MathProf - Schnittpunkte - Graphen - Funktionen - Funktionsschnittpunkte

MathProf - Mathematik-Software - Funktionen | Schnittpunkte | Kurven schneiden | Tangente

Fachthemen: Funktionen - Schnittpunkte

MathProf - Analysis - Software zum Plotten mathematischer Sachverhalte. Ein Programm für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung von Zusammenhängen mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Wissenschaftler und Anwender die sich für Ingenieurmathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Funktionen | Schnittpunkte | Kurven schneiden | Tangente

Online-Hilfe
für das Modul zur Berechnung der Schnittpunkte zweier mathematischer Funktionen in expliziter Form.

Eine Benutzung dieses Teilprogramms ermöglicht neben dem Berechnen der Schnittpunkte definierter Funktionen auch die Ermittlung derer Schnittwinkel sowie weiterer derer Eigenschaften. Numerisch vom Rechner ermittelte Ergebnisse werden einer Tabelle ausgegeben.

Eingebunden ist ein Graph-Plotter, welcher neben der Darstellung der Kurven definierter Funktionen auch die Darstellung der Schnittpunkte von 2 Funktionen sowie der Tangenten und Normalen durch diese ermöglicht.

Bei Ausgabe der Grafik in diesem Tool kann zudem der jeweilige Krümmungskreis, welcher durch den Schnittpunkt einer der definierten Funktionen verläuft, berechnet und dargestellt werden. 


Auch können beim Zeichnen von Funktionsgraphen dieser Art deren Koordinatenwerte bei beliebiger Position interaktiv abgetastet werden. Das Berechnen der Funktionswerte einer definierten Funktion kann separat veranlasst werden. Deren Ausgabe erfolgt in einer Wertetabelle. Zudem wird es ermöglicht Tangenten und Normalen bestimmen zu lassen, welche durch die Schnittpunkte definierter Funktionen verlaufen.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Schnittpunkte - Schnittpunkte von Kurven - Schnittpunkte berechnen - Schnittpunktberechnung - Schnittpunktbestimmung - Ermittlung der Schnittpunkte von Funktionen - Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen - Schnittpunkte zweier Graphen berechnen - Schnittpunkte von Graphen - Schnittwinkel zweier Graphen ermitteln - Funktionen gleichsetzen - Winkel zwischen zwei Funktionen - Tangente im Schnittpunkt zweier Funktionen - Schnittstellen berechnen - Rechner zur Ermittlung von Funktionsschnittpunkten - Normale im Schnittpunkt zweier Funktionen - Gemeinsame Punkte von Funktionen - Graph - Plotten - Grafisch Grafik - Bilder - Punkte - Lösungen - Tabelle - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Beispiele - Aufgaben - leichung - Funktionen - Kurven - Grafische Darstellung - Krümmungskreis - Krümmungsradius - Krümmungsmittelpunkt - Funktionsrechner zur Durchführung von Schnittpunktberechnungen - Schnittwinkel zweier Funktionen

  
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Funktionsschnittpunkte

 

Das Unterprogramm [Analysis] - Funktionsschnittpunkte bietet die Möglichkeit der numerischen Ermittlung und grafischen Darstellung der Schnittpunkte zweier verschiedener Funktionen (Kurvenschnittpunkte), welche in expliziter Form definiert sind.

 

MathProf - Kurven - Schnittpunkte Funktionen - Schnittpunkte berechnen - Schnittpunkte Tangente - Schnittpunktberechnung - Schnittpunkt berechnen - Funktionen gleichsetzen

 

Es ermöglicht die Durchführung einer iterativen Suche nach Schnittpunkten zweier derartiger Funktionen innerhalb eines frei wählbaren Untersuchungsbereichs.

