MathProf - Archimedische Spiralen - Berechnen - Zeichnen - Konstruieren

MathProf - Mathematik-Software - Archimedische Spirale | Sektor | Fläche | Bogenlänge

Fachthema: Archimedische Spirale

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Archimedische Spirale | Sektor | Fläche | Bogenlänge

Online-Hilfe
für das Modul zur Analyse Archimedischer Spiralen.

Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen in diesem Unterprogramm erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Durchführung einer interaktiven Operation dar.

Jedes relevante Ergebnis einer
praktizierten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben. 

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Archimedische Spirale - Mathematik - Darstellung - Konstruieren - Sektorfläche - Bogenlänge - Funktion in Polarkoordinaten - Plot - Spirale - Graph - Formel - Länge - Fläche - Zeichnen - Gleichung - Plotten - Grafisch - Bilder - Darstellung - Berechnen - Berechnung - Darstellen

 
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  Archimedische Spirale

 

Im Unterprogramm [Analysis] - [Spirallinien] - Archimedische Spirale können Archimedische Spiralen untersucht werden.

 

MathProf - Archimedische Spirale - Bogenlänge - Beispiel - Eigenschaften - Zeichnen - Berechnen

 

MathProf - Archimedische Spirale - Fläche - Sektor - Winkel - Gleichung - Krümmung - Länge - Radius - Zeichnen

 

Eine Archimedische Spirale entsteht, wenn eine Halbgerade mit Anfangspunkt 0 gleichförmig um diesen gedreht wird und sich gleichzeitig ein Punkt P auf dieser Geraden gleichförmig von 0 aus bewegt. Die bekannteste Anwendung der Archimedischen Spirale ist die analoge Schallplatte, deren Rillen konstanten Windungsabstand haben. Außerdem kann sie zur Lösung der Quadratur des Kreises verwendet werden.

 

Sie wird in Polarform beschrieben mit:

 

r = a·φ

 

Sachverhalte zu diesem Thema können Sie in diesem Unterprogramm analysieren.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Mathematische Zusammenhänge

 

Fläche des Sektors P10P2:

 

A = a²/6 (φ2³ - φ1³)

 

Länge des Bogens 0P:

 

l = a/2(φ √(φ²+1) + arsinhφ )

 

Krümmungsradius:

 

Archimedische Spirale - Gleichung
 

Darstellung

Führen Sie Folgendes aus, um Untersuchungen zum Thema Archimedische Spirale durchzuführen:
 

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Standard oder Details, ob Sie mit dem vorgegebenen Winkelwertebereich von 0° - 10000° durch die Positionierung des dafür vorgesehenen Rollbalkens Winkelpos. Analysen durchführen möchten, oder ob konkrete Untersuchungen mit frei festlegbaren Winkelwertebereichen vorzunehmen sind.
     

  2. Ist der Kontrollschalter Standard aktiviert, so stellen Sie den Wert für Parameter a der Funktion mit Hilfe des Rollbalkens Parameter a ein. Den zu durchlaufenden Wertebereich für Winkel φ legen Sie durch die Bedienung des Rollbalkens Winkelpos. fest. Winkelangaben werden im Gradmaß angezeigt.
     

  3. Wurde der Kontrollschalter Details aktiviert und möchten Sie den darzustellenden (zu untersuchenden) Winkelwertebereich im Gradmaß festlegen, so können Sie die Schaltfläche Winkel auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     

  4. Bei einer Aktivierung des Kontrollschalters Standard steht die Schaltfläche Simulation zur Verfügung. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.

Bedienformular

 

MathProf - Spirale - Winkel - Parameter - Kreis - Eigenschaften - Gleichung - Krümmung

 

MathProf - Archimedische Spirale - Parameter - Koordinaten - Gleichung - Krümmung - Länge


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkt(e): Beschriftung von Punkten ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte des Punktes P ein-/ausschalten
  • Position: Positionsmarkierung des Punktes P ein-/ausschaltenn
  • Füllen: Flächenfüllung unter Kurve ein-/ausschalten
  • Kreis: Darstellung des Kreises mit Radius OP ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
 

Weitere Themenbereiche

 

Logarithmische Spirale

Funktionen in Polarform

 

Beispiele

 

Beispiel 1:

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalters Standard, positionieren Sie Rollbalken Parameter a auf den Wert 0,3 und Rollbalken Winkelpos. auf den Wert 1600, so stellt das Programm die Kurve dar, die durch die Gleichung in Polarform r = 0,3·φ  über einen Winkelbereich von 0° φ 1600° beschrieben wird.

 

Darüber hinaus wird Folgendes ausgegeben:

 

Die Länge des von der Kurve beschriebenen Bogens beträgt: l = 117,652

Die Gesamtfläche unter der Kurve (Fläche des Sektors P10P2 mit φ1 = 0 und φ2 = 1600°) beträgt: 326,65 FE

 

Die Koordinatenwerte des Punkts bei der Winkelposition 1600° ermittelt das Programm mit: P (-7,872 /2,865)

 

Beispiel 2:

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Details, positionieren Sie Rollbalken Parameter a auf den Wert 2, bedienen Sie die Schaltfläche Winkel, geben Sie die Werte 45 und 360 ein und bestätigen Sie mit Ok.

 

Hierauf stellt das Programm die Kurve r = 2·φ  innerhalb des definierten Wertebereichs von 45°   φ 360° dar und ermittelt für das Spiralensegment:

 

Die Länge des von der Kurve beschriebenen Bogens beträgt l = 40,793.

Die Gesamtfläche unter der Kurve (Fläche des Sektors P10P2 mit φ1 = 45° und φ2 = 360°) beträgt 165,044 FE.

 

Für die Koordinaten der Punkte bei den Winkelpositionen 45° und 360° gibt das Programm aus:

 

P1 (1,111 / 1,111)

P2 (12,566 / 0)
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Archimedische Spirale - Bogenlänge - Sektor - Winkel - Gleichung - Krümmung - Beispiel - Polarkoordinaten
MathProf - Archimedische Spirale - Bogenlänge - Sektor - Zeichnen- Radius - Länge - Beispiel - Polarkoordinaten
MathProf - Archimedische Spirale - Bogenlänge - Berechnen -  Eigenschaften - Fläche - Krümmung - Beispiel - Polarkoordinaten
   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Archimedische Spirale zu finden.

  

Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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