MathProf - Funktionen - Schnittpunkte

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Funktionsschnittpunkte
(Schnittpunkte von Funktionen)

 

Das Unterprogramm [Analysis] - Funktionsschnittpunkte bietet die Möglichkeit der numerischen Ermittlung und grafischen Darstellung der Schnittpunkte zweier verschiedener Funktionen, welche in expliziter Form definiert sind.

 

MathProf - Kurven - Schnittpunkte

 

Es ermöglicht die Durchführung einer iterativen Suche nach Schnittpunkten zweier derartiger Funktionen innerhalb eines frei wählbaren Untersuchungsbereichs.

 

Hierbei werden ermittelt und grafisch ausgegeben:
 

  • Schnittpunkte und Schnittwinkel zweier Funktionen der Formen y = f1(x) und y = f2(x)
  • Gleichungen der Tangenten und Normalen in den Schnittpunkten dieser Funktionen
  • Eigenschaften der Krümmungskreise der Funktionen, welche durch diese Schnittpunkte verlaufen

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Funktionen - Schnittpunkt


Um die Schnittpunkte zweier Funktionen innerhalb eines bestimmten Untersuchungsbereichs ermitteln zu lassen, gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Definieren Sie die beiden, den geltenden Syntaxregeln gemäß formulierten, Funktionen in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f1(x) = und f2(x) =.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe von Zahlenwerten den Untersuchungsbereich fest, innerhalb dessen die Ermittlung durchgeführt werden soll (Untersuchen in Bereich von x1= und bis x2 =). (voreingestellt: -10 x 10)
     
  3. Durch die Wahl des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein bestimmen Sie die zu verwendende Untersuchungsgenauigkeit zur Ermittlung von Lösungen.
     
  4. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Schnittpunkte und weitere Ergebnisse bzgl. der Eigenschaften der Kurve in diesen ausgegeben.
     
  5. Um sich die Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  6. Möchten Sie die Abszissenwerte des Untersuchungsbereichs exakt positionieren, so können Sie die Schaltfläche Bereich auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
     
  7. Um die Darstellung von Tangenten, Normalen und Krümmungskreisen in/durch Schnittpunkte zu ermöglichen, aktivieren Sie das entsprechende Kontrollkästchen Tangenten, Normalen bzw. Krümmungskreise und wählen aus der aufklappbaren Auswahlbox den entsprechenden Eintrag, um festzulegen für welche Kurve die entsprechenden Geraden oder Kreise auszugeben sind.

Bei Ausgabe der grafischen Darstellung werden ermittelte Schnittpunkte mit der Bezeichnung SP, sowie einem fortlaufenden Nummer-Index gekennzeichnet. Um Krümmungskreise nicht oval (ellipsenförmig) dargestellt zu bekommen, wählen Sie bei Ausgabe der grafischen Darstellung den Menüpunkt Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear.

Bedienformular


MathProf - Kurven - Tangente - Schnittpunkt

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Tangenten: Darstellung der Tangenten der entsprechenden Kurve in Schnittpunkten ein-/ausschalten
  • Normalen: Darstellung der Normalen der entsprechenden Kurve in Schnittpunkten ein-/ausschalten
  • Krümmungskreise: Darstellung der durch die Schnittpunkte der entsprechenden Kurve verlaufenden Krümmungskreise ein-/ausschalten
  • Schnittpkt.: Markierung und Nummerierung ermittelter Schnittpunkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten ermittelter Schnittpunkte ein-/ausschalten
  • Bereich: Untersuchungsbereichsmarkierung ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen I

Gleichungen

 

Beispiele

 

Beispiel 1:

 

Es gilt, die Schnittpunkte der beiden Funktionen f1(x) = x²/10-2 und f2(x) = -x/5 ermitteln, sowie sich deren Eigenschaften in diesen Punkten ausgeben zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Definition der Funktionsterme X^2/10-2 und -X/5 in den entsprechenden Eingabefeldern, der Festlegung eines Untersuchungsbereichs -10 x 10 und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm:

 

Anzahl gefundener Schnittpunkte: 2

 

 

Schnittpunkt 1 der beiden Funktionen: SP1 (-5,5826 / 1,1165)
Schnittwinkel 1 der beiden Funktionen in SP1: -36,841°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP1:


Tangente v. f1(x): Y = -1,1165·X - 5,1165
Normale v. f1(x): Y = 0,8956·X + 6,1165


Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP1:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (6,9592 / 12,3495)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 16,8368
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt 1: kr = 0,0594

