MathProf - Archimedische Spirale

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

  Archimedische Spirale

 

Im Unterprogramm [Analysis] - [Spirallinien] - Archimedische Spirale können Archimedische Spiralen untersucht werden.

 

MathProf - Archimedische Spirale

 

MathProf - Archimedisch - Polar

 

Eine Archimedische Spirale entsteht, wenn eine Halbgerade mit Anfangspunkt 0 gleichförmig um diesen gedreht wird und sich gleichzeitig ein Punkt P auf dieser Geraden gleichförmig von 0 aus bewegt. Die bekannteste Anwendung der Archimedischen Spirale ist die analoge Schallplatte, deren Rillen konstanten Windungsabstand haben. Außerdem kann sie zur Lösung der Quadratur des Kreises verwendet werden.

 

Sie wird in Polarform beschrieben mit:

 

r = a·φ

 

Sachverhalte zu diesem Thema können Sie in diesem Unterprogramm analysieren.

 

Mathematische Zusammenhänge

 

Fläche des Sektors P10P2:

 

A = a²/6 (φ2³ - φ1³)

 

Länge des Bogens 0P:

 

l = a/2(φ √(φ²+1) + arsinhφ )

 

Krümmungsradius:

 

Archimedische Spirale - Gleichung
 

Darstellung

Führen Sie Folgendes aus, um Untersuchungen zum Thema Archimedische Spirale durchzuführen:
 

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Standard oder Details, ob Sie mit dem vorgegebenen Winkelwertebereich von 0° - 10000° durch die Positionierung des dafür vorgesehenen Rollbalkens Winkelpos. Analysen durchführen möchten, oder ob konkrete Untersuchungen mit frei festlegbaren Winkelwertebereichen vorzunehmen sind.
     

  2. Ist der Kontrollschalter Standard aktiviert, so stellen Sie den Wert für Parameter a der Funktion mit Hilfe des Rollbalkens Parameter a ein. Den zu durchlaufenden Wertebereich für Winkel φ legen Sie durch die Bedienung des Rollbalkens Winkelpos. fest. Winkelangaben werden im Gradmaß angezeigt.
     

  3. Wurde der Kontrollschalter Details aktiviert und möchten Sie den darzustellenden (zu untersuchenden) Winkelwertebereich im Gradmaß festlegen, so können Sie die Schaltfläche Winkel auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     

  4. Bei einer Aktivierung des Kontrollschalters Standard steht die Schaltfläche Simulation zur Verfügung. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.

Bedienformular

 

MathProf - Spirale - Winkel

 

MathProf - Archimedische - Spirale


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkt(e): Beschriftung von Punkten ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte des Punktes P ein-/ausschalten
  • Position: Positionsmarkierung des Punktes P ein-/ausschaltenn
  • Füllen: Flächenfüllung unter Kurve ein-/ausschalten
  • Kreis: Darstellung des Kreises mit Radius OP ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
 

Weitere Themenbereiche

 

Logarithmische Spirale

Funktionen in Polarform

 

Beispiele

 

Beispiel 1:

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalters Standard, positionieren Sie Rollbalken Parameter a auf den Wert 0,3 und Rollbalken Winkelpos. auf den Wert 1600, so stellt das Programm die Kurve dar, die durch die Gleichung in Polarform r = 0,3·φ  über einen Winkelbereich von 0° φ 1600° beschrieben wird.

 

Darüber hinaus wird Folgendes ausgegeben:

 

Die Länge des von der Kurve beschriebenen Bogens beträgt: l = 117,652

Die Gesamtfläche unter der Kurve (Fläche des Sektors P10P2 mit φ1 = 0 und φ2 = 1600°) beträgt: 326,65 FE

 

Die Koordinatenwerte des Punkts bei der Winkelposition 1600° ermittelt das Programm mit: P (-7,872 /2,865)

 

Beispiel 2:

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Details, positionieren Sie Rollbalken Parameter a auf den Wert 2, bedienen Sie die Schaltfläche Winkel, geben Sie die Werte 45 und 360 ein und bestätigen Sie mit Ok.

 

Hierauf stellt das Programm die Kurve r = 2·φ  innerhalb des definierten Wertebereichs von 45°   φ 360° dar und ermittelt für das Spiralensegment:

 

Die Länge des von der Kurve beschriebenen Bogens beträgt l = 40,793.

Die Gesamtfläche unter der Kurve (Fläche des Sektors P10P2 mit φ1 = 45° und φ2 = 360°) beträgt 165,044 FE.

 

Für die Koordinaten der Punkte bei den Winkelpositionen 45° und 360° gibt das Programm aus:

 

P1 (1,111 / 1,111)

P2 (12,566 / 0)
 

Module zum Themenbereich Analysis


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