 

Hierbei werden ermittelt und grafisch ausgegeben:
 

  • Schnittpunkte und Schnittwinkel zweier Funktionen der Formen y = f1(x) und y = f2(x)
  • Gleichungen der Tangenten und Normalen in den Schnittpunkten dieser Funktionen
  • Eigenschaften der Krümmungskreise der Funktionen, welche durch diese Schnittpunkte verlaufen

Schnittpunkte zweier  Funktionen berechnen - Graph

 

MathProf - Schnittpunkte zweier Funktionen - Funktionen Schnittpunkt - Funktion Schnittpunkt - Schnittpunkt berechnen - Schnittpunkte berechnen - Tangente - Normale - Krümmung - Schnittpunkte - Krümmungsradius - Krümmungskreis - Schnittpunkte berechnen - Schnittpunktberechnung - Schnittpunkt berechnen


Um die Schnittpunkte zweier Funktionen innerhalb eines bestimmten Untersuchungsbereichs ermitteln zu lassen, gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Definieren Sie die beiden, den geltenden Syntaxregeln gemäß formulierten, Funktionen in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f1(x) = und f2(x) =.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe von Zahlenwerten den Untersuchungsbereich fest, innerhalb dessen die Ermittlung durchgeführt werden soll (Untersuchen in Bereich von x1= und bis x2 =). (voreingestellt: -10 x 10)
     
  3. Durch die Wahl des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein bestimmen Sie die zu verwendende Untersuchungsgenauigkeit zur Ermittlung von Lösungen.
     
  4. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Schnittpunkte und weitere Ergebnisse bzgl. der Eigenschaften der Kurve in diesen ausgegeben.
     
  5. Um sich die Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  6. Möchten Sie die Abszissenwerte des Untersuchungsbereichs exakt positionieren, so können Sie die Schaltfläche Bereich auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
     
  7. Um die Darstellung von Tangenten, Normalen und Krümmungskreisen in/durch Schnittpunkte zu ermöglichen, aktivieren Sie das entsprechende Kontrollkästchen Tangenten, Normalen bzw. Krümmungskreise und wählen aus der aufklappbaren Auswahlbox den entsprechenden Eintrag, um festzulegen für welche Kurve die entsprechenden Geraden oder Kreise auszugeben sind.

Bei Ausgabe der grafischen Darstellung werden ermittelte Schnittpunkte mit der Bezeichnung SP, sowie einem fortlaufenden Nummer-Index gekennzeichnet. Um Krümmungskreise nicht oval (ellipsenförmig) dargestellt zu bekommen, wählen Sie bei Ausgabe der grafischen Darstellung den Menüpunkt Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear.

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular


MathProf - Kurven - Tangente - Schnittpunkt - Krümmung - Normale - Kurvenschnittpunkt

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Tangenten: Darstellung der Tangenten der entsprechenden Kurve in Schnittpunkten ein-/ausschalten
  • Normalen: Darstellung der Normalen der entsprechenden Kurve in Schnittpunkten ein-/ausschalten
  • Krümmungskreise: Darstellung der durch die Schnittpunkte der entsprechenden Kurve verlaufenden Krümmungskreise ein-/ausschalten
  • Schnittpkt.: Markierung und Nummerierung ermittelter Schnittpunkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten ermittelter Schnittpunkte ein-/ausschalten
  • Bereich: Markierung des Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen I

Gleichungen

 

Beispiele - Aufgaben

 

Beispiel 1:

 

Es gilt, die Schnittpunkte der beiden Funktionen f1(x) = x²/10-2 und f2(x) = -x/5 ermitteln, sowie sich deren Eigenschaften in diesen Punkten ausgeben zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Definition der Funktionsterme X^2/10-2 und -X/5 in den entsprechenden Eingabefeldern, der Festlegung eines Untersuchungsbereichs -10 x 10 und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm:

 

Anzahl gefundener Schnittpunkte: 2

 

 

Schnittpunkt 1 der beiden Funktionen: SP1 (-5,5826 / 1,1165)
Schnittwinkel 1 der beiden Funktionen in SP1: -36,841°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP1:


Tangente v. f1(x): Y = -1,1165·X - 5,1165
Normale v. f1(x): Y = 0,8956·X + 6,1165


Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP1:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (6,9592 / 12,3495)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 16,8368
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt 1: kr = 0,0594

 

 

Schnittpunkt 2 der beiden Funktionen: SP2 (3,5826 / -0,7165)
Schnittwinkel 2 der beiden Funktionen in SP2: 46,932°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP2:


Tangente v. f1(x): Y = 0,7165·X - 3,2835
Normale v. f1(x): Y = -1,3956·X + 4,2835

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP2:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (-1,8393 / 6,8505)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 9,3089
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt 2: kr = 0,1074

 

Anmerkungen:

Da es sich bei Funktion f2(x) um eine lineare Funktion handelt, und diese somit keine Tangenten, Normalen und Krümmungskreise in den Schnittpunkten besitzt, werden für diese keine Ergebnisse ausgegeben.