 

 

Schnittpunkt 2 der beiden Funktionen: SP2 (3,5826 / -0,7165)
Schnittwinkel 2 der beiden Funktionen in SP2: 46,932°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP2:


Tangente v. f1(x): Y = 0,7165·X - 3,2835
Normale v. f1(x): Y = -1,3956·X + 4,2835

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP2:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (-1,8393 / 6,8505)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 9,3089
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt 2: kr = 0,1074

 

Anmerkungen:

Da es sich bei Funktion f2(x) um eine lineare Funktion handelt, und diese somit keine Tangenten, Normalen und Krümmungskreise in den Schnittpunkten besitzt, werden für diese keine Ergebnisse ausgegeben.

 

Die o.a. Ergebnisse können ebenso als Lösungen der Gleichung (Nullstellen der Funktion) Y = x²/10-2+x/5-2 angesehen werden, denn es wurden Lösungen gesucht, welche die Gleichungsbedingung erfüllen:

 

f1(x) = f2(x)

 

und es gilt:

 

f1(x)-f2(x) = 0

 

Beispiel 2:

 

Es sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen f1(x) = 4·sin(x/2+2) und f2(x) = -cos(x²/20) ermitteln zu lassen, sowie deren Eigenschaften in diesen Punkten auszugeben.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Definition der Funktionsterme 4*SIN(X/2+2) sowie -COS(X^2/20) in den entsprechenden Eingabefeldern, der Festlegung eines Untersuchungsbereichs -10 x 10 und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm:

 

Anzahl gefundener Schnittpunkte: 3

 

 

Schnittpunkt 1 der beiden Funktionen: SP1 (-4,3019 / -0,6016)
Schnittwinkel 1 der beiden Funktionen in SP1: 82,137°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP1:


Tangente v. f1(x): Y = 1,9773·X + 7,9044
Normale v. f1(x): Y = -0,5058·X - 2,7773

 

Tangenten und Normalen der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP1:


Tangente v. f2(x): Y = -0,3436·X - 2,0799
Normale v. f2(x): Y = 2,91·X + 11,9169

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP1:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (-68,851 / 32,0443)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 72,3349
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP1: kr = 0,0138

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f2(x) durch Schnittpunkt SP1:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f2(x): MP (-2,2925 / 5,2458)
Radius des Krümmungskreises v. f2(x): r = 6,183
Krümmung der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP1: kr = 0,1617

 

 

Schnittpunkt 2 der beiden Funktionen: SP2 (2,752 / -0,9292)
Schnittwinkel 2 der beiden Funktionen in SP2: -68,604°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP2:


Tangente v. f1(x): Y = -1,9453·X + 4,4244
Normale v. f1(x): Y = 0,5141·X - 2,3439

 

Tangenten und Normalen der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP2:


Tangente v. f2(x): Y = 0,1017·X - 1,2092
Normale v. f2(x): Y = -9,8287·X + 26,1197

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP2:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (42,8162 / 19,6663)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 45,0478
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP2: kr = 0,0222

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f2(x) durch Schnittpunkt SP2:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f2(x): MP (1,7944 / 8,4833)
Radius des Krümmungskreises v. f2(x): r = 9,461
Krümmung der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP2: kr = 0,1057

 

 

Schnittpunkt 3 der beiden Funktionen: SP3 (8,9072 / 0,6783)
Schnittwinkel 3 der beiden Funktionen in SP3: -83,698°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP3:


Tangente v. f1(x): Y = 1,971·X - 16,878
Normale v. f1(x): Y = -0,5073·X + 5,1974

 

Tangenten und Normalen der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP3:


Tangente v. f2(x): Y = -0,6545·X + 6,5077
Normale v. f2(x): Y = 1,528·X - 12,9317

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP3:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (65,6824 / -28,1265)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 63,6643
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP3: kr = -0,0157

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f2(x) durch Schnittpunkt SP3:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f2(x): MP (7,3789 / -1,6569)
Radius des Krümmungskreises v. f2(x): r = 2,7909
Krümmung der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP3: kr = -0,3583
 

Anmerkung:

Die o.a. Ergebnisse können ebenso als Lösungen der Gleichung (Nullstellen der Funktion) Y = 4·sin(x/2+2)+cos(x²/20) angesehen werden, denn es wurden Lösungen gesucht, welche die Gleichungsbedingung erfüllen:

 

f1(x) = f2(x)

 

und es gilt:

 

f1(x)-f2(x) = 0
 

Module zum Themenbereich Analysis


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