MathProf - Tangentensteigung - Ableitung - Rechner - Berechnen

 

Modul Tangente - Normale - Interaktiv

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Das Unterprogramm [Analysis] - [Tangente - Normale - Sekante] - Tangente - Normale - Interaktiv stellt eine Ergänzung zum Unterprogramm Kurvendiskussion dar, und ermöglicht u.a. die interaktive Ermittlung von Tangenten und Normalen einer Funktion bei bestimmten Abszissenwerten.

 

Mit Hilfe dieses Moduls ist es u.a. möglich, mit Funktionen der Form f(x) Folgendes zu untersuchen:

• Funktionswert an Stelle Px (Qx)

• Steigung der Tangente in Punkt P (Q)
• Steigungswinkel der Tangente in Punkt P (Q)
• Gleichung der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente

• Steigung der Normale in Punkt P (Q)
• Steigungswinkel der Normale in Punkt P (Q)
• Gleichung der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale

• Eigenschaften des durch Punkt P (Q) verlaufenden Krümmungskreises
• Krümmung der Kurve in Punkt P (Q)  

Um eine Funktion an einer oder zwei verschiedenen Stellen untersuchen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Definieren Sie die zu untersuchende Funktion im dafür vorgesehenen Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,p) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
    
2. Bestimmen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Zwei Stellen (Px und Qx) untersuchen, ob die Darstellung lediglich für die Untersuchung an Stelle Px, oder an zwei Stellen (Px und Qx) erfolgen soll.
    
3. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
4. Klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des Punktes P (bzw. Q) und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts, um die Abszissenkoordinate des zu untersuchenden Punktes zu verändern.
    
5. Möchten Sie die Untersuchung an einer bestimmten Stelle durchführen, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular und geben den hierfür relevanten X-Koordinatenwert für Punkt P (bzw. Q) im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
6. Bestimmen Sie auf dem Bedienformular durch die Aktivierung des Kontrollkästchens 1. Ableitung, ob die 1. Ableitung der zu analysierenden Funktion ausgegeben werden soll. Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Krümmungskreis wird der durch den untersuchten Punkt verlaufende Krümmungskreis, dargestellt. Durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Normale, legen Sie fest, ob die durch Punkt P bzw. Q verlaufende Normale dargestellt werden soll.
    
7. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
    
8. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Tangente oder Parameter P die Art der Simulation die Sie ausführen lassen möchten.
   
   Um Untersuchungspositionen simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation.
   
   Vor Ausführung einer Untersuchungsbereichssimulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit OK.
   
   Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:
Um Krümmungskreise nicht oval (ellipsenförmig) dargestellt zu bekommen, wählen Sie den Menüpunkt Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Wurde im Eingabefeld des Hauptformulars dieses Unterprogramms ein Funktionsterm ohne Parameter P erstellt, so wird ein dem nachfolgend gezeigten ähnliches Bedienformular zur Verfügung gestellt.



Wurde im Eingabefeld des Hauptformulars des Unterprogramms ein Funktionsterm erstellt, der das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.


 

 
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Tangente - Normale
Tangente – Sekante
Tangente - Sekante - Interaktiv
Tangente und Normale von externem Punkt
Kurvendiskussion
 

 
Es gilt, Untersuchungen mit der Funktion f(x) = x/2·sin(x/5) bei verschiedenen Abszissenpositionen durchzuführen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Nach der Eingabe des Terms X/2*SIN(X/5) in das Feld f(x) = bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
 
Wird nach einem Klick auf die Schaltfläche Punkt als Untersuchungsstelle die Abszissenposition x = 4 festgelegt und werden die Kontrollkästchen Krümmungskreis und Normale aktiviert, so erhalten Sie folgende Ergebnisse für die Werte an der festgelegten Abszissenposition:
 
Koordinaten des Punkts P an Position x = 4: Punkt P (4 / -1,514)

Mittelpunkt des Krümmungskreises: MK (11,53 / 2,953)
Radius des Krümmungskreises: r = 8,755
Krümmung der Kurve in Punkt P: kr = 0,114
 
Normalensteigung: m_n = 0,593
Steigungswinkel der Normale: 30,678°
Gleichung der Normale: Y = 0,59323·X - 3,88652
 
Tangentensteigung: m_t = -1,686
Steigungswinkel der Tangente: -59,322°
Gleichung der Tangente: Y = -1,68569·X + 5,22915
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Tangente
Wikipedia - Ableitung
 

 

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Unterprogramm Tangente - Normale - Interaktiv
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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