MathProf - Nichtlineares Gleichungssystem - Lösen - Rechner

Modul Nichtlineares Gleichungssystem zweier Unbekannter

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Mit Hilfe des Unterprogramms [Algebra] - [Sonstige Gleichungssysteme] - Nichtlineares Gleichungssystem zweier Unbekannter lassen sich Lösungen nichtlinearer Gleichungssysteme zweier Unbekannter ermitteln.
 

Unter implizit definierten Funktionen werden Funktionen verstanden, welche nicht in der Zuordnungsvorschrift y = f(x) gegeben sind, sondern deren Funktionswerte implizit durch eine Gleichung der Form f(x,y) = 0 definiert sind.
 
Dieses Programmmodul ermöglicht die Ermittlung der Lösungen zweier derartiger Gleichungen, welche die Bedingungen f1(x,y,p) = g1(x,y,p) sowie zugleich f2(x,y,p) = g2(x,y,p) erfüllen. Iterativ wird nach Lösungen innerhalb eines frei wählbaren Untersuchungsbereichs gesucht.
 
Lösungen von Gleichungen dieser Art sind grafisch als Schnittpunkte der Kurven der definierten Gleichungsterme zu interpretieren. Sie werden bei Ausgabe der grafischen Darstellung durch Punkte markiert.
 

 
Die Suche nach Lösungen derartiger Systeme können Sie veranlassen, indem Sie folgendermaßen verfahren:
 

1. Geben Sie die Terme der ersten Gleichung in die Felder im Formularbereich Bedingung 1 ein. In den darunter angeordneten Feldern im Formularbereich Bedingung 2 definieren Sie die zweite Gleichung. Beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    
2. Bestimmen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder Von x1 und bis x2 sowie Von y1 und bis y2 den Untersuchungsbereich, innerhalb dessen das Programm nach Lösungen für die gestellten Bedingungen suchen soll.
    
3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so führt das Programm die Suche nach Lösungen aus und gibt die Ergebnisse in der dafür zur Verfügung stehenden Tabelle aus.
    
4. Möchten Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Darstellen.
    
5. Legen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Auflösung die zu verwendende Auflösung fest.
    
6. Um den Untersuchungsbereich (Darstellungsbereich) zu verändern, bestehen folgende Möglichkeiten:
   
   Bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben Sie die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
   
   Verändern Sie die Position eines Fangpunktes mit der Maus. Klicken Sie hierbei mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Fangbereich und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Taste.
    
7. Wurde eine Funktion deklariert die das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so definieren Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, den zu durchlaufenden Funktionsparameterwertebereich und die gewünschte Schrittweite durch die Bedienung des Schalters Parameter P und positionieren Sie den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
    
8. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so können Parameterwertsimulationen veranlasst werden. Um dies durchführen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Hierauf können Sie den Wert für die gewünschte Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Aufgefundene Lösungen werden mit der Bezeichnung L, sowie einem fortlaufenden Nummer-Index gekennzeichnet.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

   

 


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte beschriften: Beschriftung festgelegter Bereichsbegrenzungspunkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Ausgabe der Koordinatenwerte festgelegter Bereichsbegrenzungspunkte ein-/ausschalten
• Bereichsmarkierung: Markierung der festgelegten Bereichsbegrenzung ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Lineares Gleichungssystem
Nichtlineares Gleichungssystem mehrerer Unbekannter
Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem
Überbestimmtes lineares Gleichungssystem
Diophantisches Gleichungssystem
Komplexes Gleichungssystem
   
Beispiel 1:
 
Es gilt, die Lösungen des folgenden Gleichungssystems
 
SIN(2*Y)*COS(3*X/2) = 2/5
COS(X-1/5)^2*SIN(Y)^3 = SIN(Y)/2-1/5
 
innerhalb eines Bereichs von -3 £ x £ 3 ; -3 £y £ 3 ermitteln zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Nach einer Eingabe der o.a. Funktionsterme in die dafür vorgesehenen Felder, einer Festlegung des Untersuchungsbereichs durch die Eingabe der hierfür relevanten Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder Von x1 und bis x2 sowie Von y1 und bis y2, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die folgenden Lösungen:
 
L1 (-2,413 / -1,337)  -> x = -2,413; y = -1,337
L2 (-2,825 / -1,038)  -> x = -2,825; y = -1,038
L3 (-1,96 / 1,781)  -> x = -1,96; y = 1,781
L4 (-0,719 / 0,504)  -> x = -0,719; y = 0,504
L5 (-1,431 / 2,73)  -> x = -1,431; y = 2,73
L6 (-0,728 / 1,045)  -> x = -0,728; y = 1,045
L7 (-0,328 / -1,806)  -> x = -0,328; y = -1,806
L8 (1,417 / 2,711)  -> x = 1,417; y = 2,711
L9 (0,63 / -1,947)  -> x = 0,63; y = -1,947
L10 (2,362 / 1,795)  -> x = 2,362; y = 1,795
 
Mit allen o.a. Lösungen werden die Bedingungen des Gleichungssystems erfüllt. Durch Einsetzen der entsprechenden Werte für x und y in die Gleichungen des Systems kann dies nachgeprüft werden. Bei Ausgabe der grafischen Darstellung sind diese Lösungen als Schnittpunkte der entsprechenden Kurven gekennzeichnet.
 
Beispiel 2:
 
Es gilt die Lösungen des folgenden Gleichungssystems
 
X^2+Y^2 = 2
1+Y^2 = X
 
innerhalb eines Bereichs von -3 £ x £ 3 ; -3 £ y £ 3 ermitteln zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Nach einer Eingabe der o.a. Funktionsterme in die dafür vorgesehenen Felder, einer Festlegung des Untersuchungsbereichs durch die Eingabe der hierfür relevanten Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder Von x1 und bis x2 sowie Von y1 und bis y2, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die folgenden Lösungen:
 
L1 (1,303 / -0,55)  -> x = 1,303; y = -0,55
L2 (1,303 / 0,55)  -> x = 1,303 ; y = 0,55
 
Mit allen o.a. Lösungen werden die Bedingungen des Gleichungssystems erfüllt. Durch Einsetzen der entsprechenden Werte für x und y in die Gleichungen des Systems kann dies nachgeprüft werden. Bei Ausgabe der grafischen Darstellung ist festzustellen, dass es sich um die Schnittpunkte einer Ellipse und einer horizontal liegenden Parabel handelt.
 

 

Beispiel 1


Beispiel 2


Beispiel 3


Beispiel 4


Beispiel 5


Beispiel 6


Beispiel 7


Beispiel 8
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden.
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Nichtlineares Gleichungssystem zu finden.

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte- Cramersche Regel - Interaktiv - Nichtlineares Gleichungssystem mehrerer Unbekannter - Diophantisches Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Interaktiv - Gleichungen - Interaktiv - Gleichungen 2.- 4. Grades - Interaktiv - Ungleichungen - DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL n-ter Ordnung - Interaktiv - DGL - Gleichungssystem - Interaktiv - DGL 1. Ordnung in Parameterform - DGL 1. Ordnung in Parameterform - Interaktiv - DGL-System 1. Ordnung (3D-Visualisierung) - Vektorfelder - Gradientenfelder - Kommandozeilenrechner - Funktionen komplexer Zahlen - Zahlen III
 

 


Startfenster des Unterprogramms Nichtlineares Gleichungssystem zweier Unbekannter
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Primzahlen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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