 

Die o.a. Ergebnisse können ebenso als Lösungen der Gleichung (Nullstellen der Funktion) Y = x²/10-2+x/5-2 angesehen werden, denn es wurden Lösungen gesucht, welche die Gleichungsbedingung erfüllen:

 

f1(x) = f2(x)

 

und es gilt:

 

f1(x)-f2(x) = 0

 

Beispiel 2:

 

Es sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen f1(x) = 4·sin(x/2+2) und f2(x) = -cos(x²/20) ermitteln zu lassen, sowie deren Eigenschaften in diesen Punkten auszugeben.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Definition der Funktionsterme 4*SIN(X/2+2) sowie -COS(X^2/20) in den entsprechenden Eingabefeldern, der Festlegung eines Untersuchungsbereichs -10 x 10 und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm:

 

Anzahl gefundener Schnittpunkte: 3

 

 

Schnittpunkt 1 der beiden Funktionen: SP1 (-4,3019 / -0,6016)
Schnittwinkel 1 der beiden Funktionen in SP1: 82,137°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP1:


Tangente v. f1(x): Y = 1,9773·X + 7,9044
Normale v. f1(x): Y = -0,5058·X - 2,7773

 

Tangenten und Normalen der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP1:


Tangente v. f2(x): Y = -0,3436·X - 2,0799
Normale v. f2(x): Y = 2,91·X + 11,9169

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP1:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (-68,851 / 32,0443)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 72,3349
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP1: kr = 0,0138

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f2(x) durch Schnittpunkt SP1:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f2(x): MP (-2,2925 / 5,2458)
Radius des Krümmungskreises v. f2(x): r = 6,183
Krümmung der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP1: kr = 0,1617

 

 

Schnittpunkt 2 der beiden Funktionen: SP2 (2,752 / -0,9292)
Schnittwinkel 2 der beiden Funktionen in SP2: -68,604°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP2:


Tangente v. f1(x): Y = -1,9453·X + 4,4244
Normale v. f1(x): Y = 0,5141·X - 2,3439

 

Tangenten und Normalen der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP2:


Tangente v. f2(x): Y = 0,1017·X - 1,2092
Normale v. f2(x): Y = -9,8287·X + 26,1197

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP2:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (42,8162 / 19,6663)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 45,0478
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP2: kr = 0,0222

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f2(x) durch Schnittpunkt SP2:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f2(x): MP (1,7944 / 8,4833)
Radius des Krümmungskreises v. f2(x): r = 9,461
Krümmung der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP2: kr = 0,1057

 

 

Schnittpunkt 3 der beiden Funktionen: SP3 (8,9072 / 0,6783)
Schnittwinkel 3 der beiden Funktionen in SP3: -83,698°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP3:


Tangente v. f1(x): Y = 1,971·X - 16,878
Normale v. f1(x): Y = -0,5073·X + 5,1974

 

Tangenten und Normalen der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP3:


Tangente v. f2(x): Y = -0,6545·X + 6,5077
Normale v. f2(x): Y = 1,528·X - 12,9317

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP3:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (65,6824 / -28,1265)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 63,6643
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP3: kr = -0,0157

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f2(x) durch Schnittpunkt SP3:


Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f2(x): MP (7,3789 / -1,6569)
Radius des Krümmungskreises v. f2(x): r = 2,7909
Krümmung der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP3: kr = -0,3583
 

Anmerkung:

Die o.a. Ergebnisse können ebenso als Lösungen der Gleichung (Nullstellen der Funktion) Y = 4·sin(x/2+2)+cos(x²/20) angesehen werden, denn es wurden Lösungen gesucht, welche die Gleichungsbedingung erfüllen:

 

f1(x) = f2(x)

 

und es gilt:

 

f1(x)-f2(x) = 0
 

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Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Schnittpunkt zu finden.
 

Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


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Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
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