der roten Fläche gemeinsam. Der Erlös an diesem Punkt ist somit: y = 30·10 + 20·3 = 360 GE.
 

Werden nach einem Klick auf die Schaltfläche Koeffizienten die Eingaben und Einstellungen vorgenommen, wie auf nachfolgendem Bild gezeigt, so kann die oben aufgeführte Aufgabe mit diesem Unterprogramm gelöst werden.

 

MathProf - Lineare Optimierung - Lösung

 

Das Programm gibt für die Gleichung der Geraden durch das Maximum aus: y = 1,5·x+18. Für die Gleichung der Geraden durch das Minimum wird y = 1,5·x ermittelt. Geraden welche durch ein Minimum oder ein Maximum verlaufen sind grau, Grenzgeraden sind blau, die Gerade der Hauptbedingung ist braun markiert.
 

MathProf - Lineare Optimierung - Grafisch
 

Module zum Themenbereich Algebra


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